1、2021 年年北京市海淀区二校北京市海淀区二校联考联考中考数学诊断试卷（中考数学诊断试卷（4 月份）月份） 一一.选择题（本题共选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1将数字 258000 用科学记数法可表示为（ ） A258103 B2.58104 C2.58105 D0.258106 2已知 xy，则下列不等式成立的是（ ） A2x52y5 Bx+3y+3 C5x5y D2x2y 3下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A B C D 4若关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 5 如图， 一次函数 y1mx+2 与 y22x+5
2、的图象交于点 A （a， 3） ， 则不等式 mx+22x+5 的解集为 （ ） Ax3 Bx3 Cx1 Dx1 6 如图， 在ABC 中， C60， AD 是 BC 边上的高， 点 E 为 AD 的中点， 连接 BE 并延长交 AC 于点 F 若 AFB90，EF2，则 BF 长为（ ） A4 B6 C8 D10 7如图，正三角形 PMN 的顶点分别是正六边形 ABCDEF 三边的中点，则三角形 PMN 与六边形 ABCDEF 的面积之比（ ） A1：2 B1：3 C2：3 D3：8 8 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面 积（弦矢+矢 2）
3、，弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长 AB， “矢”等于半径长与圆心 O 到弦的距离之差在如图所示的弧田中， “弦”为 8， “矢”为 3，则 cosOAB （ ） A B C D 二二.填空题（本题共填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9二次根式中 x 的取值范围是 10如图是三个反比例函数的图象的分支，其中 k1，k2，k3的大小关系是 11把多项式 mx24mxy+4my2分解因式的结果是 12关于 x 的一元二次方程 kx2（2k+1）x+k0 总有两个实数根，则常数 k 的取值范围是 13 在一个不透明的袋子里装有 20 个红球和
4、若干个蓝球， 这些球除颜色外都相同， 将袋子中的球搅拌均匀， 每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的 频率稳定在 0.6 左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是 14如图，AD 是ABC 的中线，ADC45，BC10，把ABC 沿直线 AD 折叠，点 C 落在点 C处， 那么 BC的长为 15定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程” ，如果关 于 x 的一元二次方程 x22x0 与 x2+3x+m10 为“友好方程” ，则 m 的值 16如图，抛物线 yx23 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点
5、C（0，4）为圆心，3 为半径的圆上的动点， M 是线段 PA 的中点，连接 OM则线段 OM 的最大值是 三三.解答题（本题共解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题题 5 分，第分，第 23-26 题每小题题每小题 5 分，第分，第 27-28 题每小题题每小题 5 分）分） 17 （5 分）计算： 18 （5 分）解不等式组 19 （5 分）化简求值： （+x+3），其中 x5 20 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+3）x+30 （1）求证：无论 m 为何值，x1 都是该方程的一个根； （2）若此方程的根都为正整数，求整数 m 的值 21 （5 分）如图，已
6、知四边形 ABCD 是平行四边形，E 是 AB 延长线上一点且 BEAB，连接 CE，BD （1）求证：四边形 BECD 是平行四边形； （2）连接 DE，若 ABBD4，DE2，求平行四边形 BECD 的面积 22 （5 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 BC、AC 于点 D、E，连接 EB 交 OD 于点 F （1）求证：ODBE； （2）连接 AD，交 BE 于点 G，若AGEDGF，且 AB2，求 AE 的长 23 （6 分）定义：关于 x 的一次函数 yax+b 与 ybx+a（ab0）叫做一对交换函数，例如：一次函数 y 3x+4 与 y4x+3 就是
7、一对交换函数 （1）一次函数 y2xb 的交换函数是 ； （2）当 b2 时， （1）中两个函数图象交点的横坐标是 ； （3）若（2）中两个函数图象与 y 轴围成的三角形的面积为 4，求 b 的值 24 （6 分） 某防护服生产公司旗下有 A、 B 两个生产车间， 为了解 A、 B 两个生产车间工人的日均生产数量， 公司领导小组从 A、B 两个生产车间分别随机抽取了 20 名工人的日均生产数量 x（单位：套） ，并对数据 进行分析整理 （数据分为五组： A.25x35， B.35x45， C.45x55， D.55x65， E.65x75） 得 出了以下部分信息： AB 两个生产车间工人日均生
8、产数量的平均数、中位数、众数、极差如表： 车间 平均数（个） 中位数（个） 众数（个） 极差 A 54 56 62 42 B a b 64 45 “B 生产车间”工人日均生产数量在 C 组中的数据是：52，45，54，48，54，其余所有数据的和为 807 根据以上信息，回答下列问题： （1） 上述统计图表中， a ， b 扇形统计图 B 组所对应扇形的圆心角度数为 （2）根据以上数据，你认为哪个生产车间情况更好？请说明理由（一条理由即可） ； （3）若 A 生产车间共有 200 名工人，B 生产车间共有 180 个工人，请估计该公司生产防护服数量在“45 x65”范围的工人数量 25 （6
9、分）成都中考“新体考”新增了“三大球”选考项目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球 行进间运球上篮为了使学生得到更好的训练，某学校计划再采购 100 个足球，x 个排球（x50） 现 有 A、B 两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个 50 元，排球每个 40 元他们的优 惠政策是：A 公司足球和排球一律按标价 8 折优惠；B 公司规定每购买 2 个足球，赠送 1 个排球（单买 排球按标价计算） （1）请用含 x 的代数式分别表示出购买 A、B 公司体育用品的费用； （2）当购买 A、B 两个公司体育用品的费用相等时，求此时 x 的值； （3）已知学校原有足球、排球各 50
10、个，篮球 100 个在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每 人需要的球类个数如下表： 足球 排球 篮球 1人用1个 1人用1个 2人共用1个 若学校要满足 600 名学生同时训练， 计划拨出 10500 元经费采购这批足球与排球， 这批经费够吗？若够， 应在哪家公司采购？若不够，请说明理由 26 （6 分）已知一次函数 yxa 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B二次函数 yx2+2x+m 的图象经过 点 A，且与 x 轴交于另一个点 C，与 y 轴交于点 D （1）若 a3，求 m 的值； （2）当 a0 时，试用含 a 的代数式表示 BD 的长； （3）是否存在 a 的值，使得直
11、线 AB 与直线 CD 互相垂直？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理 由 27 （7 分）在ABC 中，C90，ACBC，点 D 在射线 BC 上（不与点 B、C 重合） ，连接 AD，将 AD 绕点 D 顺时针旋转 90得到 DE，连接 BE （1）如图 1，点 D 在 BC 边上 求证：ABBE+BD； 若 BE2BD2，求 CD 的长 （2） 如图 2， 点 D 在 BC 边的延长线上， 用等式表示线段 AB、 BD、 BE 之间的数量关系 （直接写出结论） 28 （7 分）如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交I 于 P、Q 两点（Q
12、在 P、H 之间） 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点“，把 PQPH 的值称为I 关于直线 a 的“特征 数” （1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为（0，4） 半径为 1 的O 与两坐标轴交于点 A、 B、C、D 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m，则O 关于直线 m 的“远点”是点 （填“A” 、 “B” 、 “C”或 “D” ） ，O 关于直线 m 的“特征数”为 ； 若直线 n 的函数表达式为 yx+4求O 关于直线 n 的“特征数” ； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M（1，4） ，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心
13、，为 半径作F若F 与直线 l 相离，点 N（1，0）是F 关于直线 l 的“远点” 且F 关于直线 l 的“特 征数”是 4，求直线 l 的函数表达式 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本题共选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1将数字 258000 用科学记数法可表示为（ ） A258103 B2.58104 C2.58105 D0.258106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正
14、数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将数字 258000 用科学记数法可表示为 2.58105 故选：C 2已知 xy，则下列不等式成立的是（ ） A2x52y5 Bx+3y+3 C5x5y D2x2y 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可 【解答】解：A、xy，2x2y，2x52y5，故本选项符合题意； B、xy，x+3y+3，故本选项不符合题意； C、xy，5x5y，故本选项不符合题意； D、xy，2x2y，故本选项不符合题意 故选：A 3下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A B C D 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图 【解答】解：
15、A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意； B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意； C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意； D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意； 故选：B 4若关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分 母 x10，得到 x1，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值 【解答】解：， 方程两边都乘（x1）得 2m17x5（x1） ， 原方程有增根， 最简公分母 x10， 解得 x1， 当 x1 时，2m170， 解得 m4 故选：A 5 如图，
16、一次函数 y1mx+2 与 y22x+5 的图象交于点 A （a， 3） ， 则不等式 mx+22x+5 的解集为 （ ） Ax3 Bx3 Cx1 Dx1 【分析】将点 A 代入一次函数 y22x+5 求得 a 的值，求得两直线的交点坐标，结合函数图象可以直接 得到答案 【解答】解：把 A（a，3）代入一次函数 y22x+5，得 32x+5， 解得 x1， 则 A（1，3） 如图所示，不等式 mx+22x+5 的解集为 x1 故选：C 6 如图， 在ABC 中， C60， AD 是 BC 边上的高， 点 E 为 AD 的中点， 连接 BE 并延长交 AC 于点 F 若 AFB90，EF2，则
17、BF 长为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】根据三角形内角和定理求出DAC30和EBD30，根据含 30角的直角三角形的性质 得出 AE2EF，BE2DE，代入求出即可 【解答】解：在ABC 中，C60，AD 是 BC 边上的高， DAC180CADC180609030， AFB90，EF2， AE2EF4， 点 E 为 AD 的中点， DEAE4， C60，BFC1809090， EBD30， BE2DE8， BFBE+EF8+210， 故选：D 7如图，正三角形 PMN 的顶点分别是正六边形 ABCDEF 三边的中点，则三角形 PMN 与六边形 ABCDEF 的面积之比（ ） A1
18、：2 B1：3 C2：3 D3：8 【分析】连接 BE，设正六边形的边长为 a，首先证明PMN 是等边三角形，分别求出PMN，正六边 形 ABCDEF 的面积即可 【解答】解：连接 BE，设正六边形的边长为 a则 AFa，BE2a，AFBE， APPB，FNNE， PN（AF+BE）1.5a， 同法可得 PMMN1.5a， PNPMMN， PMN 是等边三角形， ， 故选：D 8 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面 积（弦矢+矢 2） ，弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长 AB， “矢”等于半径长与圆心 O 到弦的
19、距离之差在如图所示的弧田中， “弦”为 8， “矢”为 3，则 cosOAB （ ） A B C D 【分析】如图，作 OHAB 于 H利用已知条件以及勾股定理构建方程组求出 OA，OH 即可解决问题 【解答】解：如图，作 OHAB 于 H 由题意：AB8，OAOH3， OHAB， AHBH4， AH2+OH2OA2， 42（OA+OH） （OAOH） ， OA+OH， OA，OH， cosOAB， 故选：B 二二.填空题（本题共填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9二次根式中 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式有意义得出不等式 x20，再求出即可 【解答】解：
20、要使有意义，必须 x20， 解得：x2， 故答案为：x2 10如图是三个反比例函数的图象的分支，其中 k1，k2，k3的大小关系是 k1k2k3 【分析】根据题意和反比例函数的图象，可以得到 k1，k2，k3的大小关系，从而可以解答本题 【解答】解：由图象可得， k10，k20，k30， 点（1，）在 y2的图象上，点（1，）在 y3的图象上， ， k2k3， 由上可得，k1k2k3， 故答案为：k1k2k3 11把多项式 mx24mxy+4my2分解因式的结果是 m（x2y）2 【分析】直接提取公因式 m，再利用完全平方公式分解因式即可 【解答】解：原式m（x24xy+4y2） m（x2y）
21、2 故答案为：m（x2y）2 12关于 x 的一元二次方程 kx2（2k+1）x+k0 总有两个实数根，则常数 k 的取值范围是 且 k 0 【分析】因为方程有实数根，则根的判别式0，且二次项系数不为零，由此得到关于 k 的不等式，解 不等式就可以求出 k 的取值范围 【解答】解：b24ac （2k+1）24kk0， 解得 k， 二次项系数 k0， k且 k0 故答案为：k且 k0 13 在一个不透明的袋子里装有 20 个红球和若干个蓝球， 这些球除颜色外都相同， 将袋子中的球搅拌均匀， 每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的 频率稳定在 0
22、.6 左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是 30 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其 发生的概率 【解答】解：设袋中蓝球有 x 个，根据题意得： 0.6， 解得：x30， 经检验：x30 是分式方程的解， 故袋中蓝球有 30 个 故答案为：30 14如图，AD 是ABC 的中线，ADC45，BC10，把ABC 沿直线 AD 折叠，点 C 落在点 C处， 那么 BC的长为 5 【分析】由题意可得 BDCD5，根据折叠的性质可得 CDCD5，ADCADC45，根据勾 股定理可求 BC的长 【解答】解：AD 是ABC 的中线，BC10， BDCD5
23、， 把ABC 沿直线 AD 折叠， CDCD，ADCADC45， BDCD5，BDC90， BC5， 故答案为： 15定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程” ，如果关 于 x 的一元二次方程 x22x0 与 x2+3x+m10 为“友好方程” ，则 m 的值 1 或9 【分析】通过解方程 x22x0，可得出方程的根，分 x0 为两方程相同的实数根或 x2 为两方程相同 的实数根两种情况考虑：若 x0 是两个方程相同的实数根，将 x0 代入方程 x2+3x+m10 中求出 m 的值，将 m 的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出 m1 符合题意
24、；若 x2 是两个方 程相同的实数根，将 x2 代入方程 x2+3x+m10 中求出 m 的值，将 m 的值代入原方程解之可得出方 程的解，对照后可得出 m2 符合题意综上此题得解 【解答】解：解方程 x22x0，得：x10，x22 若 x0 是两个方程相同的实数根 将 x0 代入方程 x2+3x+m10，得：m10， m1，此时原方程为 x2+3x0， 解得：x10，x23，符合题意， m1； 若 x2 是两个方程相同的实数根 将 x2 代入方程 x2+3x+m10，得：4+6+m10， m9，此时原方程为 x2+3x100， 解得：x12，x25，符合题意， m9 综上所述：m 的值为 1
25、 或9 故答案为：1 或9 16如图，抛物线 yx23 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0，4）为圆心，3 为半径的圆上的动点， M 是线段 PA 的中点，连接 OM则线段 OM 的最大值是 4 【分析】当 B、C、P 三点共线，且点 C 在 PB 之间时，PB 最大，而 OQ 是ABP 的中位线，即可求解 【解答】解：令 yx23，则 x3， 故点 B（3，0） ， 设圆的半径为 r，则 r3， 连接 PB，而点 M、O 分别为 AP、AB 的中点，故 OM 是ABP 的中位线， 当 B、C、P 三点共线，且点 C 在 PB 之间时，PB 最大，此时 OM 最大， 则 OMBP
26、（BC+r）（+3）4， 故答案为：4 三三.解答题（本题共解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题题 5 分，第分，第 23-26 题每小题题每小题 5 分，第分，第 27-28 题每小题题每小题 5 分）分） 17 （5 分）计算： 【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值、二次根式化简 5 个考点在计算 时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式21+2+1 2+ 18 （5 分）解不等式组 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可 【解答】解：， 由得 x1， 由得 x1， 不等式组的解集为1x1 1
27、9 （5 分）化简求值： （+x+3），其中 x5 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x5 代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （+x+3） ， 当 x5 时，原式 20 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+3）x+30 （1）求证：无论 m 为何值，x1 都是该方程的一个根； （2）若此方程的根都为正整数，求整数 m 的值 【分析】 （1）利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论； （2）由（1）的方程的解，即可得出结论 【解答】 （1）证明：关于 x 的一元二次方程 mx2（m+3）x+30， （mx3） （x1）0， x1 或 x， 无论
28、m 为何值，x1 都是该方程的一个根； （2）解：由（1）知，一元二次方程 mx2（m+3）x+30 的解为 x1 或 x， 方程的根都为正整数， 为正整数， m1 或 m3 即整数 m 的值为 1 或 3 21 （5 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，E 是 AB 延长线上一点且 BEAB，连接 CE，BD （1）求证：四边形 BECD 是平行四边形； （2）连接 DE，若 ABBD4，DE2，求平行四边形 BECD 的面积 【分析】 （1）由平行四边形的性质得到 CDAB，CDAE，由 ABBE 得到 CDBE，根据平行四边形 的判定即可证得结论； （2）过 D 作 DHAE
29、于 H，根据勾股定理得到 BD2BH2DE2EH2DH2，可求得 BH，再由勾股定 理求得 DH，根据平行四边形的面积公式即可求得结果 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB，CDAE， ABBE， CDBE，CDBE， 四边形 BECD 是平行四边形； （2）解：过 D 作 DHAE 于 H， ABBD4， BEAB4， BD2BH2DE2EH2DH2， 42BH2（2）2（4BH）2， BH3， DH， 平行四边形 BECD 的面积BEDH44 22 （5 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 BC、AC 于点 D、E，连接 EB 交 O
30、D 于点 F （1）求证：ODBE； （2）连接 AD，交 BE 于点 G，若AGEDGF，且 AB2，求 AE 的长 【分析】 （1）首先证明 BEAC，ADBC，再证明 ODAC，可得结论 （2）由题意 AEDF，利用三角形中位线定理证明 OFAEDF，根据 OD1，求出 DF 即可解决 问题 【解答】 （1）证明：如图，AB 为O 的直径， ADB90，AEB90， ADBC，AEBE， ABAC， BDDC， BOOA， OD 为BAC 的中位线， ODAC， ODBE （2）AGEDGF， AEDF， AOOB，FOAE， EFFB， OFAEDF， AB2， ODAB1， DFOD
31、， AEDF 23 （6 分）定义：关于 x 的一次函数 yax+b 与 ybx+a（ab0）叫做一对交换函数，例如：一次函数 y 3x+4 与 y4x+3 就是一对交换函数 （1）一次函数 y2xb 的交换函数是 ybx+2 ； （2）当 b2 时， （1）中两个函数图象交点的横坐标是 x1 ； （3）若（2）中两个函数图象与 y 轴围成的三角形的面积为 4，求 b 的值 【分析】 （1）由题意可以写出一次函数 y2xb 的交换函数； （2）根据题意和（1）中的结果，可以求得当 b2 时， （1）中两个函数图象交点的横坐标； （3）根据题意和（1） 、 （2）的结果，可以计算出 b 的值 【
32、解答】解： （1）由题意可得， 一次函数 y2xb 的交换函数是 ybx+2， 故答案为：ybx+2； （2）由题意可得， 当 2xbbx+2 时，解得 x1， 即当 b2 时， （1）中两个函数图象交点的横坐标是 x1， 故答案为：x1； （3）函数 y2xb 与 y 轴的交点是（0，b） ，函数 ybx+2 与 y 轴的交点为（0，2） ， 由（2）知，当 b2 时， （1）中两个函数图象交点的横坐标是 x1， （1）中两个函数图象与 y 轴围成的三角形的面积为 4， 4， 解得 b6 或 b10， 即 b 的值是 6 或10 24 （6 分） 某防护服生产公司旗下有 A、 B 两个生产车
33、间， 为了解 A、 B 两个生产车间工人的日均生产数量， 公司领导小组从 A、B 两个生产车间分别随机抽取了 20 名工人的日均生产数量 x（单位：套） ，并对数据 进行分析整理 （数据分为五组： A.25x35， B.35x45， C.45x55， D.55x65， E.65x75） 得 出了以下部分信息： AB 两个生产车间工人日均生产数量的平均数、中位数、众数、极差如表： 车间 平均数（个） 中位数（个） 众数（个） 极差 A 54 56 62 42 B a b 64 45 “B 生产车间”工人日均生产数量在 C 组中的数据是：52，45，54，48，54，其余所有数据的和为 807 根
34、据以上信息，回答下列问题： （1）上述统计图表中，a 53 ，b 54 扇形统计图 B 组所对应扇形的圆心角度数为 72 （2）根据以上数据，你认为哪个生产车间情况更好？请说明理由（一条理由即可） ； （3）若 A 生产车间共有 200 名工人，B 生产车间共有 180 个工人，请估计该公司生产防护服数量在“45 x65”范围的工人数量 【分析】 （1） “B 生产车间”工人日均生产数量在 C 组中的数据是：52，45，54，48，54，可求出“B 生 产车间”工人日均生产数量在 C 组的百分比，进而求出工人日均生产数量在 B 组的百分比，再根据平均 数、中位数、众数的意义求解即可； （2）根
35、据中位数、平均数、极差的比较得出答案； （3）根据两个车间的在“45x65”范围所占的百分比，通过教师得出答案 【解答】解： （1） “B 生产车间”工人日均生产数量在 C 组中的数据是：52，45，54，48，54， 因此“C 组”所占的百分比为 52025%， “B 组”所占的百分比为 125%10%15%30%20%， 所以“A 组”的频数为：2010%2（人） ， “B 组”的频数为：2020%4（人） ， “C 组”的频数为：2025%5（人） ， “D 组”的频数为：2030%6（人） ， “E 组”的频数为：2015%3（人） ， 因此“B 车间”20 名工人，日生产数量从小到大
36、排列，处在中间位置的两个数的都是 54， 所以中位数是 54， 即 b54， “B 车间”20 名工人，日生产数量的平均数为：3010%+4020%+5025%+6030%+7015%53， 即 a53， 36020%72， 故答案为：53，54，72； （2） “A 车间”的生产情况较好，理由： “A 车间”工人日均生产量的平均数，中位数均比“B 车间”的 高； （3）200+180（25%+30%）199（人） ， 答：A 生产车间 200 人，B 生产车间 180 人，估计生产防护服数量在“45x65”范围的工人大约有 199 人 25 （6 分）成都中考“新体考”新增了“三大球”选考项
37、目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球 行进间运球上篮为了使学生得到更好的训练，某学校计划再采购 100 个足球，x 个排球（x50） 现 有 A、B 两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个 50 元，排球每个 40 元他们的优 惠政策是：A 公司足球和排球一律按标价 8 折优惠；B 公司规定每购买 2 个足球，赠送 1 个排球（单买 排球按标价计算） （1）请用含 x 的代数式分别表示出购买 A、B 公司体育用品的费用； （2）当购买 A、B 两个公司体育用品的费用相等时，求此时 x 的值； （3）已知学校原有足球、排球各 50 个，篮球 100 个在训练时，每个同学都只进
38、行一种球类训练，每 人需要的球类个数如下表： 足球 排球 篮球 1人用1个 1人用1个 2人共用1个 若学校要满足 600 名学生同时训练， 计划拨出 10500 元经费采购这批足球与排球， 这批经费够吗？若够， 应在哪家公司采购？若不够，请说明理由 【分析】 （1）根据 A、B 两家公司的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）根据购买 A、B 两个公司体育用品的费用相等，列出方程可求 x 的值； （3）首先求出还需要购买排球的个数，即 x 的值，再将 x 的值分别代入（1）中所求的代数式，与 10500 比较，即可求解 【解答】解： （1）由 A 公司的优惠方案得， 购买 A
39、 公司体育用品的费用为：0.8(10050+40 x)（32x+4000）元； 购买 B 公司体育用品的费用为：10050+40(x50)（40 x+3000）元； （2）依题意有 32x+400040 x+3000， 解得 x125 故此时 x 的值为 125； （3）还需要排球：600（100+50）501002200（个） 在 A 公司采购需要的费用为：32200+40001040010500， 在 B 公司采购需要的费用为：40200+30001100010500， 所以能满足训练要求，应在 A 公司采购 26 （6 分）已知一次函数 yxa 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B
40、二次函数 yx2+2x+m 的图象经过 点 A，且与 x 轴交于另一个点 C，与 y 轴交于点 D （1）若 a3，求 m 的值； （2）当 a0 时，试用含 a 的代数式表示 BD 的长； （3）是否存在 a 的值，使得直线 AB 与直线 CD 互相垂直？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理 由 【分析】 （1）先计算点 A 的坐标，代入二次函数的解析式中可得 m 的值； （2）分别计算点 A，B，D 的坐标，并根据题意知：D 在 B 的下方，根据两点的距离可得结论； （3）表示 A，B，C，D 各点的坐标，利用根与系数的关系计算 m1，利用等腰直角三角形的性质和判 定来解答 【解答】
41、解： （1）当 a3 时，yx+3， 当 y0 时，x+30， x3， A（3，0） ， 把点 A（3，0）代入二次函数 yx2+2x+m 中得：96+m0， m3； （2）当 y0 时，xa0， xa， A（a，0） ， 当 x0 时，ya， B（0，a） ， 同理得：D（0，m） ， 把点 A（a，0）代入二次函数 yx2+2x+m 中得：a2+2a+m0， ma22a， a0， m0， ma，即点 B 在点 D 的下方， BDama（a22a）a2+a； （3）存在 a 的值，使得直线 AB 与直线 CD 互相垂直，理由是： 当 y0 时，x2+2x+m0， x， C（1，0） ， A（
42、a，0） ，B（0，a） ，D（0，m） ， 由已知得：A，C 两点存在， 44m0， m1， 如图 1， OAOB|a|， AOB90， OAB45， 当OCD45时，AEC90，即 ABCD， OCOD， m1或 m1+， 解得：m10（舍） ，m23 或 m10（舍） ，m21（舍） ， 经检验：m3 是原方程的解， 当 m3 时，可使得直线 AB 与直线 CD 互相垂直 27 （7 分）在ABC 中，C90，ACBC，点 D 在射线 BC 上（不与点 B、C 重合） ，连接 AD，将 AD 绕点 D 顺时针旋转 90得到 DE，连接 BE （1）如图 1，点 D 在 BC 边上 求证：
43、ABBE+BD； 若 BE2BD2，求 CD 的长 （2） 如图 2， 点 D 在 BC 边的延长线上， 用等式表示线段 AB、 BD、 BE 之间的数量关系 （直接写出结论） 【分析】 （1）过点 D 作 DFCB 交 AB 于点 F，则F90，证明ADCDEF（AAS） ，推出 AC DF，CDEF，再证明 CDEF，ABBC，BEEF，即可解决问题 利用中结论计算即可 （2） 结论：BDBE+AB 如图 2， 过 D 作 DFAB 交 BC 的延长线于点 F， 证明DCFDEB （SAS） ， 推出 CFBE，再利用等腰直角三角形的性质，即可解决问题 【解答】 （1）证明：如图 1 中，
44、 由题意可知 ADDE，ADE90过点 D 作 DFCB 交 AB 于点 F，则F90， CADEF90， ADC+EDF90，EDF+DEF90， ADCDEF， ADCDEF（AAS） ， ACDF，CDEF， ACBC， BCDF， CDBF， EFBF， BEEFCD， ABBC，BCCD+BD， ABCD+BDBE+BD 解：由得， 在等腰直角ABC 中， ， （2）结论：BDBE+AB理由如下： 如图 2，过 D 作 DFDB 交 BA 的延长线于点 F， BCA90，ACCB， FCABABC45， DFDB， 由旋转可得，BDFEDA90，ADED， FDABDE， DAFDE
45、B（SAS） ， AFBE， 又等腰 RtBDF 中，BFBD，BFBA+AF， BDBE+AB 28 （7 分）如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交I 于 P、Q 两点（Q 在 P、H 之间） 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点“，把 PQPH 的值称为I 关于直线 a 的“特征 数” （1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为（0，4） 半径为 1 的O 与两坐标轴交于点 A、 B、C、D 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m， 则O 关于直线 m 的 “远点” 是点 D （填 “A” 、 “B” 、 “C” 或 “
46、D” ） ， O 关于直线 m 的“特征数”为 10 ； 若直线 n 的函数表达式为 yx+4求O 关于直线 n 的“特征数” ； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M（1，4） ，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心，为 半径作F若F 与直线 l 相离，点 N（1，0）是F 关于直线 l 的“远点” 且F 关于直线 l 的“特 征数”是 4，求直线 l 的函数表达式 【分析】 （1）根据远点，特征数的定义判断即可 如图 1 中，过点 O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P解直角三角形求出 PH，PQ 的长即可解决 问题 （2）如图 2 中，设直线 l 的解析式
47、为 ykx+b分两种情形 k0 或 k0，分别求解即可解决问题 【解答】解： （1）由题意，点 D 是O 关于直线 m 的“远点” ，O 关于直线 m 的特征数DBDE 2510， 故答案为：D，10 如图 1 中，过点 O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P 设直线 yx+4 交 x 轴于 F（，0） ，交 y 轴于 E（0，4） ， OE4，OF， tanFEO， FEO30， OHOE2， PHOH+OP3， O 关于直线 n 的“特征数”PQPH236 （2）如图 2 中，设直线 l 的解析式为 ykx+b 当 k0 时，过点 F 作 FH直线 l 于 H，交F 于 E，N 由题意，EN2，ENNH4， NH， N（1，0） ，M（1，4） ， MN2， HM， MNH 是等腰直角三角形， MN 的中点 K（0，2） ， KNHKKM， H（2，3） ， 把 H（2，3） ，M（1，4）代入 ykx+b，则有， 解得， 直线 l 的解析式为 yx+， 当 k0 时，同法可知直线 l经过 H（2，1） ，可得直线 l的解析式为 y3x+7 综上所述，满足条件的直线 l 的解析式为 yx+或 y3x+7
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