1、2020-2021 学年广西学年广西南宁市青秀区南宁市青秀区九年级（上）期中数学试卷九年级（上）期中数学试卷 一选择题： （每题一选择题： （每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列事件中，必然事件是（ ） A明天是晴天 B购买福利彩票，中一等奖 C不在同一直线上的三个点确定一个圆 D掷一次骰子，向上一面的点数是 6 3已知O 的半径是 10，圆心 O 到直线 l 的距离是 13，则直线 l 与O 的位置关系是（ ） A相离 B相交 C相切 D无法确定 4下列各点中，点 A（1，2）关于原点对称的点是（ ） A （1，2）
2、B （1，2） C （2，1） D （1，2） 5如图，四边形 ABCD 内接于O，若A70，则C 的度数为（ ） A70 B100 C110 D120 6已知关于 x 的方程 x2bx+30 的一个根是 1，另外一个根是（ ） A4 B3 C2 D1 7如图，在ABC 中，CAB65，将ABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转，得到ABC，当 CC AB 时，则旋转角的度数为（ ） A35 B40 C50 D65 8如图，若被击打的小球飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）具有函数关系为 h20t5t2， 则小球从飞出到落地的所用时间为（ ） A3s B4s C5s D6s 9已知圆
3、锥的侧面积为 15cm2，底面半径为 3cm，则圆锥的高是（ ） A3cm B4cm C5cm D8cm 10如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，ABBC，AB2，CD4，以 BC 上一点 O 为圆心的圆经过 A，D 两点，且AOD90，则圆心 O 到弦 AD 的距离为（ ） A5 B C D 11二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线 x1，则下列结论：abc0； 2ab0；4a+2b+c0；3a+c0；当 y0 时，1x3其中正确的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 12如图，E、F 是正方形 ABCD 边 AD 上的两个动点且 AEDF
4、，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形 ABCD 的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值为（ ） A1 B C D 二填空题（每题二填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 13抛物线 y3（x1）2+5 的最大值是 14已知正六边形的半径为 2cm，那么这个正六边形的边心距为 cm 15如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 投篮次数 （n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 （m） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率 （） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 根
5、据这个结果估计，这名球员投篮一次的命中率是 （精确到 0.1） 16某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，若主干、分支、小分支的总数 为 73，则每个分支长出小分支的数目为 17 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中 容圆径几何？”其意思是： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步， 问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是 步 18在平面直角坐标系中，抛物线 yx2的图象如图所示已知点 A 的坐标为（1，1） ，过点 A 作 AA1x 轴交抛物线于点 A1，过点 A1作 A1A2O
6、A 交抛物线交于点 A2，过点 A2作 A2A3x 轴交抛物线于点 A3， 过点 A3作 A3A4OA 交抛物线交于点 A4，依此规律进行下去，则点 A2020的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，共小题，共 66 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算： 20 （6 分）先化简，再求值：，其中 21 （8 分）如图，AOB 的三个顶点坐标分别为 A（1，4） 、O（0，0） 、C（3，3） （1）将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90后得到A1OB1，画出旋转后的A1OB1，并写出点 A1的坐标；
7、（2）求（1）中点 A 在旋转到点 A1时所经过的路径长 （结果保留 ） 22 （8 分）为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识某校举行了“垃圾分类，人人有 责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩（满分 10 分，6 分及 6 分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级 20 名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8 分及以上人数所占百
8、分比 七年级 7.5 a 7 45% 八年级 7.5 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）在上述表格中：a ，b ，c ； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握垃圾分类知识的情况较好？请说明理 由（写出一条理由即可） ； （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取 2 名学生参加全市现场垃圾 分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率 23 （8 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，延长 BC 至点 D，使 DCCB延长 DA 与O 的另 一个交点为 E，连接 AC，CE （1）求证：BD； （2）
9、若O 的半径为 2，BCAC2，求 CE 的长 24 （10 分）某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30 元，每月可卖出 180 件，该商品每台售价（元）与 月销量（台）满足的函数关系式如下表所示已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于 35 元设 每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数）时，月销售利润为 w 元 每台售价（元） 30 31 32 30+x 月销售量（台） 180 170 160 y （1）上述表格中，y （用含 x 的代数式表示） ； （2）若销售该商品每月所获利润为 1920 元，那么每件商品的售价应上涨多少元？ （3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得
10、的利润 w 最大？最大利润是多少？ 25 （10 分）如图，在ABC 中，C90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 在 BC 上，且 BE DE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）试判断 DE 与 BC 的数量关系，并说明理由； （3）若B30，AB8，求阴影部分的面积（结果保留 ） 26 （10 分）直线 l：y3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与抛物线 yax22ax+a+4（a0） 交于点 B，如图所示 （1）求该抛物线的解析式； （2） 已知点 M 是抛物线上的一个动点， 并且点 M 在第一象限内， 连接 AM、 BM， 设点 M 的横坐标为
11、m， 四边形 OAMB 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值； （3）若点 D 在平面内，点 C 在直线 AB 上，平面内是否存在点 D 使得以 O，B，C，D 为顶点的四边形 是 菱 形 若 存 在 ， 请 直 接 写 出 点D的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题： （每题一选择题： （每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形
12、，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 2下列事件中，必然事件是（ ） A明天是晴天 B购买福利彩票，中一等奖 C不在同一直线上的三个点确定一个圆 D掷一次骰子，向上一面的点数是 6 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 【解答】解：A、明天是晴天，是随机事件； B、购买福利彩票，中一等奖，是随机事件； C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，是必然事件； D、掷一次骰子，向上一面的点数是 6，是随机事件； 故选：C 3已知O 的半径是 10，圆心 O 到直线 l 的距离是 13，则直线 l 与O 的位置关系是（ ） A
13、相离 B相交 C相切 D无法确定 【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合 1013，即可解决问题 【解答】解：O 的半径为 10，圆心 O 到直线 l 的距离是 13，而 1013， 点 O 到直线 l 的距离大于半径， 直线 l 与O 相离 故选：A 4下列各点中，点 A（1，2）关于原点对称的点是（ ） A （1，2） B （1，2） C （2，1） D （1，2） 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答 【解答】解：点 A（1，2）与点（1，2）关于原点对称， 点 A（1，2）关于原点对称的点是（1，2） 故选：D 5如图，四边形 ABCD 内接于O，若A70，则
14、C 的度数为（ ） A70 B100 C110 D120 【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， A+C180， A70， C110， 故选：C 6已知关于 x 的方程 x2bx+30 的一个根是 1，另外一个根是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】利用两根之积为 3 求方程的另外一个根 【解答】解：设方程的另一个根为 t， 根据题意得 1t3，解得 t3 即方程的另一个根为 3 故选：B 7如图，在ABC 中，CAB65，将ABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转，得到ABC，当 CC AB 时，则旋转角的度数为（ ） A35 B40 C50 D65
15、 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得ACCCAB，根据旋转的性质可得 ACAC，然后 利用等腰三角形两底角相等求CAC，再根据CAC、BAB都是旋转角解答 【解答】解：CCAB， ACCCAB65， ABC 绕点 A 旋转得到ABC， ACAC， CAC1802ACC18026550， CACBAB50 故选：C 8如图，若被击打的小球飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）具有函数关系为 h20t5t2， 则小球从飞出到落地的所用时间为（ ） A3s B4s C5s D6s 【分析】根据关系式，令 h0 即可求得 t 的值为飞行的时间 【解答】解：依题意，令 h0 得 020t
16、5t2， 得 t（205t）0， 解得 t0（舍去）或 t4， 即小球从飞出到落地所用的时间为 4s， 故选：B 9已知圆锥的侧面积为 15cm2，底面半径为 3cm，则圆锥的高是（ ） A3cm B4cm C5cm D8cm 【分析】圆锥的母线、底面半径、圆锥的高正好构成直角三角形的三边，求圆锥的高就可以转化为求母 线长圆锥的侧面的展开图是扇形，扇形的半径就等于母线长 【解答】解：侧面展开图扇形的弧长是 6，设母线长是 r，则6r15， 解得：r5， 根据勾股定理得到：圆锥的高4cm 故选：B 10如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，ABBC，AB2，CD4，以 BC 上一点 O 为圆心的
17、圆经过 A，D 两点，且AOD90，则圆心 O 到弦 AD 的距离为（ ） A5 B C D 【分析】根据 AAS 证明ABOCDO，则有 OBCD4；再根据勾股定理求得 OA可证明三角形 AOD 是等腰直角三角形，则可得出答案 【解答】解：AOB+OAB90，AOB+DOC90， OABDOC， 在ABO 与OCD 中， ， ABOOCD（AAS） ， OBCD4， 根据勾股定理得 OA2 AD2 过 O 作 OFAD，垂足为 F AOD90，OAOD， AOD 是等腰直角三角形， OFAD， 即 O 到 AD 距离为 故选：C 11二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其
18、对称轴为直线 x1，则下列结论：abc0； 2ab0；4a+2b+c0；3a+c0；当 y0 时，1x3其中正确的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴判定 b 与 0 的关系以及 2a+b0；当 x1 时，yab+c0；然后由图象确定当 x 取何值时， y0 【解答】解：开口向下， a0， 对称轴在 y 轴右侧， 0， b0， 抛物线与 y 轴交于正半轴， c0， abc0，故结论正确； 对称轴为直线 x1， 1 2a+b0 故结论正确； 当 x2 时，4a+
19、2b+c0，故结论正确； 对称轴 x1， 2a+b0， b2a， 当 x1 时，yab+c0， a（2a）+c3a+c0，故结论不正确； 如图，当 y0 时，1x3，故结论不正确； 综上所述，正确的结论是 故选：B 12如图，E、F 是正方形 ABCD 边 AD 上的两个动点且 AEDF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形 ABCD 的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值为（ ） A1 B C D 【分析】延长 AG 交 CD 于 M，如图 1，可证ADGDGC 可得GCDDAM，再证ADM DFC 可得 DFDMAE，可证ABEADM，可得 H 是以 A
20、B 为直径的圆上一点，取 AB 中点 O，连 接 OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得 DH 长度的最小值 【解答】解：延长 AG 交 CD 于 M，如图 1 ABCD 是正方形 ADCDAB，BADADC90，ADBBDC ADCD，ADBBDC，DGDG ADGDGC DAMDCF 且 ADCD，ADCADC ADMCDF FDDM 且 AEDF AEDM 且 ABAD，ADMBAD90 ABEADM DAMABE DAM+BAM90 BAM+ABE90，即AHB90 点 H 是以 AB 为直径的圆上一点 如图 2，取 AB 中点 O，连接 OD，OH ABAD2，O 是 A
21、B 中点，AO1OH， 在 RtAOD 中，OD DHODOH DH1 DH 的最小值为1 故选：A 二填空题（每题二填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 13抛物线 y3（x1）2+5 的最大值是 5 【分析】由抛物线顶点式可求得答案 【解答】解：由函数 y3（x1）2+5，函数的二次项系数30， 所以该函数抛物线开口向下，有最大值， 当 x1 时，最大值为 5 故答案为：5 14已知正六边形的半径为 2cm，那么这个正六边形的边心距为 cm 【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决 【解答】解：如图，连接 OA、OB；过点 O 作
22、OGAB 于点 G 在 RtAOG 中， OA2cm，AOG30， OGOAcos 302（cm） 故答案为： 15如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 投篮次数 （n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 （m） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率 （） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 根据这个结果估计，这名球员投篮一次的命中率是 0.5 （精确到 0.1） 【分析】 计算出所有投篮的次数， 再计算出总的命中数， 继而可估计出这名球员投篮一次， 投中的概率 【解答】解：由题意得，这名球员投篮的次数为
23、1550 次，投中的次数为 796， 故这名球员投篮一次，投中的概率约为：0.5 故答案为：0.5 16某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，若主干、分支、小分支的总数 为 73，则每个分支长出小分支的数目为 8 【分析】设每个分支长出小分支的数目为 x，根据主干、分支、小分支的总数为 73，即可得出关于 x 的 一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设每个分支长出小分支的数目为 x， 依题意得：1+x+x273， 整理得：x2+x720， 解得：x18，x29（不合题意，舍去） 故答案为：8 17 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题
24、“今有勾八步，股十五步，问勾中 容圆径几何？”其意思是： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步， 问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是 6 步 【分析】设三角形ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为 r，由 SABC （AB+BC+CA） r 可求得半径，则可求得直径 【解答】解： 设三角形为ABC，C90，AC8，BC15， AB17， 设内切圆的半径为 r，则 SABC（AB+BC+CA） r， ACBC（AB+BC+CA） r，即815（8+15+17） r， 解得 r3， 内切圆的直径是 6 步， 故答案为：6 18在平面
25、直角坐标系中，抛物线 yx2的图象如图所示已知点 A 的坐标为（1，1） ，过点 A 作 AA1x 轴交抛物线于点 A1，过点 A1作 A1A2OA 交抛物线交于点 A2，过点 A2作 A2A3x 轴交抛物线于点 A3， 过点A3作 A3A4OA交抛物线交于点 A4， ， 依此规律进行下去， 则点 A2020的坐标为 （1011， 10112） 【分析】根据二次函数性质可得出点 A1的坐标，求得直线 A1A2为 yx+2，联立方程求得 A2的坐标，即 可求得 A3的坐标，同理求得 A4的坐标，即可求得 A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出 点 A2020的坐标 【解答】解：A 点坐
26、标为（1，1） ， 直线 OA 为 yx，A1（1，1） ， A1A2OA， 直线 A1A2为 yx+2， 解得或， A2（2，4） ， A3（2，4） ， A3A4OA， 直线 A3A4为 yx+6， 解得或， A4（3，9） ， A5（3，9） ， A2020（1011，10112） ， 故答案为（1011，10112） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，共小题，共 66 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算： 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案 【
27、解答】解：原式2+13 22+13 2 20 （6 分）先化简，再求值：，其中 【分析】 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子， 然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： ， 当 x+1 时，原式 21 （8 分）如图，AOB 的三个顶点坐标分别为 A（1，4） 、O（0，0） 、C（3，3） （1）将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90后得到A1OB1，画出旋转后的A1OB1，并写出点 A1的坐标； （2）求（1）中点 A 在旋转到点 A1时所经过的路径长 （结果保留 ） 【分析】 （1）根据旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用弧长公式进而得出线段 OA
28、在旋转过程中点 A 运动到点 A1所经过的路径长 【解答】解： （1）如图所示，A1OB1，即为所求，点 A1的坐标（2，3） ； （2）AOB 绕点 O 逆时针旋转 90后得到的A1OB1， A1OA190， A（3，2） ， A1OAO， 点 A 运动到点 A1所经过的路径长 22 （8 分）为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识某校举行了“垃圾分类，人人有 责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩（满分 10 分，6 分及 6 分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级 20 名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，
29、6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8 分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 a 7 45% 八年级 7.5 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）在上述表格中：a 7 ，b 7.5 ，c 50% ； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握垃圾分类知识的情况较好？请说明理 由（写出一条理由即可） ； （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取 2 名学生参加全市现场垃圾 分类知识竞赛，请
30、用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率 【分析】 （1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到 a、b、c 的值； （2）根据统计表中的数据，可以得到该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好，然后说明 理由即可，注意本题答案不唯一，理由只要合理即可； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率 【解答】解： （1）七年级 20 名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6， 7，9，7，10，6， a7， 由条形统计图可得，b（7+8）27.5， c（5+2+3）20100%50%， 即 a
31、7，b7.5，c50%， 故答案为：7，7.5，50%； （2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由如下： 八年级的 8 分及以上人数所占百分比大于七年级， 故八年级学生掌握垃圾分类知识较好； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中必有甲同学参加比赛的结果数为 6 种， 必有甲同学参加比赛的概率为 23 （8 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，延长 BC 至点 D，使 DCCB延长 DA 与O 的另 一个交点为 E，连接 AC，CE （1）求证：BD； （2）若O 的半径为 2，BCAC2，求 CE 的长 【分析】 （1）由 AB 为O 的直径，可得ACB90，又
32、由 DCCB，根据线段垂直平分线的性质，可 得 ADAB，即可证得：BD； （2）首先设 BCx，则 ACx2，根据勾股定理即可得（x2）2+x24，继而求得 BC 的长，又可证 得 CECBCD，继而求得答案 【解答】 （1）证明：AB 为O 的直径， ACB90， ACBC， DCCB ADAB， BD （2）设 BCx，则 ACx2 在 RtABC 中，AC2+BC2AB2， （x2）2+x24， 解得：（舍去） ， BE，BD， DE， CDCE， CDCB CECB1+ 24 （10 分）某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30 元，每月可卖出 180 件，该商品每台售价（元）
33、与 月销量（台）满足的函数关系式如下表所示已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于 35 元设 每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数）时，月销售利润为 w 元 每台售价（元） 30 31 32 30+x 月销售量（台） 180 170 160 y （1）上述表格中，y 18010 x （用含 x 的代数式表示） ； （2）若销售该商品每月所获利润为 1920 元，那么每件商品的售价应上涨多少元？ （3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润 w 最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）根据表格中的数据可看出，售价上涨 1 元，则少卖 10 件，即可得到 y 与 x 的关系式；
34、（2） 根据销售利润每件商品的利润 （18010上涨的钱数） 可列出方程， 求得合适的 x 的解即可， 根据每件售价不能高于 35 元，可得 x 的取值； （3）根据销售利润每件商品的利润（18010上涨的钱数）得到的函数解析式，可得二次函数的 最值，结合实际意义，求得整数解即可 【解答】解： （1）由表格数据可得，y 与的函数解析式为：y18010 x， 故答案为：y18010 x； （2）由题意得：1920（3020+x） （18010 x） ， 即 x28x+120（0 x5，且 x 为整数） ， 解得：x2 或 x6， 0 x5， x2， 当 x2 时，y 的值为 1920； （3）由
35、题意得：w（3020+x） （18010 x）10 x2+80 x+1800（0 x5，且 x 为整数） ； 100， 当 x4 时，y最大1960 元； 每件商品的售价为 34 元 答：每件商品的售价为 34 元时，商品的利润最大，为 1960 元 25 （10 分）如图，在ABC 中，C90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 在 BC 上，且 BE DE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）试判断 DE 与 BC 的数量关系，并说明理由； （3）若B30，AB8，求阴影部分的面积（结果保留 ） 【分析】（1） 连接 OD， 先由直角三角形的性质得A+B90， 再由等腰三
36、角形的性质得AODA， BEDB，则ODA+EDB90，得ODE90，即可得出结论； （2）连接 OE，证 RtODERtOCE（HL） ，得 DECE，则 DECEBE，即可得出结论； （3）先由直角三角形的性质得A60，ACAB4，BCAC12，再由圆周角定理得 COD2A120，由（2）得：RtODERtOCE，CEBC6，则阴影部分的面积四边形 ODEC 的面积扇形 OCD 的面积，即可解决问题 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图： C90， A+B90， OAOD，BEDE， AODA，BEDB， ODA+EDB90， ODE1809090， DEOD， 又OD 是O 的半径，
37、DE 是O 的切线； （2）解：DEBC，理由如下： 连接 OE，如图： 由（1）得：ODEC90， 在 RtODE 和 RtOCE 中， ， RtODERtOCE（HL） ， DECE， BEDE， DECEBE， DEBC； （3）解：C90，B30，AB8， A60，ACAB4，BCAC12， COD2A120， 由（2）得：RtODERtOCE，CEBC6， OCAC2， 阴影部分的面积四边形 ODEC 的面积扇形 OCD 的面积226 124 26 （10 分）直线 l：y3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与抛物线 yax22ax+a+4（a0） 交于点 B，如图
38、所示 （1）求该抛物线的解析式； （2） 已知点 M 是抛物线上的一个动点， 并且点 M 在第一象限内， 连接 AM、 BM， 设点 M 的横坐标为 m， 四边形 OAMB 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值； （3）若点 D 在平面内，点 C 在直线 AB 上，平面内是否存在点 D 使得以 O，B，C，D 为顶点的四边形 是 菱 形 若 存 在 ， 请 直 接 写 出 点D的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 【分析】 （1）先由题意得出点 A 和点 B 的坐标，再将点 B 的坐标代入 yax22ax+a+4，求得 a 的值， 则可得该抛物线的解析
39、式； （2）设点 M（m，m2+2m+3） ，根据 SS梯形BOHMSAMH列出 S 关于 m 的二次函数关系式，根据二 次函数的性质可得答案； （3） 作出图形， 分当OB是菱形的一条边时和当OB 是菱形的对角线时， 设点C 的坐标为 （m， 3m+3） ， 根据菱形的性质得出方程，求得点 C 的坐标，则可得点 D 的坐标 【解答】解： （1）直线 l：y3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点， A（1，0） 、B（0，3） ； 抛物线 yax22ax+a+4（a0）经过点 B， a+43， a1， 该抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）过点 M 作 MHx 轴于点 H
40、，如图所示： 设点 M（m，m2+2m+3） ， 则 SS梯形BOHMSAMH （3m2+2m+3）m（m1）（m2+2m+3） m2+m+， 0， S 有最大值，当 m时，S 的最大值是 S 与 m 的函数表达式为 Sm2+m+，S 的最大值是； （3）设点 C 的坐标为（m，3m+3） ，而点 B 和点 O 的坐标分别为（0，3）和（0，0） ， 当 OB 是菱形的一条边时， OBBC3，或 OBOC3， 9（m0）2+（3m+33）2，或 m2+（3m+3）29， m或 m或 m0（舍） ， 点 D 的坐标为（，）或（，）或（，） ； 当 OB 是菱形的对角线时，CD 必在 OB 的中垂线上， yC， 点 C（，） ， 此时 BC2+CO2， 此时以 O、C、B、D 为顶点的四边形是菱形，则点 D（，） 综上所述，点 D 的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）
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