1、2021 届届新课标全国新课标全国 I 高考理科数学预测卷高考理科数学预测卷 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1.已知 i 为虚数单位，复数 3 , i 1i zz 为 z 的共轭复数，则| z ( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 1 3 D. 1 4 2.已知集合 2 2 log (1) 1 ,1MxxNxxZ，则MN I( ) A.1,3 B. C.2,3 D.1,2,3 3.如图， 圆柱的底面半径为 1，
2、平面ABCD为圆柱的轴截面， 从A点开始， 沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C 点，若绳子的最短长度为3，则该圆柱的侧面积为( ) A. 2 4 2 B. 2 2 2 C. 2 5 2 D. 2 4 4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点, 2P m 到焦点的距离为 4，则实数m的值为 ( ) A.4 B.2 C.4 或4 D.2 或2 5.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 4 次试验，测得的数据如下： 加工零件数x/个 2 3 4 5 加工时长/ miny 26 a 49 54 根据上表可得回归方程9.49.1yx $ ，则实数a为( ) A.37.3
3、 B.38 C.39 D.39.5 6.已知曲线 2 4ln2yxx的一条切线的斜率为 7，则该切线的方程为（ ） A.71yx B.71yx C.72yx D.73yx 7.函数 sin 21 2 yx 的最小值和最小正周期分别为( ) A.1，2 B.0，2 C.1， D.0， 8.在 5 6 1 ()1xx y 的展开式中，含 4 2 x y 项的系数为( ) A.200 B.180 C.150 D.120 9.已知 1 ,sincos 225 ，则 22 1 cossin 的值为( ) A. 7 5 B. 7 5 C. 25 7 D. 25 7 10.已知在菱形 ABCD 中，2 3A
4、BBD，将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起，得到三棱锥ABCD，且使 得棱3 3AC ，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为( ) A.7 B.14 C.28 D.35 11.对于圆 22 (1)(1)1xy上任意一点,P x y， 若点P到直线 1:3 490lxy和直线 2:3 40lxya 的距离之和都与, x y无关，则a的取值范围是( ) A.6,) B. 4,6 C.( 4,6) D.(, 4 12.已知定义在R上的函数 f x的周期为 4，当 2,2)x 时， 1 ( )4 3 x f xx ，则 33 log 6log 54ff( ) A. 3 2 B. 3 3 log 2
5、2 C. 1 2 D. 3 2 log 2 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.已知实数, x y满足 1, 28, 1, yx xy x ，则 3 3 xy x 的最大值为_. 14.已知向量(2,),(1,2)maab，若/(2 )aab，则实数m _. 15.过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于, A B两点，与双曲线的渐近 线交于,C D两点.若 5 | 13 ABCD，则该双曲线离心率的取值范围为_. 16.在ABCV中，内角, ,A B C所对的边
6、分别为, , ,a b c D是AB的中点，若1CD ，且 1 sin()(sinsin) 2 abAcbCB ，则ABCV面积的最大值是_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17.（12 分）已知首项为 3 2 的等比数列 n a的前n项和为 * n SnN，且 234 2,4SSS成等差
7、数列. (1)求数列 n a的通项公式； (2)证明： * 113 6 n n Sn S N. 18.（12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC中，平面 11 A ACC 平面,ABCABC和 1 A AC都是正三角形，D 是 AB的中点. （1）求证： 1 BC平面 1 ADC； （2）求二面角 11 ADCC的余弦值. 19.（12 分）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展种植业.该县农科所 为了对比, A B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了, A B两种茶叶各 20 亩，所得亩产数据(单 位：千克)如下： A：41.3，47.3，48.1，4
8、9.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，59.6，59.7， 60.6，60.7，61.1，62.2； B：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7，53.4，54.9， 55.6，56.7，56.9，58.7. (1)从, A B两种茶叶亩产数据中各任取一个，求这两个数据都不低于 55 的概率. (2)从B品种茶叶的亩产数据中任取两个， 记这两个数据中不低于 55 的个数为X， 求X的分布列及数学 期望. (3)根据以上数据，你
9、认为该县应选择种植茶叶A还是茶叶B?说明理由. 20.（12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴长与焦距分别为方程 2 680 xx的两个实数根. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l过点4,0M 且与椭圆相交于, A B两点，F是椭圆的左焦点，当ABFV的面积最大时，求直 线l的斜率. 21.（12 分）设函数 1 ( ), ( )lnf xxg xtx x ，其中(0,1),xt为正实数. (1)若 f x的图象总在函数 g x的图象的下方，求实数t的取值范围； (2)设 22 1 ( )ln1 e11 x H xxxx x ，证明：对任意0,1x，都有 0H
10、 x . （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 2223 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 3cos , sin x y （为 参数），直线 l 的参数方程为 1, 3 xt yt （t 为参数）. （1）求 l 的普通方程，说明C是哪一种曲线； （2）设,M N分别为 l 和 C 上的动点，求|MN的最小值. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数( ) |21|3|()f xxxaaR
11、. （1）若( )f x的最大值为 5，求 a； （2）若0a ，在（1）的条件下，求不等式|( )| 5f x 的解集. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：B 解析：化简复数 3 ii11 i 1i1i22 z ，则 11 i 22 z ，根据复数的模的定义，则 22 112 | 222 z .故选 B. 2.答案：C 解析：由 2 log (1) 1,x 可得01 2,x 解得13,x 则3(1,M ，由 2 1x 可得 1x 或1,x 又,xZ所以 2,3MN I ，故选 C. 3.答案：A 解析： 沿AD将圆柱的侧面展开， 绳子的最短长度即侧面展开图中, A C两点间的距离， 连接A
12、C， 则3AC ， 展开后AB的长度为.设圆柱的高为h，则 222 ACABh，即 222 9h，得2 2h ，所以圆柱的 侧面积为 2 2 1 2 24 2 . 4.答案：C 解析：由题可设抛物线的标准方程为 2 2(0)xpy p，由点P到焦点的距离为 4，得 2 24,4,8 2 p pxy .将点( , 2)P m 代入 2 8xy ，得4m . 5.答案：C 解析：根据题意可得 2345264954129 3.5, 444 aa xy ，又回归直线过中心点 , x y，所以 129 9.43.59.1 4 a ，解得39a . 6.答案：B 解析： 设切点坐标为 00 ,xy， 则
13、1 8yx x ， 故 0 0 1 87x x ， 解得 00 1 1 8 xx 舍去） ， 故 0 426y ， 故所求切线方程为67(1)yx，即71yx. 7.答案：D 解析： ( )sin 21, 2 f xx 当 sin 21 2 x 时，( )f x取得最小值，且 min ( )0f x.又其最小正周期 2 2 T ， ( )sin 21 2 f xx 的最小值和最小正周期分别是 0，.故选 D. 8.答案：C 解析： 6 ()xx的展开式的通项为 6 6 2 166 C ()C r rrrr r Txxx ，令 6 4 2 r ，可得2r ， 则 6 2 24 2 2 16 C1
14、5Txx . 5 1 1 y 的展开式的通项为 155 1 CC k kkk k Ty y ，令2k ，可得 222 2 15 C10Tyy ，综上可得，含 4 2 x y 项的系数为15 10150. 9.答案：C 解析：由 1 sincos 5 ，得 2 2 1 (sincos ) 5 ， 24 2sincos0 25 . ,0,sin0,cos0 222 . 222 2449 (cossin)cos2sincossin1 2525 ， 7 cossin 5 . 22 1125 cossin(cossin)(cossin)7 . 10.答案：C 解析：本题考查三棱雉的外接球的表面积.由题意
15、可知,ABDBCDVV为等边三角形.如图所示，设外接球的球 心为 O，等边三角形 BCD 的中心为,O取 BD 的中点 F，连接,AF CF OO,OB O B OA 由 ABADBCBDDC，得,AFBD CFBD又AFCFF，所以BD 平面 AFC，且可求得AF 3,CF 而3 3,AC 所以AFC120 . 在平面 AFC 中过点 A 作 CF 的垂线，与 CF 的延长线交于点 E，由 BD 平面 AFC 得.BDAE又,AEEC BDECF所以AE 平面 BCD.过点 O 作OGAE于点 G，则 四边形O EGO 是矩形.又 2 sin602 3 O BBC ，所以 13 33 1.s
16、in60,sin30 222 O FO BAEAFEFAF .设外接球的半径为,R OOx 则由 222222 ,OOO BOB OAAGGO ，得 2 2 2222 3 33 2,1, 22 xRxR 解得 2 3,7,xR故三棱 锥ABCD外接球的表面积 2 428.SR故选 C. 11.答案：A 解析： 点( , )P x y到直线 1:3 490lxy与直线 2:3 40lxya的距离之和 2222 |34|349| 3434 xyaxy d ， 因为d与, x y无关，所以距离之和与P无关，如图所示，当 2 l在圆左上方时，P点到直线 12 ,l l的距离之 和均为 1 l与 2 l
17、之间的距离，即此时与, x y的值无关，当直线 2 l与圆相切时， 22 |3 14 1| 1 34 a ，化简得 |1| 5a，解得6a 或4a (舍去)，所以6a .故选 A. 12.答案：A 解析：Q定义在R上的函数 f x的周期为 4， 333 2 log 54log 544log, 3 fff Q当 2,2)x 时， 3 1 ( )4, log 6 2,2) 3 x f xx ， 333 2 log 2,2),log 6log 54 3 ff 33 2 log 6log 3 33 112 log 64log4 333 11 33 3 log 6log 2 333 112333 log
18、 6log86log68 333222 .故选 A. 13.答案： 15 8 解析：本题考查线性约束条件下求斜率型目标函数的最值.画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示， 目标函数 3 1, 33 xyy xx 其中 3 y x 可以看成是可行域内的点( , ) x y和点3,0 的连线的斜率.由图可得， 当直线过点 A 时，斜率最大，联立 280, 1, xy x 解得 1, 1, x x 即 7 1, 2 A 此时事线斜率为 7 0 7 2 , 1( 3)8 故 3 3 xy x 的最大值为 7 8 15 1 8 . 14.答案：4 解析：本题考查向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示.
19、ba(1,2)(1,2),2(4,34)mm ab.又 /(2 ),2 (34)40mm aab ，解得4.m 15.答案： 13 , 12 解析：易知 2 2 | b AB a ，因为渐近线方程为y b x a ，所以 2 | bc CD a .由 2 252 13 bbc aa 化简得 5 13 bc，即 22 25 169 bc，所以 222 25 169 cac，从而 2 169 144 c a ，解得该双曲线的离心率 13 12 c e a . 16.答案： 15 5 解析： 1 sin()(sinsin), 2 abAcbCB Q由正弦定理得 222 2 ab acb，即 222
20、2 ab abc，再由 余弦定理得 222 115 cos ,sin 244 abc CC ab .设2 ,cxABQ边的中线CD的长为 1，由余弦定理得 2222 11 0 22 xbxa xx ，得 222 22xab，即 222 224cab.由得 22 4 2 ab ab，由基本 不等式得 5 4 2 ab ， 即 81515 ,sin 5285 ABC ab abSCab V ， 当且仅当 2 10 5 ab时等号成立，ABCV 面积的最大值是 15 5 . 17.答案：(1)设等比数列 n a的公比为q， 因为 234 2,4SSS成等差数列， 所以 3243 24SSSS，即 4
21、324 SSSS，可得 43 2aa ， 于是 4 3 1 2 a q a . 又 1 3 2 a ，所以等比数列 n a的通项公式为 1 1 313 ( 1) 222 n n n n a . (2) 1 2, , 221 1111 1,1 122 1 2, . 1 2212 nn nn nn n n nn n SS S n 为奇数 为偶数 当n为奇数时， 1 n n S S 随 n的增大而减小，所以 1 1 1113 6 n n SS SS ； 当n为偶数时， 1 n n S S 随n的增大而减小，所以 2 2 1125 12 n n SS SS . 故对于 * nN，有 113 6 n n
22、 S S . 18.答案：（1）如图，连接 1 AC，交 1 AC于点 E，连接DE， 由于四边形 11 A ACC是平行四边形，所以 E 是 1 AC的中点. 因为 D 是AB的中点，所以 1 DEBC. 因为DE 平面 11 ,ADC BC 平面 1 ADC， 所以 1 BC平面 1 ADC. （2）如图，取AC的中点 O，连接 1 ,AO BO， 根据ABC和 1 A AC都是正三角形，得 1 ,AOAC BOAC. 又平面 11 A ACC 平面ABC，平面 11 A ACC 平面ABCAC，所以 1 AO 平面ABC，于是 1 AOBO. 以 O 为坐标原点，分别以 1 ,OB OC
23、 OA的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设2AC ，则 11 31 (0,0, 3), (0,1,0),0 ,(0,2, 3) 22 ACDC . 所以 11 33313 5 ,0 ,3 , 3 222222 CDADDC . 设平面 1 ADC的法向量为( , , )x y zm，则 1 0 0 CD A D m m ，即 33 0 22 31 30 22 xy xyz ，令3x ，则3,1yz，所以(3, 3,1)m. 设平面 1 DCC的法向量为( , , )a b cn， 则 1 0 0 CD DC n n ，即 33 0 22 35 30 22 ab a
24、bc ，令3a ，则3,1bc， 所以(3, 3, 1)n. 设二面角 11 ADCC的大小为，由图易知为锐角， 则 |11 cos | |13 m n mn ， 因此二面角 11 ADCC的余弦值为 11 13 . 19.答案：(1)从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55 的有 11 个，从B种茶叶亩产数据中任取一个， 不低于 55 的有 4 个， 设“所取两个数据都不低于 55”为事件M，则 11411 () 2020100 P M . (2)X的所有可能取值为 0，1，2， 20 164 2 20 C C12 (0) C19 P X ， 11 164 2 20 C C32 (1) C
25、95 P X ， 02 164 2 20 C C3 (2) C95 P X ， X的分布列为 X 0 1 2 P 12 19 32 95 3 95 X的数学期望 123232 ()012 1995955 E X . (3)如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由.如果选择B，可以从 B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由. 20.答案：(1)设椭圆的焦距为20c c ， 解方程 2 680 xx可得 12 2,4xx， 所以24,22ac，即2,1ac，所以 222 3bac， 故椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . (2)设直线l的方程为 1122
26、4,xmyA x yB x y， 联立方程，得 22 4, 1, 43 xmy xy 消去x得 22 3424360mymy， 则 222 5764 36 3414440mmm ，所以 2 4m . 由根与系数的关系知 1212 22 2436 , 3434 m yyy y mm ， 所以 2 12 2 3184 234 ABF m Syy m V . 令 2 4tm，则0t ，式可化为 2 1818183 3 16 316416 3 2 3 ABF t S t t t t t V ， 当且仅当 16 3t t ，即 16 3 t 时，等号成立. 此时 2 21 3 m ，满足0 ，所以直线
27、l的斜率为 21 14 . 21.答案：(1)因为函数 f x的图象恒在 g x的图象的下方， 所以 1 ( )( )ln0f xg xxtx x 在区间0,1上恒成立. 设 1 ( )ln ,(0,1)F xxtx x x ，所以 2 22 11 ( )1 txtx F x xxx ， 当 2 40t ，即02t 时，( )0F x ， 所以函数 F x在0,1上单调递增， 0F x ， 故 0f xg x恒成立，满足题意. 当 2 40t ，即2t 时，设 2 1 01xxtxx， 则 x图象的对称轴1, (0)1, (1)20 2 t xt ， 所以 x在0,1上存在唯一实根，设为 1
28、x，则 1,1 xx时，( )0 x，即( )0F x ， 所以 F x在 1,1 x上单调递减，此时 0F x ，不合题意. 综上，实数t的取值范围是(0,2. (2)由题意得 2 2 1e1 1 ( )e ln1e1e ln x xxx xxx H xxxx xx ， 因为当0,1x时，e10,ln0 x xxx ， 所以 2 2 1e1 e1 ( )0e ln e1ln x x x x xxx x H xx xxxxx . 令( )e1(01) x h xxx，则( )e10 x h x ， 所以 h x在0,1上单调递增， 0h x ，即e1 x x， 所以 2 e1(1)11 x x
29、xx xxx ，从而 2 ee e11 xx x xxx . 由(1)知当2t 时， 1 2ln0 xx x 在0,1x上恒成立，整理得 2 1 2 ln x xx . 令 2 e ( )(01) 1 x m xx x ，则要证 0H x ，只需证 2m x . 因为 2 2 2 e (1) ( )0 1 x x m x x ，所以( )m x在0,1上单调递增， 所以 e ( )2 2 m x ，即 2m x 在0,1上恒成立. 综上可得，对任意0,1x，都有 0H x 成立. 22.答案：（1）直线 l 的参数方程为 1, 3 xt yt （t 为参数）， 消去参数 t 得 l 的普通方程
30、为40 xy. 曲线 C 的参数方程为 3cos , sin x y （为参数）， 消去参数得 C 的普通方程为 2 2 1 9 x y. 所以C是长轴长为 6，短轴长为 2，焦点在x轴上的椭圆. （2）依题意，设N的坐标为(3cos ,sin)， 则点N到直线 l：40 xy的距离 |3cossin4| 10sin()4| 22 d （其中tan3）. 当sin()1时，d取得最小值，为2 25， 即| MN 的最小值为2 25. 23.答案：（1）令210 x ，得 1 2 x ，令30 xa，得 3 a x . 易知当 1 32 a 时，不合题意. 当 1 32 a ，即 3 2 a ，
31、 当 1 2 x 时，( )1f xxa ； 当 1 32 a x剟时，( )51f xxa ； 当 3 a x 时，( )1f xxa . 故当 3 a x 时，( )f x取得最大值，且 max 2 ( )15 3 f xa ，解得9a . 若 1 32 a ，即 3 2 a ， 当 1 2 x 时，( )1f xxa ； 当 1 23 a x剟时，( )51f xxa ； 当 3 a x 时，( )1f xxa . 故当 3 a x 时，( )f x取得最大值，且 max 2 ( )15 3 f xa ，解得6a . 综上，a 的值为 9 或6. （2）因为0a ，所以9a ， ( ) |21|39|f xxx， 8,3 1 ( )510, 3 2 1 8, 2 xx f xxx xx 剟， 由|( )| 5f x 得 |8| 5 3 x x 或 | 510| 5 1 3 2 x x 剟 或 |8| 5 1 2 x x ， 解得13x 或 1 1 2 x 或 1 2 x . 故不等式|( )| 5f x 的解集为(, 13)( 1,) .
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