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    2021届中考数学压轴大题专项训练专题07:综合探究类(含答案解析)

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    2021届中考数学压轴大题专项训练专题07:综合探究类(含答案解析)

    1、 专题 07 综合探究类 2021 届中考数学压轴大题专项训练(解析版) 1综合与实践 问题背景: 综合与实践课上,同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象,进行相一次相关问题的研究 下面是创新 小组在操作过程中研究的问题, 如图一,ABCDEF, 其中ACB=90 ,BC=2,A=30 操作与发现: (1) 如图二, 创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置, 四边形 ACBF的形状是 , CF= ; (2) 创新小组在图二的基础上, 将DEF 纸片沿 AB方向平移至图三的位置, 其中点 E与 AB的中点重合 连 接 CE,BF四边形 BCEF 的形状是 ,CF= 操作与探究 : (3)创新

    2、小组在图三的基础上又进行了探究,将DEF纸片绕点 E逆时针旋转至 DE 与 BC平行的位置, 如图四所示,连接 AF, BF 经过观察和推理后发现四边形 ACBF 也是矩形,请你证明这个结论 【解析】 (1)如图所示: ABCDEF, 其中ACB=90 ,BC=2,A=30 , 60 ,2ABCFEDBCEF , 90CFFAC,四边形 ACBF是矩形,AB=4, AB=CF=4; 故答案为:矩形,4 ; (2)如图所示: ABCDEF, 其中ACB=90 ,BC=2,A=30 , 60 ,2ABCFEDBCEF , /BC EF,四边形 ECBF是平行四边形, 点 E 与 AB 的中点重合,

    3、CE=BE,CBE是等边三角形, EC=BC,四边形 ECBF是菱形,CF与 EB互相垂直且平分, 3 3 2 OCEC,2 3CF , 故答案为:菱形,2 3; (3)证明:如图所示: 90 ,3060CAABC /,DE BCDEFABC 60DEBDEFABC 60AEF 24,2ABBCAE 2EFBCAEEF AEF为等边三角形 60FAEABC /BCAF AEEFBC 四边形 ACBF为平行四边形 90C 四边形 ACBF为矩形 2如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,A,B,C为格点,D为小正方形边的中点. (1)AC的长等于_; (2)点P,Q分别为线段BC,AC上的动

    4、点,当PDPQ取得最小值时,请在如图所示的网格中,用 无刻度 的直尺,画出线段PD,PQ,并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的(不要求证明). 【解析】解: (1)由图可得: AC= 22 345 , 故答案为:5; (2)如图,BC与网格线相交,得点P;取格点E,F,连接EF,与网格线相交,得点G,取格点M, N,连接MN,与网格线相交,得点H,连接GH,与AC相交,得点Q.连接PD,PQ.线段PD,PQ 即为所求. 如图,延长 DP,交网格线于点 T,连接 AB,GH与 DP 交于点 S, 由计算可得:AB= 20,BC=5,AC=5, ABC为直角三角形,ABC=90 , tanACB

    5、=2, tanBCT=PT:TC=2, ACB=BCT,即 BC平分ACT, 根据画图可知:GHBC, ACB=CQH,BCT=GHC, BCT=BCA, CQH=GHC, CQ=CH, 由题意可得:BS=CH, BS=CQ, 又BP=CP,PBS=PCQ, BPSCPQ, PSB=PHC=90 ,即 PQAC, PD+PQ 的最小值即为 PD+PT, 所画图形符合要求. 3数学实验室: 制作 4张全等的直角三角形纸片 (如图 1) , 把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图” (如图2) , 古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理 探索研究: (1)小明将“弦图”中的 2个三角形进行

    6、了运动变换,得到图 3,请利用图 3证明勾股定理; 数学思考: (2)小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置,也可以证明勾股定理请你想一种方法支持 她的观点(先在备用图中补全图形,再予以证明) 【解析】 (1)解:如图 3所示, 图形的面积表示为: 2222 1 2 2 abababab , 图形的面积也可表示: 22 1 2 2 cabcab , a2 b 2abc2ab, a2 b 2 c 2 (2)解:如图 4所示, 大正方形的面积表示为:ab2, 大正方形的面积也可以表示为: 22 1 42 2 cabcab , 22 ()2abcab, a2 b 22abc22ab, a

    7、2 b 2 c 2; 4综合与探究 (实践操作)三角尺中的数学 数学实践活动课上, “奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起, 如图 1, 使直角顶点重合于点 C (问题发现) (1)填空:如图 1,若ACB145 ,则ACE的度数是 ,DCB的度数 ,ECD的度 数是 如图 1,你发现ACE与DCB 的大小有何关系?ACB与ECD的大小又有何关系?请直接写出你发 现的结论 (类比探究) (2)如图 2,当 ACD与 BCE 没有重合部分时,上述中你发现的结论是否还依然成立?请说明理由 【解析】解: (1)145 90 55ACEDCB =, 90 5535ECDBCEBCD=; 结论

    8、:ACEDCB,180ACBECD= ; 证明: 90ACEACBBCEACB,90DCBACBACDACB ACEDCB 9090180ACBACDBCEECDECDECD 180ACBECD= (2)结论:当ACD与BCE没有重合部分时,上述中发现的结论依然成立 理由: 90ACDECB, ACDDCEECBDCE, ACEDCB, 90ACDECB, 180ACDECB=, 360ACDECDECBACB=, 180ACBECD=, ACEDCB,180ACBECD= 上述中发现的结论依然成立 故答案为: (1)55 , 55 , 35 ;ACEDCB,ACB+ECD180 ; (2)当

    9、 ACD与 BCE没 有重合部分时,上述中发现的结论依然成立,理由详见解析 5操作:将一把三角尺放在如图的正方形ABCD中,使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的 一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q,探究: (1)如图,当点Q在DC上时,求证:PQ PB. (2)如图,当点Q在DC延长线上时,中的结论还成立吗?简要说明理由. 【解析】(1)证明:过点P作/BCMN,分别交AB于点M,交CD于点N, 则四边形 AMND和四边形 BCNM都是矩形, AMP 和 CNP 都是等腰直角三角形 NP=NC=MB BPQ=90 QPN+BPM=90 ,而BPM+PBM=90 , QPN=PB

    10、M,又QNP=PMB=90 , 在 QNP 和 BMP 中, QNP=PMB,MB=NP,QPN=PBM QNPPMB(ASA) , PQ=BP (2)成立. 过点P作PNAB于N,PN交CD于点M 在正方形ABCD中/ABCD,45ACD 90PMQPNBCBN CBNM是矩形, CMBN, CMP是等腰直角三角形, PMCMBN, 90PBNBPN,90BPNMPQ MPQPBN , 在PMQ和BNP中, 90 MPQPBN PNBPMQ BNPM , PMQBNP AAS , BPQP; 6实践操作:第一步:如图 1,将矩形纸片ABCD沿过点 D的直线折叠,使点 A落在CD上的点 A 处

    11、, 得到折痕DE,然后把纸片展平第二步:如图 2,将图 1中的矩形纸片ABCD沿过点 E 的直线折叠,点 C恰好落在AD上的点 C 处,点 B 落在点 B 处,得到折痕EF,BC 交 AB于点 M, CF 交DE于点 N, 再把纸片展平 问题解决: (1)如图 1,填空:四边形AEA D的形状是_; (2)如图 2,线段MC与ME是否相等?若相等,请给出证明;若不等,请说明理由; (3)如图 2,若2cm,4cmACDC ,求:DNEN的值 【解析】 (1)解:ABCD是平行四边形, /AD BC EA, /AE DA 四边形 AEAD是平行四边形 矩形纸片ABCD沿过点 D的直线折叠,使点

    12、A落在CD上的点 A 处 AEDAED AEAE 90A 四边形AEA D的形状是正方形 故最后答案为:四边形AEA D的形状是正方形; (2)MCME 理由如下:如图,连接 EC ,由(1)知:ADAE 四边形ABCD是矩形, 90ADBCEACB , 由折叠知:BCBCBB , 90AEBCEACB , 又ECCE, Rt ECA Rt CEB CEAECB MCME (3)Rt ECA Rt CEB ,AC BE 由折叠知:B EBE,ACBE 2(cm)4(cm)ACDC , 2428 cmABCD 设cmDFx,则8cmFCFCx 在Rt DCF 中,由勾股定理得: 222 4(8)

    13、xx 解得:3x ,即3 cmDF 如图,延长BA FC,交于点 G,则ACGDCF 3 tantan 4 AGDF ACGDCF ACDC 3 (cm) 2 AG 315 6(cm) 22 EG /DF EG,DNFENG 152 :3: 25 DN ENDF EG 7综合与实践 在线上教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能例如教材八年级下册的数学活动 折纸,就引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中,进一步发展了同学们的空间观念,积累了数 学活动经验 实践发现: 对折矩形纸片 ABCD,使 AD与 BC重合,得到折痕 EF,把纸片展平;再一次折叠纸片,使点 A落在 EF上

    14、的点 N处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,把纸片展平,连接 AN,如图 (1)折痕 BM (填“是”或“不是”)线段 AN 的垂直平分线;请判断图中 ABN 是什么特殊三角形? 答: ;进一步计算出MNE ; (2)继续折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 H 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BG,把纸片展平,如图 ,则GBN ; 拓展延伸: (3)如图,折叠矩形纸片 ABCD,使点 A落在 BC边上的点 A处,并且折痕交 BC边于点 T,交 AD 边于 点 S,把纸片展平,连接 AA交 ST 于点 O,连接 AT 求证:四边形 SATA是菱形 解决问题: (4)如图,矩形纸片 A

    15、BCD 中,AB10,AD26,折叠纸片,使点 A落在 BC边上的点 A处,并且折 痕交 AB 边于点 T,交 AD边于点 S,把纸片展平同学们小组讨论后,得出线段 AT的长度有 4,5,7,9请 写出以上 4 个数值中你认为正确的数值 【解析】解: (1)如图对折矩形纸片 ABCD,使 AD与 BC 重合, EF 垂直平分 AB, ANBN,AEBE,NEA90 , 再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上的点 N处, BM 垂直平分 AN,BAMBNM90 , ABBN, ABANBN, ABN是等边三角形, EBN60 , ENB30 , MNE60 , 故答案为:是,等边三角形,60;

    16、 (2)折叠纸片,使点 A落在 BC 边上的点 H处, ABGHBG45 , GBNABNABG15 , 故答案为:15 ; (3)折叠矩形纸片 ABCD,使点 A落在 BC边上的点 A处, ST垂直平分 AA, AOAO,AAST, ADBC, SAOTAO,ASOATO, ASOATO(AAS) SOTO, 四边形 ASAT 是平行四边形, 又AAST, 边形 SATA是菱形; (4)折叠纸片,使点 A落在 BC 边上的点 A处, ATAT, 在 Rt ATB 中,ATBT, AT10AT, AT5, 点 T 在 AB 上, 当点 T与点 B重合时,AT 有最大值为 10, 5AT10,

    17、正确的数值为 7,9, 故答案为:7,9 8综合与实践 问题情境 数学活动课上,老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动,ACD和BCE是两个等边三 角形纸片,其中,52ACcm BCcm, 解决问题 (1)勤奋小组将ACD和BCE按图 1所示的方式摆放(点,A C B在同一条直线上) ,连接,AE BD发 现AEDB,请你给予证明; (2)如图 2,创新小组在勤奋小组的基础上继续探究,将BCE绕着点C逆时针方向旋转,当点E恰好落 在CD边上时,求ABC的面积; 拓展延伸 (3) 如图3, 缜密小组在创新小组的基础上, 提出一个问题: “将BCE沿CD方向平移acm得到,B C E

    18、 连接ABB C,,当AB C恰好是以AB为斜边的直角三角形时,求a的值请你直接写出a的值 【解析】 (1)ACD和BCE是两个等边三角形, AC=CD,BC=CE,ACD=ECB=60 , ACD+DCE=ECB+DCE, 即ACE=DCB, ACEDCB, AE=BD; (2)由题意得ACD=ECB=60 , 过点 B作 BFAC,交 AC的延长线于 F, BCF=180 -ACD-ECB=60 ,F=90 , CBF=30 , CF= 1 2 BC=1cm, BF= 22 3BCCF cm, 11 53 22 ABC SAC BF = 5 3 2 ; (3)由题意得ACD=ECB =60

    19、 , ACB=90 , 30C CB , CCBCBCECB , 30C B C , CCCB =2cm, a=2. 9动手做一做:某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干,数学兴趣小组的同学利 用其中 7块恰好拼成一个矩形(如图 1) ,后来又用它们拼出了 XYZ等字母模型(如图 2、图 3、图 4) ,每 个塑料板保持图 1的标号不变,请你参与: (1)将图 2中每块塑料板对应的标号填上去; (2)图 3 中,点画出了标号 7的塑料板位置,请你适当画线,找出其他 6块塑料板, 并填上标号; (3)在图 4中,找出 7 块塑料板,并填上标号 【解析】 (1)如下图 (2)如下

    20、图 (3)如下图 10已知:如图 1,在O中,弦2AB ,1CD,ADBD直线 ,AD BC相交于点E (1)求E的度数; (2)如果点,C D在O上运动,且保持弦CD的长度不变,那么,直线,AD BC相交所成锐角的大小是否 改变?试就以下三种情况进行探究,并说明理由(图形未画完整,请你根据需要补全) 如图 2,弦AB与弦CD交于点F ; 如图 3,弦AB与弦CD不相交: 如图 4,点B与点C重合 【解析】解: (1)连接OC、OD,如图: ADBD AB是直径 1OCODCD OCD是等边三角形 60COD 30DBE 60E (2)结论:直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是6

    21、0 证明:连接OD、OC、AC,如图: 1ODOCCD OCD为等边三角形 60COD 30DAC 30EBD 90ADB 903060E 结论:直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60 证明:连接OC、OD,如图: ADBD AB是直径 1OCODCD OCD是等边三角形 60COD 30DBE 903060BED 结论:直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60 证明:如图: 当点B与点C重合时,则直线BE与 O只有一个公共点 EB恰为O的切线 90ABE 90ADB,1CD,2AD 30A 60E 故答案是: (1)60E (2)结论:直线AD 、BC相交所成锐

    22、角的大小不发生改变,依然是60; 证明过程见详解结论:直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变,依然是60;证明过程见详 解结论:直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变,依然是60;证明过程见详解 11综合与实践:折纸中的数学 问题背景 在数学活动课上,老师首先将平行四边形纸片 ABCD按如图所示方式折叠,使点 C 与点 A 重合,点 D落 到 D处,折痕为 EF这时同学们很快证得: AEF是等腰三角形接下来各学习小组也动手操作起来,请 你解决他们提出的问题 操作发现 (1) “争先”小组将矩形纸片 ABCD 按上述方式折叠,如图,发现重叠部分 AEF 恰好是等边三角形,求矩 形 A

    23、BCD的长、宽之比是多少? 实践探究 (2)“励志”小组将矩形纸片 ABCD 沿 EF折叠,如图,使 B 点落在 AD 边上的 B处;沿 BG 折叠,使 D点落 在 D处,且 BD过 F 点试探究四边形 EFGB是什么特殊四边形? (3)再探究:在图中连接 BB,试判断并证明 BBG的形状 【解析】解: (1)矩形ABCD的长、宽之比应是 3 证明:设BEa, AEF等边三角形, 60EAF, 四边形ABCD为矩形, 90BADABE ,30BAEBADEAF 在Rt ABE中,90ABE,30BAE,BEa, 2 sin BE AEa BAE ,3 tan BE ABa BAE , AEEC

    24、, 3BCBEECa, 3 3 3 BCa ABa (2)四边形B EFG是平行四边形 证明:四边形ABCD为矩形, /ADBC, B EFBFE ,EB FGFB ,DB GFGB 由翻折的特性可知:BFEB FE ,DB GFB G , B EFB FE ,FB GFGB , 又EB FGFB , B FEFB G , / /EFB G, 又/ /B EFG, 四边形B EFG 是平行四边形 (3)BB G为直角三角形 证明:连接BB交EF于点M,如图所示 /ADBC, EB BFBB, BFB F, FBBFB B, EB BFB B B EFB FE , B EF 为等腰三角形, B

    25、MEF , 90BMF / /EFB G, 90BB GBMF , BB G 为直角三角形 12综合与实践 问题情境: 在综合与实践课上,老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动如图 1,在 ABC中,AB AC10cm,BC16cm将 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 剪开,得到 ABD和 ACD 操作发现: (1)乐学小组将图 1中的 ACD 以点 D为旋转中心,按逆时针方向旋转,使得 ACAD,得到图 2,AC 与 AB交于点 E,则四边形 BECD 的形状是 (2)缜密小组将图 1中的 ACD 沿 DB方向平移,AD与 AB 交于点 M,AC与 AD交于点 N,得到图 3

    26、, 判断四边形 MNDD的形状,并说明理由 实践探究: (3)缜密小组又发现,当(2)中线段 DD的长为 acm时,图 3 中的四边形 MNDD会成为正方形,求 a 的 值 (4)创新小组又把图 1 中的 ACD放到如图 4所示的位置,点 A 的对应点 A与点 D 重合,点 D的对应点 D在 BD的延长线上,再将 ACD绕点 D 逆时针旋转到如图 5 所示的位置,DD交 AB于点 P,DC交 AB于 点 Q,DPDQ,此时线段 AP的长是 cm 【解析】解:操作发现: (1)如图 1:ABAC10cm,BC16cm BC,BDCD8cm,BADCAD, ACD以点 D 为旋转中心,按逆时针方向

    27、旋转, CDBD, ADBD,ACAD, ACBD,ADC90 C, ADC90 B,且BAD90 B, ADCBAD, ABCD, 四边形 BDCE 是平行四边形, BDCD, 四边形 BECD 是菱形, 故答案为:菱形; (2)如图 3,四边形 MNDD是矩形, 理由如下: BDCD, BDCD,且BC,MDBNDC MDBNDC(ASA) MDND, ACD沿 DB 方向平移, MDDN, 四边形 MNDD是平行四边形, BDM90 , 四边形 MNDD是矩形; (3)由图形(1)可得 AB10cm,BD8cm, AD 22 ABBD 100 64 6cm, 四边形 MNDD为正方形, DMDN,DMDDacm, BDMBDA, BDMD BDAD , 8 86 aa , a 24 7 ; (4)如图 5,过点 D作 DGAB 于点 G, DPDQ, DQPDPQ,QGPG, 又APDQ, DQPAQD, ADQDPQ, ADQAQD, AQAD6, AA,DGABDA, DGABDA, AGAD ADAB , 6 610 AG , AG18 5 , GQAQAG6 18 5 12 5 , PGQG12 5 , APAGPG 18 5 12 5 6 5 , 故答案为: 6 5


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