1、中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1616） 一、例题分析 1. 如图，A、B、C、D 四个点均在O 上，AOD=50，AODC，则B 的度数为（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 2. 如图，正方形ABCD的面积为 12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，F是CD上一点，DF1， 在对角线AC上有一点P，连接PE，PF，则PE+PF的最小值为_ 3. 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 50%经试销发现，销售量 P（件）与销售单价 x（元）符合一次函数关系，当销售单价为 65 元时销售量为 55
2、件，当销售单价为 75 元时销售量为 45 件 （）求 P 与 x 的函数关系式； （）若该商场获得利润为 y 元，试写出利润 y 与销售单价 x 之间的关系式； （）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 二、巩固提高 1. 如图是抛物线 y=ax 2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点是（1，n） ，且与 x 的一个交点在点（3，0）和 （4，0）之间，则下列结论：a-b+c0；3a+b=0；b 2=4a（c-n） ；一元二次方程 ax2+bx+c=n-1 有两 个不等的实数根其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知：如图，直线
3、y=kx+2 与 x 轴正半轴相交于 A（t，0） ，与 y 轴相交于点 B，抛物线 y=x 2+bx+c 经过 点 A 和点 B，点 C 在第三象象限内，且 ACAB，tanACB= 1 2 （1）当 t=1 时，求抛物线的表达式； （2）试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标； （3）如果点 C 在这条抛物线的对称轴上，求 t 的值 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1717） 一、例题分析 1. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，FEAB，AF2AE，FC 交 BD 于 O，交 AB 于 M，下列说法正确的有 （ ）个 AFBD DOC60 3 4 EFM M S
4、 S BC AF 2ODFM A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 直线 1 yx4 2 与x轴、y轴分别相交于A，B两点，若点1,2M mm在AOB内部，则m的取 值范围为（ ） A. 14 3 3 m B. 17m C. 7 0 3 m D. 11 2 3 m 3. 如图：AB 是O 的直径，AC 交O 于 G，E 是 AG 上一点，D 为BCE 内心，BE 交 AD 于 F，且DBE BAD （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：DFDG； （3）若ADG45，DF1，求证：ADBD 2 二、巩固提高 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的对角线交于点
5、D，顶点A在x轴正半轴上，双 曲线 3 0yx x 经过C，D两点，双曲线0 k yx x 经过点B，则k的值为_ 2. 已知，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交点为 A(1，0)和点 B，与 y 轴交点为 C(0，3)，直线 L：ykx1 与抛物线的交点为点 A 和点 D （1）求抛物线和直线 L 的解析式； （2）如图，点 M 为抛物线上一动点（不与 A、D 重合） ，当点 M 在直线 L 下方时，过点 M 作 MNx 轴交 L 于 点 N，求 MN 的最大值； （3）点 M 为抛物线上一动点（不与 A、D 重合） ， M 为直线 AD 上一动点，是否存在点 M，使得以 C、D、M、
6、 M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 M 的坐标，如果不存在，请说明理由 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1818） 一、例题分析 1. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC6，BD8，P是对角线BD上任意一点， 过点P作EFAC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设BPx，EFy，则能大致表示y与x之间关 系的图象为( ) A. B. C. D. 2. 如图,已知A1,A2,A3,An,是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=An1An=1,分别过点A1,A2,A3,An,作x 轴的垂线交反比例函数y= 1 x (x0)的图象
7、于点B1,B2,B3,Bn,过点B2作B2P1A1B1于点P1,过点B3作B3P2 A2B2于点P2,记B1P1B2的面积为S1,B2P2B3的面积为S2,BnPnBn+1的面积为Sn.则S1+S2+S3+ +Sn= . 3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA4，OC3动点P从点C出发，沿射线CB方向 以每秒 2 个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒 1 个单位长度的速 度运动设点P、Q的运动时间为t秒 （1）当t2 秒时，求 tanQPA的值； （2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM2AM时，求t的值； （3）连结CQ，当点P，Q在运
8、动过程中，记CPQ 与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系 式； （4）直接写出OAB的角平分线经过CPQ 边上中点时的t值 二、巩固提高 1. 九章算术 是我国古代的数学名著， 书中的 “折竹抵地” 问题： 今有竹高一丈， 末折抵地， 去本三尺 问 折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10 尺） ，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处 离竹子底部 3 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. x 23=（10 x）2 B. x 232=（10 x）2 C. x2+3=（10 x）2 D. x2+32=（10 x）2 2
9、. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 2ya xk（a、k为常数且0a）与x轴交于点A、B， 与y轴交于点C，过点C作/CDx轴与抛物线交于点D.若点A的坐标为4,0，则 OB CD 的值为_ 3. 如图，抛物线 2 4yaxbx经过点1,0A ，2,0B两点，与y轴交于点C，点D是拋物线在x轴 上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m连接AC，BC，DB，DC （l）求抛物线的函数表达式； （2）当BCD的面积与AOC的面积和为 7 2 时，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M， 使得以点B，D，M，N为顶点
10、的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在， 请说明理由 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1919） 一、例题分析 1. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴 上，已知正方形A1B1C1D1的边长为 1，B1C1O60，B1C1B2C2B3C3，则正方形A2020B2020C2020D2020的边长 是（ ） A. ( 1 2 ) 2017 B. ( 1 2 ) 2018 C. ( 3 3 ) 2019 D. ( 3 3 ) 2020 2. 已知边长为 5 的菱形ABCD中，对角线AC长为 6，点E
11、在对角线BD上且 1 tan 3 EAC，则BE的 长为_ 3. 如图，在平面直角坐标系中，直线 2 2 3 yx 分别与 x 轴、y 轴相交于点 B、C，经过点 B、C 的抛物 线 2 2 3 yxbxc 与 x 轴的另一个交点为 A（-1，0） （1）求这个抛物线的表达式； （2）已知点 D 在抛物线上，且横坐标为 2，求出BCD 的面积； （3）点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PQ 垂直于 x 轴，垂足为 Q是否存在点 P，使得以 点 A、P、Q 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 二、巩固提高 1. 如图，正方形
12、ABCD 的边长为 2cm，动点 P 从点 A 出发，在正方形的边上沿 ABC 的方向运动到点 C 停 止，设点 P 的运动路程为 x(cm)，在下列图象中，能表示ADP 的面积 y(cm 2)关于 x(cm)的函数关系的图象 是( ) A. B. C. D. 2. 如图，若以平行四边形一边 AB 为直径的圆恰好与对边 CD 相切于点 D，则C=_度 3. 如图，在ABC中，ACB90，ACBC，D 是 AB 边上一点(点 D 与 A，B 不重合)，连结 CD， 将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转90得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连接 BE 1（）求证：ACDBCE；
13、2（ ）当ADBF时，求BEF的度数 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（2020） 一、例题讲解 1. 如图， 在矩形ABCD中， 对角线AC，BD交于点O，OGAB， 垂足为G， 延长GB至点E， 使得GEBC， 连接OE交BC于点F.若12AB ，8BC ，则BF的长为（ ） A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3都是菱形，点A1，A2，A3，都在x 轴上，点C1，C2，C3，都在直线y 3 3 x+ 3 3 上，OA11，则点C2020的纵坐标是_ 3. 已知矩形ABCD和矩形CE
14、FG中，AB6，BC8，CE4，EF3 （1）当点E在CD上时，如图 1，求 AF BE 的值； （2）当矩形CEFG绕点C旋转至图 2 时，求 AF BE 的值； （3）当矩形CEFG绕点C旋转至A，E，F三点共线时，直接写出BE的长 二、巩固提高. 1.将抛物线y 1 3 x 21 3 x+2（x0）沿y轴对折，得到如图所示的“双峰”图象若直线yx+b与该“双 峰”图象有三个交点时，b的值为（ ） A. 2， 7 3 B. 2 C. 7 3 D. 0 2. 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 E 是边 AD 上的点， EFBE， 交边 CD 于点 F， 联结 CE、 BF， 如果 tanA
15、BE 3 4 ， 那么 CE：BF_ 3. 如图，直线y 1 2 x+2 与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y 1 2 x 2+bx+c 经过A，C两点，与x轴 的另一交点为B点D是AC上方抛物线上一点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图 1，CDE，BCE的面积分别为S1，S2，求 1 2 S S 的 最大值； （3）过点D作DFAC于F，连接CD，如图 2，是否存在点D，使得CDF中的某个角等于BAC的两倍？ 若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1616） 一、例题分析 1. 如图，A、
16、B、C、D 四个点均在O 上，AOD=50，AODC，则B 的度数为（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 【答案】D 【解析】 试题分析：连接 OC，根据平行可得：ODC=AOD=50，则DOC=80，则AOC=130，根据同弧所对的 圆周角等于圆心角度数的一半可得：B=1302=65. 考点：圆的基本性质 2. 如图，正方形ABCD的面积为 12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，F是CD上一点，DF1， 在对角线AC上有一点P，连接PE，PF，则PE+PF的最小值为_ 【答案】7 【解析】 如图作 EHBC 于 H作点 F 关于 AC 的对称点 F，连接 EF交
17、 AC 于 P，此时 PE+PF 的值最小 正方形 ABCD的面积为 12， AB=23， ABC=90， ABE 是等边三角形， BE=AB=2 3，ABE=60，EBH=30，EC= 1 2 BE=3，BH=3EH=3， BF=DF=1，HF=2，在 RtEHF中，EF= 22 2( 3)7 ，PE+PF 的最小值为7. 故答案为:7. 【点睛】考查轴对称最短问题、等边三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会 利用轴对称解决最短问题 3. 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 50%经试销发现，销售量 P（件）与销
18、售单价 x（元）符合一次函数关系，当销售单价为 65 元时销售量为 55 件，当销售单价为 75 元时销售量为 45 件 （）求 P 与 x 的函数关系式； （）若该商场获得利润为 y 元，试写出利润 y 与销售单价 x 之间的关系式； （）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】 （）P=x+120； （）y=x 2+180 x7200=（x90）2+900； （）销售单价定为 90 元时，商 场可获得最大利润，最大利润900 元 【解析】 试题分析： （）利用待定系数法求解可得； （）根据“总利润=单件利润销售量”可得函数解析式； （）根据“销售单价不低于成本
19、单价且获利不得高于 50%”得出 x 的取值范围，再结合二次函数的性质求 解可得 试题解析： （）设 P=kx+b，根据题意，得： 6555 7545 kb kb ，解得： 1 120 k b ，则 P=x+120； （）y=（x60） （x+120）=x 2+180 x7200=（x90）2+900； （）销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 50%，60 x（1+50%）60，即 60 x90， 又当 x90 时，y 随 x 的增大而增大，当 x=90 时，y 取得最大值，最大值为 900， 答：销售单价定为 90 元时，商场可获得最大利润，最大利润900 元 二、巩固提高 1. 如图是
20、抛物线 y=ax 2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点是（1，n） ，且与 x 的一个交点在点（3，0）和 （4，0）之间，则下列结论：a-b+c0；3a+b=0；b 2=4a（c-n） ；一元二次方程 ax2+bx+c=n-1 有两 个不等的实数根其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当 x=-1 时，y0， 于是可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线 x=- 2 b a =1，即 b=-2a，则可对进行判断；利用抛物线 的顶点的纵坐标为 n
21、 得到 2 4 4 acb a =n，则可对进行判断；由于抛物线与直线 y=n 有一个公共点，则抛物线 与直线 y=n-1 有 2 个公共点，于是可对进行判断 【详解】抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1， 抛物线与 x 轴另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间当 x=-1 时，y0，即 a-b+c0，所以 正确；抛物线的对称轴为直线 x=- 2 b a =1，即 b=-2a，3a+b=3a-2a=a，所以错误； 抛物线的顶点坐标为（1，n） ， 2 4 4 acb a =n，b 2=4ac-4an=4a（c-n） ，所以正确； 抛物线
22、与直线 y=n 有一个公共点，抛物线与直线 y=n-1 有 2 个公共点， 一元二次方程 ax 2+bx+c=n-1 有两个不相等的实数根，所以正确故选 C 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键. 2. 已知：如图，直线 y=kx+2 与 x 轴正半轴相交于 A（t，0） ，与 y 轴相交于点 B，抛物线 y=x 2+bx+c 经过 点 A 和点 B，点 C 在第三象象限内，且 ACAB，tanACB= 1 2 （1）当 t=1 时，求抛物线的表达式； （2）试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标； （3）如果点 C 在这条抛物线的对称轴上，求 t 的值
23、 【答案】 （1）抛物线的表达式为 y=x 2x+2； （2）点 C 的坐标为（t4，2t） ； （3）t=4 14 【解析】 试题分析： （1）把点 A（1，0） ，B（0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可； （2）如图：作 CHx 轴，垂足为点 H，根据AOBCHA，得到 OAOBAB CHAHAC ，根据 tanACB= AB AC = 1 2 ，得到 OAOB CHAH = 1 2 ，根据 OA=t，得到点 C 的坐标为（t-4，-2t） （3）根据点 C（t-4，-2t）在抛物线 y=-x2+bx+c 的对称轴上，得到 t-4= 2 b ，即 b=2t-8，把点 A（t，0）
24、 、 B（0，2）代入抛物线的表达式，得-t 2+bt+2=0，可知 t2+（2t-8）t+2=0，即 t2-8t+2=0，据此即可求出 t 的值 试题解析： （1）t=1，y=kx+2，A（1，0） ，B（0，2） ， 把点 A（1，0） ，B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得 10 2 bc c ，解得 1 2 b c ， 所求抛物线的表达式为 y=x 2x+2 （2）如图：作 CHx 轴，垂足为点 H，得AHC=AOB=90，ACAB，OAB+CAH=90， 又CAH+ACH=90，OAB=ACH，AOBCHA， OAOBAB CHAHAC ， tanACB= AB AC = 1 2
25、， OAOB CHAH = 1 2 ，OA=t，OB=2，CH=2t，AH=4， 点 C 的坐标为（t4，2t） （3）点 C（t4，2t）在抛物线 y=x 2+bx+c 的对称轴上，t4= 2 b ，即 b=2t8， 把点 A（t，0） 、B（0，2）代入抛物线的表达式，得t 2+bt+2=0， t 2+（2t8）t+2=0，即 t28t+2=0，解得 t=4+ 14，点 C（t4，2t）在第三象限， t=4+ 14不符合题意，舍去，t=414 【点睛】考查了二次函数综合题，涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质等知 识 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（171
26、7） 一、例题分析 1. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，FEAB，AF2AE，FC 交 BD 于 O，交 AB 于 M，下列说法正确的有 （ ）个 AFBDDOC60 3 4 EFM M S S BC AF 2ODFM A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 连接 FB，由锐角三角函数可求AFE30，由线段垂直平分线的性质可得 AFBF，可证AFB 是等边三角 形，可得ABFFAB60，ABFBBCADCD，可判断；由等腰三角形的性质和外角性质可求 DOCDBC+BCO60，可判断； 通过证明EFMBCM，可得 2 2 3 3 2 4 EFM
27、M AF SEF SBCAF BC ， 可判断；通过证明AFMODC，可得 AFFM ODCD ，可判断，即可求解 【详解】解：连接 FB， 四边形 ABCD 是正方形， ABBCAD，ABDCBD45，BD 2AB，FEAB，AF2AE，sinAFE 1 2 ， AFE30，FAE60，EF3AE 3 2 AF，E 是 AB 的中点，EFAB， AFBF，AFB 是等边三角形，ABFFAB60，ABFBBCADCD， AFBD，故错误；BCBF，CFBBCF180 9060 2 15， DOCDBC+BCO45+1560，故正确；EFAB，BCAB， EFBC，EFMBCM， 2 2 3 3
28、 2 4 EFM M AF SEF SBCAF BC ，故正确；BCM15， DCO75，BMC75AMF，AMFDCO，又BAFDOC60， AFMODC， AFFM ODCD ，AFCDODFM，又AFCDAF2ODFM，故正确； 故选：C 2. 直线 1 yx4 2 与x轴、y轴分别相交于A，B两点，若点1,2M mm在 AOB内部，则m的取 值范围为（ ） A. 14 3 3 m B. 17m C. 7 0 3 m D. 11 2 3 m 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线 1 yx4 2 与x轴、y轴分别相交于A，B坐标，由点1,2M mm在AOB内 部，列出不等式组 018
29、420 1 (1)2 2 m m mm 分别解每一个不等式，在数轴上表示解集，得出不等式组的解集即 可 【详解】 解： 直线 1 yx4 2 与x轴、y轴分别相交于A，B两点， 当x=0,y=-4， B(0， -4)， 当y=0时，= 1 x4 0 2 ， x=8，A（8，0） ，点1,2M mm在AOB内部，满足不等式组 018 420 1 (1)2 2 m m mm ， 解不等式得：-17m，解不等式得：26m，解不等式得： 11 3 m ， 在数轴上表示不等式、的解集， 不等式组的解集为： 11 2 3 m故选择：D 【点睛】本题考查一次函数，不等式组的解法，掌握一次函数，不等式组的解法
30、，关键是根据点 M 在AOB 内列出不等式组是解题关键 3. 如图：AB 是O 的直径，AC 交O 于 G，E 是 AG 上一点，D 为BCE 内心，BE 交 AD 于 F，且DBE BAD （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：DFDG； （3）若ADG45，DF1，求证：ADBD 2 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）证明DBCBAD，得出DBC+ABD90，即ABC90，可得出结论； （2）如图 1，连接 DE，分别证得BFDABD，BFDDGC，则DFEDGE，得出DEGDEB，证 明DEFDEG（AAS） ，即可得出结论； （3
31、）如图 2，在 AD 上截取 DHBD，连接 BH、BG，先证 AB 2BG，BDDH，再证ABHGBD，求出 AH 的长，即可证明 ADBD 2 【详解】 （1）证明：如图 1，连接 DE，BG D 为BCE 内心，DBCDBE，DBEBAD，DBCBAD， AB 是O 的直径，AGB90，BCG+CBG90，BCG+CBD+GBD90， DACDBG，ADBDAC+ACB+CBD，ADBDBG+ACB+CBD90， BAD+ABD90，DBC+ABD90，即ABC90， ABBC，BC 是O 的切线； （2）证明：如图 1，连接 DE， DBCBAD，DBCDBE，DBEBAD，ABF+B
32、ADABF+DBE， BFDABD，DGCABD，BFDDGC，DFEDGE，D 为BCE 内心，DEG DEB， 在DEF 和DEG 中 DFEDGE DEGDEF DEDE ，DEFDEG（AAS） ，DFDG； （3）证明：如图 2，在 AD 上截取 DHBD，连接 BH、BG， AB 是O 的直径，ADBAGB90，ADG45，ABGADG45， AB 2BG，BDH90，BDDH，BHD45，AHB18045135， BDGADB+ADG90+45135，AHBBDG，BADBGD， ABHGBD，2 AHAB DGBG ，DGDF1，AH 2， ADBDADDHAH，ADBD 2
33、【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关概念及性质，三角形的内心，圆周角定理，等腰直角三角形 的判定与性质，切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握 圆的有概念及性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键 二、巩固提高 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的对角线交于点D，顶点A在x轴正半轴上，双 曲线 3 0yx x 经过C，D两点，双曲线0 k yx x 经过点B，则k的值为_ 【答案】12 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到ODBD，设 D 的坐标是 3 ( ,)m m ，得到 B 的坐标是 6 (2 ,)m m 即 可 【
34、详解】解：平行四边形OABC的对角线交于点D，ODBD，OB=2OD， 设 D 的坐标是 3 ( ,)m m ，B的坐标是 6 (2 ,)m m ， 6 212km m =?，故答案为：12 【点睛】本题考查了平形四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，根据D点的坐标表示出点 B 坐标 是解题的关键 2. 已知，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交点为 A(1，0)和点 B，与 y 轴交点为 C(0，3)，直线 L：ykx1 与抛物线的交点为点 A 和点 D （1）求抛物线和直线 L 的解析式； （2）如图，点 M 为抛物线上一动点（不与 A、D 重合） ，当点 M 在直线 L 下方时，
35、过点 M 作 MNx 轴交 L 于 点 N，求 MN 的最大值； （3）点 M 为抛物线上一动点（不与 A、D 重合） ， M 为直线 AD 上一动点，是否存在点 M，使得以 C、D、M、 M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 M 的坐标，如果不存在，请说明理由 【答案】（1） yx 22x3， yx1； （2）9 4 ；（3） (1， 4)或(1 17 2 ， 117 2 )或(1 17 2 ， 117 2 ) 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）设点 M 的坐标为（m，m 22m3） ，则点 N（m2+2m+2，m22m3） ，则 MNm2+m+2，进
36、而求解； （3）分 CD边、CD 为对角线两种情况，利用图象平移和中点公式求解即可 【详解】解： （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得 10 3 bc c ，解得： 2 3 b c ， 故抛物线的表达式为：yx 22x3， 将点 A 的坐标代入直线 L 的表达式得：0k1，解得：k1， 故直线 L 的表达式为：yx1； （2）设点 M 的坐标为（m，m 22m3） ， 点 N 的纵坐标与点 M 的纵坐标相同，将点 N 的纵坐标代入 yx1 得：m 22m3x1， 解得：xm 2+2m+2，故点 N（m2+2m+2，m22m3） ，则 MNm2+2m+2mm2+m+2， 10，故 MN
37、有最大值，当 m 2 b a 1 2 时，MN 的最大值为 9 4 ； （3）设点 M（m，n） ，则 nm 22m3，点 M（s，s1） ， 当 CD 为边时， 点 C 向右平移 2 个单位得到 D，同样点 M（M）向右平移 2 个单位得到 M（M） ，即 m2s 且 ns1 ，联立并解得：m0（舍去）或 1 或1 17 2 ， 故点 M 的坐标为（1，4）或(1 17 2 ，1 17 2 )或(1 17 2 ，1 17 2 )； 当 CD 为对角线时， 由中点公式得： 1 2 （0+2） 1 2 （m+s）且 1 2 （33） 1 2 （ns1）， 联立并解得：m0（舍去）或1，故点 M（
38、1，4） ； 综上，点 M 的坐标为（1，4）或(1 17 2 ，1 17 2 )或(1 17 2 ，1 17 2 ) 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的最值与平行四边形的性 质 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1818） 一、例题分析 1. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC6，BD8，P是对角线BD上任意一点， 过点P作EFAC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设BPx，EFy，则能大致表示y与x之间关 系的图象为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图形先利用平行线的性质求出
39、BEFBAC，再利用相似三角形的性质得出 x 的取值范围和函数解析 式即可解答 【详解】当 0 x4 时，BO为ABC的中线，EFAC，BP为BEF的中线，BEFBAC， BPEF BOAC ，即 46 xy ，解得 3 2 yxy，同理可得，当 4x8 时， 3 (8) 2 yx.故选A. 【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似 2. 如图,已知A1,A2,A3,An,是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=An1An=1,分别过点A1,A2,A3,An,作x 轴的垂线交反比例函数y= 1 x (x0)的图象于点B1,B2,B3,Bn,过点B2作B2P1A1B1
40、于点P1,过点B3作B3P2 A2B2于点P2,记B1P1B2的面积为S1,B2P2B3的面积为S2,BnPnBn+1的面积为Sn.则S1+S2+S3+Sn=_. 【答案】 22 n n 【解析】 分析】 由 OA1=A1A2=A2A3=An-1An=1 可知 B1点的坐标为（1，y1） ，B2点的坐标为（2，y2） ，B3点的坐标为（3，y3） Bn点的坐标为（n，yn） ，把 x=1，x=2，x=3 代入反比例函数的解析式即可求出 y1、y2、y3的值，再由三角形 的面积公式可得出 S1、S2、S3Sn的值，故可得出结论 【详解】解：OA1=A1A2=A2A3=An-1An=1， 设 B1
41、（1，y1） ，B2（2，y2） ，B3（3，y3） ，Bn（n，yn） ， B1，B2，B3Bn 在反比例函数 y= 1 x （x0）图象上，y1=1，y2= 1 2 ，y3= 1 3 yn= 1 n ， S1= 1 2 1（y1-y2）= 1 2 1（1- 1 2 ）= 1 2 （1- 1 2 ） ；S2= 1 2 1（y2-y3）= 1 2 （ 11 23 ） ； S3= 1 2 1（y3-y4）= 1 2 （ 11 34 ） ；Sn= 1 11 21nn （） ， S1+S2+S3+Sn= 1 2 （1- 11111 22334 + 11 1nn ）= 22 n n 故答案为 22 n
42、 n 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是 解答此题的关键 3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA4，OC3动点P从点C出发，沿射线CB方向 以每秒 2 个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒 1 个单位长度的速 度运动设点P、Q的运动时间为t秒 （1）当t2 秒时，求 tanQPA的值； （2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM2AM时，求t的值； （3）连结CQ，当点P，Q在运动过程中，记CQPV与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系 式； （4）直接写出OAB的角平
43、分线经过CQPV边上中点时的t值 【答案】 （1） 2 3 ； （2）3ts； （3） 3 02 24 24 4 3 2 42 4 tt St t t t t ； （4）1s或5s或 5 . 3 s 【解析】 【分析】 （1）当t2s时，可知P与点B重合，在 RtABQ中可求得 tanQPA的值； （2）用t可表示出BP和AQ的长，由PBMQAM可得到关于t的方程，可求得t的值； （3）当点Q在线段OA上时，SSCPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角 形的性质可用t表示出AM的长，由SS四边形BCQMS矩形OABCSCOQSAMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在
44、OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用AQMBCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，SSCBM， 可求得答案 （4）先利用待定系数法求出直线AD解析式，再由C（0，3） ，P（2t，3） ，Q（t，0）知CP的中点坐标为（t， 3） ，CQ中点坐标为（ 2 t ， 3 2 ） ，PQ中点坐标为（ 3 2 t， 3 2 ） ，继而分别代入计算可得 【详解】解： （1）当t2s时，则CP224BC，即点P与点B重合，OQ2，如图 1， AQOAOQ422，且APOC3，tanQPA 2 3 AQ AP ； （2）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上
45、，如图 2， 则CP2t，OQt，BPPCCB2t4，AQOAOQ4t，PCOA，PBMQAM， BPBM AQAM ， 且BM2AM， 24 4 t t 2， 解得t3， 当线段PQ与线段AB相交于点M， 且BM2AM时， t为 3s； （3）当 0t2 时，如图 3， 由题意可知CP2t， SSPCQ 1 2 2t33t； 当 2t4 时，设PQ交AB于点M，如图 4， 由题意可知PC2t，OQt，则BP2t4，AQ4t， 同（3）可得 24 4 BPBMt AQAMt ，BM 24 4 t t AM，3AM 24 4 t t AM， 解得AM 123t t ， SS四边形BCQMS矩形O
46、ABCSCOQSAMQ34 1 2 t3 1 2 （4t） 123t t 24 24 t 3t； 当t4 时，设CQ与AB交于点M，如图 5， 由题意可知OQt，AQt4，ABOC， AMAQ OCOQ ，即 4 3 AMt t ， 解得AM 312t t ，BM3 312t t 12 t ， SSBCM 11224 4 2tt ；综上可知 3 02 24 243 24 24 4 tt Stt t t t （4）如图 6， OAD 1 2 OAB45，OA4，D（0，4） ， 设直线AD解析式为ykx+b， 代入，得： 40 4 kb b ，解得 1 4 k b ， 直线AD解析式为yx+4，
47、 由题意知C（0，3） ，P（2t，3） ，Q（t，0） ， CP的中点坐标为（t，3） ，CQ中点坐标为（ 2 t ， 3 2 ） ，PQ中点坐标为（ 3 2 t， 3 2 ） ， 若直线AD经过CP中点，则t+43，解得t1； 若直线AD经过CQ中点，则 2 t +4 3 2 ，解得t5； 若直线AD经过PQ中点，则 3 2 t+4 3 2 ，解得t 5 3 ； 综上，OAB的角平分线经过CQP边上中点时的t值为 1 或 5 或 5 3 【点睛】本题为二次函数与四边形的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、 三角函数的定义、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中确定 P、B 重合是解题的关键，在（2）中由 相似三角形的性质得到关于 t 的方程是解题的关键，在（3）中确定出 P、Q 的位置，从而确定出 S 为哪一 部分图形的面积是解题的关键本题为“运动型”问题，用 t 和速度表示出相应线段的长度，化“动”为 “静”是解这类问题的一般思路本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，情况较多，难度 较大 二、巩固提高 1.九章算术是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问 折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10 尺） ，一阵风将
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