1、中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5757） 一、例题分析 1. 如图， 菱形 ABCD 的边 AD 与 x 轴平行， A、 B 两点的横坐标分别为 1 和 3， 反比例函数 y= 3 x 的图象经过 A、 B 两点，则菱形 ABCD 的面积是（ ） A. 4 2 B. 4 C. 2 2 D. 2 2. 如图，AOB 三个顶点坐标分别为 A（8，0） ，O（0，0） ，B（8，6） ，点 M 为 OB 的中点以点 O 为 位似中心，把AOB 缩小为原来的 1 2 ，得到AOB，点 M为 OB的中点，则 MM的长为_ 3. 如图，抛物线 y=x 2+bx+c 和直线 y=x+1 交于
2、A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在直线 x=3 上，直线 x=3 与 x 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动，点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个 单位长度的速度沿线段 CA 向点 A 运动，点 P，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止 运动，设运动时间为 t 秒（t0） 以 PQ 为边作矩形 PQNM，使点 N 在直线 x=3 上 当 t 为何值时，矩形 PQNM 的面积最小？并求出最小面积； 直接写出当 t 为何值时，恰好有矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上 二、巩固提高
3、 1.已知抛物线 y=ax 2+bx+c（02ab）与 x 轴最多有一个交点以下四个结论： abc0； 该抛物线的对称轴在 x=1 的右侧； 关于 x 的方程 ax 2+bx+c+1=0 无实数根； a bc b 2 其中，正确结论的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 如图，正方形 AOBO2的顶点 A 的坐标为 A（0，2） ，O1为正方形 AOBO2的中心；以正方形 AOBO2的对角线 AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3A1，O2为正方形 ABO3A1的中心；再以正方形 ABO3A1的对角线 A1B 为边，在 A1B 的右侧作正方形 A1
4、BB1O4，O3为正方形 A1BB1O4的中心；再以正方形 A1BB1O4的对角线 A1B1为边在 A1B1的右侧 作正方形 A1B1O5A2，O4为正方形 A1B1O5A2的中心：；按照此规律继续下去，则点 O2018的坐标为_ 3. 如图，ABC 中，AB=BC，BDAC 于点 D，FAC= 1 2 ABC，且FAC 在 AC 下方点 P，Q 分别是射线 BD， 射线 AF 上的动点，且点 P 不与点 B 重合，点 Q 不与点 A 重合，连接 CQ，过点 P 作 PECQ 于点 E，连接 DE （1）若ABC=60，BP=AQ 如图 1，当点 P 在线段 BD 上运动时，请直接写出线段 D
5、E 和线段 AQ 的数量关系和位置关系； 如图 2，当点 P 运动到线段 BD 的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由； （2）若ABC=260，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使（1）中的结论仍 然成立（用含的三角函数表示） 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5858） 一、例题分析 1. 如图，一次函数 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y= 2 k x 的图象相交于 A（2，3） ，B（6，1）两点，当 k1x+b 2 k x 时，x 的取值范围为（ ） A. x2 B. 2x6 C. x6 D. 0 x2 或 x6 2. 如图，小明为了
6、测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6m 的位置，在 D 处 测得旗杆顶端 A 的仰角为 53， 若测角仪的高度是 1.5m， 则旗杆 AB 的高度约为_m （精确到 0.1m 参 考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33） 3. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题： 如图 1，ABC 中，ACB90，点 D 在 AB 上，且BAC2DCB，求证：ACAD 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法： 方法 1：如图 2，作 AE 平分CAB，与 CD 相交于点 E 方法 2：如图 3，作DCFDCB，与 AB 相
7、交于点 F （1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 ACAD用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题： （2）如图 4，ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，且BDE2ABC，点 F 在 BD 上，且AFEBAC， 延长 DC、FE，相交于点 G，且DGFBDE 在图中找出与DEF 相等的角，并加以证明； 若 ABkDF，猜想线段 DE 与 DB 的数量关系，并证明你的猜想 二、巩固提高 1. 如图， 将ABC 绕点 B 逆时针旋转， 得到EBD， 若点 A 恰好在 ED 的延长线上， 则CAD 的度数为 （ ） A. 90 B. C. 180 D. 2 2. 如图，矩形
8、 ABCD 中，AB=2，BC=3，点 E 为 AD 上一点，且ABE=30，将ABE 沿 BE 翻折，得到A BE，连接 CA并延长，与 AD 相交于点 F，则 DF 的长为_ 3. 如图，点 A，B，C 都在抛物线 y=ax 22amx+am2+2m5（其中1 4 a0）上，ABx 轴，ABC=135， 且 AB=4 （1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含 m 的代数式表示） ； （2）求ABC 的面积（用含 a 的代数式表示） ； （3）若ABC 的面积为 2，当 2m5x2m2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5959） 一、例题分析
9、1.如图，ABCD， 且A B C D.E、F是AD上两点，CEAD，BFAD.若CEa，BFb， EFc，则AD的长为（ ） A. ac B. bc C. abc D. a b c 2. 如图， 在ABC中， 用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线， 分别交AB、AC于点D、E， 连接DE. 若10cmBC ，则DE _cm 3.结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答. 题目：如图，Rt ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，3AD，4BD ，求ABC的面积. 解：设ABC的内切圆分别与AC、CFCExBC相切于点E、F，CE的长为x. 根据切线长定理，得3AEAD，4BFBD，. 根据勾股
10、定理，得 222 3434xx. 整理，得 2 712xx. 所以 1 2 ABC SAC BC V 1 34 2 xx 2 1 712 2 xx 1 12 12 2 12 小颖发现12恰好就是3 4，即ABC的面积等于AD与BD的积.这仅 仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索.已知：ABC内切圆与AB相切于点D，ADm，BDn. 可以一般化吗？ （1）若90C ，求证：ABC的面积等于mn.倒过来思考呢？ （2）若2AC BCmn，求证90C .改变一下条件 （3）若60C，用m、n表示ABC的面积. 二、巩固提高 1. 用一个平面去截正方体（如图） ，下列关于截面（截出的面）的形状的结论：
11、可能是锐角三角形； 可能是直角三角形；可能是钝角三角形；可能是平行四边形.其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若 12 ll/，则12 _ 3. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AFDE，垂足为F.O经过点C、D、 F，与AD相交于点G. （1）求证AFGDFC； （2）若正方形ABCD的边长为4，1AE ，求O的半径. 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（6060） 一、例题分析 1.下列说法中,正确的是 ( ) A. 两条直线被第三条直线所截,内错角相等 B. 对角线相等的平行四边形是正方形 C
12、. 相等的角是对顶角 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 关于x的一元二次方程 2 10 xkx 有两个相等的实数根，则k _. 3. 2017 年 9 月 8 日10 日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球 11 个国 家的 16 名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面 1000 米高的 A 点出发（AB=1000 米） ，沿俯角 为30的方向直线飞行 1400 米到达 D 点，然后打开降落伞沿俯角为60的方向降落到地面上的 C 点，求该 选手飞行的水平距离BC. 二、巩固提高 1. 观察下列算式: 1 22 2 24 , 3 28, 4 216
13、, 5 232, 6 264, 7 2128 , 8 2256 ,则 2345 22222 2018 2 的未位数字是( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 0 2. 如图,矩形ABCD的边AB与x轴平行,顶点A的坐标为(2,1),点B与点D都在反比例函数 6 (0)yx x 的 图象上,则矩形 ABCD 的周长为_. 3. 如图,已知二次函数 2 1yax(0,aa为实数）的图象过点 ( 2,2)A ,一次函数y kxb (0, ,kk b为实数）的图象l经过点(0,2)B. （1）求a值并写出二次函数表达式； （2）求b值； （3）设直线l与二次函数图象交于MN、两点,过M作MC垂直x
14、轴于点C,试证明:MBMC； （4）在（3）条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由. 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（6161） 一、例题分析 1.一艘轮船在静水中的最大航速为 30km/h，它以最大航速沿江顺流航行 100km 所用时间，与以最大航速逆 流航行 80km 所用时间相等，设江水的流速为 v km/h，则可列方程为（ ） A. 100 30v = 80 30v B. 100 30v = 80 30v C. 100 30v = 80 30v D. 100 30v = 80 30v 2. 若关于 x 的一元二次方程 x 2+2xm=0 有两个相等的
15、实数根，则 m 的值为_ 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+2x+c 与 x 轴交于 A（1，0）B（3，0）两点，与 y 轴交于 点 C，点 D 是该抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若 存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 二、巩固提高 1. 函数 y=kx3 与 y= k x （k0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D.
16、2. 一个多边形的每个外角都是 36，这个多边形是_边形 3. 已知： 如图， 在四边形 ABCD 中， ADBC 点 E 为 CD 边上一点， AE 与 BE 分别为DAB 和CBA 的平分线 （1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形 ABCD 是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O，并以 AB 为直径作O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写 作法） ； （3）在（2）的条件下，O 交边 AD 于点 F，连接 BF，交 AE 于点 G，若 AE=4，sinAGF= 4 5 ，求O 的半 径 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5757）
17、二、例题分析 1. 如图， 菱形 ABCD 的边 AD 与 x 轴平行， A、 B 两点的横坐标分别为 1 和 3， 反比例函数 y= 3 x 的图象经过 A、 B 两点，则菱形 ABCD 的面积是（ ） A. 4 2 B. 4 C. 2 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 作 AHBC 交 CB 的延长线于 H，根据反比例函数解析式求出 A 的坐标、点 B 的坐标，求出 AH、BH，根据勾 股定理求出 AB，根据菱形的面积公式计算即可 【详解】如图，作 AHBC 交 CB 的延长线于 H， 反比例函数 y= 3 x 的图象经过 A、B 两点，A、B 两点的横坐标分别为 1 和 3，
18、 A、B 两点纵坐标分别为 3 和 1，即点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 的坐标为（3，1） ， AH=31=2，BH=31=2，由勾股定理得，AB= 22 222 2 ，四边形 ABCD 是菱形， BC=AB=2 2，菱形 ABCD 的面积=BCAH=42，故选 A 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数 k 的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出 A 的坐 标、点 B 的坐标是解题的关键 2. 如图，AOB 三个顶点坐标分别为 A（8，0） ，O（0，0） ，B（8，6） ，点 M 为 OB 的中点以点 O 为 位似中心，把AOB 缩小为原来的 1 2 ，得到AOB，点 M为
19、 OB的中点，则 MM的长为_ 【答案】 5 2 或 15 2 【解析】 【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题； 【详解】如图，在 RtAOB 中，OB= 22 68 =10，OM=5，OM= 5 2 ， 当AOB在第三象限时，MM=5- 5 2 = 5 2 ；当AOB在第二象限时，MM=5+ 5 2 =15 2 ， 故答案为 5 2 或 15 2 【点睛】 本题考查不位似变换，坐标与图形的性质等知识， 解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题 3. 如图，抛物线 y=x 2+bx+c 和直线 y=x+1 交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在直线 x=3 上，直线 x=3
20、与 x 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从点 A 出发，以每秒 2个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动，点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 CA 向点 A 运动，点 P，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停 止运动，设运动时间为 t 秒（t0） 以 PQ 为边作矩形 PQNM，使点 N 在直线 x=3 上 当 t 为何值时，矩形 PQNM 的面积最小？并求出最小面积； 直接写出当 t 为何值时，恰好有矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上 【答案】 （1）抛物线解析式为 y=x 2+3x+4； （2）当 t=6 5 时，面积最小
21、是 16 5 ；t= 2 3 、10 2 7 9 或 2. 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）分别用 t 表示 PE、PQ、EQ，用PQEQNC 表示 NC 及 QN，列出矩形 PQNM 面积与 t 的函数关系式 问题可解； 由利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分数量关系，表示点 M 坐标，分别讨论 M、N、Q 在抛物线上时的情况，并分别求出 t 值 【详解】 （1）由已知，B 点横坐标为 3，A、B 在 y=x+1 上，A（1，0） ，B（3，4） ， 把 A（1，0） ，B（3，4）代入 y=x 2+bx+c 得， 10 934 bc bc ，解得：
22、3 4 b c ， 抛物线解析式为 y=x 2+3x+4； （2）如图，过点 P 作 PEx 轴于点 E， 直线 y=x+1 与 x 轴夹角为 45，P 点速度为每秒 2个单位长度， t 秒时点 E 坐标为（1+t，0） ，Q 点坐标为（32t，0） ，EQ=43t，PE=t，PQE+NQC=90， PQE+EPQ=90， EPQ=NQC， PQEQNC， 1 2 P QP E N Q Q C ， 矩形PQNM的面积S=PQNQ=2PQ 2， PQ 2=PE2+EQ2，S=2（ 2 2 43tt ） 2=20t248t+32，当 t= 6 25 b a 时， S最小=20（ 6 5 ） 248
23、6 5 +32= 16 5 ；由点 Q 坐标为（32t，0） ，P（1+t，t） ，C（3，0） ， PQEQNC，可得 NC=2QE=86t，N 点坐标为（3，86t） ， 由矩形对边平行且相等，P（1+t，t） ，Q （32t，0） ，点 M 坐标为（3t1，85t） 当 M 在抛物线上时，则有 85t=（3t1） 2+3（3t1）+4，解得 t=10 2 7 9 ， 当点 Q 到 A 时，Q 在抛物线上，此时 t=2，当 N 在抛物线上时，86t=4，t= 2 3 ， 综上所述当 t= 2 3 、10 2 7 9 或 2 时，矩形 PQNM 的顶点落在抛物线上 【点睛】本题是代数几何综合
24、题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，熟练掌握 相关知识以及应用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键 二、巩固提高 1. 已知抛物线 y=ax 2+bx+c（02ab）与 x 轴最多有一个交点以下四个结论： abc0；该抛物线的对称轴在 x=1 的右侧；关于 x 的方程 ax 2+bx+c+1=0 无实数根； abc b 2其中，正确结论的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C【解析】 【分析】 由 a0 可知抛物线开口向上，再根据抛物线与 x 轴最多有一个交点可 c0，由此可判断，根据抛物线的对 称轴公式 x= 2 b a 可
25、判断，由 ax 2+bx+c0 可判断出 ax2+bx+c+110，从而可判断，由题意可得 a b+c0，继而可得 a+b+c2b，从而可判断. 【详解】抛物线 y=ax 2+bx+c（02ab）与 x 轴最多有一个交点，抛物线与 y 轴交于正半轴， c0，abc0，故正确； 02ab， 2 b a 1， 2 b a 1，该抛物线的对称轴在 x=1 的左侧，故错误； 由题意可知：对于任意的 x，都有 y=ax 2+bx+c0，ax2+bx+c+110，即该方程无解，故正确； 抛物线 y=ax 2+bx+c（02ab）与 x 轴最多有一个交点，当 x=1 时，y0， ab+c0，a+b+c2b，
26、b0， abc b 2，故正确，综上所述，正确的结论有 3 个， 故选 C 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系. 2. 如图，正方形 AOBO2的顶点 A 的坐标为 A（0，2） ，O1为正方形 AOBO2的中心；以正方形 AOBO2的对角线 AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3A1，O2为正方形 ABO3A1的中心；再以正方形 ABO3A1的对角线 A1B 为边，在 A1B 的右侧作正方形 A1BB1O4，O3为正方形 A1BB1O4的中心；再以正方形 A1BB1O4的对角线 A1B1为边在 A1B1的右侧 作正方形 A1B1O5
27、A2，O4为正方形 A1B1O5A2的中心：；按照此规律继续下去，则点 O2018的坐标为_ 【答案】 （2 10102，21009） 【解析】 【分析】 由题意 O1（1，1） ，O2（2，2） ，O3（，4，2） ，O4（，6，4） ，O5（10，4） ，O6（14，8）观察可知，下标为 偶数的点的纵坐标为 2 2 n ，下标为偶数的点在直线 y= 1 2 x+1 上，点 O2018的纵坐标为 2 1009，可得 21009=1 2 x+1， 可得 x=2 10102，可得点 O 2018的坐标为（2 10102，21009） 【详解】由题意 O1（1，1） ，O2（2，2） ，O3（，4
28、，2） ，O4（，6，4） ，O5（10，4） ，O6（14，8） 观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为 2 2 n ，下标为偶数的点在直线 y= 1 2 x+1 上， 点 O2018的纵坐标为 2 1009，21009=1 2 x+1，x=2 10102，点 O 2018的坐标为（2 10102，21009） ， 故答案为（2 10102，21009） 【点睛】本题考查规律型：点的坐标，一次函数的应用，解题的关键是学会探究规律的方法，灵活运用所 学知识解决问题，本题中得到下标为偶数的点的纵坐标为 2 2 n 是关键中的关键 3. 如图，ABC 中，AB=BC，BDAC 于点 D，FAC= 1
29、2 ABC，且FAC 在 AC 下方点 P，Q 分别是射线 BD， 射线 AF 上的动点，且点 P 不与点 B 重合，点 Q 不与点 A 重合，连接 CQ，过点 P 作 PECQ 于点 E，连接 DE （1）若ABC=60，BP=AQ 如图 1，当点 P 在线段 BD 上运动时，请直接写出线段 DE 和线段 AQ 的数量关系和位置关系； 如图 2，当点 P 运动到线段 BD 的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由； （2）若ABC=260，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使（1）中的结论仍 然成立（用含的三角函数表示） 【答案】 （1）DE= 1 2 AQ
30、，DEAQ； DEAQ，DE= 1 2 AQ，理由见解析； （2）AQ=2BPsin 【解析】 【分析】 （1） 先判断出ABC 是等边三角形， 进而判断出CBP=CAQ， 即可判断出BPCAQC， 再判断出PCQ 是等边三角形，进而得出 CE=QE，即可得出结论； 同的方法即可得出结论； （2）先判断出，PAQ=90ACQ，BAP=90ACQ，进而得出BCP=ACQ，即可判断出进而判断 出BPCAQC，最后用锐角三角函数即可得出结论 【详解】解： （1）DE= 1 2 AQ，DEAQ，理由：如图 1，连接 PC，PQ， 在ABC 中，AB=AC，ABC=60，ABC 是等边三角形，ACB=6
31、0，AC=BC， AB=BC，BDAC，AD=CD，ABD=CBD= 1 2 BAC，CAF= 1 2 ABC， CBP=CAQ，在BPC 和AQC 中， BCAC CBPCAQ BPAQ ， BPCAQC（SAS） ，PC=QC，BPC=ACQ， PCQ=PCA+AQC=PCA+BCP=ACB=60，PCQ 是等边三角形，PECQ， CE=QE，AD=CD，DE= 1 2 AQ，DEAQ； DEAQ，DE= 1 2 AQ，理由：如图 2，连接 PQ，PC，同的方法得出 DEAQ，DE= 1 2 AQ； （2）AQ=2BPsin，理由：连接 PQ，PC，要使 DE= 1 2 AQ，DEAQ，A
32、D=CD， CE=QE，PECQ，PQ=PC，易知，PA=PC，PA=PE=PC 以点 P 为圆心，PA 为半径的圆必过 A，Q，C，APQ=2ACQ，PA=PQ， PAQ=PQA= 1 2 （180APQ）=90ACQ，CAF=ABD，ABD+BAD=90， BAQ=90，BAP=90PAQ=90ACQ，易知，BCP=BAP，BCP=ACQ， CBP=CAQ，BPCAQC， 2 BPBCBC AQACCD ， 在 RtBCD 中，sin= CD BC ， AQ BP =2 CD BC =2sin，AQ=2BPsin 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性
33、质，全等三角形的 判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出BCP=ACQ 是解本题的关键 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5858） 二、例题分析 1 如图，一次函数 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y= 2 k x 的图象相交于 A（2，3） ，B（6，1）两点，当 k1x+b 2 k x 时，x 的取值范围为（ ） A. x2 B. 2x6 C. x6 D. 0 x2 或 x6 【答案】D 【解析】分析：根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求 详解：由图象可知，当 k1x+b 2 k x 时，x 的取值范围为 0 x2 或 x6 故
34、选 D 点睛：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式此题难度适中，注意掌握 数形结合思想与方程思想的应用 2. 如图，小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6m 的位置，在 D 处 测得旗杆顶端 A 的仰角为 53， 若测角仪的高度是 1.5m， 则旗杆 AB 的高度约为_m （精确到 0.1m 参 考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33） 【答案】9.5 【解析】 分析：根据三角函数和直角三角形的性质解答即可 详解：过 D 作 DEAB， 在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53，ADE53，B
35、CDE6m， AEDEtan5361.337.98m，ABAEBEAECD7.981.59.48m9.5m， 故答案为 9.5 点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形注意方程思想 与数形结合思想的应用 3. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图 1，ABC 中，ACB90，点 D 在 AB 上，且BAC2DCB，求证：ACAD 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法： 方法 1：如图 2，作 AE 平分CAB，与 CD 相交于点 E 方法 2：如图 3，作DCFDCB，与 AB 相交于点 F （1）根据阅读材料，任选一种方法，
36、证明 ACAD 用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题： （2）如图 4，ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，且BDE2ABC，点 F 在 BD 上，且AFEBAC， 延长 DC、FE，相交于点 G，且DGFBDE 在图中找出与DEF 相等的角，并加以证明； 若 ABkDF，猜想线段 DE 与 DB 的数量关系，并证明你的猜想 【答案】 （1）证明见解析； （2）DEFFDG，证明见解析；结论：BDkDE理由见解析 【解析】 【分析】 （1）方法一：如图 2 中，作 AE 平分CAB，与 CD 相交于点 E，想办法证明AECAED 即可； 方法二：如图 3 中，作DC
37、FDCB，与 AB 相交于点 F，想办法证明ACDADC 即可； （2）如图 4 中，结论：DEFFDG理由三角形内角和定理证明即可； 结论： BDkDE， 如图 4 中， 如图延长 AC 到 K， 使得CBKABC 首先证明DFEBAK， 推出 DFDE ABBK 1 k ，推出 BKkDE，再证明BCDBCK，可得 BDBK 【详解】解： （1）方法一：如图 2 中，作 AE 平分CAB，与 CD 相交于点 E CAEDAE，CAB2DCB，CAECDBCDBACD90， CAEACD90，AEC90AEAE，AECAED90， AECAED，ACAD； 方法二：如图 3 中，作DCFDC
38、B，与 AB 相交于点 F DCFDCB，A2DCB，ABCFBCFACF90，AACF90，AFC 90，ACFBCF90，BCFB90，ACFB， ADCDCBBDCFACFACD，ACAD； （2）如图 4 中，结论：DEFFDG 理由：在DEF 中，DEFEFDEDF180，在DFG 中，GFDGFDG180， EFDGFD，GEDF，DEFFDG 结论：BDkDE， 理由：如图 4 中，如图延长 AC 到 K，使得CBKABC， ABK2ABC，EDF2ABC，EDFABKDFEA，DFEBAK， DFDE ABBK 1 k ，BKkDE，AKBDEFFDGBCBC，CBDCBK，
39、BCDBCK，BDBK，BDkDE 【点睛】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质相 似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考 压轴题 二、巩固提高 1. 如图， 将ABC 绕点 B 逆时针旋转， 得到EBD， 若点 A 恰好在 ED 的延长线上， 则CAD 的度数为 （ ） A. 90 B. C. 180 D. 2 【答案】C 【解析】 分析：根据旋转的性质和四边形的内角和是 360，可以求得CAD 的度数，本题得以解决 详解：由题意可得， CBD，ACBEDB，EDBADB180，ADBACB18
40、0， ADBDBCBCACAD360，CBD，CAD180，故选 C 点睛：本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 2. 如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，点 E 为 AD 上一点，且ABE=30，将ABE 沿 BE 翻折，得到A BE，连接 CA并延长，与 AD 相交于点 F，则 DF 的长为_ 【答案】623 【解析】 【分析】 如图作 AHBC 于 H由CDFAHC，可得 DFCD CHA H ，延长构建方程即可解决问题. 【详解】如图作 AHBC 于 H ABC90，ABEEBA30，ABH30，AH 1 2 BA1，BH3AH3， CH3 3
41、，CDFAHC， DFCD CHA H ， 1 233 DF ，DF6 3 故答案为 63 【点睛】 ： 本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形 30 度角性质、相似三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 3. 如图，点 A，B，C 都在抛物线 y=ax 22amx+am2+2m5（其中1 4 a0）上，ABx 轴，ABC=135， 且 AB=4 （1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含 m 的代数式表示） ； （2）求ABC 的面积（用含 a 的代数式表示） ； （3）若ABC 的面积为 2，当 2m5x2m2 时，y
42、的最大值为 2，求 m 的值 【答案】 （1） （m，2m5） ； （2）SABC = 82a a ； （3）m 的值为 7 2 或 10+210 【解析】 分析： （1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解； （2）过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，由 ABx 轴且 AB4，可得出点 B 的坐标为（m 2，4a2m5） ，设 BDt，则点 C 的坐标为（m2t，4a2m5t） ，利用二次函数图象上点的坐标特征 可得出关于 t 的一元二次方程，解之取其正值即可得出 t 值，再利用三角形的面积公式即可得出 SABC 的 值； （3）由（2）的结论
43、结合 SABC2 可求出 a 值，分三种情况考虑：当 m2m2，即 m2 时，x2m2 时 y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一元二次方程，解之可求出 m 的值；当 2m 5m2m2，即 2m5 时，xm 时 y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一元 一次方程，解之可求出 m 的值；当 m2m5，即 m5 时，x2m5 时 y 取最大值，利用二次函数图象上 点的坐标特征可得出关于 m 的一元一次方程，解之可求出 m 的值综上即可得出结论 详解： （1）y=ax 22amx+am2+2m5=a（xm）2+2m5， 抛物线的顶点坐标为（m，2m
44、5） ， 故答案为（m，2m5） ； （2）过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，如图所示， ABx 轴，且 AB=4，点 B 的坐标为（m+2，4a+2m5） ，ABC=135， 设 BD=t，则 CD=t，点 C 的坐标为（m+2+t，4a+2m5t） ， 点 C 在抛物线 y=a（xm） 2+2m5 上，4a+2m5t=a（2+t）2+2m5， 整理，得：at 2+（4a+1）t=0，解得：t 1=0（舍去） ，t2= 41a a ， SABC= 1 2 ABCD= 82a a ； （3）ABC 的面积为 2， 82a a =2，解得：a= 1 5 ， 抛物线的
45、解析式为 y= 1 5 （xm） 2+2m5 分三种情况考虑： 当 m2m2，即 m2 时，有 1 5 （2m2m） 2+2m5=2， 整理，得：m 214m+39=0，解得：m 1=710（舍去） ，m2=7+10（舍去） ； 当 2m5m2m2，即 2m5 时，有 2m5=2，解得：m= 7 2 ； 当 m2m5，即 m5 时，有 1 5 （2m5m） 2+2m5=2， 整理，得：m 220m+60=0，解得：m 3=10210（舍去） ，m4=10+210 综上所述：m 的值为 7 2 或 10+210 点睛：本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形
46、、解一元 二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是： （1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式； （2）利 用等腰直角三角形的性质找出点 C 的坐标； （3）分 m2、2m5 及 m5 三种情况考虑 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5959） 二、例题分析 1. 如图，ABCD， 且A B C D.E、F是AD上两点，CEAD，BFAD.若CEa，BFb， EFc，则AD的长为（ ） A. ac B. bc C. abc D. a b c 【答案】D 【解析】 分析： 详解：如图, ABCD,CEAD,1=2,3=4,180-1-4=180-2-3 即 A=C. BFAD,CE
47、D=BFD=90,AB=CD,ABFCDE,AF=CE=a,ED=BF=b, 又EF=c,AD=a+b-c.故选:D. 点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明ABFCDE 是关键. 2. 如图， 在ABC中， 用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线， 分别交AB、AC于点D、E， 连接DE. 若10cmBC ，则DE _cm 【答案】5 【解析】 分析：根据作图可知 DE 是ABC 得中位线,依据中位线的性质定理即可得出答案. 详解： ：由作图可知 DE 是ABC 的中位线,BC=10cm，DE= 1 2 BC=5cm故答案为 5. 点睛：本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，解答本
48、题的关键是掌握三角形的中位线定理. 3. 结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答. 题目：如图，Rt ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，3AD，4BD ，求ABC的面积. 解：设ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x. 根据切线长定理，得3AEAD，4BFBD，CFCEx. 根据勾股定理，得 222 3434xx.整理，得 2 712xx. 所以 1 2 ABC SAC BC V 1 34 2 xx 2 1 712 2 xx 1 12 12 2 12. 小颖发现12恰好就是3 4，即ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索. 已知：ABC内切圆与AB相切于点D，ADm，BDn.可以一般化吗？ （1）若90C ，求证：ABC的面积等于mn.倒过来思考呢？ （2）若2AC BCmn，求证9
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