新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何第7节

1、高考调研高考调研 第第1页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第九章第九章 解析几何解析几何 高考调研高考调研 第第2页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第第7课时课时 双双 曲曲 线线 (一一) 高考调研高考调研 第第3页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待 定系数法求双曲线方程 2掌握双曲线的几何性质 3了解双曲线的一些实际应用 高考调研高考调研 第第4页页

2、 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 请注意 除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考 查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性 质，也是高考命题的热点 高考调研高考调研 第第5页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第6页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 高考调研高考调研 第第7页页 第

3、九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1双曲线的定义 平 面 内 与 两 个 定 点 F1， F2的 距 离 之 差 的 绝 对 值 _的点的轨迹叫做双曲线 等于常数2a(2a0，b0) 1(a0，b0) 图形 高考调研高考调研 第第9页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 标准方程 性 质 焦点 _ _ 焦距 _ 范围 |x|a，yR |y|a，xR 对称性 _ 顶点 _ _ 轴 _ 离心率 e(e1

4、) 渐近线 0(或yx) 0(或yx) F1(c,0)，F2(c,0) F1(0，c)，F2(0，c) |F1F2|2c c2a2b2 关于x轴，y轴和原点对称 (a,0)，(a,0) (0，a)，(0，a) 实轴长2a，虚轴长2b 高考调研高考调研 第第10页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3归纳拓展 (1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直 接设曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)共渐近线的双曲线方 程为x 2 a2 y2 b2(0) (4)与双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)共焦点的圆锥曲线

5、方 程为 x2 a2 y2 b21(0，b0)与 y2 b2 x2 a2 1(a0，b0)互为共 轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距 高考调研高考调研 第第12页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (6)双曲线形状与e的关系：k b a c2a2 a c2 a21 e21 ，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双 曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越 大，它的开口就越开阔 高考调研高考调研 第第13页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1判断下面结论

6、是否正确(打“”或“”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等 于8的点的轨迹是双曲线 (2)方程x 2 m y2 n 1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线 高考调研高考调研 第第14页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (3)双曲线方程 x2 m2 y2 n2 (m0，n0，0)的渐近线方 程是 x2 m2 y2 n20，即 x m y n0. (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. (5)若双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)与 y2

7、 b2 x2 a21(a0，b0) 的离心率分别是e1，e2，则 1 e2 1 1 e2 21(此结论中两条双曲线为 共轭双曲线) 高考调研高考调研 第第15页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2已知双曲线 x2 a2 y2 3 1(a0)的离心率为2，则a ( ) A2 B. 6 2 C. 5 2 D1 高考调研高考调研 第第16页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 D 解析 因为双曲线的方程为 x2 a2 y2 3 1，所以e21 3 a2 4，因此a21，a

8、1.选D. 高考调研高考调研 第第17页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3(课本习题改编)若双曲线方程为x22y21，则它的右 焦点坐标为_ 答案 ( 6 2 ，0) 高考调研高考调研 第第18页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 2 4(2015 长沙调研)设双曲线 x2 a2 y2 9 1(a0)的渐近线方 程为3x 2y0，则a的值为_ 解析 渐近线方程可化为y3 2 x.双曲线的焦点在x轴 上， 9 a2( 3 2) 2，解得a 2.由题意知a0，a2.

9、 高考调研高考调研 第第19页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 8 5设F1，F2是双曲线x2 y2 24 1的两个焦点，P是双曲 线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则|PF1|_. 解析 依题意有 3|PF1|4|PF2|， |PF1|PF2|21， 解得|PF2|6， |PF1|8. 高考调研高考调研 第第20页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 1 6已知曲线方程 x2 2 y2 11，若方程表示双曲线， 则的取值范围是_ 解析 方程 x2 2

10、y2 1 1表示双曲线，(2)( 1)0，解得1. 高考调研高考调研 第第21页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 7设双曲线C经过点(2,2)，且与 y2 4 x21具有相同渐 近线，则C的方程为_；渐近线方程为_ 答案 x2 3 y2 121，y 2x 解析 待定系数法求双曲线方程 设双曲线C的方程为y 2 4 x2，将点(2,2)代入上式，得 3，C的方程为x 2 3 y2 121，其渐近线方程为y 2x. 高考调研高考调研 第第22页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总

11、复习 授授人人以以渔渔 高考调研高考调研 第第23页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型一题型一 双曲线的定义及应用双曲线的定义及应用 例1 (1)已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y2 2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方 程是( ) Ax0 B.x 2 2 y2 141(x 2) C.x 2 2 y2 141 D.x 2 2 y2 141或x0 高考调研高考调研 第第24页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 如图，动圆M与

12、两圆C1，C2都相切，有四种 情况：动圆M与两圆都相外切；动圆M与两圆都内切； 动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；动圆M与圆C1内切、 与圆C2外切在情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程 为x0；在的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|r 2，|MC2|r 2. 高考调研高考调研 第第25页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 D 故得|MC1|MC2|2 2； 在的情况下，同理得|MC2|MC1|2 2. 由得|MC1|MC2| 2 2. 根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(4,0)， C2(4,0)为焦点的双曲线，

13、且a 2，c4，b2c2a214， 其方程为x 2 2 y2 141.由可知，选择D. 高考调研高考调研 第第26页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C 上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1( ) A.1 4 B. 1 3 C. 2 4 D. 2 3 高考调研高考调研 第第27页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 利用双曲线的性质及定义得AF1F2的各边 关系，再运用余弦定理求解 由e c a

14、2，得c2a.如图，由双曲线的定义，得|F1A| |F2A|2a. 又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a. cosAF2F14a 22a24a2 24a2a 1 4. 【答案】 A 高考调研高考调研 第第28页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究1 (1)抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是 求解本题的关键；利用定义求动点的轨迹方程，要分清是 差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线 的一支 (2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：距离之差的 绝对值；2a2) 【答案】 x2 4 y2 1

15、21(x2) 高考调研高考调研 第第32页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型二题型二 求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线x24y24有共同渐近线且经过点 (2,2)； (2)渐近线方程为y 1 2x，焦距为10； (3)经过两点P(3,2 7)和Q(6 2，7)； (4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4， 10) 高考调研高考调研 第第33页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习

16、【解析】 (1)设所求双曲线方程为x24y2(0)， 将(2,2)代入上述方程，得224 22，12. 所求双曲线方程为y 2 3 x2 121. (2)设所求双曲线方程为x 2 4 y2(0)， 当0时，双曲线标准方程为 x2 4 y2 1， c 5. 55，5； 高考调研高考调研 第第34页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 当0) 9m28n1， 72m49n1， 解之得 m 1 75， n 1 25. 双曲线方程为 y2 25 x2 751. 高考调研高考调研 第第35页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版

17、数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (4)依题意，e 2ab.设方程为x 2 a y 2 a 1， 则16 a 10 a 1，解得a6.x 2 6 y 2 6 1. 【答案】 (1) y2 3 x2 12 1 (2) x2 20 y2 5 1或 y2 5 x2 20 1 (3) y2 25 x2 751 (4) x2 6 y 2 6 1 高考调研高考调研 第第36页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究2 求双曲线的标准方程的方法： (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双 曲线定义，确定2a,2b或2c，从而

18、求出a2，b2，写出双曲线方 程 (2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准 方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”， 如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 x2 m2 y2 n2 (0)，再根据条件求的值 高考调研高考调研 第第37页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 注意：双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2ny2 1(mn0)，其中m0且n0，且mn时表示椭圆；mn0)； 高考调研高考调研 第第38页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (

19、)已知离心率为e的双曲线方程可设为 x2 a2 y2 e21a21或 y2 a2 x2 e21a21； ()已知渐近线 x m y n0的双曲线方程可设为 x2 m2 y2 n2(0) 高考调研高考调研 第第39页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 思考题思考题2 (1)已知中心在原点的双曲线C的右焦 点为F(3,0)，离心率等于3 2，则C的方程是( ) A.x 2 4 y2 51 B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 2 y 2 5 1 D.x 2 2 y2 51 高考调研高考调研 第第40页页 第九章第九章 解析几何解析

20、几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 B 【解析】 由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c3. 由离心率e3 2，知 c a 3 2，则a2. 故b2c2a2945. 所以双曲线C的方程为x 2 4 y 2 5 1. 高考调研高考调研 第第41页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)(2015 衡水调研)已知双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)的 左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐 近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A. x2 16

21、 y2 9 1 B.x 2 3 y 2 4 1 C.x 2 9 y2 161 D.x 2 4 y 2 3 1 高考调研高考调研 第第42页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 C 【解析】 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的 一个交点为(3,4)，所以c5， b a 4 3 .又c2a2b2，所以a 3，b4，所以此双曲线的方程为x 2 9 y2 161. 高考调研高考调研 第第43页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型三题型三 双曲线的几何性质双曲

22、线的几何性质 例3 (1)若实数k满足0k9，则曲线 x2 25 y2 9k 1与 曲线 x2 25k y2 9 1的( ) A焦距相等 B实半轴长相等 C虚半轴长相等 D离心率相等 高考调研高考调研 第第44页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 分别求出两条双曲线的实半轴长、虚半轴 长、焦距和离心率，再对照求解 因为0k9，所以两条曲线都表示双曲线双曲线 x2 25 y2 9k 1的实半轴长为5，虚半轴长为9k ，焦距为 2 259k2 34k，离心率为 34k 5 . 高考调研高考调研 第第45页页 第九章第九章 解析

23、几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 A 双曲线 x2 25k y2 9 1的实半轴长为 25k，虚半轴长为 3，焦距为225k92 34k，离心率为 34k 25k，故两 曲线只有焦距相等故选A. 高考调研高考调研 第第46页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)设F1，F2分别为双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、 右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b， |PF1| |PF2|9 4ab，则该双曲线的离心率为( ) A.4 3 B.5 3 C.9

24、 4 D3 高考调研高考调研 第第47页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 B 【解析】 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a.又 |PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b2 4a2，即4|PF1| |PF2|9b24a2.又4|PF1| |PF2|9ab，因此9b2 4a29ab，即9 b a 29b a 40，则 3b a 1 3b a 4 0，解 得b a 4 3 b a 1 3舍去 ，则双曲线的离心率e 1 b a 25 3. 高考调研高考调研 第第48页页 第九章第九章

25、 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究3 (1)求双曲线离心率或离心率范围的方法有两 种：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建 立a，b，c的齐次关系式，将b用a，c表示，令两边同除以a 或a2化为e的关系式，进而求解 (2)渐近线的求法：求双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)的渐 近线的方法是令 x2 a2 y2 b20，即得两渐近线方程 x a y b0或y b ax. 高考调研高考调研 第第49页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 思考题思考题3 (1)

26、已知中心在原点，焦点在坐标轴上 的双曲线的两条渐近线的夹角为 3 ，则双曲线的离心率为 ( ) A.2 3 3 B.2 6 3 C.2 3 3 或2 D2 高考调研高考调研 第第50页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 C 【解析】 当双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线的渐 近线的斜率为b a 3 3 ，所以 c2a2 a 3 3 ，解得e2 3 3 . 当双曲线的焦点在y轴上，双曲线的渐近线的斜率为a b 3 3 ，所以 a c2a2 3 3 ，解得ec a2. 高考调研高考调研 第第51页页 第九章第九章 解析几何解析几

27、何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)设双曲线 x2 a2 y2 b2 1(0ab)的半焦距为c，直线l过 (a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为 3 4 c，则双曲 线的离心率为( ) A2 B. 3 C. 2 D.2 3 3 高考调研高考调研 第第52页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 A 【解析】 直角三角形斜边为c， 斜边上的高为ab c 3 4 c,4ab 3c2. 结合0ab得a b 1 3.e2. 高考调研高考调研 第第53页页 第九章第九章 解析几何解析几何

28、 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也 有许多类似之处，如“利用定义”，“方程观点”，“直接 法或待定系数法求曲线方程”，“数形结合”等但双曲线 多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩复习中要注意 如下两个问题： (1)已知双曲线方程，求出它的渐近线方程； (2)求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为 axby0时，可设双曲线方程为a2x2b2y2(0)，再利用 其他条件确定的值，此方法的实质是待定系数法 高考调研高考调研 第第54页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练