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    湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市、宁乡市2021届高三下学期3月调研考试数学试题(含答案解析)

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    湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市、宁乡市2021届高三下学期3月调研考试数学试题(含答案解析)

    1、2021 年湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市、宁乡县高考数学调研试卷年湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市、宁乡县高考数学调研试卷 一、选择题(共一、选择题(共 8 小题)小题). 1已知集合 Ax|x2+2x+30,全集为 R,则RA( ) A(,13,+) B(,31,+) C1,3 D3,1 2复数的值为( ) A B C D 3某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择 15 名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米), 图 1 为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图, 图 2 为身高与臂展所对应的散点图, 并求得其回归方程 为,以下结论中正确的为( ) A15 名志愿者身高的极

    2、差大于臂展的极差 B身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 C身高为 190 厘米的人臂展一定为 189.65 厘米 D15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 4如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O剪去AOB,将剩余部分沿 OC、 OD 折叠,使 OA,OB 重合,则以 A(B)C,D,O 为顶点的四面体的外接球的体积为( ) A8 B24 C D48 5音乐与数学有着密切的联系,我国春秋时期有个著名的“三分损益法”:以“宫”为基本音,“宫”经 过一次 “损” , 频率变为原来的, 得到 “徵” ;“徵” 经过一次 “益” , 频率变为原来

    3、的, 得到 “商” ; 依 次损益交替变化,获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得( ) A“宫、商、角”的频率成等比数列 B“宫、徵、商”的频率成等比数列 C“商、羽、角”的频率成等比数列 D“徵、商、羽”的频率成等比数列 6设函数 f(x)asin(x+1)+bsin(x+2),则“是 f(x)为偶函数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 经研究发现: 任意一个三次多项式函数 f (x) ax3+bx2+cx+d (a0) 的图象都只有一个对称中心点 (x0, f(x0),其中 x0是 f(x)0 的根,f(x)是 f(x)的导数,

    4、f(x)是 f(x)的导数若函数 f(x)x3+ax2+x+b 图象的对称点为(1,2),且不等式 exmxe(lnx+1)f(x)x33x2+exe对 任意 x(1,+)恒成立,则( ) Aa3 Bb2 Cm 的值不可能是e Dm 的值可能是 8已知函数 f(x)为定义在 R 上且图像连续的偶函数,满足 xf(x)0(或 xf(x)0)在(,0) (0, +) 恒成立 若把函数 yf (x) 向右平移 4 个单位可得函数 yg (x) , 则方程 的所有根之和为( ) A4 B6 C10 D12 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。

    5、在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为( ) A设 A,B 为两个定点,k 为非零常数,若|PA|PB|k,则动点 P 的轨迹是双曲线 B方程 2x25x+20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C双曲线1 与椭圆 +y21 有相同的焦点 D以过抛物线的焦点的一条弦 PQ 为直径作圆,则该圆与抛物线的准线相切 10已知函数 f(x)sinxcosx(04)满足 f(x+)f(x),

    6、其图象向左平移 m 个单位后, 所得图象对应的函数 yg(x)在,上单调递增,则下列判断正确的是( ) A1 B函数 f(x)的图象关于直线 x对称 C正整数 m 的值可以为 7 D正整数 m 的最小值为 6 11某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”,提高对机器零件质量的品质要求,对现有产品进行抽检,由 抽检结果可知,该厂机器零件的质量指标值 Z 服从正态分布 N(200,224),则( ) (附:14.97,若 ZN(,2),则 P(Z+)0.6826,P(2Z+2) 0.9544) AP(185.03Z200)0.6826 BP(200Z229.94)0.4772 CP(185.03Z229

    7、.94)0.9544 D任取 10000 件机器零件,其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约为 8185 件 12已知 3a5b15,则 a,b 可能满足的关系是( ) Aa+b4 Bab4 C(a1)2+(b1)22 Da2+b28 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分。共分。共 20 分分 13在(xy)(x+y)4展开式中,x3y2的系数为 14已知等比数列an中,an0,4a1,a3,3a2成等差数列,则 15如图,在棱长为的正方体 ABCDABCD中,点 E、F、G 分别是棱 AB、BC、CD 的中点,则由点 E、F、G 确

    8、定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 16在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B 为圆 C:(xa)2+(y2)24 上两个动点,且 AB2若 直线 l:yx 上存在点 P,使得+,则实数 a 的取值范围为 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,小题,70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知函数 f(x)2cosxsin(x)+ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若锐角 满足 f(+),求 sin 的值 18在等差数列an满足 a11,a59(nN*);数列an的前 n 项和为 Snn2;公差不为 0

    9、 的等 差数列an的首项 a11,且 a1,a2,a5成等比数列这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作 答 问题:已知数列bn满足 b1+b2+bn3n,且_ ()求数列an,bn的通项公式; ()若数列cn满是 cn,求证:数列cn的前 n 项和 Tn 19冬天的北方室外温度极低,若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上,可爱的医务工作者行动会更方 便石墨烯发热膜的制作:从石墨中分离出石墨烯,制成石墨烯发热膜从石墨分离石墨烯的一种方法 是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶现在有 A 材料、B 材料供选择,研究人员对附 着在 A 材料、B 材料上再结晶各做了 50 次试验,得到

    10、如图等高条形图 (1)根据上面的等高条形图,填写如表列联表,判断是否有 99%的把握认为试验成功与材料有关? A 材料 B 材料 合计 成功 不成功 合计 (2)研究人员得到石墨烯后,再生产石墨烯发热膜有三个环节:透明基底及 UV 胶层;石墨烯层; 表面封装层第一、二环节生产合格的概率均为第三个环节生产合格的概率为,且各生产环节 相互独立已知生产 1 吨的石墨烯发热膜的固定成本为 1 万元,若生产不合格还需进行修复第三个环节 的修复费用为 3000 元,其余环节修复费用均为 1000 元如何定价才能实现每生产 1 吨石墨烯发热膜获 利可达 1 万元以上的目标? 附:k2 ,其中,na+b+c+

    11、d P(K2k0 ) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20如图,三棱锥 PABC 中,平面 PAB平面 ABC,PABPBA45,ABC2BAC60,D 是棱 AB 的中点,点 E 在棱 PB 上,点 G 是BCD 的重心 (1)若 E 是 PB 的中点,证明:GE面 PAC; (2) 是否存在点 E, 使二面角 ECDG 的大小为 30?若存在, 求的值; 若不存在, 请说明理由 21如图,已知椭圆 C:+1(ab0)经过点 P(2,),离心率 e,直线 l 的方程为 x 8 (1)求椭圆 C 的

    12、方程; (2)AB 是椭圆 C 经过定点 Q(2,0)的任意一条弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M, 记直线 PA,PB,PM 的斜率依次为 k1,k2,k3,问:是否存在常数 ,使得 k1+k2k3?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由 22已知函数 f(x) (1)若 a0 时 f(x)在1,e上的最小值是ln2,求 a; (2)若 ae,且 x1,x2是 f(x)的两个极值点,证明:f(x1)+f(x2) (x12+x22)2e(其中 e 为 自然对数的底数,e2.71) 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 8 小题)小题). 1已知集合 Ax|x

    13、2+2x+30,全集为 R,则RA( ) A(,13,+) B(,31,+) C1,3 D3,1 解:Ax|1x3, RA(,13,+) 故选:A 2复数的值为( ) A B C D 解: 故选:B 3某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择 15 名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米), 图 1 为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图, 图 2 为身高与臂展所对应的散点图, 并求得其回归方程 为,以下结论中正确的为( ) A15 名志愿者身高的极差大于臂展的极差 B身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 C身高为 190 厘米的人臂展一定为 189.65 厘米 D1

    14、5 名志愿者身高和臂展成正相关关系 解:由图 1 可知,身高的最大值略小于臂展的最大值,身高的最小值大于臂展的最小值, 则身高极差小于臂展的极差,故 A 错误; 由回归方程为, 可知身高相差 10 厘米的两人展臂的估计值相差 11.6 厘米,不是准确值,故 B 错误; 把身高 190 厘米,代入回归方程可得展臂大约为 189.65 厘米,不是准确值,故 C 错误; 由相关系数 0,可知 15 名志愿者身高和臂展成正相关关系,故 D 正确 故选:D 4如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O剪去AOB,将剩余部分沿 OC、 OD 折叠,使 OA,OB 重合,

    15、则以 A(B)C,D,O 为顶点的四面体的外接球的体积为( ) A8 B24 C D48 解:翻折后的几何体为底面边长为 4,侧棱长为 2的正三棱锥 OACD,如图, 取 CD 中点 E,连结 AE,作 OF平面 ABC,交 AE 于 F,则 F 是ACD 的重心, 由题意知 AE2,AF,OF, 设 G 为四面体的外接球的球心、球半径为 R,则 G 在直线 OF 上, 且 OGAGR, 由 AG2AF2+GF2,得: R2()2+(R)2,解得 R, 以 A(B)、C、D、O 为顶点的四面体的外接球的体积为 VR38 故选:A 5音乐与数学有着密切的联系,我国春秋时期有个著名的“三分损益法”

    16、:以“宫”为基本音,“宫”经 过一次 “损” , 频率变为原来的, 得到 “徵” ;“徵” 经过一次 “益” , 频率变为原来的, 得到 “商” ; 依 次损益交替变化,获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得( ) A“宫、商、角”的频率成等比数列 B“宫、徵、商”的频率成等比数列 C“商、羽、角”的频率成等比数列 D“徵、商、羽”的频率成等比数列 解:设“宫”的频率为 a,由题意经过一次“损”,可得“徵”的频率为a,“徵”经过一次“益”, 可得“商”的频率为a, “商”经过一次“损”,可得“羽”频率为a,最后“羽”经过一次“益”,可得“角”的频率是 a, 由于 a,a,a 成等比数列

    17、,所以“宫、商、角”的频率成等比数列, 故选:A 6设函数 f(x)asin(x+1)+bsin(x+2),则“是 f(x)为偶函数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解:若 f(x)为偶函数,则 f(x)f(x), 即 asin(x+1)+bsin(x+2)asin(x+1)+bsin(x+2) 整理得 2asinxcos1+2bsinxcos20,即 acos1+bcos20, 所以, 若,即有 acos1+bcos20, 所以“是 f(x)为偶函数”的充要条件, 故选:C 7 经研究发现: 任意一个三次多项式函数 f (x) ax3+bx2

    18、+cx+d (a0) 的图象都只有一个对称中心点 (x0, f(x0),其中 x0是 f(x)0 的根,f(x)是 f(x)的导数,f(x)是 f(x)的导数若函数 f(x)x3+ax2+x+b 图象的对称点为(1,2),且不等式 exmxe(lnx+1)f(x)x33x2+exe对 任意 x(1,+)恒成立,则( ) Aa3 Bb2 Cm 的值不可能是e Dm 的值可能是 解:对于 A:因为 f(x)x3+ax2+x+b,对称中心为(1,2), 所以 f(x)3x2+2ax+1, 所以 f(x)6x+2a, 所以 f(1)6+2a0, 解得 a3,故 A 正确; 对于 B:因为 f(1)1+

    19、31+b2, 解得 b1,故 B 错误; 对于 C,D:f(x)x3+3x2+x+1, 因为不等式 exmxe(lnx+1)f(x)x33x2+exe对任意 x(1,+)恒成立, 所以 m,对任意 x(1,+)恒成立, 当 x0 时,exx+1, 则 xeexe elnx+x+1(当且仅当 xe 时,等号成立), 所以e, 所以 me,故 C 不正确,D 错误 故选:A 8已知函数 f(x)为定义在 R 上且图像连续的偶函数,满足 xf(x)0(或 xf(x)0)在(,0) (0, +) 恒成立 若把函数 yf (x) 向右平移 4 个单位可得函数 yg (x) , 则方程 的所有根之和为(

    20、) A4 B6 C10 D12 解:函数 f(x)为定义在 R 上且图像连续的偶函数, 满足 xf(x)0(或 xf(x)0)在(,0)(0,+)恒成立, 可得 f(x)在(,0)、(0,+)都单调, 由题意可得 g(x)的图像关于直线 x4 对称,且在(,4),(0,+)内都单调, 若,可得 x2或 8x2, 由 x2即 x2x10,有两个实根,其和为 1; 由 8x2即 x25x70,有两个实根,其和为 5 所以方程的所有根之和为 1+56 故选:B 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求

    21、。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为( ) A设 A,B 为两个定点,k 为非零常数,若|PA|PB|k,则动点 P 的轨迹是双曲线 B方程 2x25x+20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C双曲线1 与椭圆 +y21 有相同的焦点 D以过抛物线的焦点的一条弦 PQ 为直径作圆,则该圆与抛物线的准线相切 解:对于 A:设 A,B 为两个定点,k 为非零常数,若|PA|PB|k,(|AB|k), 则动点 P 的轨迹是双曲

    22、线,故 A 错误; 对于 B:方程 2x25x+20 的两根为 2 或, 可分别作为椭圆和双曲线的离心率,故 B 正确; 对于 C:双曲线1 的焦点坐标为()和(), 椭圆+y21 的焦点坐标为()和(), 故有相同的焦点,故 C 正确; 对于 D:以过抛物线的焦点的一条弦 PQ 为直径作圆,则该圆与抛物线的准线相切, 根据梯形的中位线和抛物线的定义,故 D 正确 故选:BCD 10已知函数 f(x)sinxcosx(04)满足 f(x+)f(x),其图象向左平移 m 个单位后, 所得图象对应的函数 yg(x)在,上单调递增,则下列判断正确的是( ) A1 B函数 f(x)的图象关于直线 x对

    23、称 C正整数 m 的值可以为 7 D正整数 m 的最小值为 6 解:函数 f(x)sinxcosx2sin(x), 满足 f(x+)f(x),所以 2sin(x+)2sin(x), 令 2k,kZ; 解得 2k,kZ; 又 04,所以 2,选项 A 错误; 所以 f(x)2sin(2x),且 f()2sn()2, 所以 x是函数 f(x)图象的对称轴,B 正确; 其图象向左平移 m 个单位后,得 y2sin(2x+2m)的图象, 即函数 yg(x)2sin(2x+2m), x,时,2x ,2x+2m2m,2m; 令, 解得 k+mk+,kZ; k1 时,3.4m3.9, k2 时,6.5m7.

    24、07, 所以正整数 m 的值可以为 7,且为最小正正数; 所以 C 正确,D 错误 故选:BC 11某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”,提高对机器零件质量的品质要求,对现有产品进行抽检,由 抽检结果可知,该厂机器零件的质量指标值 Z 服从正态分布 N(200,224),则( ) (附:14.97,若 ZN(,2),则 P(Z+)0.6826,P(2Z+2) 0.9544) AP(185.03Z200)0.6826 BP(200Z229.94)0.4772 CP(185.03Z229.94)0.9544 D任取 10000 件机器零件,其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约

    25、为 8185 件 解:因为 N(200,224),所以 200,14.97, 故 +214.97,+2229.94,185.03,2170.06, 故 P(170.06Z229.94)0.9544,P(185.03Z214.97)0.6826, 由正态分布函数的对称性可知 A 选项应为 P(185.03Z200)0.3413,故 A 错; P(200Z229.94)0.4772,故 B 正确; P(185.03Z229.94)P(185.03Z200)+P(200Z229.94)0.3413+0.47720.8185,故 C 错; 由 C 可知任取 10000 件机器零件, 其质量指标值位于区

    26、间 (185.03, 229.94) 内的件数约为 100000.8185 8185 件,故 D 正确 故选:BD 12已知 3a5b15,则 a,b 可能满足的关系是( ) Aa+b4 Bab4 C(a1)2+(b1)22 Da2+b28 解:3a5b15, alog315,blog515, a+blog315+log515log3(35)+log5(35)log33+log35+log53+log552+log35+ 4,选项 A 正确, (3a)b15b,(5b)a15a, 3ab5ab15b15a,即 15ab15a+b, a+bab,ab4,选项 B 正确, (a1)2+(b1)2a

    27、2+b22(a+b)+22ab2(a+b)+22,所以选项 C 正确, a2+b22ab8,选项 D 错误 故选:ABC 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分。共分。共 20 分分 13在(xy)(x+y)4展开式中,x3y2的系数为 2 解:若第一个因式是 x,则第二个是 x2y2,此时为6x3y2, 若第一个因式是y,则第二个是 x3y,此时为4x3y2, 即 x3y2的系数为 642, 故答案为:2 14已知等比数列an中,an0,4a1,a3,3a2成等差数列,则 4 解:由题意得,a34a1+3a2, 故, 所以 q23q40, 由题意 q0,

    28、解得 q4,q1(舍), 则q4 故答案为:4 15如图,在棱长为的正方体 ABCDABCD中,点 E、F、G 分别是棱 AB、BC、CD 的中点,则由点 E、F、G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 解:分别取 AD 中点 P,CC1中点 M,AA1中点 N,可得出过 E,F,G 三点的平面截正方体所得截面为 正六边形 EFMGPN,则正六边形的边长 MG, 故截面多边形的面积等于 S 16在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B 为圆 C:(xa)2+(y2)24 上两个动点,且 AB2若 直线 l:yx 上存在点 P,使得+,则实数 a 的取值范围为 解:设 A(x1,y1

    29、),B(x2,y2),AB 的中点 M( ,), 圆 C:(xa)2+(y2)24 的圆心 C(a,2),半径 r2, 圆心 C(a,2)到 AB 的距离|CM|, 直线 l:yx 上存在点 P,使得+, 设 P(x,x),则(x1x,y1+x)+(x2x,y2+x)(a,2), ,得,即 M(x+,x+1), |CM|, 整理,得 2x2+(2a)x+, 直线 l:yx 上存在点 P,使得+, 0,解得 故答案为: 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,小题,70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知函数 f(x)2co

    30、sxsin(x)+ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若锐角 满足 f(+),求 sin 的值 解: (1)f(x)2cosxsin(x)+2cosx(sinxcosx)+sin2x +sin(2x), 故 f(x)的最小正周期为 (2)锐角 满足 f(+)sin(2+)sin(2+ )cos212sin2, sin 18在等差数列an满足 a11,a59(nN*);数列an的前 n 项和为 Snn2;公差不为 0 的等 差数列an的首项 a11,且 a1,a2,a5成等比数列这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作 答 问题:已知数列bn满足 b1+b2+bn3n,且_ ()

    31、求数列an,bn的通项公式; ()若数列cn满是 cn,求证:数列cn的前 n 项和 Tn 【解答】()解:当选条件时: 由题设可得:数列an的公差 d2, ana1+(n1)d1+2(n1)2n1, 由 b1+b2+bn3n可得:b1+b2+bn13n1(n2), 两式相减得 bn3n3n123n1,n2, 又当 n1 时,有 b13, bn ; 当选条件时: Snn2, 当 n2 时,有 anSnSn1n2(n1)22n1, 又当 n1 时,有 S11a1,也适合上式, an2n1, 由 b1+b2+bn3n可得:b1+b2+bn13n1(n2), 两式相减得 bn3n3n123n1,n2

    32、, 又当 n1 时,有 b13, bn ; 当选条件时: 设数列an的公差为 d(d0), a11,且 a1,a2,a5成等比数列, a22a1a5,即(1+d)21+4d,解得:d2, ana1+(n1)d1+2(n1)2n1, 由 b1+b2+bn3n可得:b1+b2+bn13n1(n2), 两式相减得 bn3n3n123n1,n2, 又当 n1 时,有 b13, bn ; ()证明:由()可得:cn, 当 n1 时,有 T1成立, 当 n2 时,Tn+, 又Tn+, 两式相减得:Tn+, 整理得:Tn , 综上,Tn 19冬天的北方室外温度极低,若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上,可爱

    33、的医务工作者行动会更方 便石墨烯发热膜的制作:从石墨中分离出石墨烯,制成石墨烯发热膜从石墨分离石墨烯的一种方法 是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶现在有 A 材料、B 材料供选择,研究人员对附 着在 A 材料、B 材料上再结晶各做了 50 次试验,得到如图等高条形图 (1)根据上面的等高条形图,填写如表列联表,判断是否有 99%的把握认为试验成功与材料有关? A 材料 B 材料 合计 成功 不成功 合计 (2)研究人员得到石墨烯后,再生产石墨烯发热膜有三个环节:透明基底及 UV 胶层;石墨烯层; 表面封装层第一、二环节生产合格的概率均为第三个环节生产合格的概率为,且各生产环节 相

    34、互独立已知生产 1 吨的石墨烯发热膜的固定成本为 1 万元,若生产不合格还需进行修复第三个环节 的修复费用为 3000 元,其余环节修复费用均为 1000 元如何定价才能实现每生产 1 吨石墨烯发热膜获 利可达 1 万元以上的目标? 附:k2 ,其中,na+b+c+d P(K2k0 ) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解:(1)根据所给的条形图,可得列表: A 材料 B 材料 合计 成功 45 30 75 不成功 5 20 25 合计 50 50 100 K2126.635; 故有 99%的把握认为

    35、试验成功与材料有关 (2)设生产 1 吨的石墨烯发热膜,所需的修复费用为 X 万元,易知 x 可取 0,0.1,0.2,0.3, P(X0); P(X0.1); P(X0.2); P(X0.3); 所以 X 的分布列为: X 0 0.1 0.2 0.3 P E(X)0+0.1+0.2+0.30.1, 所以石墨烯发热膜每吨的定价至少为 0.1+1+12.1 万元,才能实现预期利润的目标 20如图,三棱锥 PABC 中,平面 PAB平面 ABC,PABPBA45,ABC2BAC60,D 是棱 AB 的中点,点 E 在棱 PB 上,点 G 是BCD 的重心 (1)若 E 是 PB 的中点,证明:GE

    36、面 PAC; (2) 是否存在点 E, 使二面角 ECDG 的大小为 30?若存在, 求的值; 若不存在, 请说明理由 【解答】(1)证明:延长 DG 交 BC 于 F,连接 EF, 点 G 是BCD 的重心,F 为 BC 的中点, D、E 分别为 AB、BP 的中点,DFAC,DEAP 又DFDED,平面 DEF平面 APC, 又 GE平面 DEF,GE平面 PAC; (2)解:连接 PD,PABPBA45, PAPB,又 D 是 AB 的中点, PDAB, 平面 PAB平面 ABC,而平面 PAB平面 ABCAB,PD平面 PAB, PD平面 ABC 如图,以 D 为坐标原点,以 DB、D

    37、P 所在直线分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系 设 PAPB2,则 AB,PDCD D(0,0,0),B(0,0),C(,0), G(,0),P(0,0, ), 假设存在点 E,使二面角 ECDG 的大小为 30,设,(0,1 则(0,) E(0,) 又, 设平面 ECD 的法向量为, 由, 令 x1,得; 又平面 ABC 的一个法向量为, 而二面角 ECDG 的大小为 30, |cos|, 即| |,解得 存在点 E,使二面角 ECDG 的大小为 30,此时 21如图,已知椭圆 C:+1(ab0)经过点 P(2,),离心率 e,直线 l 的方程为 x 8 (1)求椭圆 C 的方程; (2)

    38、AB 是椭圆 C 经过定点 Q(2,0)的任意一条弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M, 记直线 PA,PB,PM 的斜率依次为 k1,k2,k3,问:是否存在常数 ,使得 k1+k2k3?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由 解:(1)由题意可得,解得:a216,b24, 所以椭圆的方程为:+1; (2)由题意可知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为:yk(x2),B(x1,y1),A(x2,y2), 由联立整理可得:(1+4k2)x216k2x+16(k21)0, x1+x2,x1x2, k1 k,k2k, k1+k22k 2k2k, 又 k1+k2k3

    39、, 2kk3k, 2, 故存在 2 22已知函数 f(x) (1)若 a0 时 f(x)在1,e上的最小值是ln2,求 a; (2)若 ae,且 x1,x2是 f(x)的两个极值点,证明:f(x1)+f(x2) (x12+x22)2e(其中 e 为 自然对数的底数,e2.71) 解:(1)f(x)定义域是(0,+), f(x), g(x)x22ax+2a,对称轴 x0a0, 因为 1a,g(1)10,所以当 x1,e时,g(x)0,即 f(x)0, 所以 f(x)在1,e上单调递增, 所以 f(x)minf(1)ln2, 解得 a1 (2)证明:由 f(x)有两个极值点 x1,x2, 则 f(

    40、x)0 在(0,+)上有两个不等的实根,则,解得 a2, x1+x22a,x1x22a,x12+x22(x1+x2)2x1x24a24a, 当 ae 时,f(x1)+f(x2)(x12+x22)+2ealn4x1x2a(x1+x2) (x12+x22)+2e aln8a2a2(4a24a)+2e aln8a3a2+a+2e,(ae), 令 g(a)aln8a3a2+a+2e(ae)时,g(a)ln8a6a+2(ae), 令 h(a)g(a)ln8a6a+2, h(a), 当 ae 时,h(a)0所以 h(a)在e,+)上单调递减, 所以 h(a)h(e), g(a)g(e)ln8e6e+2(1+3ln2)6e+23ln26e+336e+366e0, 所以 h(a)g(e)eln8e3e2+3ee(1+3ln2)3e2+3e, e(3ln23e+4)e(33e+4)e(73e)0, 所以 g(a)0,所以原式成立, 即 f(x1)+f(x2) (x12+x22)2e


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