1、2021 年江西省六校高考数学联考试卷（文科）（年江西省六校高考数学联考试卷（文科）（3 月份）月份） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1已知 x，yR，i 为虚数单位，且（x2）iy1+i，则（1+i）x+y的值为（ ） A4 B4+4i C4 D2i 2已知集合 A1，2，Bx|mx10，若 ABB，则符合条件的实数 m 的值组成的集合为（ ） A1， B1， C1，0， D1， 3设 x118，x219，x320，x421，x522，将这 5 个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出 S 的值及其统计意义分别是（ ） AS2，这 5 个数据的方差 BS2，这 5
2、个数据的平均数 CS10，这 5 个数据的方差 DS10，这 5 个数据的平均数 4函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 5 直线 y5 与 y1 在区间上截曲线所得弦长相等且 不为零，则下列描述正确的是（ ） A Bm3，n2 C Dm3，n2 6一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为 r 的一个圆，点击圆周上点 A 后该点在圆周上随机转动，最终 落点为 B，当线段 AB 的长不小于r 时自动播放音乐，则一次转动能播放出音乐的概率为（ ） A B C D 7祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个设计几何体体积的问题意思是如果两个等 高的几何体在同高处处截得两几何体的截面
3、面积恒等，那么这两个几何体的体积相等设 A，B 为两个 等高的几何体，p：A，B 的体积不相等，q：A，B 在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8已知三棱锥 PABC，在底面ABC 中，A60，PA面 ABC，PA2，则此三棱锥的外 接球的体积为（ ） A B C D8 9已知函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x+6）+f（x）2f（3），且 yf（x1）的图象关于点（1，0）对 称，则 f（2016）（ ） A0 B1 C1 D6 10若 a，b 是函数 f（x）x2px+q（p0，q
4、0）的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排 序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于（ ） A17 B18 C19 D20 11过平面区域内一点 P 作圆 O：x2+y21 的两条切线，切点分别为 A，B，记APB，则 当 最大时 cos 的值为（ ） A B C0 D 12已知 F1，F2为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，以 F1F2为直径的圆与双曲线右支的一 个交点为 P，PF1与双曲线相交于点 Q，且|PQ|3|QF1|，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知向量，向量，且 ，则实数 x
5、等于 14在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 a1，B，ABC 的面积 S2，则 ABC 的外接圆的面积为 15已知 mR，动直线 l1：x+my20 过定点 A，动直线 l2：mxy2m+30 过定点 B，若 l1与 l2交于点 P（异于点 A，B），则|PA|+|PB|的最大值为 16设函数 f（x）lnxmx2+3x，若存在唯一的整数 x0使得 f（x0）0，则实数 m 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题
6、考生 都必须作答。第都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分。分。 17已知数列an中，a13，an+12an1 （1）求证：数列an1是等比数列； （2）设，求证：数列bn的前 n 项和 18在某大学自主招生考试中，所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两 个科目的考试，成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示， 其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人 （）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数； （）若等级 A
7、，B，C，D，E 分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分，求该考场考生“数学与逻辑” 科目的平均分； （）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A在至少一科成绩为 A 的考生中，随 机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 A 的概率 19如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1， （1）求证：A1CCC1； （2）若 AB2，AC，BC，问 AA1为何值时，三棱柱 ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值 20设椭圆 C1的中心和抛物线 C2的顶点均为原点 O，C1、C2的焦点均在 x 轴上，在 C1、C2上各取两个点， 将其坐标记录于表格中：
8、（1）求 C1、C2的标准方程； （2）过 C2的焦点 F 作斜率为 k 的直线 l，与 C2交于 A、B 两点，与 C1交于 C、D 两点，若 ， 求直线 l 的方程 x 3 2 4 y 2 0 4 21已知函数 f（x）exalnx （1）曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 y（e1）x+1，求 a； （2）当 1ae2时，证明：f（x）0 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分.选修选修 4-5:不等式选讲不等式选讲 22曲线 C1的参
9、数方程为（ 为参数），在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐 标系中，曲线 C2的极坐标方程为 cos2sin （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）过原点且倾斜角为 （）的射线 l 曲线 C1，C2分别相交于 A，B 两点（A，B 异于原点） 求|OA|OB|的取值范围 选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 23已知函数 f（x）|x1|2|x+a| （）当 a3 时，求不等式 f（x）2 的解集； （）若 f（x）+x+10 的解集为 A，且2，1A，求 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）
10、. 1已知 x，yR，i 为虚数单位，且（x2）iy1+i，则（1+i）x+y的值为（ ） A4 B4+4i C4 D2i 解：x，yR，i 为虚数单位，且（x2）iy1+i， ，解得 x3，y1， （1+i）x+y（1+i）4（2i）24 故选：C 2已知集合 A1，2，Bx|mx10，若 ABB，则符合条件的实数 m 的值组成的集合为（ ） A1， B1， C1，0， D1， 解：ABB BA 当 m0 时，B满足要求； 当 B时， m+10 或 2m10 m1 或 综上，m1，0， 故选：C 3设 x118，x219，x320，x421，x522，将这 5 个数依次输入如图所示的程序框图
11、运行，则输出 S 的值及其统计意义分别是（ ） AS2，这 5 个数据的方差 BS2，这 5 个数据的平均数 CS10，这 5 个数据的方差 DS10，这 5 个数据的平均数 解：根据程序框图，输出的 S 是 x118，x219，x320，x421，x522 这 5 个数据的方差， 由方差的公式 S2 故选：A 4函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 解：f（x）f（x）， 函数 f（x）为偶函数，排除选项 A 和 C， 又 f（0）20，排除选项 B， 故选：D 5 直线 y5 与 y1 在区间上截曲线所得弦长相等且 不为零，则下列描述正确的是（ ） A Bm3，n2 C Dm3
12、，n2 解：由题意可得的图象关于直线 yn 对称， 因为曲线被直线 y5 与 y1 所得的弦长相等， 所以直线 y5 与直线 y1 关于 yn 对称 所以 n2， 又因为弦长相等且不为 0， 所以振幅 m3 故选：D 6一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为 r 的一个圆，点击圆周上点 A 后该点在圆周上随机转动，最终 落点为 B，当线段 AB 的长不小于r 时自动播放音乐，则一次转动能播放出音乐的概率为（ ） A B C D 解：画出符合题意的圆 O因为线段 AB 的长不小于r，则只有点 B 落在图中劣弧上才能播放音 乐，所以一次转动能播放出音乐的概率为 7祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它
13、是中国古代一个设计几何体体积的问题意思是如果两个等 高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等设 A，B 为两个 等高的几何体，p：A，B 的体积不相等，q：A，B 在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：由 pq，反之不成立 p 是 q 的充分不必要条件 故选：A 8已知三棱锥 PABC，在底面ABC 中，A60，PA面 ABC，PA2，则此三棱锥的外 接球的体积为（ ） A B C D8 解：设ABC 外接圆半径为 r，设三棱锥 PABC 球半径为 R，设
14、ABC 外心为 O 三棱锥 PABC，在底面ABC 中，A60，BC，PA面 ABC，PA2， 由正弦定理，得：2r2， 解得 r1，即 OA1， 球心到ABC 的外接圆圆心的距离 d1 故球的半径 R 故三棱锥 PABC 外接球的体积 V 故选：A 9已知函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x+6）+f（x）2f（3），且 yf（x1）的图象关于点（1，0）对 称，则 f（2016）（ ） A0 B1 C1 D6 解：因为函数 yf（x1）的图象关于点（1，0）对称， 所以函数 yf（x）的图象关于点（0，0）对称， 即函数 yf（x）是奇函数， 令 x3 得，f（3+6）+f（3）2f（
15、3）， 即 f（3）f（3）2f（3），解得 f（3）0 所以 f（x+6）+f（x）2f（3）0，即 f（x+6）f（x）， 所以 f（x+12）f（x），即函数的周期是 12 所以 f（2016）f（12168）f（0）0 故选：A 10若 a，b 是函数 f（x）x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排 序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于（ ） A17 B18 C19 D20 解：由题意可得 a+bp，abq， p0，q0， 可得 a0，b0， 又 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得，
16、或 解得，解得， pa+b5，q144， 则 pq20 故选：D 11过平面区域内一点 P 作圆 O：x2+y21 的两条切线，切点分别为 A，B，记APB，则 当 最大时 cos 的值为（ ） A B C0 D 解：由约束条件作出可行域如图， 当 P 离圆 O 最近时， 最大， 如图，过原点 O 作 OP 垂直直线 x+y+20，垂足为 P 此时点 P 坐标为：（1，1）， 由图可知，APB90， 则 cos0 故选：C 12已知 F1，F2为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，以 F1F2为直径的圆与双曲线右支的一 个交点为 P，PF1与双曲线相交于点 Q，且|PQ|3|QF1|，则该双曲
17、线的离心率为（ ） A B C D 解：点 P 是以 F1F2为直径的圆与 C 右支的一个交点，F1PF2为直角， 设|QF1|m，则|PQ|3m， 又|F1F2|2c， 则|PF2 | ，|PF1|PF2|4m 2a， 又|QF2 | ， |QF2|QF1 | m2a， 联立可得，5m，可得 116m225c2， 则，代入式得， ， 双曲线的离心率为 e 故选：B 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 13已知向量，向量，且 ，则实数 x 等于 9 解：向量，向量， （1x，4） ， （1，2）（1x，4）1x+80， x9，
18、故答案为 9 14在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 a1，B，ABC 的面积 S2，则 ABC 的外接圆的面积为 解：依题意 Sacsin2，又 a1，得：c4， 由余弦定理得：b2a2+c22accos25，b5， 又5， 则ABC 的外接圆的直径为 5， 则ABC 的外接圆的面积为：S， 故答案为： 15已知 mR，动直线 l1：x+my20 过定点 A，动直线 l2：mxy2m+30 过定点 B，若 l1与 l2交于点 P（异于点 A，B），则|PA|+|PB|的最大值为 解：l1：x+my20 可变形为（x2）+my0，令 y0，则 x2， 故动直线 l1：x
19、+my20 过定点 A（2，0）， l2：mxy2m+30 可变形为 m（x2）（y3）0，令 x2，则 y3， 故动直线 l2：mxy2m+30 过定点 B（2，3）， 又 1m+m（1）0，所以直线 l1与直线 l2垂直， 则有 PAPB，且|PA|2+|PB|2|AB|29， 所以， 即|PA|+|PB|，当且仅当|PA|PB|时取等号， 所以|PA|+|PB|的最大值为 故答案为： 16 设函数 f （x） lnxmx2+3x， 若存在唯一的整数 x0使得 f （x0） 0， 则实数 m 的取值范围是 +， 3） 解：当 m0 时，f（x）2mx+30，f（x）单调递增，存在无数个整数
20、 x0，使得 f（x0）0，不 符合题意； 当 m0 时，由于 x0，所以mx3， y，y ，当 0 xe 时，y0，当 xe 时，y0， 所以函数 y在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， 所以 y的极大值也是最大值为，且 x0 时，y，x+时，y0， 所以作出函数 y和 ymx3 的大致图象，如图， 过点（0，3）的直线 ymx3 介于（1，0），（2，）之间时满足条件， 直线 ymx3 过点（1，0）时，m 的值为 3，直线 ymx3 过点（2，）时，m 的值为+， 由图可知，m 的取值范围是+，3） 故答案为：+，3） 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字
21、说明、证明过程或演算步骤。第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分。分。 17已知数列an中，a13，an+12an1 （1）求证：数列an1是等比数列； （2）设，求证：数列bn的前 n 项和 解：（1）a13，an+12an1， a n+112an22（an1）， 即，故数列an1是等比数列 （2）由（1）知数列an1是等比数列，首项为 a11312，公比 q2， 则 an122n1
22、2n，则 an1+2n， 则， 则数列bn的前 n 项和 Sn +， 即成立 18在某大学自主招生考试中，所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两 个科目的考试，成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示， 其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人 （）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数； （）若等级 A，B，C，D，E 分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分，求该考场考生“数学与逻辑” 科目的平均分； （）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A在至少一科成绩为 A 的考生中，
23、随 机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 A 的概率 解：（）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人， 所以该考场有 100.2540 人， 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为： 40（10.3750.3750.150.025）400.0753 人； （）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为： 1（400.2）+2（400.1）+3（400.375）+4（400.25）+5（400.075）2.9； （）因为两科考试中，共有 6 人得分等级为 A，又恰有两人的两科成绩等级均为 A， 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A， 设这四人为甲，乙
24、，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是 A 的同学， 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为： 甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁，一共有 6 个基本事件 设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B，所以事件 B 中包含的基本事件 有 1 个， 则 P（B） 19如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1， （1）求证：A1CCC1； （2）若 AB2，AC，BC，问 AA1为何值时，三棱柱 ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值 解：（1）三棱柱 ABCA1B1C1中， A1ACC1BB1， AA1BC，
25、CC1BC， A1BBB1，A1BCC1， BCBA1B， CC1平面 BA1C，A1C平面 BA1C A1CCC1； （2）作 AOBC 于 O，连结 A1O，由（1）可知AA1O90，AB2，AC，BC ，AB AC， AO， 设 A1Ah，A1 O ， 三棱柱 ABCA1B1C1体积 V ， 当 h2，即 h 时，即 AA1时棱柱的体积最大， 最大值为： 20设椭圆 C1的中心和抛物线 C2的顶点均为原点 O，C1、C2的焦点均在 x 轴上，在 C1、C2上各取两个点， 将其坐标记录于表格中： （1）求 C1、C2的标准方程； （2）过 C2的焦点 F 作斜率为 k 的直线 l，与 C2
26、交于 A、B 两点，与 C1交于 C、D 两点，若 ， 求直线 l 的方程 x 3 2 4 y 2 0 4 解：（1）由题意判断出点（2，0），（，）在椭圆上，（3，2），（4，4）在抛物 线上， 设椭圆方程 C1为 mx2+ny21，则 ，解得， ， 设 C2方程为：y2tx，则（4）24t，解得 t4， C2的方程为：y24x （2）由（1）知 F（1，0）既是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点， 设 l：yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， ，即 k2x2（2k2+4）x+k20（k0），（2k2+4）24k40， x1+x2 ，x1x21
27、|AB|， ，即（3+4k2）x28k2x+4k2120， 64k44（3+4k2）（4k212）0， ， |CD|， ， k21，即 k1， 直线 l 的方程为 yx1 或 yx+1 21已知函数 f（x）exalnx （1）曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 y（e1）x+1，求 a； （2）当 1ae2时，证明：f（x）0 解：（1）函数 f（x）exalnx 的导数为 f（x）ex， 在点（1，f（1）处的切线斜率为 kea， 由切线方程为 y（e1）x+1，可得 eae1， 解得 a1； （2）证明：若 0 x1，由 ex0，lnx0，1ae2， 则 f（x）exaln
28、x0 显然成立； 若 x1，由 f（x）0 得 0f（x）的最小值， f（x）ex，由 a0，可得 f（x）ex+0，可得 ex在 x1 递增，可得 f（x）ea， 若 1ae，即有 f（x）0，f（x）递增，可得 f（x）f（1）e，显然 f（x）0 恒成立； 当 eae2，设 f（x）ex 0 的解为 m， 即有 1xm 时，f（x）递减，xm 时，f（x）递增， 可得 xm 处 f（x）取得最小值 emalnm， 由 f（1）e0，f（2）e2aln20， 即有 1m2， f（m）emalnmalnm，1m2， f（m）0， 可得 f（m）在（1，2）递减， 即有 f（m）0 综上可得当
29、 1ae2时，f（x）0 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分.选修选修 4-5:不等式选讲不等式选讲 22曲线 C1的参数方程为（ 为参数），在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐 标系中，曲线 C2的极坐标方程为 cos2sin （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）过原点且倾斜角为 （）的射线 l 曲线 C1，C2分别相交于 A，B 两点（A，B 异于原点） 求|OA|OB|的取值范围 解：（1）曲线 C1的
30、参数方程为（ 为参数），转换为直角坐标方程为（x1）2+y21， 根据，再转换为极坐标方程为 2cos； 曲线 C2的极坐标方程为 cos2sin，根据 ，转换为直角坐标方程为 x2y （2） 过原点且倾斜角为 （） 的射线 l 曲线 C1， C2分别相交于 A， B 两点 （A， B 异于原点） ， 直角坐标方程为（x1）2+y21，根据转换为极坐标方程为 2cos 所以|OA|2cos，则2tan， 由于， 故 选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 23已知函数 f（x）|x1|2|x+a| （）当 a3 时，求不等式 f（x）2 的解集； （）若 f（x）+x+10 的解集为 A，且2，1A，求 a 的取值范围 【解答】解（）a3 时，f（x）2|x1|2|x+3|2 或或， 解得5x， 不等式 f（x）2 的解集为x|5x （）2，1A |x1|2|x+a|+x+10 在 x2，1恒成立 （1x）2|x+a|+x+10 在 x2，1恒成立 |x+a|1 在 x2，1恒成立 a1x 或 a1x 在 x2，1恒成立 a3 或 a0， a 的取值范围是（，03，+）
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