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    专题16 必考抛物线有关的压轴题要多练(解析版)-备战2021年中考数学查缺补漏再训练26个微专题

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    专题16 必考抛物线有关的压轴题要多练(解析版)-备战2021年中考数学查缺补漏再训练26个微专题

    1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 16 16 必考抛物线有关的压轴题要多练必考抛物线有关的压轴题要多练 ( (共共 8 8 道小题道小题) ) 1. (20202020 湖北黄石)湖北黄石)在平面直角坐标系中,抛物线 2 2yxkxk 的顶点为 N (1)若此抛物线过点3,1A ,求抛物线的解析式; (2)在(1)的条件下,若抛物线与 y 轴交于点 B,连接AB,C为抛物线上一点,且位于线段AB的上方, 过 C 作CD垂直 x 轴于点 D,CD交AB于点 E,若CEED,求点 C 坐标; (

    2、3)已知点 4 3 2,0 3 M ,且无论 k取何值,抛物线都经过定点 H,当60MHN时,求抛物线的 解析式 【答案】 (1) 2 24yxx (2)C(-2,4) (3) 2 (42 3)(84 3)yxx 【解析】 (1)把3,1A 代入 2 2yxkxk 得-9-3k-2k=1 解得 k=-2 抛物线的解析式为 2 24yxx ; (2)设 C(t, 2 24tt),则 E(t, 2 2 2 t t ), 设直线 AB的解析式为 y=kx+b,把 A(-3,1) , (0,4)代入得 13 4 kb b 解得 1 4 k b 直线 AB的解析式为 y=x+4 E(t, 2 2 2 t

    3、 t )在直线 AB上 2 2 2 t t =t+4 解得 t=-2(舍去正值) , C(-2,4) ; (3)由 2 2yxkxk =k(x-2)-x2, 当 x-2=0即 x=2 时,y=-4 故无论 k取何值,抛物线都经过定点 H(2,-4) 二次函数的顶点为 N( 2 ,2 24 k k k) 1 如图,过 H点做 HIx轴,若 2 k 2 时,则 k4 4 3 2,0 3 M ,H(2,-4) MI= 4 3 3 , HI=4 tanMHI= 4 3 3 3 43 MHI=30 60MHN NHI=30 即GNH=30 由图可知 tanGNH= 2 2 3 2 3 24 4 k GH

    4、 kGN k 解得 k=4+2 3,或 k=4(舍) 2如图,若 2 k 2,则 k4 同理可得MHI=30 60MHN HNIH,即 2 24 4 k k 解得 k=4 不符合题意; 3若 2 k =2,N、H 重合,舍去 k=4+2 3 抛物线解析式为 2 (42 3)(84 3)yxx 2.(20202020 贵州黔西南)贵州黔西南)已知抛物线 yax 2bx6(a0)交 x 轴于点 A(6,0)和点 B(1,0),交 y 轴于 点 C (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)如图(1) ,点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点,过点 P 分别作 x 轴,y 轴的平行线,交直线

    5、AC 于点 D,E,当 PDPE 取最大值时,求点 P 的坐标; (3)如图(2) ,点 M 为抛物线对称轴 l 上一点,点 N 为抛物线上一点,当直线 AC 垂直平分AMN 的边 MN 时,求点 N 的坐标 【答案】 (1)yx 25x6,顶点坐标为(5 2 ,49 4 ); (2)P(3,12); (3)( 535 2 ,7 2 )或( 535 2 ,7 2 ) 【解析】 (1)将点 A,B 坐标代入抛物线解析式中,解方程组即可得出结论; (2)先求出 OA=OC=6,进而得出OAC=45,进而判断出 PD=PE,即可得出当 PE 的长度最大时,PE+PD 取 最大值,设出点 E 坐标,表

    6、示出点 P 坐标,建立 PE=-t 2+6t=-(t-3)2+9,即可得出结论; (3)先判断出 NFx 轴,进而求出点 N 的纵坐标,即可建立方程求解得出结论 【详解】解: (1)抛物线 yax 2bx6 经过点 A(6,0) ,B(1,0) , 06 03666 ab ab , , 解得 a1,b5, 抛物线的解析式为 yx 25x6 yx 25x6(x 5 2 ) 249 4 , 抛物线的解析式为 yx 25x6,顶点坐标为(5 2 , 49 4 ) (2)由(1)知,抛物线的解析式为 yx 25x6, C(0,6) ,OC6 A(6,0) , OA6,OAOC,OAC45 PD 平行于

    7、 x 轴,PE 平行于 y 轴, DPE90,PDEDAO45, PED45, PDEPED, PDPE, PDPE2PE, 当 PE 的长度最大时,PEPD 取最大值 设直线 AC 的函数关系式为 ykxd, 把 A(6,0) ,C(0,6)代入得 06 6 kd d , , 解得 k1,d6, 直线 AC 的解析式为 yx6 设 E(t,t6) (0t6) ,则 P(t,t 25t6) , PEt 25t6(t6)t26t(t3)29 10,当 t3 时,PE 最大,此时t 25t612, P(3,12) (3)如答图,设直线 AC 与抛物线的对称轴 l 的交点为 F,连接 NF 点 F

    8、在线段 MN 的垂直平分线 AC 上, FMFN,NFCMFC ly 轴, MFCOCA45, MFNNFCMFC90, NFx 轴 由(2)知直线 AC 的解析式为 yx6, 当 x 5 2 时,y 7 2 , F( 5 2 , 7 2 ) , 点 N 的纵坐标为 7 2 点 N 在抛物线上, x 25x67 2 ,解得,x1 535 2 或 x2 535 2 , 点 N坐标为( 535 2 , 7 2 )或( 535 2 , 7 2 ) 【点拨】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,解一元二次方程, (2)中判断出 PD=PE, (3)中 NFx 轴是解本题的关键 3.(2020 甘

    9、肃威武)甘肃威武)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 2 2yaxbx交x轴于A,B两点,交y轴于 点C,且28OAOCOB,点P是第三象限内抛物线上的一动点 (1)求此抛物线的表达式; (2)若/PCAB,求点P的坐标; (3)连接AC,求PAC面积最大值及此时点P的坐标 【答案】 (1) 2 7 2 2 yxx; (2) ( 7 2 ,2) ; (3)PAC面积的最大值是 8; 点P的坐标为 (2,5) 【解析】 (1)由二次函数的性质,求出点 C 的坐标,然后得到点 A、点 B的坐标,再求出解析式即可; (2)由/PCAB,则点 P 的纵坐标为2,代入解析式,即可求出点 P 的坐标; (3

    10、) 先求出直线 AC的解析式, 过点 P 作 PDy轴, 交 AC于点 D, 则 1 2 PAC SPD OA , 设点 P为 (x, 2 7 2 2 xx) ,则点 D为(x, 1 2 2 x) ,求出 PD的长度,利用二次函数的性质,即可得到面积的最大 值,再求出点 P 的坐标即可 解: (1)在抛物线 2 2yaxbx中, 令0 x,则2y , 点 C的坐标为(0,2) , OC=2, 28OAOCOB, 4OA, 1 2 OB , 点 A为(4,0) ,点 B为( 1 2 ,0) , 则把点 A、B 代入解析式,得 16420 11 20 42 ab ab ,解得: 1 7 2 a b

    11、 , 2 7 2 2 yxx; (2)由题意,/PCAB,点 C 为(0,2) , 点 P 的纵坐标为2, 令 2y ,则 2 7 22 2 xx , 解得: 1 7 2 x =-, 2 0 x , 点 P 的坐标为( 7 2 ,2) ; (3)设直线 AC 的解析式为y mxn ,则 把点 A、C代入,得 40 2 mn n ,解得: 1 2 2 m n , 直线 AC的解析式为 1 2 2 yx ; 过点 P 作 PDy轴,交 AC于点 D,如图: 设点 P 为(x, 2 7 2 2 xx) ,则点 D为(x, 1 2 2 x) , 22 17 2(2)4 22 PDxxxxx , OA=

    12、4, 22 11 (4 ) 428 22 APC SPD OAxxxx , 2 2(2)8 APC Sx , 当2x时, APC S取最大值 8; 22 77 2( 2)( 2)25 22 xx , 点 P 的坐标为(2,5) 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,二次函数的性质,一次函数的性质,解题的关键是熟练掌握二 次函数和一次函数的性质进行解题,注意利用数形结合的思想进行解题 4.(2021 海南海南模拟)模拟)已知抛物线 yax 2+bx+c(a0)与 x 轴交于 A、B两点(点 A 在点 B 的左边) ,与 y轴 交于点 C(0,3) ,顶点 D的坐标为(1,4) (1)求抛物线的解

    13、析式 (2)在 y轴上找一点 E,使得EAC 为等腰三角形,请直接写出点 E 的坐标 (3)点 P 是 x轴上动点,点 Q 是抛物线上的动点,是否存在点 P、Q,使得以点 P、Q、B、D 为顶点, BD 为一边的四边形是平行四边形?若存在,请求出点 P、Q 坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)yx22x3; (2)满足条件的点 E 的坐标为(0,3) 、 (0,3+ 10) 、 (0,310) 、 (0, 4 3 ) ; (3)存在,P(1+2 2,0) 、Q(1+22,4)或 P(122,0) 、Q(122,4) 【解析】 (1)根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式,再将点 C 坐

    14、标代入求解,即可得出结论; (2)先求出点 A,C坐标,设出点 E坐标,表示出 AE,CE,AC,再分三种情况建立方程求解即可; (3)利用平移先确定出点 Q 的纵坐标,代入抛物线解析式求出点 Q 的横坐标,即可得出结论 解: (1)抛物线的顶点为(1,4) , 设抛物线的解析式为 ya(x1)24, 将点 C(0,3)代入抛物线 ya(x1)24 中,得 a43, a1, 抛物线解析式为 ya(x1)24x22x3; (2)由(1)知,抛物线的解析式为 yx22x3, 令 y0,则 x22x30, x1或 x3, B(3,0) ,A(1,0) , 令 x0,则 y3, C(0,3) , AC

    15、10, 设点 E(0,m) ,则 AE 2 1m ,CE|m+3|, ACE是等腰三角形, 当 ACAE 时,10 2 1m , m3或 m3(点 C的纵坐标,舍去) , E(3,0) , 当 ACCE时,10|m+3|, m310, E(0,3+ 10)或(0,310) , 当 AECE时, 2 1m |m+3|, m 4 3 , E(0, 4 3 ) , 即满足条件的点 E 的坐标为(0,3) 、 (0,3+ 10) 、 (0,310) 、 (0, 4 3 ) ; (3)如图,存在,D(1,4) , 将线段 BD 向上平移 4个单位,再向右(或向左)平移适当的距离,使点 B 的对应点落在抛

    16、物线上,这样 便存在点 Q,此时点 D的对应点就是点 P, 点 Q的纵坐标为 4, 设 Q(t,4) , 将点 Q的坐标代入抛物线 yx22x3 中得,t22t34, t1+2 2或 t122, Q(1+2 2,4)或(122,4) , 分别过点 D,Q作 x 轴的垂线,垂足分别为 F,G, 抛物线 yx22x3 与 x 轴的右边的交点 B的坐标为(3,0) ,且 D(1,4) , FBPG312, 点 P的横坐标为(1+2 2)21+22或(122)2122, 即 P(1+2 2,0) 、Q(1+22,4)或 P(122,0) 、Q(122,4) 【点睛】此题主要考查待定系数法求二次函数解析

    17、式、二次函数与几何综合,熟练掌握二次函数的图象和 性质是解题关键 5 (2021 福建福建模拟模拟)已知抛物 yax2+bx+c(b0)与 x 轴只有一个公共点 (1)若抛物线与 x 轴的公共点坐标为(2,0) ,求 a、c满足的关系式; (2)设 A 为抛物线上的一定点,直线 l:ykx+1k 与抛物线交于点 B、C,直线 BD 垂直于直线 y1, 垂足为点 D当 k0 时,直线 l 与抛物线的一个交点在 y 轴上,且ABC 为等腰直角三角形 求点 A 的坐标和抛物线的解析式; 证明:对于每个给定的实数 k,都有 A、D、C 三点共线 【答案】见解析。 【解析】 (1)抛物线与 x 轴的公共

    18、点坐标即为函数顶点坐标,即可求解; (2)ykx+1kk(x1)+1 过定点(1,1) ,且当 k0 时,直线 l 变为 y1 平行 x 轴,与轴的交点 为(0,1) ,即可求解;计算直线 AD 表达式中的 k 值、直线 AC 表达式中的 k 值,两个 k 值相等即可求 解 解: (1)抛物线与 x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标,故:ya(x2)2ax24ax+4a, 则 c4a; (2)ykx+1kk(x1)+1 过定点(1,1) , 且当 k0 时,直线 l 变为 y1 平行 x 轴,与轴的交点为(0,1) , 又ABC 为等腰直角三角形, 点 A 为抛物线的顶点; c1,顶点 A(1,

    19、0) , 抛物线的解析式:yx22x+1, , x2(2+k)x+k0, x(2+k) , xDxB(2+k) ,yD1; 则 D, yC(2+k2+k, C,A(1,0) , 直线 AD 表达式中的 k 值为:kAD, 直线 AC 表达式中的 k 值为:kAC, kADkAC,点 A、C、D 三点共线 6 (2021 广西桂林模拟)广西桂林模拟)如图,已知A 的圆心为点(3,0) ,抛物线 yax2x+c 过点 A,与A 交于 B、C 两点,连接 AB、AC,且 ABAC,B、C 两点的纵坐标分别是 2、1 (1)请直接写出点 B 的坐标,并求 a、c 的值; (2)直线 ykx+1 经过点

    20、 B,与 x 轴交于点 D点 E(与点 D 不重合)在该直线上,且 ADAE,请判断 点 E 是否在此抛物线上,并说明理由; (3)如果直线 yk1x1 与A 相切,请直接写出满足此条件的直线解析式 【答案】见解析。 【解析】 (1)证明 RtBRARtASC(AAS) ,即可求解; (2)点 E 在直线 BD 上,则设 E 的坐标为(x,x+1) ,由 ADAE,即可求解; (3)分当切点在 x 轴下方、切点在 x 轴上方两种情况,分别求解即可 解: (1)过点 B、C 分别作 x 轴的垂线交于点 R、S, BAR+RAB90,RAB+CAS90, RABCAR,又 ABAC, RtBRAR

    21、tASC(AAS) , ASBR2,ARCS1, 故点 B、C 的坐标分别为(2,2) 、 (5,1) , 将点 B、C 坐标代入抛物线 yax2x+c 并解得: a,c11, 故抛物线的表达式为:yx2x+11; (2)将点 B 坐标代入 ykx+1 并解得:yx+1,则点 D(2,0) , 点 A、B、C、D 的坐标分别为(3,0) 、 (2,2) 、 (5,1) 、 (2,0) , 则 AB,AD5, 点 E 在直线 BD 上,则设 E 的坐标为(x,x+1) , ADAE,则 52(3x)2+(x+1)2, 解得:x2 或 6(舍去2) , 故点 E(6,4) , 把 x6 代入 yx

    22、2x+114, 故点 E 在抛物线上; (3)当切点在 x 轴下方时, 设直线 yk1x1 与A 相切于点 H,直线与 x 轴、y 轴分别交于点 K、G(0,1) ,连接 GA, AHAB,GA, AHKKOG90,HKAHKA,KOGKHA, ,即:, 解得:KO2 或(舍去) , 故点 K(2,0) , 把点 K、G 坐标代入 yk1x1 并解得: 直线的表达式为:yx1; 当切点在 x 轴上方时, 直线的表达式为:y2x1; 故满足条件的直线解析式为:yx1 或 y2x1 7. (2020 湖北孝感)湖北孝感)在平面直角坐标系中,已知抛物线 2 4460yaxaxaa与x轴交于A,B两

    23、点(点A在点B的左侧) ,与y轴交于点C,顶点为点D (1)当6a时,直接写出点A,B,C,D的坐标: A_,B_,C_,D_; (2)如图 1,直线DC交x轴于点E,若 4 tan 3 AED ,求a的值和CE的长; (3)如图 2,在(2)的条件下,若点N为OC的中点,动点P在第三象限的抛物线上,过点P作x轴的 垂线, 垂足为Q, 交AN于点F; 过点F作FHDE, 垂足为H 设点P的横坐标为t, 记fF P F H 用含t的代数式表示f; 设50tm m ,求f的最大值 【答案】 (1)3,0,1,0,0,18,2, 6; (2) 2 3 ; 25 6 ; (3) 2 28 4 33 f

    24、tt ; 26 3 【解析】 (1)求出0y 时,x的值可得点 A、B 的坐标,求出0 x时,y的值可得点 C的坐标,将二次函 数的解析式化为顶点式即可得点 D 的坐标; (2)先求出顶点 D的坐标,从而可得 DK、OK的长,再利用正切三角函数可得 EK、OE、OC的长,从而 可得出点 C的坐标,然后将点 C的坐标代入二次函数的解析式可得 a的值,利用勾股定理可求出 CE 的长; (3)如图,先利用待定系数法求出直线 AN的解析式,从而可得点 F的坐标,由此可得出 PF的长,再 利用待定系数法求出直线 CE 的解析式,从而可得点 J 的坐标,由此可得出 FJ 的长,然后根据相似三角形 的判定与

    25、性质可得 FHFJ OECE ,从而可得 FH 的长,最后根据f的定义即可得; 先将f的表达式化为顶点式,从而得出其增减性,再利用二次函数的性质即可得 【详解】 (1)当6a时, 2 62418yxx 当0y 时, 2 624180 xx,解得1x或3x 则点 A的坐标为( 3,0)A ,点 B的坐标为( 1,0)B 当0 x时,18y 则点 C的坐标为(0,18)C 将 2 62418yxx化成顶点式为 2 6()62yx 则点 D的坐标为( 2, 6)D 故答案为:3,0,1,0,0,18,2, 6; (2)如图,作DKx轴于点K 将 2 446yaxaxa化成顶点式为 2 (2)6ya

    26、x 则顶点 D 的坐标为( 2, 6)D 6DK ,2OK 在Rt DKE中,tan DK AED EK ,即 64 3EK 解得 9 2 EK 95 2 22 KOEEKO 在RtCOE中,tan OC AED OE ,即 4 5 3 2 OC 解得 10 3 OC 10 (0,) 3 C, 2222 105 ()( ) 3 2 2 5 6 CEOCOE 将点 10 (0,) 3 C代入 2 446yaxaxa得: 10 46 3 a 解得 2 3 a ; (3)如图,作FP与ED的延长线交于点J 由(2)可知, 2 3 a , 10 0, 3 C 2 2810 333 yxx 当0y 时,

    27、 2 2810 0 333 xx,解得5x 或1x 5,0A ,10B , NQ为 OC的中点 5 0, 3 N 设直线 AN的解析式为 11 yk xb 将点5,0A , 5 0, 3 N 代入得: 11 1 50 5 3 kb b ,解得 1 1 1 3 5 3 k b 则直线 AN的解析式为 15 33 yx 2 2810 , 333 P ttt 15 , 33 F tt 22 15281025 ()3 3333333 PFttttt 由(2)知, 2 5 OE 5 ,0 2 E , 10 0, 3 C 设直线 CE的解析式为 22 yk xb 将点 5 ,0 2 E , 10 0, 3

    28、 C 代入得: 22 2 5 0 2 10 3 kb b ,解得 2 2 4 3 10 3 k b 则直线 CE的解析式为 410 33 yx 410 , 33 J tt 1541055 () 333333 FJttt FHDE,/JF y轴 90FHJEOC,FJHECO FJHECO FHFJ OECE ,即 55 3 2 2 6 5 3 5 t FH 解得1FHt 2 25 31 33 fPFFHttt 即 2 28 4 33 ftt ; 将 2 28 4 33 ftt 化成顶点式为 2226 3 33 tf 由二次函数的性质可知,当3t 时,f随 t的增大而增大;当3t 时,f随 t的

    29、增大而减小 50tm m 50m 因此,分以下两种情况: 当53m 时 在5tm 内,f随 t的增大而增大 则当tm时,f取得最大值,最大值为 2226 3 33 m 又当53m 时, 2 0 2 3 3 m 222626 3 333 m 当30m 时 在53t 内,f随 t的增大而增大;在3tm 内,f随 t的增大而减小 则当3t 时,f取得最大值,最大值为 26 3 综上,f的最大值为 26 3 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、正切三角函数、相似 三角形的判定与性质等知识点,较难的是题(3),通过作辅助线,构造相似三角形求出FH的长是解题 关键 8

    30、. (20202020 山东济南模拟山东济南模拟) )已知直线 1: 210 lyx交y轴于点A,交x轴于点B,二次函数的图象过,A B 两点,交x轴于另一点C,4BC ,且对于该二次函数图象上的任意两点 111 ,P x y, 222 ,P x y,当 12 5xx时,总有 12 yy (1)求二次函数的表达式; (2)若直线 2: (10)lymxn n,求证:当2m时, 21 / /ll; (3)E为线段BC上不与端点重合的点,直线 3: 2 lyxq过点C且交直线AE于点F,求 ABE与 CEF面积之和的最小值 【答案】 (1) 2 21210yxx; (2)详见解析; (3) ABE

    31、FCE SS的最小值为40 2 40 【解析】(1)先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出 A,B 两点的坐标,再根据 BC=4, 得出点 C 的坐标,最后利用待定系数法可求二次函数的表达式; (2)利用反证法证明即可; (3)先求出 q 的值,利用/CF AB,得出FCEABE,设04 BEtt,然后用含 t的式子表示 出 ABEFCE SS的面积,再利用二次函数的性质求解即可 解: (1)对于 1: 210 lyx, 当0 x时,10y ,所以0,10A; 当0y 时,2100 x,5x ,所以5,0B, 又因为4BC ,所以9,0C或1,0C, 若抛物线过9,0C,则当57x时

    32、,y随x的增大而减少,不符合题意,舍去 若抛物线过1,0C,则当3x 时,必有y随x的增大而增大,符合题意 故可设二次函数的表达式为 2 10yaxbx, 依题意,二次函数的图象过5,0B,1,0C两点, 所以 255100 100 ab ab ,解得 2 12 a b 所求二次函数的表达式为 2 21210yxx (2)当2m时,直线 2: 2(10) lyxn n与直线 1: 210 lyx不重合, 假设 1 l和 2 l不平行,则 1 l和 2 l必相交,设交点为 00 ,P x y, 由 00 00 210 2 yx yxn 得 00 2102 xxn, 解得10n,与已知10n矛盾,

    33、所以 1 l与 2 l不相交, 所以 21 /ll (3)如图, 因为直线 3: 2 lyxq过1,0C,所以2q =, 又因为直线 1: 210 lyx,所以 31 /ll,即/CF AB, 所以FCEABE,CFEBAE, 所以FCEABE,所以 2 FCE ABE SCE SBE , 设04 BEtt,则4CEt , 11 105 22 ABE SBE OAtt, 所以 2 22 2 (4)5(4) 5 FCEABE CEtt SSt BEtt , 所以 2 5(4) 5 ABEFCE t SSt t 80 1040t t 2 2 2 1040 240 t t 所以当 2 2t 时, ABEFCE SS的最小值为40 2 40 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知 识,注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用


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