1、第二章 相交线与平行线 章末复习 第二章 相交线与平行线 章末复习 知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接 章末复习 知识框架 相交线相交线 相交线与相交线与 平行线平行线 平平 行行 线线 尺规作图尺规作图 相交相交 垂直垂直 两条直线被第两条直线被第 三条直线所截三条直线所截 平行公理平行公理 判定判定 性质性质 定义定义 章末复习 对顶角对顶角 补角补角 余角余角 相交相交 定义定义 性质：对顶角相等性质：对顶角相等 定义定义 性质：同角或等角的补角相等性质：同角或等角的补角相等 定义定义 性质：同角或等角的余角相等性质：同角或等角的余角相等 章末复习 平面内平面内, 过一点有且只有一条
2、直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连直线外一点与直线上各点连 接的所有线段中接的所有线段中, 垂线段最短垂线段最短 点到直线的距离点到直线的距离 定义定义 垂直垂直 章末复习 两条直线被第两条直线被第 三条直线所截三条直线所截 同位角、内错角、同旁内角同位角、内错角、同旁内角 简称“三线八角”简称“三线八角” 章末复习 平行公理平行公理 公理：过直线外一点公理：过直线外一点 有且只有一条直线与有且只有一条直线与 这条直线平行这条直线平行 推论：平行于同一条推论：平行于同一条 直线的两条直线平行直线的两条直线平行 章末复习 (1)同位角相等同位角相等,
3、 两直线平行两直线平行 (2)内错角相等内错角相等, 两直线平行两直线平行 (3)同旁内角互补同旁内角互补, 两直线平行两直线平行 判定判定 章末复习 (1)两直线平行两直线平行, 同位角相等同位角相等 (2)两直线平行两直线平行, 内错角相等内错角相等 (3)两直线平行两直线平行, 同旁内角互补同旁内角互补 性质性质 章末复习 【要点指导要点指导】两条直线相交形成四个角两条直线相交形成四个角, 这四个角中有两对对顶角、这四个角中有两对对顶角、 四对邻补角；当相交的两条直线互相垂直时四对邻补角；当相交的两条直线互相垂直时, 相交形成的角是直角相交形成的角是直角. 根据对顶角、邻补角之间的数量关
4、系以及直角的定义根据对顶角、邻补角之间的数量关系以及直角的定义, 可进行角度可进行角度 的相关计算的相关计算. 归纳整合 专题一 两条直线相交构成的角的相关计算 章末复习 例例1 如图如图2-Z-1, 直线直线AB与直线与直线CD相交于点相交于点O, 已知已知OEAB于于 点点O, BOD=45, 则则COE的度数是的度数是( ). A125 B135 C145 D155 B 图图2-Z-1 章末复习 章末复习 相关题相关题1 如图如图2-Z-2, AB与与CD相交于点相交于点O, OECD于点于点O, BOE=54, 则则AOC= . 36 图图2-Z-2 章末复习 解析解析 因为因为OEC
5、D，BOE54， 所以所以BOD90BOE905436. 又因为又因为AOC与与BOD是对顶角，是对顶角， 所以所以AOCBOD36. 章末复习 【要点指导要点指导】直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直 线的距离线的距离, 这说明这说明, 点到直线的距离可以转化为两点之间的距离点到直线的距离可以转化为两点之间的距离. 专题二 关于两点之间、点与直线之间的距离 章末复习 例例2 如图如图2-Z-3所示所示, ABCD, DEAB于点于点E, 经测量知经测量知AD=BC =1.6 cm, DE=1.4 cm. (1)BC的长表示什么之间的距离？的
6、长表示什么之间的距离？ (2)点点D到直线到直线AB的距离是的距离是1.4 cm 还是还是1.6 cm？为什么？为什么？ 图图2-Z-3 章末复习 解：解： (1)BC的长表示点的长表示点B与点与点C之间的距离之间的距离. (2)点点D到直线到直线AB的距离是的距离是1.4 cm. 理由：理由： 因为因为DEAB , 所以所以DE是点是点D到直线到直线AB的垂线段的垂线段, 所以点所以点D到直线到直线AB的距离是的距离是1.4 cm. 章末复习 相关题相关题2 如图如图2-Z-4, 已知长方形已知长方形ABCD. (1)点点A与点与点C之间的距离是指线段之间的距离是指线段 的长；的长； (2)
7、点点D到线段到线段AB的距离是指线段的距离是指线段 的长的长. 图图2-Z-4 解：解： (1)AC (2)AD 章末复习 例例3 如图如图2-Z-5, 已知点已知点A, B以及直线以及直线l. (1)请画出从点请画出从点A到直线到直线l的最短路线的最短路线, 并写出其依据；并写出其依据； (2)请在直线请在直线l上确定一点上确定一点O, 使点使点O到点到点A, B的距离之和最短的距离之和最短, 并写并写 出其依据出其依据. 图图2-Z-5 章末复习 解：解： (1)如图如图2-Z-5所示所示, AE为点为点A到直线到直线l的最短路线的最短路线. 依据：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中依
8、据：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 垂线段最短垂线段最短. (2)如图如图2-Z-5所示所示, 连接连接AB, AB与直线与直线l的交点的交点O即为所求即为所求. 依据：两点之间依据：两点之间, 线段最短线段最短. 图图2-Z-5 章末复习 相关题相关题3 如图如图2-Z-6, 在三角形在三角形ABC中中, BCA=90,BC=3, AC=4, AB=5, P是线段是线段AB上的一个动点上的一个动点,求线段求线段CP的最小值的最小值. 图图2-Z-6 章末复习 解：解：当当 CPAB 时时，线段线段 CP 的值最小的值最小 因为在三角形因为在三角形 ABC 中中，BCA90，BC3，
9、AC4，AB5， 所以所以 S 三角形三角形ABC1 2BC AC 1 2AB CP， ， 即即1 2 341 2 5CP，解得解得 CP12 5 ， 所以线段所以线段 CP 的最小值是的最小值是12 5 . 章末复习 【要点指导要点指导】综合利用题目中角的数量关系判定两直线平行综合利用题目中角的数量关系判定两直线平行, 再根再根 据平行线的性质得出另外一对相等或互补的角据平行线的性质得出另外一对相等或互补的角, 从而进行相关的计从而进行相关的计 算或说理；或先通过平行线得出角的相等或互补关系算或说理；或先通过平行线得出角的相等或互补关系, 再根据平行再根据平行 线的判定得出另一组直线互相平行
10、线的判定得出另一组直线互相平行. 专题三 与平行线性质、判定有关的计算与说理题 章末复习 例例4 已知：如图已知：如图2-Z-7, ABCD, BD平分平分ABC, CE平分平分DCF, ACE=90. (1)判断判断BD和和CE的位置关系的位置关系, 并说明理由；并说明理由； (2)判断判断AC和和BD是否垂直是否垂直, 并说明理由并说明理由 图图2-Z-7 章末复习 章末复习 解：解：(1)BDCE. 理由：因为理由：因为ABCD, 所以所以ABC=DCF. 因为因为BD平分平分ABC, CE平分平分DCF, 所以所以2= ABC, 4= DCF, 所以所以2=4,所以所以BDCE(同位角
11、相等同位角相等, 两直线平行两直线平行). (2)ACBD. 理由：因为理由：因为BDCE, 所以所以DGC+ACE=180. 因为因为ACE=90, 所以所以DGC=180-90=90,即即ACBD 章末复习 相关题相关题4 如图如图2-Z-8, DEAB,EFBC, 垂足分别为垂足分别为E,F, 若若 B=ADE, 则则AD与与EF平行吗？若平行平行吗？若平行,请说明理由请说明理由. 图图2-Z-8 章末复习 解析解析 因为已知因为已知EFBC， 所以只需说明所以只需说明ADBC即可证明即可证明ADEF. 而根据条件可说明而根据条件可说明BDEADE90， 则可得则可得ADBC. 章末复习
12、 解：解：ADEF. 理由：理由： 因为因为DEAB，所以所以BED90，所以所以BBDE90. 因为因为BADE， 所以所以BDEADE90，即即ADB90，所以所以ADBC. 所以所以EFDADC90， 所以所以ADEF. 章末复习 【要点指导要点指导】垂直是特殊的相交垂直是特殊的相交, 在数学图形中在数学图形中, 平行和垂直经常平行和垂直经常 同时出现同时出现, 解决问题时既要注意从线角关系的角度转化问题、推导解决问题时既要注意从线角关系的角度转化问题、推导 出结论出结论, 还要注意从线线关系的角度发现结论、转化问题还要注意从线线关系的角度发现结论、转化问题, 多角度多角度 思考问题思考
13、问题. 专题四 平行与垂直的综合运用 章末复习 例例5 如图如图2-Z-9, 已知已知ADBC于点于点D, EGBC于点于点G, E=1, AD平分平分BAC吗？试说明理由吗？试说明理由 图图2-Z-9 章末复习 章末复习 解：解：AD平分平分BAC. 理由：如图理由：如图2-Z-9, 因为因为ADBC于点于点D, EGBC于点于点G(已知已知), 所以所以ADC=EGC=90(垂直的定义垂直的定义), 所以所以ADEG(同位角相等同位角相等, 两直线平行两直线平行), 所以所以1=2(两直线平行两直线平行, 内错角相等内错角相等), E=3(两直线平行两直线平行, 同位角相等同位角相等).
14、又因为又因为E=1(已知已知), 所以所以2=3(等量代换等量代换), 所以所以AD平分平分BAC(角平分线的定义角平分线的定义). 图图2-Z-9 章末复习 相关题相关题5 已知：如图已知：如图2-Z-10,ABCD, OE平分平分AOD,OFOE 于点于点O, D=60, 求求BOF的度数的度数 图图2-Z-10 章末复习 解：解：因为因为ABCD，D60， 所以所以AOD180D18060120， BODD60. 因为因为OE平分平分AOD， 所以所以EOD120260. 因为因为OFOE于点于点O，所以所以EOF90， 所以所以DOF906030， 所以所以BOFBODDOF60303
15、0. 章末复习 【要点指导要点指导】在几何题中在几何题中, 有些题目未给出图形有些题目未给出图形, 这时我们就要结这时我们就要结 合题意先画出图形合题意先画出图形, 再解决问题再解决问题. 这一过程常常具有多种符合题意这一过程常常具有多种符合题意 的图形的图形, 需要我们分类讨论解决需要我们分类讨论解决 素养提升 专题一 分类讨论思想 章末复习 例例1 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 则这两个角则这两个角 的数量关系为的数量关系为 . 相等或互补相等或互补 分析分析 设两个角分别为设两个角分别为1, 2, 根据题目信息可得有以下两种情况根据题
16、目信息可得有以下两种情况(图形画图形画 法不唯一法不唯一)： 由图由图2-Z-11可知可知1=2或或1+2=180, 即这两个角的数量关系为相等或互补即这两个角的数量关系为相等或互补. 图图2-Z-11 章末复习 相关题相关题1 已知：已知：BOC 在在AOB的外部的外部, OE平分平分AOB,OF平平 分分BOC, OD平分平分AOC, AOE=30, B O D = 2 0 , 试试 求求 COF的度数的度数. 解析解析 本题没有给出具体的图形，本题没有给出具体的图形， AOB既可大于既可大于BOC, 又可小于又可小于BOC, 则应分这两种情况分别求解则应分这两种情况分别求解 章末复习 解
17、：解：(1)当当AOB 大于大于BOC 时时， 如图如图所示所示. BOEAOE30， BOD20， 所以所以DOE10，AOD40. 因为因为CODAOD40， BOD20， 所以所以BOC20， 从而从而COF1 2 BOC1 2 2010. 图图 章末复习 (2)当当AOB 小于小于BOC 时时， 如图如图所示所示. BOEAOE30， BOD20， 所以所以AOD80. 因为因为CODAOD80， BOD20， 所以所以BOC100， 从而从而COF1 2 BOC1 2 10050. 图图 章末复习 【要点指导要点指导】由本章的学习由本章的学习, 应该对转化这一数学思想有更深刻应该对转
18、化这一数学思想有更深刻 的体会的体会. 这一思想在平行线与角的关系中表现特别明显当我们这一思想在平行线与角的关系中表现特别明显当我们 要说明两条直线平行时要说明两条直线平行时, 经常把问题转化为说明两角相等或互补；经常把问题转化为说明两角相等或互补； 当我们说明两角之间的数量关系时当我们说明两角之间的数量关系时, 又经常将其转化为说明两直又经常将其转化为说明两直 线平行在几何推理中线平行在几何推理中, 经常通过转化已知条件推出要求的结论经常通过转化已知条件推出要求的结论, 必要时还需要添加辅助线进行转化必要时还需要添加辅助线进行转化 专题二 转化思想 章末复习 例例2 新乡长垣县期中新乡长垣县
19、期中 如图如图2-Z-12, E是直线是直线AB, CD之间的一点之间的一点, ABCD, 连接连接EA, ED (1)探究猜想：探究猜想： 若若EAB=30, EDC=40, 求求AED的度数；的度数； 若若EAB=20, EDC=60, 求求AED的度数；的度数； 猜想图中猜想图中AED, EAB, EDC之间的数量关系之间的数量关系, 并说明理由并说明理由. 图图2-Z-12 章末复习 (2)扩展应用：扩展应用： 如图如图, 射线射线FE与长方形与长方形ABCD的边的边AB交于点交于点E, 与边与边CD交于点交于点F, 分别是被射线分别是被射线FE隔开的隔开的4个个 区域区域(不含边界不
20、含边界, 其中区域位于直其中区域位于直 线线AB的上方的上方), P是位于以上四个区域是位于以上四个区域 内的一点内的一点, 试猜试猜PEB, PFC, EPF 之间的数量关系之间的数量关系(不要求说明理由不要求说明理由). 图图2-Z-12 章末复习 分析分析 (1)过点过点E作作EFAB, 再由平行线的性质即可得出结论；再由平行线的性质即可得出结论；, 题题 根据中的方法即可得出结论根据中的方法即可得出结论. (2)当点当点P分别位于分别位于, , , 四个区域内时四个区域内时, 分别根据平行线的性质进行分别根据平行线的性质进行 求解即可得出结论求解即可得出结论 章末复习 解：解：(1)如
21、图如图2-Z-13, 过点过点E作作EFAB, 因为因为ABCD, 所以所以CDEF. 因为因为EAB=30, EDC=40, 所以所以1=EAB=30, 2=EDC=40, 所以所以AED=1+2=70. 图图2-Z-13 章末复习 如图如图, 过点过点E作作EFAB, 因为因为ABCD,所以所以CDEF. 因为因为EAB=20, EDC=60, 所以所以1=EAB=20, 2=EDC=60, 所以所以AED=1+2=80. 图图2-Z-13 章末复习 猜想：猜想：AED=EAB+EDC 理由：如图理由：如图, 过点过点E作作EFAB, 因为因为ABCD, 所以所以EFCD (平行于同一条直
22、线的两直线平行平行于同一条直线的两直线平行), 所以所以1=EAB, 2=EDC (两直线平行两直线平行, 内错角相等内错角相等), 所以所以AED=1+2=EAB+EDC(等量代换等量代换) 图图2-Z-13 章末复习 (2)当点当点P在区域内时在区域内时, 如图如图, EPF=360-(PEB+PFC)； 当点当点P在区域内时在区域内时, 如图如图, EPF=PEB+PFC； 当点当点P在区域内时在区域内时, 如图如图, EPF=PEB-PFC； 当点当点P在区域内时在区域内时, 如图如图, EPF=PFC-PEB 图图2-Z-13 章末复习 相关题相关题2-1 深圳龙岗区期末深圳龙岗区期
23、末 如图如图2-Z-14, 已知已知ABCD,BE平分平分 ABC, DE平分平分ADC, BAD=80. (1)求求EDC的度数；的度数； (2)若若BCD=n, 试求试求BED的度数的度数(用含用含n的式子表示的式子表示). 图图2-Z-14 章末复习 解：解：(1)因为因为 ABCD， 所以所以ADCBAD80. 又因为又因为 DE 平分平分ADC， 所以所以EDC1 2 ADC40. 章末复习 (2)如图如图，过点过点 E 作作 EFAB，因为因为 ABCD， 所以所以 EFCD. 因为因为 ABCD， 所以所以ABCBCDn. 又因为又因为 BE 平分平分ABC， 所以所以ABE1
24、2n . 章末复习 因为因为 EFAB， 所以所以BEFABE1 2n . 因为因为 EFCD， 所以所以FEDEDC40， 所以所以BEDBEFFED1 2n 40. 章末复习 相关题相关题2-2 湘潭中考湘潭中考 如图如图2-Z-15,E是是AD延长线上一点延长线上一点,如果添如果添 加一个条件加一个条件, 使使BCAD, 则可添加的条件为则可添加的条件为 _ _ . (任意添加一个符合题意的条件即可任意添加一个符合题意的条件即可) 图图2-Z-15 AABC180 或或CADC180或或CBDADB或或CCDE (答答 案不唯一案不唯一) 章末复习 解析解析 若若AABC180，则，则B
25、CAD； 若若CADC180，则，则BCAD； 若若CBDADB，则，则BCAD； 若若CCDE，则，则BCAD. 章末复习 中考链接 母题母题1 1 (教材教材P40习题习题2.1第第1题题) 如图如图2-Z-16, 直线直线a, b相交相交, 1=38, 求求2,3, 4的度数的度数. 图图2-Z-16 章末复习 考点：考点：角的计算角的计算. 考情：考情：一般以选择题、填空题的形式考查一般以选择题、填空题的形式考查, 常考查计算某一个角的常考查计算某一个角的 度数度数. 策略：策略：对顶角的性质常与余角、补角结合在一起考查对顶角的性质常与余角、补角结合在一起考查. 牢记性质：牢记性质：
26、对顶角相等对顶角相等, 互补两角的和为互补两角的和为180, 互余两角的和为互余两角的和为90. 章末复习 链接链接1 泉州中考泉州中考如图如图2-Z-17, 直线直线AB与与CD相交于点相交于点O. 若若 AOD=50, 则则BOC= . 50 图图2-Z-17 分析分析 因为因为BOC与与AOD是对顶角是对顶角, 所以所以BOC=AOD=50. 章末复习 母题母题2 2 (教材教材P43习题习题2.2第第3题题) 如图如图2-Z-18, 要把水渠中的水引到要把水渠中的水引到C点点, 在渠岸在渠岸AB的什么地的什么地 方开沟方开沟, 才能使沟最短？画出图形才能使沟最短？画出图形, 并说明理由
27、并说明理由. 图图2-Z-18 章末复习 考点：考点：点到直线的距离、垂线段最短点到直线的距离、垂线段最短. 考情：考情：一般在选择题或者几何最值计算问题中考查一般在选择题或者几何最值计算问题中考查. 策略：策略：明确点到直线的距离是指垂线段的长度明确点到直线的距离是指垂线段的长度. 章末复习 链接链接2 厦门中考厦门中考如图如图2-Z-19, 三角形三角形ABC是锐角三角形是锐角三角形, 过过 点点C作作CDAB, 垂足为垂足为D, 则点则点C到直线到直线AB的距离是的距离是( ). A线段线段CA的长的长 B线段线段CD的长的长 C线段线段AD的长的长 D线段线段AB的长的长 B 图图2-
28、Z-19 章末复习 母题母题3 3 (教材教材P49习题习题2.4第第2题题) 如图如图2-Z-20 ,DAB+CDA=180,ABC=1, 直线直线AB与与 CD平行吗？直线平行吗？直线AD与与BC呢？为什么？呢？为什么？ 图图2-Z-20 章末复习 考点：考点：判定两直线平行的条件判定两直线平行的条件. 考情：考情：主要考查两直线平行的判定主要考查两直线平行的判定,常在选择题中出现常在选择题中出现, 有时也作有时也作 为解答题的一小问出现为解答题的一小问出现. 策略：策略：根据两直线平行的判定方法：同位角相等根据两直线平行的判定方法：同位角相等, 两直线平行；两直线平行； 内错角相等内错角
29、相等, 两直线平行；同旁内角互补两直线平行；同旁内角互补, 两直线平行两直线平行, 从而将角从而将角 的数量关系转化为直线的位置关系的数量关系转化为直线的位置关系. 章末复习 链接链接3 郴州中考郴州中考如图如图2-Z-21, 直线直线a, b被直线被直线c所截所截, 下列条件中下列条件中, 不能判定不能判定ab的是的是( ). A2=4 B1+4=180 C5=4 D1=3 D 分析分析 由由2=4或或1+4=180 或或5=4, 可得可得ab； 由由1=3, 不能得到不能得到ab. 故选故选D. 图图2-Z-21 章末复习 母题母题4 4 (教材教材P54习题习题2.6第第4题题) 如图如
30、图2-Z-22, ACED,ABFD, A=64, 求求EDF的度数的度数. 图图2-Z-22 章末复习 考点：考点：平行线的性质平行线的性质. 考情：考情：主要考查利用两直线平行的性质求角的度数或角之间的主要考查利用两直线平行的性质求角的度数或角之间的 关系关系. 策略：策略：由两直线平行可得同位角相等、内错角相等、同旁内角由两直线平行可得同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补互补, 从而将直线的位置关系转化为角的数量关系从而将直线的位置关系转化为角的数量关系. 章末复习 链接链接4 天水中考天水中考将一把直尺和一块三角尺将一把直尺和一块三角尺ABC(含含30, 60角角) 如图如图2-Z-23所示摆放所示摆放, 直尺一边与三角尺的两直角边分别交于点直尺一边与三角尺的两直角边分别交于点D, E, 另一边与三角尺的两直角边分别交于点另一边与三角尺的两直角边分别交于点F, A, 且且CED=50, 那那 么么BFA的大小为的大小为( ). A145 B140 C135 D130 B 图图2-Z-23 章末复习 分析分析 因为因为CDE=180-C-CED=40,DEAF, 所以所以CFA=CDE=40, 所以所以BFA=180-CFA=140. 故选故选B. 谢 谢 观 看！
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