1、2021 年贵州省遵义市高考数学一模试卷（文科）年贵州省遵义市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A（x，y）|x2+y21，B（x，y）|yx，则 AB 中元素的个数为（ ） A3 B2 C1 D0 2设复数 z 满足（1+i）z2i，则复数 z 的虚部是（ ） A1 B1 Ci Di 3下列 4 个图分别是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图： 在他们四人中选一位发展全面的学生，则应该选择（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 4已知向量为相互垂直的单位向量，若 ，则向量 与向量 的夹角为（ ） A B C D 5若正数 x，y 满足 x+2
2、y2xy0，则 x+2y 的最小值为（ ） A9 B8 C5 D4 6下列选项中，为“数列an是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ） A2anan+1+an1（n2） Ban2an+1 a n1 C通项公式 an2n3 Dan+2anan+1an1（nN*） 7已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D82 8将函数的图象向右平移 个单位后得到函数 yg（x）的图象，则下列说法错 误的是（ ） Ayg（x）的图象的一条对称轴为 Byg（x）在上单调递增 Cyg（x）在上的最大值为 2 Dyg（x）的一个零点为 9已知函数，则 f（9）（ ） A16 B8 C
3、8 D16 10 数列an的前 n 项和 SnA （3n1） ， （A0） ， 若 k 为 3 和 l 的等差中项 （k， lN*） ， 则 （ ） A3 B9 C27 D与 A 的取值有关 11双曲线上一点 P 到右焦点 F2距离为 6，F1为左焦点，则F1PF2的角平分线与 x 轴交点坐 标为（ ） A（1，0） B（0，0） C（1，0） D（2，0） 12x（0，+），不等式 xex3xlnxa 恒成立，则 a 的最大值为（ ） A2 B0 Ce 21 Dln3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13现对一批产品进行抽样检
4、测，其编号为 01，02，03，49，50，利用随机数表（以下选取了随机数 表中的第 1 行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 7 列开始由左向右读取，则 选出来的第 3 个个体的编号为 78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 14设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数的取值范围为 15直线 ykxk+1 与圆 x2+y24 交于 A，B 两点，则|AB|最小值为 16如图，正方形 ABCD 中，点 E 为 AD 中点，现
5、将DEC 沿 EC 折起形成四棱锥 PABCE， 则下列命题中为真命题的是 设点 O 为 AC 中点，若，则在折起过程中，P、M、B、O 四点可能共面； 设 OD 与 EC 交于点 F，则在折起过程中 AC 与 PF 可能垂直； 四棱锥 PABCE 体积的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答第必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17在A
6、BC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）若 b+c2，且，求ABC 的面积； （2）若 b2c，求 sinC 18某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰在购进机器时，可以一次性额外购买 n 次 维修， 每次维修费用 300 元， 另外实际维修一次还需向维修人员支付上门服务费 80 元 在机器使用期间， 如果维修次数超过购买的 n 次时，则超出的维修次数，每次只需支付维修费用 700 元，无需支付上门服 务费需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用 期内的维修次数，得到下面统计表： 维修次数 6 7 8 9
7、 10 频数 10 20 30 30 10 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内的维修次数（6x10 且 xN），y 表示 1 台机器维修所需的总费用 （单位：元），以维修次数的频率估计概率 （1）估计 1 台机器在三年使用期间内的维修次数不超过 8 次的概率； （2）若 n8，求 y 与 x 的函数解析式； （3）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 9 次维修，或每台都购买 8 次维修，已知购买 9 次维修 服务时，这 100 台机器在维修上所需费用的平均数为 3410 元计算购买 8 次维修服务时，这 100 台机器 在维修上所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，购买 1 台
8、机器的同时应购买 9 次还是 8 次维修？ 19如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PAPB，ABPD （1）证明：ADBD； （2）若 ADPD2，求点 B 到平面 PAD 的距离 20已知函数 ，g（x）是 f（x）的导函数 （1）若 g（x）在（0，+）上单调递增，求 m 的取值范围； （2）设 F（x）g（x）f（x），证明：当时，F（x）有且仅有两个零点 21已知直线 ，l1与 l2交点轨迹为 C （1）求 C 的方程； （2）点 P（1，m）是曲线 C 上的点，E，F 是曲线 C 上的动点，且满足直线 PE 斜率与直线 PF 斜率和 为 0，求直线 EF 的斜
9、率 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 如图是美丽的三叶草图案， 在以 O 为极点， Ox 轴为极轴的极坐标系中， 它由弧， 弧， 弧组成 已 知它们分别是方程为，4sin 的圆上的一部分 （1）分别写出点 H，M，N 的极坐标； （2）设点 P 是由点 H，M，N 所确定的圆 C 上的动点，直线，求点 P 到 L 的距离 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数的最大值为 4
10、（其中 m0） （1）求 m 的值； （2）若 a2+b2+c2m，求 的最小值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A（x，y）|x2+y21，B（x，y）|yx，则 AB 中元素的个数为（ ） A3 B2 C1 D0 解：在同一个坐标下，画出圆 x2+y21 和直线 yx 的图象如下所示： 圆 x2+y21 和直线 yx 有两个交点， AB 中元素的个数为：2 故选：B 2设复数 z 满足（1+i）z2i，则复数 z 的虚部是（ ） A1 B1 Ci Di 解：由（1+i）z2i 得 z1+i， 故 z 的虚部为 1 故选：A 3下列 4 个图
11、分别是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图： 在他们四人中选一位发展全面的学生，则应该选择（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 解：对于选项 A：学生甲的道德素养和创新素养太低，还需要再培养， 对于选项 B：学生乙的五项得分都较高且分布均匀， 所以在他们四人中选一位发展全面的学生，应该选择乙， 对于选项 C：学生丙的创新素养太低，还需要再培养， 对于选项 D：学生丁的学能素养太低，还需要培养 故选：B 4已知向量为相互垂直的单位向量，若 ，则向量 与向量 的夹角为（ ） A B C D 解：根据题意，设向量 与向量 的夹角为 ， 则| |2（ ）24，则| |2， （ ）， 则 cos， 又由 0
12、，则 ， 故选：C 5若正数 x，y 满足 x+2y2xy0，则 x+2y 的最小值为（ ） A9 B8 C5 D4 解：由 x+2y2xy0，得 x+2y2xy， 所以， 所以， 当且仅当时取等号， 故选：D 6下列选项中，为“数列an是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ） A2anan+1+an1（n2） Ban2an+1 a n1 C通项公式 an2n3 Dan+2anan+1an1（nN*） 解：A：数列an是等差数列2anan+1+an1（n2）， A 选项为“数列an是等差数列”的一个充分必要条件， B：由题意知，B 选项为“数列an是等差数列”的一个既不充分也不必要条件， C
13、：an2n3，an+12（n+1）32n1，an+1an2， 数列an是等差数列， 反之若an为等差数列，则 an+1and，此时 d 不一定为 2，所以必要性不成立， 所以 C 是一个充分不必要条件 D：若数列an是等差数列，an+2an+1anan1，成立， 反之当 a11，a22，a34，a45，满足 ，但an不是等差数列， D 选项推不出数列an是等差数列，是必要不充分条件， 故选：C 7已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D82 解：由三视图可知，该几何体为棱长为 2 的正方体中挖去一个圆锥， 故其体积为：， 故选：A 8将函数的图象向右平移 个单
14、位后得到函数 yg（x）的图象，则下列说法错 误的是（ ） Ayg（x）的图象的一条对称轴为 Byg（x）在上单调递增 Cyg（x）在上的最大值为 2 Dyg（x）的一个零点为 解：2sin（2x+）， 将函数的图象向右平移个单位后得到函数 yg（x）的图象， 即， 对选项 A，因为，故 A 错误； 对选项 B，因为解得 所以 yg（x）在上单调递增，故 B 正确； 对选项 C，因为，所以， 所以，1g（x）2，g（x）max2，故 C 正确； 对选项 D，故 D 正确 故选：A 9已知函数，则 f（9）（ ） A16 B8 C8 D16 解：根据题意，函数， 则 f（9）2f（7）4f（5）
15、8f（3）16f（1）， 又由 f（1）121， 则 f（9）16f（1）16， 故选：D 10 数列an的前 n 项和 SnA （3n1） ， （A0） ， 若 k 为 3 和 l 的等差中项 （k， lN*） ， 则 （ ） A3 B9 C27 D与 A 的取值有关 解：k 为 3 和 l 的等差中项，故 k2， 当 n1，a1S12A， 当， 且 n1 也符合，所以an是公比为 3 的等比数列， 所以q327， 故选：C 11双曲线上一点 P 到右焦点 F2距离为 6，F1为左焦点，则F1PF2的角平分线与 x 轴交点坐 标为（ ） A（1，0） B（0，0） C（1，0） D（2，0）
16、 解：双曲线，左焦点（6，0），右焦点（6，0）， 双曲线上一点 P 到右焦点 F2距离为 6，所以 P 在双曲线的右支上， 记F1PF2的角平分线与 x 轴交点坐标为 D， 用面积法， 化简可得角平分线定理：， 由双曲线定义知 PF12a+PF26+612， 所以交点到左焦点距离是右焦点距离 2 倍， D 坐标（x，0），x+62（6x），解得 x2， 可得答案为（2，0）， 故选：D 12x（0，+），不等式 xex3xlnxa 恒成立，则 a 的最大值为（ ） A2 B0 Ce 21 Dln3 解：原不等式可化为 ex+lnx3（x+lnx3）1a+2， 构造 H（t）ett1，H（t）
17、et1，令 et10，可得 t0，t0 时，H（t）0，t0 时，H （t）0， 所以 H（0）0 是函数的最小值，所以 H（t）0， 当且仅当 t0 时等号成立， tx+lnx3 有零点，所以 a+20 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13现对一批产品进行抽样检测，其编号为 01，02，03，49，50，利用随机数表（以下选取了随机数 表中的第 1 行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 7 列开始由左向右读取，则 选出来的第 3 个个体的编号为 14 78 16 65 72 08 02
18、 63 14 07 02 43 69 69 38 74 32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 解：根据题意，从随机数表第 1 行的第 7 列的数字开始， 由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于 50 的编号依次为 08，02，14，07，02（重复，舍去），43， 可知选出的第 3 个数值为 14 故答案为：14 14设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数的取值范围为 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示， 设，则 k 的几何意义是可行域内的点到定点 D（0，0）的斜率 由图像可知 CD 的斜率最小，AD 的斜率最大 由得，即 C（3
19、，1）此时， 由得，即 A（1，3）此时 k3，即，则，即 故答案为： 15直线 ykxk+1 与圆 x2+y24 交于 A，B 两点，则|AB|最小值为 2 解：直线 ykxk+1 过定点 P（1，1），且 P 在圆 x2+y24 内部， |OP|，由圆中弦的性质知，当直线与 OP 垂直时，弦长最短， 此时结合垂径定理可得|AB|2 故答案为： 16如图，正方形 ABCD 中，点 E 为 AD 中点，现将DEC 沿 EC 折起形成四棱锥 PABCE， 则下列命题中为真命题的是 设点 O 为 AC 中点，若，则在折起过程中，P、M、B、O 四点可能共面； 设 OD 与 EC 交于点 F，则在折
20、起过程中 AC 与 PF 可能垂直； 四棱锥 PABCE 体积的最大值为 解：已知当平面 PEC平面 ABCE 时，四棱锥 PABCD 体积取得最大，故在三角形中 DCE， 由， ，所以正确 平面 PMO 即为平面 PAC，又 BAC，从而 P、M、B、O 不可能在同一平面内；所以不正确； 沿 EC 折起过程中，若 PFAC，因为 ACOD，则 ACPB，而这显然是不可能的，所以不正确； 故真命题为 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考
21、生都 必须作答第必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）若 b+c2，且，求ABC 的面积； （2）若 b2c，求 sinC 解：（1）由余弦定理知 a2b2+c22bccosA， a2（b+c）22bc（1+cosA）， ，解得， ， 故ABC 的面积为 （2）b2c，则由正弦定理 sinB2sinC， ，即， ， ， 18某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰在购进机器时，可以一次性额外购买 n 次 维修， 每次维修费
22、用 300 元， 另外实际维修一次还需向维修人员支付上门服务费 80 元 在机器使用期间， 如果维修次数超过购买的 n 次时，则超出的维修次数，每次只需支付维修费用 700 元，无需支付上门服 务费需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用 期内的维修次数，得到下面统计表： 维修次数 6 7 8 9 10 频数 10 20 30 30 10 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内的维修次数（6x10 且 xN），y 表示 1 台机器维修所需的总费用 （单位：元），以维修次数的频率估计概率 （1）估计 1 台机器在三年使用期间内的维修次数不超过 8
23、 次的概率； （2）若 n8，求 y 与 x 的函数解析式； （3）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 9 次维修，或每台都购买 8 次维修，已知购买 9 次维修 服务时，这 100 台机器在维修上所需费用的平均数为 3410 元计算购买 8 次维修服务时，这 100 台机器 在维修上所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 9 次还是 8 次维修？ 解：（1）以维修次数的频率估计概率， 则估计 1 台机器在三年使用期间内的维修次数不超过 8 次的概率 P0.3 （2）由题意得，当 x8 时，y3008+80 x80 x+2400； 当 x8 时，y380
24、8+700（x8）700 x2560， 即 y，xN （3）若每台都购买 8 次维修服务，则有下表： 维修次数 6 7 8 9 10 频数 10 20 30 30 10 费用 y 2880 2960 3040 3740 4440 此时，这 100 台机器在维修上所需费用的平均数为： y128800.1+29600.2+30400.3+37400.3+44400.13358（元） 购买 9 次维修服务时，这 100 台机器在维修上所需费用的平均数为 3410 元， 因为 33583410，所以购买 1 台机器的同时应购买 8 次维修服务 19如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱
25、形，PAPB，ABPD （1）证明：ADBD； （2）若 ADPD2，求点 B 到平面 PAD 的距离 【解答】（1）证明：取 AB 的中点 E，连结 PE，DE， 因为 PAPB，所以 PEAB，又 ABPD，且 PEPDP，PE，PD平面 PED， 所以 AB平面 PED，又 ED平面 PED， 所以 ABED，因为 E 为 AB 的中点， 所以 ADBD； （2）解：因为 ADPD2，所以 AE1，PE1， 由勾股定理可得 DE，所以 PE2+ED2PD2， 故 PEED，又 PEAB，且 EDABE，ED，AB平面 ABD， 所以 PE平面 ABD， 则点 P 到平面 ABD 的距离为
26、 PE1， 取 AP 的中点 F，连结 DF，因为 ADPD，所以 DFAP，由勾股定理可得， 所以， 设点 B 到平面 PAD 的距离为 h， 由等体积法可得 VBPADVPABD，则 ， 即，解得 h， 所以点 B 到平面 PAD 的距离为 20已知函数 ，g（x）是 f（x）的导函数 （1）若 g（x）在（0，+）上单调递增，求 m 的取值范围； （2）设 F（x）g（x）f（x），证明：当时，F（x）有且仅有两个零点 【解答】（1）解：因为，x0， 所以 g（x）f（x）exx（m+1）， 因为 g（x）在（0，+）上单调递增， 所以 g（x）ex1+0 在（0，+）上恒成立， 即 m
27、x2x2ex， 令 h（x）x2x2ex，则 h（x）2x2xexx2ex2x（1ex）x2ex， 因为 x0，所以 ex1，所以 1ex0，所以 2x（1ex）x2ex0，即 h（x）0， 所以 h（x）在（0，+）上单调递减， 说 h（x）h（0）0， 所以 m0，即 m 的取值范围是0，+） （2）证明：F（x）g（x）f（x）exx（m+1） mx（m+1）+x2+mlnx， 当时，F（x）x+x2+lnx（x0）， 所以 F（x）+x， 令 F（x）0，解得 0 x1，令 F（x）0，解得 x1， 所以 F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 所以 F（x）在 x1
28、 处取得极小值，也是最小值，最小值为 F（1）0， 当 x时，F（）（ln2）0，当 x2 时，F（x）ln2（ln2）0， 所以由零点存在性定理可得 F（x）在区间（，1）和（1，2）上各有一个零点， 结合 F（x）的单调性可知，F（x）有且仅有两个零点 21已知直线 ，l1与 l2交点轨迹为 C （1）求 C 的方程； （2）点 P（1，m）是曲线 C 上的点，E，F 是曲线 C 上的动点，且满足直线 PE 斜率与直线 PF 斜率和 为 0，求直线 EF 的斜率 解：（1）， 左右相乘得，化简得， （2）将点 P 的横坐标代入椭圆方程可得其纵坐标为， 设直线 PE 斜率为 k，则直线 PE
29、 方程为联立椭圆， （3+4k2）x2+4k（32k）x+4（ k）2120， 设 E（x1，y1），F（x2，y2），由于 P 在椭圆上，所以结合韦达定理可得： x1，y1kx1+1.5k， 由于两直线斜率和为 0，所以可设另一条直线斜率为k， 同样方式联立椭圆，只需将上述结论 K 变为K 即可： x2，y2kx2+1.5+k， 所以 KEF ， 又 x1+x2 ，x2x1 ， 所以 KEF （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选选 修修 4-4：坐标系与参数
30、方程：坐标系与参数方程 22 如图是美丽的三叶草图案， 在以 O 为极点， Ox 轴为极轴的极坐标系中， 它由弧， 弧， 弧组成 已 知它们分别是方程为，4sin 的圆上的一部分 （1）分别写出点 H，M，N 的极坐标； （2）设点 P 是由点 H，M，N 所确定的圆 C 上的动点，直线，求点 P 到 L 的距离 的最大值 解：（1），4sin0，2）， 联立：，由图形可知：（，0）， 所以，2，所以； 联立，解得，联立 （2）易知圆 C 是以 O 为圆心，2 为半径的圆，直线 L 过圆心 O， 所以点 P 到直线 L 的距离最大值是半径 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数的最大值为 4（其中 m0） （1）求 m 的值； （2）若 a2+b2+c2m，求 的最小值 解：（1） 所以 m3 （2） 由 （1） 知 a2+b2+c23， 由柯西不等式有： 所以，所以最小值为
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