1、中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（3636） 一、例题分析 1. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别从 中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两 次记录的数字之和为 3 的概率是（ ） A 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 2.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格交点，则ABC 的面积与 ABD 的面积的大小关系为： ABC S_ ABD S（填“”，“”或“”） 3. 在平面直角坐标系xOy中，O 的半径为 1，A，B 为O 外两点，AB=1给 出如下定义：
2、平移线段 AB， 得到O 的弦A B （,A B 分别为点 A， B 的对应点） ， 线段 AA 长度的最小值称为线段 AB 到O 的“平移距离” （1） 如图， 平移线段 AB 到O 的长度为 1 的弦 12 PP和 34 P P， 则这两条弦的位置关系是 ； 在点 1234 ,P P P P中，连接点 A 与点 的线段的长度等于线段 AB 到O 的“平移距离”； （2）若点 A，B 都在直线32 3yx上，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 1 d，求 1 d的最小 值； （3）若点 A 的坐标为 3 2, 2 ，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 2 d，直接写出 2 d的取值范围
3、二、巩固提高 1. 有一个装有水的容器，如图所示容器内的水面高度是 10cm，现向容器内注水，并同时开始计 时，在注水过程中，水面高度以每秒 0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高 度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系 2. 如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为 2，3，4，5每人 选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小如果按“甲、乙、 丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买 1，2 号座位的票，乙购买 3，5，7 号座位的票，
4、丙选座购 票后，丁无法购买到第一排座位的票若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票， 写出一种满足条件的购票的先后顺序_ 3. 在ABC中，C=90，ACBC，D 是 AB 的中点E 为直线上一动点，连接 DE，过点 D 作 DF DE，交直线 BC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设,AEa BFb，求 EF 的长（用含, a b的式子表示）； （2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE，EF，BF 之间的数量关 系，并证明 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（3737） 一、例题分析 1. 如图
5、，在菱形 ABOC 中，AB2，A60，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y k x （k0）的 图象上，则反比例函数的解析式为（ ） A. y 3 3 x B. y 3 x 2AB C. y 3 x D. y 3 x 2 如图，在ABC中，CACB，90ACB，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90的 扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为_ 3. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”请研究如下美丽的圆如图， 线段 AB 是O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BCOB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O 于点 D， 点 P 是O 上一动点（
6、不与点 A，B 重合），连接 CD，PE，PC （1）求证：CD 是O 的切线； （2）小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结 论加以证明 二、巩固提高 1. 如图，抛物线 yax 2bx4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于另一点 B，交 x 轴 于 C，D 两点（点 C 在点 D 右边），对称轴为直线 x 5 2 ，连接 AC，AD，BC 若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，下列结论中错误的是（ ） A. 点 B 坐标为(5，4) B. ABAD C.a 1 6 D. OCOD16 2. 如图图
7、形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有 3 个菱形，第 个图形中一共有 7 个菱形，第个图形中一共有 13 个菱形，按此规律排列下去，第个图形 中菱形的个数为_ 3. 已知抛物线 yax 2bx6（a0）交 x 轴于点 A(6，0)和点 B(1，0)，交 y 轴于点 C （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交 直线 AC 于点 D，E，当 PDPE 取最大值时，求点 P 的坐标； （3）如图（2），点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线
8、AC 垂直平分AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（3838） 一、例题分析 1. 2020 年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平， 自 1 月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度 脱销下面表示 2020 年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象 是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（ji）生其中央，出 水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1
9、丈=10 尺）这段话翻译成 现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为 1 丈的正方形，在水池正 中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶 端恰好到达池边的水面则水池里水的深度是_尺 3. 网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自 在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿 出 2000 元现金，作为红包发给购买者已知该板栗的成本价格为 6 元/kg，每日销售量 (kg)y 与销售 单价x（元/kg）满足关系式： 1005000yx 经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于 30
10、 元 /kg 当每日销售量不低于4000kg时， 每千克成本将降低 1 元设板栗公司销售该板栗的日获利为W （元） （1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式 （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ （3）当40000W 元时，网络平台将向板栗公可收取a元/kg( 4)a 的相关费用，若此时日获利的最大 值为 42100 元，求a的值 二、巩固提高 1. 若菱形的周长为 16，高为 2，则菱形两邻角的度数之比为（ ） A. 4: 1 B. 5: 1 C. 6: 1 D. 7: 1 2. 如图所示，将一个半径10cmOA，圆心角90AOB的扇形纸板放置在水平
11、面的一条射线 OM上 在没有滑动的情况下， 将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上时，则半径OA 的中点P运动的路线长为_cm 3. 已知抛物线 2 yaxbxc与x轴交于点( 1,0)A ，点(3,0)B，与y轴交于点(0,3)C，顶点为点 D （1）求抛物线的解析式； （2）若过点C的直线交线段AB于点E，且 :3:5 ACECEB SS ，求直线CE的解析式 （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点 D、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求 点P的坐标； （4）已知点 45 0,(2,0) 8 HG ，在抛物线对称轴上找一点F，使HFAF的值最小此时，在抛物线上 是否
12、存在一点 K，使KFKG的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（3939） 一、例题分析 1. 如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分ACB，若50A，则B 的 度数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 2. 某公司新产品上市30天全部售完，图 1 表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图 2 表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是_元 3. 如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是(4,2)，点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH， 垂足为H，点P在运动过程中始终满足
13、PFPH【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别 为 11 ( ,)x y 、 22 (,)xy ，则 222 2121 ()()MNxxyy 】 （1）判断点P在运动过程中是否经过点 C（0，5） （2）设动点P的坐标为( , ) x y，求y关于x的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出函数 的图象： （3）点C关于x轴的对称点为 C ，点P在直线 CF 的下方时，求线段PF长度的取值范围 二、巩固提高 1. 如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结 论不成立的是（ ） A. 30DAE o B. 45BAC C. 1 2 EF FB
14、D. 3 2 AD AB 2. 若计算12 m的结果为正整数， 则无理数m的值可以是_ （写出一个符合条件的即可） 3. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为 “直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图 1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E 的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图 2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，5ABBC，1CD，ADAB，点B到直 线AD的距离为BE 求BE的长 若M、N分别是AB
15、、AD边上的动点，求MNC周长的最小值 x . 0 2 4 6 8 . y . . 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4040） 一、例题分析 1. “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中 在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件 下， “可食用率” p 与加工煎炸的时间 t （单位： 分钟） 近似满足函数关系式： 2 patbtc（ 0,a a，b，c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸 臭豆腐的最佳时间为( ) A. 3.50 分钟 B. 4.0
16、5 分钟 C. 3.75 分钟 D. 4.25 分钟 2. 若一个圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，则它的侧面展开图的面积是_ _ 3. 我们不妨约定： 若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称， 则把该函数称之为 “H函数” ， 其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题 （1）在下列关于 x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“H 函 数”的打“” 2yx（ ） m y(m0 ) x （ ） 31yx （ ） （2）若点 1,Am与点, 4B n 关于 x 的“H 函数” 2 0yaxbxc a 的一对“H 点”，且该函数 的
17、对称轴始终位于直线2x的右侧，求 , ,a b c的值域或取值范围； （3） 若关于 x 的 “H 函数” 2 23yaxbxc（a， b， c 是常数） 同时满足下列两个条件： 0a b c ， (2 )(23 )0cbacba ，求该 H 函数截 x 轴得到的线段长度的取值范围 二、巩固提高 1. 随着 5G 网络技术的发展，市场对 5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型 5G 产品生 产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产 30 万件产品，现在生产 500 万件产品所需的时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产 x 万件
18、，依据题意得（ ） A. 400500 30 xx B. 400500 30 xx C. 400500 30 xx D. 400500 30 xx 2. 如图，点 P 在以 MN 为直径的半圆上运动， （点 P 与 M，N 不重合）,PQMN NE平分MNP， 交 PM 于点 E，交 PQ 于点 F (1) PFPE PQPM _ (2)若 2 PNPM MN，则 MQ NQ _ 3. 如图，半径为 4 的O中，弦 AB 的长度为4 3，点 C 是劣弧AB上的一个动点，点 D 是弦 AC 的 中点，点 E 是弦 BC 的中点，连接 DE，OD，OE （1）求AOB的度数； （2）当点 C 沿着
19、劣弧AB从点 A 开始，逆时针运动到点 B 时，求ODE的外心 P 所经过的路径的长 度； （3）分别记 ,ODECDE 面积为 12 ,S S，当 22 12 21SS 时，求弦 AC 的长度 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4141） 一、例题分析 1. 如图，四边形 OAA1B1是边长为 1 的正方形，以对角线 OA1为边作第二个正方形 OA1A2B2，连接 AA2， 得到AA1A2；再以对角线 OA2为边作第三个正方形 OA2A3B3，连接 A1A3， 得到A1A2A3，再以对角线 OA3为边作第四个正方形 OA2A4B4，连接 A2A4， 得到A2A3A4， 设AA1A2
20、，A1A2A3，A2A3A4， 的面积分别为 S1，S2，S3， 如此下去，则 S2020的值为（ ） A. 2020 1 2 B. 2 2018 C. 22018+1 2 D. 1010 2. 如图，等边ABC中，6AB，点D、点E分别在BC和AC上，且BDCE，连接AD、 BE交于点F，则CF的最小值为_ 3. （1）【操作发现】 如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上 请按要求画图：将ABC绕点 A 顺时针方向旋转 90，点 B 的对应点为点 B ，点 C 的对应点为 点 C 连接 BB ； 在中所画图形中，AB B （2）【问题解决】 如图
21、 2，在Rt ABC中，BC1，C90，延长 CA 到 D，使 CD1，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90到 AE，连接 DE，求ADE 的度数 （3）【拓展延伸】 如图 3，在四边形 ABCD 中，AEBC，垂足为 E，BAEADC，BECE1，CD3，ADkAB（k 为 常数），求 BD 的长（用含 k 的式子表示） 二、巩固提高 1. 鄂尔多斯动物园内的一段线路如图 1 所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开 往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午 9：20 发车，以后每隔 10 分钟 有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同小聪周末到动物园游
22、玩，上午 9 点到达入口处， 因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行 25 分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数关系如图 2 所示，下列结论错误的是（ ） A. 第一班车离入口处的距离 y（米）与时间 x（分）的解析式为 y200 x4000（20 x38） B. 第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为 10 分钟 C. 小聪在花鸟馆游玩 40 分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车 D. 小聪在花鸟馆游玩 40 分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步 行到大象馆提前了 7 分钟（假设小聪步行速度不变） 2. 如
23、图 1， 抛物线 yx 2+bx+c 交 x 轴于 A， B 两点， 其中点 A 的坐标为(1， 0)， 与 y 轴交于点 C （(0， 3) （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 D 为 y 轴上一点，如果直线 BD 与直线 BC 的夹角为 15，求线段 CD 的长度； （3）如图 2，连接 AC，点 P 在抛物线上，且满足PAB2ACO，求点 P 的坐标 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（3535） 三、例题分析 1. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别从 中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其
24、数字，那么两 次记录的数字之和为 3 的概率是（ ） A 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【解析】【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可 【详解】解：画树状图如下： 所以共 4 种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为 3 的概率是 21 . 42 故选 C 【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键 2. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格交点，则ABC 的面积与ABD 的面积的大小 关系为： ABC S_ ABD S（填“”，“”或“”） 【答案】=【解析】【分析】 在网格中分别计算出三角形
25、的面积，然后再比较大小即可 【详解】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为 1 个单位， 由网格图可得 1 4 24 2 ABC S 个平方单位， 123 111 =5 2101 51 32 24 222 ABD SSSS，故有 ABC S= ABD S 故答案为：“” 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方 式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到ABD 的面积 3. 在平面直角坐标系xOy中，O 的半径为 1，A，B 为O 外两点，AB=1给出如下定义：平移线 段 AB，得到O 的弦A B （,A B 分别为点 A，B 的对应点
26、），线段 AA 长度的最小值称为线段 AB 到O 的“平移距离” （1） 如图， 平移线段 AB 到O 的长度为 1 的弦 12 PP和 34 P P， 则这两条弦的位置关系是 ； 在点 1234 ,P P P P中，连接点 A 与点 的线段的长度等于线段 AB 到O 的“平移距离”； （2）若点 A，B 都在直线32 3yx上，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 1 d，求 1 d的最小 值； （3）若点 A 的坐标为 3 2, 2 ，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 2 d，直接写出 2 d的取值范围 【答案】（1）平行，P3；（2） 3 2 ；（3） 2 339 22 d 【解析】
27、 【分析】 （1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可； （2）过点 O 作 OEAB 于点 E，交弦 CD 于点 F，分别求出 OE、OF 的长，由 1 dOEOF得到 1 d的 最小值； （3）线段 AB 的位置变换，可以看作是以点 A 3 2, 2 为圆心，半径为 1 的圆，只需在O 内找到与 之平行， 且长度为 1 的弦即可 平移距离 2 d的最大值即点 A， B 点的位置， 由此得出 2 d的取值范围 【详解】解：（1）平行；P3； （2）如图，线段 AB 在直线32 3yx上，平移之后与圆相交，得到的弦为 CD，CDAB，过点 O 作 OEAB 于点 E，交弦 CD 于点 F，
28、OFCD，令0y ，直线与 x 轴交点为（-2，0），直线与 x 轴 夹角为 60，2sin603OE 由垂径定理得： 2 2 13 22 OFOCCD ， 1 3 2 dOEOF； （3）线段 AB 的位置变换，可以看作是以点 A 3 2, 2 为圆心，半径为 1 的圆，只需在O 内找到与 之平行，且长度为 1 的弦即可；点 A 到 O 的距离为 2 2 35 2 22 AO 如图，平移距离 2 d的最小值即点 A 到O 的最小值： 53 1 22 ； 平移距离 2 d的最大值线段是下图 AB 的情况，即当 A1,A2关于 OA 对称，且 A1B2A1A2且 A1B2=1 时.B2A2A1=
29、60，则OA2A1=30,OA2=1,OM= 1 2 , A2M= 3 2 , MA=3,AA2= 2 2 339 3 22 , 2 d的取值范围为： 2 339 22 d 【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置 关系、直线与圆的位置关系是解题的关键 四、巩固提高 1. 有一个装有水的容器，如图所示容器内的水面高度是 10cm，现向容器内注水，并同时开始计 时，在注水过程中，水面高度以每秒 0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高 度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函
30、数关系 D. 反比例函数关系 【答案】B【解析】【分析】 设水面高度为,hcm 注水时间为t分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案 【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间为t分钟，则由题意得：0.210,ht 所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选 B 【点睛】 本题考查的是列函数关系式， 判断两个变量之间的函数关系， 掌握以上知识是解题的关键 2. 如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为 2，3，4，5每人 选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小如果按“甲、乙、 丙、丁”的先后顺序购票，
31、那么甲甲购买 1，2 号座位的票，乙购买 3，5，7 号座位的票，丙选座购 票后，丁无法购买到第一排座位的票若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票， 写出一种满足条件的购票的先后顺序_ 【答案】丙，丁，甲，乙 【解析】 【分析】 根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为 2，3，4，5 可得若丙第一购票，要使其他三人都 能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4丁所购票数最 多，因此应让丁第二购票，据此判断即可 【详解】解：丙先选择：1，2，3，4丁选：5，7，9，11，13甲选：6，8 乙选：10，12，14顺序为丙，丁，甲，乙（答案不唯一）
32、 【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键 3. 在ABC中， C=90， ACBC， D 是 AB 的中点 E 为直线上一动点， 连接 DE， 过点 D 作 DFDE， 交直线 BC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设,AEa BFb，求 EF 的长（用含, a b的式子表示）； （2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE，EF，BF 之间的数量关 系，并证明 【答案】（1） 22 ab ；（2）图见解析， 222 EFAEBF ，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）先根据中位线定理和线段中点
33、定义可得/DE BC， 1 2 DEBC，CEAEa，再根据平行 四边形的性质、矩形的判定与性质可得DECF，从而可得CFBFb，然后利用勾股定理即 可得； （2）如图（见解析），先根据平行线性质可得EADGBD，DEADGB，再根据三 角形全等的判定定理与性质可得EDGD，AEBG，然后根据垂直平分线的判定与性质可得 EFFG，最后在Rt BGF中，利用勾股定理、等量代换即可得证 【详解】（1）D 是 AB 的中点，E 是线段 AC 的中点 DE 为ABC的中位线，且CEAEa/DE BC， 1 2 DEBC90C 18090DECCDFDE90EDF四边形 DECF 为矩形DECF 11
34、() 22 CFBCBFCFCFBFb 则在Rt CEF中， 2222 EFCECFab ； （2）过点 B 作 AC 的平行线交 ED 的延长线于点 G，连接 FG /BG ACEADGBD，DEADGBD 是 AB 的中点ADBD 在EAD和GBD中， EADGBD DEADGB ADBD ()EADGBD AASEDGD，AEBG 又DFDEDF 是线段 EG 的垂直平分线EFFG90C，/BG AC 90GBFC在Rt BGF中， 由勾股定理得： 222 FGBGBF 222 EFAEBF 【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线 的判定与
35、性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角 形是解题关键 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（3737） 二、例题分析 1.如图，在菱形 ABOC 中，AB2，A60，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y k x （k0）的 图象上，则反比例函数的解析式为（ ） A. y 3 3 x B. y 3 x C. y 3 x D. y 3 x 【答案】B 【解析】 【分析】 根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点 C 的坐标，从而可以求得 k 的值，进而求得反 比例函数的解析式 【详解】解：因为在菱形 ABOC 中，A60，菱形边长为 2，所以
36、OC2，COB60 如答图，过点 C 作 CDOB 于点 D， 则 ODOCcosCOB2cos602 1 2 1，CDOCsinCOB2sin602 3 2 3 因为点 C 在第二象限，所以点 C 的坐标为（1，3） 因为顶点 C 在反比例函数 y k x 的图象上，所以3 1 k ，得 k3， 所以反比例函数的解析式为 y 3 x ，因此本题选 B 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求 出点 C 的坐标 2. 如图，在ABC中，CACB，90ACB，2AB ，点D为AB的中点，以点D为圆心 作圆心角为90的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图
37、中阴影部分的面积为_ 【答案】 1 42 【解析】 【分析】 连接 CD， 证明DCHDBG， 则 S四边形 DGCH=SBDC， 求得扇形 FDE 的面积， 则阴影部分的面积即可求得 【详解】解：连接 CD， CA=CB，ACB=90，B=45，点 D 为 AB 的中点， DC= 1 2 AB=BD=1，CDAB，DCA=45，CDH=BDG，DCH=B， 在DCH 和DBG 中， CDHBDG CDBD DCHB ，DCHDBG（ASA）， S四边形 DGCH=SBDC= 1 2 SABC= 1 2 1 2 ABCD= 1 4 21= 1 2 S阴影=S扇形 DEF-SBDC= 2 901
38、 360 - 1 2 = 4 - 1 2 故答案为 4 - 1 2 【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明DCHDBG， 得到 S四边形 DGCH=SBDC是关键 3. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”请研究如下美丽的圆如图， 线段 AB 是O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BCOB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O 于点 D， 点 P 是O 上一动点（不与点 A，B 重合），连接 CD，PE，PC （1）求证：CD 是O 的切线； （2）小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对小明
39、发现的结 论加以证明 【答案】（1）见解析；（2） 1 2 ，解析 【解析】 【分析】 本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质（1）连接 OD，DB，由已知可得 DE 垂直 平分 OB，于是 DBDO，而 OBOD，所以 DBDOOB，即ODB 是等边三角形，于是BDO60， 再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得CDB30， 从而可得ODC90， 所以ODCD， 所以 CD 是O 的切线；（2）连接 OP，由已知条件得 OPOBBC2OE，再利用“两组边成比例， 夹角相等”证明OEPOPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论 【详解】解：（1）如答图，连接 OD，DB，点
40、 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O 于点 D，DE 垂 直平分 OB， DBDO DOOB， DBDOOB， ODB 是等边三角形， BDODBO60 BC OBBD，且DBE 为BDC 的外角，BCDBDC 1 2 DBODBO60，CDB 30ODCBDOBDC603090，ODCD，CD 是O 的切线； （2）这个确定的值是 1 2 证明： 如答图， 连接 OP， OPOBBC2OE， OE OP OP OC 1 2 ， 又COPPOE， OEPOPC， PE PC OP OC 1 2 【点睛】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解 题的关
41、键 二、巩固提高 1. 如图，抛物线 yax 2bx4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于另一点 B，交 x 轴 于 C，D 两点（点 C 在点 D 右边），对称轴为直线 x 5 2 ，连接 AC，AD，BC若点 B 关于直线 AC 的 对称点恰好落在线段 OC 上，下列结论中错误的是（ ） A. 点 B 坐标为(5，4) B. ABAD C. a 1 6 D. OCOD16 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线 y=ax 2+bx+4 交 y 轴于点 A，可得点 A 的坐标，然后由抛物线的对称性可得点 B 的坐标，由 点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 O
42、C 上，可知ACO=ACB，再结合平行线的性质可判断 BAC=ACB，从而可知 AB=AD；过点 B 作 BEx 轴于点 E，由勾股定理可得 EC 的长，则点 C 坐标可 得，然后由对称性可得点 D 的坐标，则 OCOD 的值可计算；由勾股定理可得 AD 的长，由交点式可得 抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可 【详解】解：因为抛物线 yax 2bx4 交 y 轴于点 A，所以 A（0，4）因为对称轴为直线 x5 2 ， ABx 轴，所以 B（5，4），选项 A 正确，不符合题意如答图，过点 B 作 BEx 轴于点 E，则 BE 4，AB5因为 ABx 轴，所以BACAC
43、O因为点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上， 所以ACOACB， 所以BACACB， 所以 BCAB5 在 RtBCE 中， 由勾股定理得 EC3， 所以 C（8，0），因为对称轴为直线 x 5 2 ，所以 D（3，0）在 RtADO 中，OA4，OD3，所 以 AD5，所以 ABAD，选项 B 正确，不符合题意设 yax 2bx4a(x3)(x8)，将 A（0， 4）代入得 4a(03)(08)，解得 a 1 6 ，选项 C 正确，不符合题意因为 OC8，OD3，所以 OCOD24，选项 D 错误，符合题意，因此本题选 D 【点睛】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定
44、与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的 相关性质并数形结合是解题的关键 2. 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有 3 个菱形，第 个图形中一共有 7 个菱形，第个图形中一共有 13 个菱形，按此规律排列下去，第个图形 中菱形的个数为_ 【答案】57 【解析】 分析】 根据题意得出第 n 个图形中菱形的个数为 2 1nn；由此代入求得第个图形中菱形的个数 【详解】解：第个图形中一共有 3 个菱形， 2 312； 第个图形中共有 7 个菱形， 2 723； 第个图形中共有 13 个菱形， 2 1334； ， 第 n 个图形中菱形的个数为： 2 1nn； 则第个图形
45、中菱形的个数为 2 77 157 故答案为：57 【点睛】本题考查了整式加减的探究规律图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律 3. 已知抛物线 yax 2bx6（a0）交 x 轴于点 A(6，0)和点 B(1，0)，交 y 轴于点 C （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交 直线 AC 于点 D，E，当 PDPE 取最大值时，求点 P 的坐标； （3）如图（2），点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂直平分AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标 【
46、答案】 （1） yx 25x6， 顶点坐标为(5 2 ，49 4 )； （2） P(3， 12)； （3） ( 535 2 ，7 2 )或( 535 2 ， 7 2 ) 【解析】 【分析】 （1）将点 A，B 坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2） 先求出 OA=OC=6， 进而得出OAC=45， 进而判断出 PD=PE， 即可得出当 PE 的长度最大时， PE+PD 取最大值，设出点 E 坐标，表示出点 P 坐标，建立 PE=-t 2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论； （3）先判断出 NFx 轴，进而求出点 N 的纵坐标，即可建立方程求解得出结论 【详解】解：（1）抛
47、物线 yax 2bx6 经过点 A（6，0），B（1，0）， 06 03666 ab ab ， ， 解得 a1，b5，抛物线的解析式为 yx 25x6 yx 25x6(x 5 2 ) 249 4 ， 抛物线的解析式为 yx 25x6，顶点坐标为（5 2 ， 49 4 ） （2）由（1）知，抛物线的解析式为 yx 25x6，C（0，6），OC6A（6，0）， OA6，OAOC，OAC45PD 平行于 x 轴，PE 平行于 y 轴， DPE90，PDEDAO45，PED45，PDEPED， PDPE，PDPE2PE，当 PE 的长度最大时，PEPD 取最大值 设直线 AC 的函数关系式为 ykxd， 把 A（6，0），C（0，6）代入得 06 6 kd d ， ， 解得 k1，d6， 直线 AC 的解析式为 yx6 设
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