新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何第10节

1、高考调研高考调研 第第1页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第九章第九章 解析几何解析几何 高考调研高考调研 第第2页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第第10课时课时 抛抛 物物 线线 (二二) 高考调研高考调研 第第3页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 自助餐自助餐 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第4页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版

2、新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 高考调研高考调研 第第5页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1直线与抛物线的位置关系 联立 y22px， ykxm， 得k2x22(mkp)xm20. 相切：k20，0； 相交：k20，0； 相离：k20，0)的通径长为 . 3抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾 斜角为，则有下列性质： 2p (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 . (2)|AF|x1p 2 p 1cos； |BF|x2p 2 p 1cos； |AB|x1x2p 2

3、p sin2. 高考调研高考调研 第第7页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)SAOB p2 2sin(为直线AB的倾斜角) (4) 1 |AF| 1 |BF|为定值 2 p. (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 (6)以AF或(BF)为直径的圆与y轴相切 高考调研高考调研 第第8页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共 点，这样的直线有( ) A1条 B2条 C3条 D4条 答案 C 高考调研高考调研 第

4、第9页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2(2014 新课标全国文)设F为抛物线C：y23x的焦 点，过F且倾斜角为30 的直线交C于A，B两点，则|AB| ( ) A. 30 3 B6 C12 D7 3 高考调研高考调研 第第10页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 C 解析 先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定 义求解弦长 F为抛物线C：y23x的焦点，F(3 4，0) AB的方程为y0tan30 (x3 4)，即y 3 3 x 3 4 . 联立 y23x

5、， y 3 3 x 3 4 ， 得1 3x 27 2x 3 160. 高考调研高考调研 第第11页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 x1x2 7 2 1 3 21 2 ，即xAxB21 2 . 由于|AB|xAxBp，所以|AB|21 2 3 212. 高考调研高考调研 第第12页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3(2015东北三校)已知抛物线y22px(p0)的焦点为 F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2 x1x3，

6、则有( ) A|FP1|FP2|FP3| B|FP1|2|FP2|2|FP3|2 C2|FP2|FP1|FP3| D|FP2|2|FP1|FP3| 高考调研高考调研 第第13页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 C 解析 抛物线的准线方程为x p 2 ，由定义得|FP1|x1 p 2，|FP2|x2 p 2，|FP3|x3 p 2，则|FP1|FP3|x1 p 2x3 p 2 x1x3p,2|FP2|2x2p，由2x2x1x3，得2|FP2| |FP1|FP3|，故选C. 高考调研高考调研 第第14页页 第九章第九章 解析几何

7、解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4(2015 辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y22x的 一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是( ) A2 B.1 2 C.3 2 D.5 2 高考调研高考调研 第第15页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 C 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， |AB|4，x11 2x2 1 24，x1x23. C点横坐标为3 2，故选C. 高考调研高考调研 第第16页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三

8、总复习高三总复习 5过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两 点若|AF|3，则|BF|_. 答案 3 2 解析 抛物线y24x的准线为x1，焦点F(1,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线的定义可知|AF|x11 3，所以x12，所以y1 22 .由抛物线关于x轴对称，假设 A(2,22)，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y0 2 2(x1)，代入抛物线的方程消去y，得2x25x20，求 得x2或1 2，所以x2 1 2，故|BF| 3 2. 高考调研高考调研 第第17页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高

9、三总复习 授授人人以以渔渔 高考调研高考调研 第第18页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例1 已知直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共 点，求实数a的值 题型一题型一 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 【解析】 联立方程 ya1x1， y2ax. (1)当a0时，此方程组恰有一组解 x1， y0. (2)当a0，消去x，得a1 a y2y10. 高考调研高考调研 第第19页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 若a1，方程组恰有一解 x1， y1.

10、若a1，令0，得1 4a1 a 0，解得a 4 5，这时直线与曲线相切，只有一个公共点 综上所述，a0或a1或a4 5. 【答案】 a0或a1或a4 5 高考调研高考调研 第第20页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究1 (1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只 有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的 情况 (2)在讨论时应注意全面，如本例不要忽略a0的情况 高考调研高考调研 第第21页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2015福建漳州七校第一

11、联考)已知抛物 线C过点A(1,2)且关于x轴对称 (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)若直线l：yxm与抛物线C相切于点A，求直线l的方 程及点A的坐标 【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为y22px(p0) 因为抛物线C过点A(1,2)，所以222p1，所以p2. 所以抛物线的方程是y24x，其准线方程是x1. 思考题思考题1 高考调研高考调研 第第22页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 (1)x1 (2)yx1，A(1,2) (2)联立直线与抛物线方程，得 yxm， y24x， 消去y，得 到(xm)

12、24x，化简得x2(2m4)xm20. 因为直线l：yxm与抛物线C相切，所以方程的判 别式0，即(2m4)24m20，解得m1，直线l的方程 为yx1，这时方程为x22x10，解得x1，代入 直线方程得y2，所以切点A的坐标为(1,2) 高考调研高考调研 第第23页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例2 已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，F为抛物 线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证： (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 ； (2)|AB|x1x2p 2p sin2(为直线AB与x轴的夹角)； (3)S

13、AOB p2 2sin； (4) 1 |AF| 1 |BF|为定值； (5)以AB为直径的圆与抛物线准线相切 高考调研高考调研 第第24页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【思路】 求(1)要写出焦点F的坐标 p 2，0 ，由点斜式 写出过焦点F的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与 y22px联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB|AF| |BF|，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距 离即可；(3)中SAOBSAOFSBOF，再由面积公式求得；(4) 中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求 出

14、AB的中点M，再证明M点到准线的距离等于1 2|AB|即可 高考调研高考调研 第第25页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)y22px(p0)的焦点为F p 2，0 ， 设直线方程为yk(xp 2)(k0) 由 yk xp 2 ， y22px， 消去x，得ky22pykp20. y1y2p2，x1x2y1y2 2 4p2 p 2 4 . 当k不存在时，直线方程为xp 2. 高考调研高考调研 第第26页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 这时y1p，y2p，

15、则y1y2p2，x1x2p 2 4 . 因此，总有y1y2p2，x1x2p 2 4 成立 (2)由抛物线定义：|AF|等于点A到准线xp 2的距离 |AF|x1p 2，同理：|BF|x2 p 2. |AB|AF|BF|x1x2p. 又90 时，yk xp 2 ，x1 ky p 2. 高考调研高考调研 第第27页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 x1x21 k(y1y2)p. 由方程知y1y22p k ，x1x22p k2 p. 将代入，得 |AB|2p k2 2p2p 1 1 k2 2p 1 1 tan2 2p sin2. 当90

16、 ，|AB|y1y2|2p 2p sin2. 综上所述，|AB|x1x2p 2p sin2. 高考调研高考调研 第第28页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)SAOBSAOFSBOF 1 2|OF| |AF|sin() 1 2|OF| |BF| sin 1 2|OF| sin (|AF|BF|) 1 2 |OF| |AB| sin 1 2 p 2 2p sin2 sin p2 2sin. 高考调研高考调研 第第29页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (4) 1 |

17、AF| 1 |BF| 1 x1p 2 1 x2p 2 x1x2p x1x2p 2x1x2 p2 4 . 又x1x2p 2 4 ，代入上式得 1 |AF| 1 |BF| 2 p常数 高考调研高考调研 第第30页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (5)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，M，B作准线的垂 线，垂足分别为C，N，D，如图 高考调研高考调研 第第31页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 略 则|MN|1 2(|AC|BD|) 1 2(|AF|BF

18、|) 1 2|AB|. 以AB为直径的圆与准线相切 高考调研高考调研 第第32页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究2 (1)解决直线与抛物线问题时，要注意以下几点： 设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)； 因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足y2px1，y 2px2； 利用yy4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2. (2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的 和，转化为到准线的距离，再求解 高考调研高考调研 第第33页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学

19、（理） 高三总复习高三总复习 设AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的 弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证： (1)若点A，B在准线上的射影分别为M，N，则MFN 90； (2)若取MN的中点R，则ARB90； (3)以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F； (4)若经过点A和抛物线顶点O的直线交准线于点Q，则BQ 平行于抛物线的对称轴 思考题思考题2 高考调研高考调研 第第34页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【证明】 高考调研高考调研 第第35页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数

20、学（理） 高三总复习高三总复习 (1)由抛物线的定义知|AM|AF|，|BN|BF|. AMFAFM，BNFBFN. AMx轴，BNx轴， AMFKFM，BNFKFN. MFNKFMKFN90. (2) 高考调研高考调研 第第36页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 方法一：P为AB的中点，有|PR| 1 2 (|MA|NB|) 1 2 |AB|，则ARB90 . 方法二：易知R p 2， y1y2 2 ，则 RA x1p 2， y1y2 2 ， RB x2p 2， y2y1 2 . 高考调研高考调研 第第37页页 第九章第九章 解

21、析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3) RA RB x1p 2 x2p 2 1 4(y1y2) 2 x1x2p 2(x1x2) p2 4 1 4(y 2 1y 2 2)1 2y1y20. ARB90 . 高考调研高考调研 第第38页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 MFN90，F在以MN为直径的圆上， |AF|AM|，|MR|FR|， MFAAMF，MFRFMR. AFRAFMMFR AMFFMR90. 即RFAB，F为垂足 因此，以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F. 高考调研高考

22、调研 第第39页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 略 (4)直线AO的方程为y y1 x1 x，则Q p 2， py1 2x1 .y1y2 p2， py1 2x1 p 2 y1 y2 1 2p p 2 y1y2. 于是Q p 2，y2 与点N重合，因此，BQ平行于x轴，即 BQ平行于抛物线的对称轴 高考调研高考调研 第第40页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时 要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算 2解

23、决焦点弦问题，抛物线的定义有广泛的应用，而 且还应注意焦点弦的几何性质 3有关抛物线的题目类型，所反映的数学思想方法与 椭圆、双曲线类似，因而在学习时应注意类比 4针对y22px，设焦点弦所在直线方程为xmy p 2 即 方便消元，又避免斜率不存在的情况，应该学会此法 高考调研高考调研 第第41页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 自助餐自助餐 高考调研高考调研 第第42页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1 (2015 郑 州 第 一 次 质 量 预 测 ) 已 知

24、抛 物 线 y2 2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两 点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为 ( ) Ax1 Bx2 Cx1 Dx2 高考调研高考调研 第第43页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 答案 C 解析 由题意可设直线方程为y(x p 2 )，设A(x1， y1)，B(x2，y2)，联立方程 yxp 2， y22px， 消参得4x212px p20，x1x23p.p2，即抛物线方程为y24x，其 准线方程为x1. 高考调研高考调研 第第44页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课

25、标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷条 D不存在 答案 B 解析 过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B两点， 高考调研高考调研 第第45页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适 合故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为yk(x1)，代 入抛物线y24x，得k2x22(k22)xk20. A，B两点的横坐

26、标之和等于5， 2k 22 k2 5，k24 3，k 2 3 3. 即这样的直线有且仅有两条 高考调研高考调研 第第46页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3若直线ykx2与抛物线y24x仅有一个公共点，则 实数k_. 答案 0或1 2 解析 联立 ykx2， y24x， 得k2x2(4k4)x40. 当k0时，此方程有唯一的根，满足题意； 当k0时，(4k4)216k232k160，k1 2. 故k0或k1 2均满足题意 高考调研高考调研 第第47页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三

27、总复习高三总复习 4(2015河北唐山一模)过抛物线C：y24x的焦点F作直 线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4， 则|AB|_. 答案 16 3 解析 y24x，抛物线的准线为x1，F(1,0) 又A到抛物线的距离为4， xA14，xA3. xAxBp 2 4 1，xB1 3. |AB|xAxBp31 32 16 3 . 高考调研高考调研 第第48页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 5抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最 小值等于_ 答案 4 3 解析 由抛物线的方程，可设抛物线上点的坐标为(x， x2)，根据点到直线的距离公式，得 d|4x3x 28| 4232 3 5(x 2 3) 24 3. 所以当x2 3时，d取得最小值 4 3. 高考调研高考调研 第第49页页 第九章第九章 解析几何解析几何 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练