1、 1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？ 圆心与半径圆心与半径 2、叙述角平分线的性质与判定、叙述角平分线的性质与判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3、下图中、下图中ABC与圆与圆O的关系？的关系？ ABC是圆是圆O的内接三角形；的内接三角形； 圆圆O是是ABC的外接圆的外接圆 圆心圆心O点叫点叫ABC的外心的外心 或或不在同一直线上的三点不在同一直线上的三点 A B C O 李明在一家木
2、料厂上班，工作之余想对厂李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料， 且使圆的面积最大且使圆的面积最大. 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下. A B C D F E O r C B A 思考下列问题思考下列问题： 1如图如图1，若，若O与与 ABC的两边相切，那么圆的两边相切，那么圆 心心O的位置有什么特点？的位置有什么特点？ 圆心圆心O在在ABC的平分线上的平分线上. 2如图如图2，如果，如果O与与 ABC的内角的内角ABC的两边的两边 相切，且与内角相切，且与内角A
3、CB的两的两 边也相切，那么此边也相切，那么此O的圆的圆 心在什么位置？心在什么位置？ 圆心圆心O在在BAC、ABC与与ACB的三个角的三个角 的角平分线的交点上的角平分线的交点上. O M A B C N O 图图2 A B C 探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法 探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法 图图1 3如何确定一个与三角形三边都相切如何确定一个与三角形三边都相切 的圆的圆心位置与半径的长？的圆的圆心位置与半径的长？ 4你能作出几个与一个你能作出几个与一个 三角形的三边都相切的三角形的三边都相切的 圆么？内切圆圆心能否圆么？内切圆圆心能否 在三角形外部？在三角形
4、外部？ 作出三个内角的平分线，三条内角作出三个内角的平分线，三条内角 平分线相交于一点，这点就是符合平分线相交于一点，这点就是符合 条件的圆心，过圆心作一边的垂线，条件的圆心，过圆心作一边的垂线， 垂线段的长是符合条件的半径垂线段的长是符合条件的半径. 只能作一个，只能作一个，圆心也只能在三角形内部圆心也只能在三角形内部,因因 为三角形的三条内角平分线在为三角形的三条内角平分线在三角形内部三角形内部, 且且相交只有一个交点相交只有一个交点. I F C A B E D I D 作法：作法： A B C 1. 作作B、C的平分线的平分线 BM和和CN，交点为，交点为I. 2过点过点I作作IDBC
5、， 垂足为垂足为D. 3以以I为圆心，为圆心，ID为为 半径作半径作I. I就是所求的圆就是所求的圆. M N 试一试试一试,你能画出一个三角形的内切圆吗？你能画出一个三角形的内切圆吗？ 每个学习小组请交流你们的画图方法每个学习小组请交流你们的画图方法 1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做、定义：和三角形各边都相切的圆叫做 三角形的三角形的内切圆内切圆，内切圆的圆心叫做三，内切圆的圆心叫做三 角形的角形的内心内心，这个三角形叫做圆的，这个三角形叫做圆的外切外切 三角形三角形. 2、性质、性质: 内心到三角形三边的内心到三角形三边的距离相距离相 等等；内心与顶点连线；内心与顶点连线平分内角平分内
6、角. O A B C 名称名称 确定方法确定方法 图形图形 性质性质 外心：外心： 三角形三角形 外接圆外接圆 的圆心的圆心 内心：内心： 三角形三角形 内切圆内切圆 的圆心的圆心 三角形三边三角形三边 中垂线的交中垂线的交 点点 1.OA= =OB= =OC 2.外心不一定外心不一定 在三角形的内在三角形的内 部部 三角形三条三角形三条 角平分线的角平分线的 交点交点 1.到三边的距离到三边的距离 相等；相等； 2.OA、OB、OC分分 别平分别平分BAC、 ABC、ACB 3.内心在三角形内内心在三角形内 部部 O A B C O A B C 例例1 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面
7、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面 为等边三角形的直三棱柱为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三圆柱的下底面圆是直三 棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱 的底面等边三角形的边长为的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的，求圆柱底面圆的 半径半径. C A B r O D 由等边三角形由等边三角形 和三角形内切和三角形内切 圆的性质可以圆的性质可以 想到什么想到什么? ? 如图是这个木模的俯视图如图是这个木模的俯视图 C A B r O D 例例1 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底
8、面为等边 三角形的直三棱柱三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等 边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边 长为长为3cm，求圆柱底面圆的半径，求圆柱底面圆的半径. 解：解： 如图是这个木模的俯视图，设圆如图是这个木模的俯视图，设圆O切切AB于点于点D，连接，连接OA、 OB、OD. 圆圆O是是ABC的内切圆的内切圆, AO、BO是是BAC、ABC的角平分线的角平分线 ABC是等边三角形是等边三角形, OAB= =OBA= =30o ODAB，AB= =3cm， AD= =BD= = AB=
9、 =1.5(cm) 1 2 OD= =AD tan30o= = (cm) 3 2 答答:圆柱底面圆的半径为圆柱底面圆的半径为 cm. 3 2 例例 如图，已知如图，已知O 是是ABC的内切圆，的内切圆， 切点分别点切点分别点D、E、F，设，设ABC周长为周长为L. 求证：求证：AEBC= = L 2 1 O A B C F E 想一想：想一想： 常用辅助线常用辅助线 及切线的性及切线的性 质质 D 圆内接平行四边形是矩形圆内接平行四边形是矩形 圆外切平行四边形是_ F A C B D O A B C D O 延延 伸伸 与与 拓拓 展展 菱形 E G H 变式：变式： 求边长为求边长为a的等边
10、三角形的的等边三角形的 内切圆半径内切圆半径r与外接圆半径与外接圆半径R的比的比. 课本课内练习题课本课内练习题1： 求边长为求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径的等边三角形的内切圆半径r与外接圆与外接圆 半径半径R. . 老师提示：老师提示： 先画草图，由等腰三角形底边上的中垂先画草图，由等腰三角形底边上的中垂 线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形 的内切圆与外接圆是两个同心圆的内切圆与外接圆是两个同心圆. C A B R r O D sinOBD = = sin30= = r R = = OD OB = = 1 2 A B C O D E F A
11、 B C D E F O 课本课内练习题：课本课内练习题： 设设ABC的面积为的面积为S，周长为，周长为L， ABC内切圆内切圆 的半径为的半径为r，你能，你能 得到得到S= = Lr吗？吗？ 1 2 想想：想想： 要求出三角形的面积要求出三角形的面积 需要哪些量需要哪些量? 根据三角形内心的性质根据三角形内心的性质, 可以如何添加辅助线可以如何添加辅助线? A B C O c D E r 如：直角三角形的两如：直角三角形的两 直角边分别是直角边分别是5cm， 12cm，则其内切圆，则其内切圆 的半径为的半径为_. . 补充题：补充题： 如图，如图，直角三角形的两直角边分别是直角三角形的两直角
12、边分别是a、b, ,斜边为斜边为c， 则其内切圆的半径则其内切圆的半径r为：为： （以含（以含a、b、c的代数式表示的代数式表示r） 2cm r = = a+ +b- -c 2 以某三角形的内心为圆心，以某三角形的内心为圆心， 作一个圆使它与这个三角形作一个圆使它与这个三角形 的某一条边（或所在的直线）的某一条边（或所在的直线） 有两个交点，那么这个圆与有两个交点，那么这个圆与 其他两边（或所在的直线）其他两边（或所在的直线） 有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？ 仔细观察图形，你还能发现什么仔细观察图形，你还能发现什么 规律？再作几个三角形试一试，规律？再作几个三角形试一试， 是否有同样的规
13、律？请说明理是否有同样的规律？请说明理 由由 O A B C F D G H I 我有哪些收获？我有哪些收获？ -与大家共分享！与大家共分享！ 学学 而而 不不 思思 则则 罔罔 回 头 一 看 ， 我 想 说 回 头 一 看 ， 我 想 说 .定义定义 .内心的性质内心的性质 .初步应用初步应用 .画三角形的内切圆画三角形的内切圆 如图，设如图，设ABC的边的边BC= =a，CA= =b， AB= =c，s= = ( (a+ +b+ +c) )，内切圆，内切圆I和各边分和各边分 别相切于别相切于D、E、F. 2 1 求证：求证：AE= =AF= =s- -a BF= =BD= =s- -b CD= =CE= =s- -c C B A E D F O r 知知 识识 的的 应应 用用 再见再见
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