1、漳州市 届高三毕业班第二次教学质量检测 数学试题 本试卷共 页 满分 分 考生注意: 答题前 考生务必在试题卷、 答题卡规定的地方填写自己的准考证号、 姓名 考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否 一致 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡 上 写在本试卷上无效 考试结束 考生必须将试题卷和答题卡一并交回 一、 单项选择题: 本大题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的. U AB .
2、设全集 若集合 则如图所示的阴影部分表示的集合为 . ( ). . ). ( ) . 若( )( ) 其中 则复数 在复平面内对应的点位于 . 第一象限. 第二象限. 第三象限. 第四象限 . 纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图 有着广大宽阔的直线 看起来 就像机场跑道一样 描绘的大多是动植物 位于南美洲西部的秘鲁 南部的纳斯卡荒原上 是存在了 年的谜局: 究竟是谁创造了 它们并且为了什么而创造 至今仍无人能解 因此被列入“十大谜 团”. 在这些图案中 最清晰的图案之一是一只身长 米的大蜘蛛 (如图) 据说这是一种学名为“节腹目” 的蜘蛛的形状. 这种蜘蛛 十分罕见 只有亚马逊河雨林中最偏远隐秘的
3、地区才能找到. 现用 视角为 的摄像头(注: 当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个 圆锥时 该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角) 在该蜘蛛的 上方拍摄 使得整个蜘蛛图案落在边长为 米的正方形区域内 则该摄像头距地面的高度的最小值是 . 米. ( ) 米 . ( ) 米 . ( ) 米 . 1 / 1 1 . 函数 () 的部分图象大致为 ABCD O O OOx y x y x y x y . 已知实数 满足 则 的最大值为 . . . . 某校甲、 乙、 丙三位同学报名参加 四所高校的强基计划考试 每所高校报 名人数不限 因为四所高校的考试时间相同 所以甲、 乙、 丙只能随机各自报考其中一
4、 所高校 则恰有两人报考同一所高校的概率为 . . . . . 已知直角梯形中 是边上一点(不包括、 两点). 若 且 则 的最小值为 . . . . . 已知函数 () 则下列结论错误的是 . 函数 () 的值域为( ) . 函数 () 的图象关于点( ) 对称 . 函数 () () 有且只有 个零点 . 曲线 () 的切线斜率的最大值为 二、 多项选择题: 本大题共小题 每小题分 共分 在每小题给出的四个选项中 有 多个选项符合题目要求 全部选对的得 分 选对但不全的得 分 有选错的得 分. . 设 的内角 的对边分别为 若 则角 可以是 . . . . . 2 / 1 1 . 在第一次全
5、市高三年级统考后 某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况 将全 班名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图. 已知该班级学生的数学成绩全部介于 分到 分之间(满分 分) 将数学成绩按如下方式分成八组: 第一组 ) 第 二组 ) 第八组 按上述分组方法得到的频率分布直方图的一 部分 如图所示 则下列结论正确的是 . 第七组的频率为 . 该班级数学成绩的中位数的估计值为 分 . 该班级数学成绩的平均分的估计值大于 分 . 该班级数学成绩的方差的估计值大于 . 已知正三棱柱 中 为的中点 点在线段上 则下列结论正确的是 . 直线 平面 . 和 到平面 的距离相等 . 存在点 使得 平面 . 存在点
6、使得 . 已知 为抛物线 : ( ) 的焦点 为 的准线与 轴的交点 点 在抛物 线 上 设 则下列结论正确的是 . 抛物线 在点( ) 处的切线过点 . 的最大值为 . . 存在点 使得 三、 填空题: 本题共 小题 每小题 分 共 分. . 写出一个离心率为 的双曲线方程:. . 已知( ) ( ) ( ) ( ) 则 . . 已知 函数 () ( ) 的图象向右平移 个单位得到 () 的图象 若函数 () 与函数 () ( ) 的极值点完全相同则 的最小值为. (第一空 分 第二空 分) . 已知正方体 的棱长为 点 在平面 内 且 则点 的轨迹的长度为. . 3 / 1 1 四、 解答
7、题: 本题共 小题 共 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . ( 分) 已知数列 的前 项和为 且满足 . () 求 的通项公式 () 若 求数列 的前 项和 . . ( 分) 已知 的内角 所对的边分别为 且满足 . () 求角 () 设点 在边 上 且 证明: 若 则 存在最大值或最小值. 请在下面的两个条件中选择一个条件填到上面的横线上 并证明. 是 的中线 是 的角平分线. . ( 分) 如图 在四棱锥 中 侧面 底面 底面 是直角梯形 . () 证明: 平面 平面 () 在线段上是否存在点 使得直线与平面所成角的正弦值为 ? 若存 在 求出线段 的长度 若不存在 请说明理
8、由. P A D C M B . 4 / 1 1 . ( 分) 已知左、 右焦点分别为 、 的椭圆 : () 过点( ) 以 为直径的圆过 的下顶点 . () 求椭圆 的方程 () 若过点 ( ) 的直线 与椭圆 相交于 两点 且直线 、 的斜率分别 为 、 证明: 为定值. . ( 分) 某种玩具启动后 该玩具上的 灯会亮起红灯或绿灯(红灯和绿灯不会同时亮起) 第 次亮灯时 亮起红灯的概率为 亮起绿灯的概率为 . 若第 次亮起的是红 灯 则第 次 亮起红灯的概率为 亮起绿灯的概率为 若第 次亮起的是绿 灯 则第 次亮起红灯的概率为 亮起绿灯的概率为 . 记第 次亮灯时 亮起红 灯的概率为 .
9、该玩具启动前可输入 玩具启动后 当 . . 5 / 1 1 漳州市 届高三毕业班第二次教学质量检测 数学参考答案及评分细则 评分说明: . 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 . 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 . 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 . 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一、 单项选择题: 本大
10、题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的. . . . . . . . . 二、 多项选择题: 本大题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 有 多个选项符合题目要求 全部选对的得 分 选对但不全的得 分 有选错的得 分. . . . . 三、 填空题: 本大题共 题 每小题 分 共 分. . (答案不唯一) . . . 四、 解答题: 本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. . 解: () 因为 所以当 时 又 所以 . 分 因为 所以当 时 两式相减得: 所以 分 又 所以 分 所以数列 是以 为首项 以
11、为公比的等比数列 所以 . 分 . 6 / 1 1 () 由() 得 分 所以 ( ) 分 所以 ( ) ( ) ( ) . 分 . 解: () 因为 所以 ( ) 分 所以 所以由正弦定理 得 分 所以 分 因为 ( ) 所以 . 分 () 若选择 则 ( ) 分 所以 ( ) 分 因为 所以 ( ) 分 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 即( ) 所以 分 当且仅当 时 ( ) . 所以 存在最大值 所以原命题成立. 分 若选择 则 因为 分 所以 分 因为 所以 所以 所以 分 所以 ( )( ) ( ) ( ) 分 当且仅当 时 ( ) . . 7 / 1 1 所以 存在最小值 所
12、以原命题成立. 分 . () 证明: 因为平面 底面 且平面 平面 平面 所以 平面 分 又 平面 所以平面 平面 . 分 () 解: 在平面 内 过点 作 交 于点 则可知 平面 . 以 为坐标原点 分别以 方向为 轴的正方向 建立空间直角坐 标系 分 则由 可得 ( ) ( ) ( ) ( ) P A M E B D C 则 ( ) ( ) ( ) 分 设 () 为平面 的法向量 则有 即 取 ( ) 分 设 ( ) 则 ( ( ) ) 若直线 与平面 所成角的正弦值为 则 分 解得 或 分 故存在点 满足题意 此时 或 . 分 . 解: () 因为以 为直径的圆过点 ( ) 所以 分 所
13、以 分 所以 : 因为 过点( ) 所以 . 8 / 1 1 解得 分 所以椭圆 的方程为 . 分 () 由题意 可设直线 的方程为 () ( ) 由方程组 消去 得 ( ) . 分 于是 分 因为 () 所以 分 于是 () () () () () ( ) 为定值. 分 . 解: () 由题意 得 的所有取值为 因为 表示前 次亮灯的颜色为“绿绿绿” 所以 ( ) . 因为 表示前 次亮灯的颜色为“红绿绿” 或“绿红绿” 或“绿绿红” 所以 ( ) . 因为 表示前 次亮灯的颜色为“红红绿” 或“红绿红” 或“绿红红” 所以 ( ) . 因为 表示前 次亮灯的颜色为“红红红” 所以 ( )
14、. 所以 的分布列为 分 所以 () . 分 () () 由题意 得 ( ) 分 所以 ( ) 分 . 9 / 1 1 因为 所以 分 所以 是首项为 公比为 的等比数列 所以 ( ) 所以 ( ) . 分 () 由 ( ) 得 ( ) 得( ) 当 为奇数时 所以 分 所以该玩具启动后 在前次亮灯中 当 时 该玩具可能唱歌 所以该玩具启动后 在前 次亮灯中 该玩具最 多唱 次歌. 分 . 解: () () 的定义域为( ) () 分 若 则 () 则由 () 得 得 所以 () 的递减区间为( ) 递增区间为( ). 分 () 因为 所以由() 知 () 在( ) 上递减 在( ) 上递增 因为 () 有两个不同的零点 不妨设 所以 且 () 分 又 () 因为当 时 () () () 的图象 . 1 0 / 1 1 连续不断 所以 () 有唯一零点 且 . 分 所以 只需证明 分 只需证明 因为 () 在( ) 上递增 ( ) 所以只需证明 () ( ) 分 因为 () () 所以只需证明 () ( ) 只需证明 () ( ) 令 () () ( ) 只需证明 () () 只需证明 () 在( ) 上递减 分 因为 () 所以当 时 () () ( ) ( ) ( ) . 分 . 1 1 / 1 1
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