1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 15 15 反比例函数的反比例函数的 k k 值问题必须练值问题必须练 ( (共共 1 15 5 道小题道小题) ) 1. （2020 贵州遵义）贵州遵义）如图，ABO的顶点 A在函数 y k x （x0）的图象上，ABO90 ，过 AO边的三 等分点 M、N分别作 x轴的平行线交 AB于点 P、Q若四边形 MNQP的面积为 3，则 k 的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】由,/ / /ANNMOM NQPMOB得
2、到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间 的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案 ,/ / /,ANNMOM NQPMOB ,ANQAMPAMPAOB 2 1 , 4 ANQ AMP S AN SAM 四边形 MNQP的面积为 3， 1 , 34 ANQ ANQ S S 1, ANQ S 4, AMP S ,AMPAOB 2 4 , 9 AMP AOB SAM SAO 9, AOB S 218. AOB kS 2.如图，点 A是反比例函数 y 6 x （x0）上的一点，过点 A 作 ACy轴，垂足为点 C，AC交反比例函数 y 2 x 的图象于点 B，点 P 是 x 轴上的动
3、点，则PAB 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 连接 OA、 OB、 PC 由于 ACy 轴， 根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数 k的几何意义得到 SAPC SAOC3，SBPCSBOC1，然后利用 SPABS APCSAPB进行计算 如图， 连接 OA、OB、PC ACy 轴， SAPCSAOC 1 2 |6|3，SBPCSBOC 1 2 |2|1， SPABSAPCSBPC2 3. （2
4、020 湖北十堰）湖北十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数 1 k y x 和 2 k y x 的图象上，若 120BAD，则 1 2 k k （ ） A. 1 3 B. 3 C. 3 D. 3 3 【答案】B 【解析】据对称性可知，反比例函数 1 k y x ， 2 k y x 的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出 菱形 ABCD的对角线 AC与 BD 的交点即为原点 O如图：作 CMx轴于 M，DNx轴于 N连接 OD， OC证明COMODN，利用相似三角形的性质可得答案 解：根据对称性可知，反比例函数 1 k y x ， 2 k y x 的图象是中心对称图形， 菱形是
5、中心对称图形， 菱形 ABCD 的对角线 AC与 BD的交点即为原点 O， ,ODOC 如图：作 CMx轴于 M，DNx 轴于 N连接 OD，OC DOOC， COM+DON=90 ，DON+ODN=90 ， COM=ODN， CMO=DNO=90 ， COMODN ， 2 2 2 1 1 1 2 , 1 2 COM ODN k kSCO SODk k 菱形 ABCD的对角线 AC与 BD的交点即为原点 O,120BAD, 60 ,OCD 90 ,COD tan603, DO CO 3 , 3 CO DO 2 2 2 1 31 , 33 kCO ODk 1 2 3. k k 故选 B 4在平面
6、直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y的图象如图所示，则 k 的值可以为（ ） A4 B3 C2 D2 【答案】B 【解析】如图所示，反比例函数 y的图象位于第二、四象限，则 k0 又22k1（2） ，即4k2 观察选项，只 有选项 B 合题意故选：B 5. （20202020 哈尔滨）哈尔滨）已知反比例函数 k y x 的图像经过点 3,4 ，则k的值是_ 【答案】12 【解析】直接将点3,4代入反比例函数解析式中，解之即可 依题意，将点3,4代入 k y x ，得：4 3 k ， 解得：k=12 6 （ （2019 福建）福建）如图，菱形 ABCD 顶点 A 在函数 y（x0）的图象上，函
7、数 y（k3，x0）的 图象关于直线 AC 对称，且经过点 B、D 两点，若 AB2，BAD30，则 k 【答案】6+2 【解析】连接 OC，AC 过 A 作 AEx 轴于点 E，延长 DA 与 x 轴交于点 F，过点 D 作 DGx 轴于点 G， 函数 y（k3，x0）的图象关于直线 AC 对称， O、A、C 三点在同直线上，且COE45， OEAE， 不妨设 OEAEa，则 A（a，a） ， 点 A 在在反比例函数 y（x0）的图象上， a23， a， AEOE， BAD30， OAFCADBAD15， OAEAOE45， EAF30， AF，EFAEtan301， ABAD2，AEDG，
8、 EFEG1，DG2AE2， OGOE+EG+1， D（+1，2） ， 故答案为：6+2 7 7 （ （20192019 齐齐哈尔）齐齐哈尔）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的 坐标为（2，0） 将线段OC绕点O逆时针旋转 60至线段OD，若反比例函数y（k0）的图象 经过A、D两点，则k值为 【答案】 【解析】过点D作DEx轴于点E，由点B的坐标为（2，0）知OCAB，由旋转性质知OD OC、DOC60，据此求得OEODcos30k，DEODsin30k，即D （k，k） ，代入解析式解之可得 解：过点D作DEx轴于点E， 点B的坐标为（2，0） ，
9、AB， OC， 由旋转性质知ODOC、COD60， DOE30， DEODk，OEODcos30（）k， 即D（k，k） ， 反比例函数y（k0）的图象经过D点， k（k） （k）k2， 解得：k0（舍）或k， 故答案为： 8. （2020 湖北随州）湖北随州）如图，直线AB与双曲线 (0) k yk x 在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点 C，点B为线段AC的中点，连接OA，若AOC的面积为 3，则k的值为_ 【答案】2 【解析】 设 A 点坐标为, k a a ， C点坐标为( ,0) b ， 求出 B 点坐标为, 22 abk a ， 根据 B 点在(0) k yk x 上可得 2
10、2 abk k a ，整理得3ba，再根据三角形面积公式得 1 33 2 k a a 可得 k的值 解：设 A 点坐标为, k a a ，C点坐标为( ,0) b ， B恰为AC的中点， B点的坐标为 , 22 abk a ， B点在(0) k yk x 的图象上， 22 abk k a 3ba 3 OAC S 1 3 2 k b a 1 33 2 k a a 2k 故答案为：2 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意： 反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式 9 （20192019 湖北黄冈）湖北黄冈）如图，一直线经过原点O
11、，且与反比例函数y（k0）相交于点A、点B，过点A 作ACy轴，垂足为C，连接BC若ABC面积为 8，则k 【答案】8 【解析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的 中点，故BOC的面积等于AOC的面积，都等于 4，然后由反比例函数y的比例系数k的几何意义， 可知AOC的面积等于|k|，从而求出k的值 反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， A、B两点关于原点对称， OAOB， BOC的面积AOC的面积824， 又A是反比例函数y图象上的点，且ACy轴于点C， AOC的面积|k|， |k|4， k0， k8 10. （2020 湖北鄂州
12、）湖北鄂州） 如图， 点 A 是双曲线 1 (0)yx x 上一动点， 连接OA， 作O B O A， 且使3OBOA， 当点 A在双曲线 1 y x 上运动时，点 B在双曲线 k y x 上移动，则 k的值为_ 【答案】9 【解析】首先根据反比例函数的比例系数 k的几何意义求得AOC的面积，然后证明OACBOD，根 据相似三角形的面积的性质求得BOD的面积，依据反比例函数的比例系数 k 的几何意义即可求解 如图作 ACx轴于点 C，作 BDx轴于点 D 3OBOA OA OB = 1 3 点 A是双曲线 1 (0)yx x 上 SOAC= 1 2 AOB=90， AOC+BOD=90， 又直
13、角AOC中，AOC+CAO=90， BOD=OAC， 又ACO=BDO=90， OACBOD， 22 s1 = 3 AOC OBD OA SOB = 1 9 19 9= 22 BOD S k=9 函数图像位于第四象限 9 故答案为：9 【点睛】本题考查了反比例函数 k 的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明 OACBOD是解题关键 11. （2020 湖北孝感）湖北孝感）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线 4 y x 和0 k yk x 上， 2 3 AC BD 平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F， 连接OE，OF， 则O E F 的
14、面积为_ 【答案】 13 2 【解析】作AGx轴于点 G，作BHx轴于点 H，如图所示： AOGOAGAOGBOG即OAGBOH AOGOBH 2 3 AOOGAGAC OBBHOHBD 设点 A的坐标为 4 ( ,)m m 则 4 ,OGm AG m 63 , 2 m OHBH m 6 3 |9 2 m kOH BH m k y x 的图象在第二，四象限 9k 设直线 EF的解析式为：y n 则 94 (, ),( , )Fn En nn 4913 ()EF nnn 111313 | 222 OEFF SEFyn n 12. （20202020 四川成都）四川成都）在平面直角坐标系xOy中，
15、反比例函数 m y x （0 x）的图象经过点(3,4)A， 过点A的直线y kxb 与x轴、y轴分别交于B，C两点 （1）求反比例函数的表达式； （2）若AOB的面积为BOC的面积的 2 倍，求此直线的函数表达式 【答案】 （1） 12 y x ； （2） 2 2 3 yx或22yx 【解析】 （1）根据题意将点 A 坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可； （2）根据题意，将直线解析式y kxb 分k0以及0k 两种情况结合AOB的面积为BOC的面积的 2 倍进一步分析求解即可. 【详解】 （1）反比例函数 m y x (0 x)的图象经过点 A(3，4)， 4 3 m ， 解得：
16、12m， 原反比例函数解析式为： 12 y x ； （2）当直线y kxb 的k0时，函数图像如图所示， 此时 BOCAOB SS ，不符合题意，舍去； 当直线y kxb 的0k 时，函数图像如图所示， 设 OC 的长度为m，OB 的长度为n， AOB的面积为BOC的面积的 2 倍 11 42 22 nmn， 2m， OC 的长为 2， 当 C 点在y轴正半轴时，点 C 坐标为(0，2)， 2ykx 点 A 坐标为(3，4)， 432k， 2 3 k ， 直线解析式为： 2 2 3 yx， 当 C 点在y轴负半轴时，点 C 坐标为(0，2)， 2ykx 点 A 坐标为(3，4)， 432k，
17、2k ， 直线解析式为：22yx， 综上所述，直线解析式为： 2 2 3 yx或22yx. 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 13 （2019 广西百色）广西百色）如图，已如平行四边形 OABC 中，点 O 为坐标顶点，点 A（3，0） ，C（1，2） ，函数 y（k0）的图象经过点 C （1）求 k 的值及直线 OB 的函数表达式： （2）求四边形 OABC 的周长 【答案】见解析。 【解析】 （1）依题意有：点 C（1，2）在反比例函数 y（k0）的图象上， kxy2， A（3，0） CBOA3， 又 CBx 轴， B（4，2）
18、 ， 设直线 OB 的函数表达式为 y ax， 24a， a， 直线 OB 的函数表达式为 yx； （2）作 CDOA 于点 D， C（1，2） ， OC， 在平行四边形 OABC 中， CBOA3，ABOC， 四边形 OABC 的周长为： 3+3+6+2， 即四边形 OABC 的周长为 6+2 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、 平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 14. （20202020 湖北恩施州）湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中， 直线 30yaxa a与x轴、y轴分别相交于A、 B两点，与
19、双曲线0 k yx x 的一个交点为C，且 1 2 BCAC （1）求点A的坐标； （2）当3 AOC S时，求a和k的值 【答案】(1) (3，0)；(2) 1a，2k 【解析】(1)令30yaxa a中0y 即可求出点 A 的坐标； (2)过C点作y轴的垂线交y轴于M点， 作x轴的垂线交x轴于N点， 证明BCMBAO， 利用 1 2 BCAC 和 OA=3进而求出 CM 的长，再由3 AOC S求出 CN 的长，进而求出点 C 坐标即可求解 解：(1)由题意得：令30yaxa a中0y ， 即30axa，解得3x ， 点 A的坐标为(3，0)， 故答案为(3,0) (2) 过 C 点作 y
20、轴的垂线交 y轴于 M点，作 x轴的垂线交 x轴于 N点，如下图所示： 显然，CM/OA，BCM=BAO，且ABO=CBO， BCMBAO， BCCM BAAO ，代入数据： 即： 1 33 CM ，CM=1， 又 1 3 2 AOC SOA CN 即： 1 33 2 CN，=2CN， C 点的坐标为(1，2)， 故反比例函数的1 22k ， 再将点 C(1,2)代入一次函数30yaxa a中， 即23aa，解得1a， 故答案为：1a，2k 15. （20202020 湖北黄石）湖北黄石）如图，反比例函数 (0) k yk x 的图象与正比例函数2yx的图象相交于1,Aa、 B 两点，点 C在
21、第四象限，BCx 轴 （1）求 k的值； （2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求 D 点坐标 【答案】 （1）k=2； （2）D点坐标为(1+2 5，2) 【解析】 （1）根据题意，点1,Aa在正比例函数2yx上，故将点1,Aa代入正比例函数2yx中，可 求出 a 值，点 A又在反比例函数图像上，故 k 值可求； （2）根据（1）中已知 A点坐标，则 B 点坐标可求，根据两点间距离公式可以求出 AB的长，最后利用已 知条件四边形 ABCD为菱形，BCx，即可求出 D点坐标 【详解】 （1）根据题意，点1,Aa在正比例函数2yx上，故将点1,Aa代入正比例函数2yx中，得 a=2，故点 A 的
22、坐标为(1,2)，点 A又在反比例函数图像上，设反比例函数解析式为(0) k yk x ，将 A(1,2) 代入反比例函数解析中，得 k=2 故 k=2 （2）如图，A、B为反比例函数与正比例函数的交点，故可得 2 2x x ，解得 1 1x ， 2 1x ，如图，已 知点 A坐标为(1,2)，故点 B坐标为(1，2)，根据两点间距离公式可得 AB= 22 416 =2 5 ，根据已知 条件中四边形 ABCD为菱形，故 AB=AD=2 5，ADBCx 轴，则点 D坐标为(1+2 5，2) 故点 D坐标为(1+2 5，2) 【点睛】 （1）本题主要考查正比例函数和反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的 方法以及已知解析式求点坐标是解答本题的关键 （2）本题主要考查求正比例函数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式，掌握求正比例函数 和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式是解答本题的关键
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