1、吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了. 第第 1 1 页页 共共 2222 页页 高中数学公式高中数学公式 第一部分：集合、条件、不等式第一部分：集合、条件、不等式 2、命题 定义：可以判断真假的陈述句叫命题。 四种命题：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p； 否命题：若p 则q； 逆否命题：若q 则p 注：原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假。四种命题的真假个数：0 个，2 个，4 个 3、条件 p 是 q 的充分不必要充分不必要条件（p 是 q 的真子集） p 是 q 的必要不充分必要不充分条件（q 是 p 的真子集） p 是 q 的
2、充要充要条件 （p = q 相等） p 是 q 的既不充分也不必要既不充分也不必要条件（p、q 互不包含） 技巧：小技巧：小范围范围推大推大范围范围，大，大范围范围不能推小不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的范围，即小的推大的，大的不能推小的 4、逻辑连 词、量词 逻辑联词或且非或且非，或或命题一真就真，且且命题全真才真，非非命题真假互换。 且(交集）： pq； 或（并集）： pq； 非（结论否定）：p . 量词一般有两个，全称量词所有的，存在量词有一个，若要否定变形式。全称命题 p：x ；特称命题 p：x ； 5、二次方 程 两项： 直接开平方；（形如1 2 x） 提取公因式；（形如0
3、2 2 xx）； 三项： 十字相乘法；十字相乘法； 配方法（提；配；括；完）配方法（提；配；括；完） 公式法：求根公式： a acbb x 2 4 2 判别式 2 4bac ：韦达定理： a c xx a b xx 21 21 6、不等式 的性质 两个实数比较大小的方法：(1)作差法：与 0 比 ab0 ab ab0 ab ab0 a1 ab a b1 ab a b1 a0) (1)乘法 ab c0 acbc ab c0 acb cd acbd (3)同向相乘 ab0 cd0 acbd 1、集合 常用数集：正整数集 ()NN ，自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R。 子集（包括真子集和相
4、等）、交集、并集、补集、全集、空集（是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集） 含 n 个元素的集合个数：子集有 2n个；真子集有 2n1 个；非空子集有 2n1 个；非空真子集有 2n2 个 吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了. 第第 2 2 页页 共共 2222 页页 7、二次不 等式 ax2bxc0 的解集| 21 xxxxx 或 “大于取两边” ax2bxc0 的解集| 21 xxxx “小于取中间” 若 f(x)ax2bxc (a0)，则当 0 0a 时，f(x)0 恒成立；当 0 0a 时，f(x) 0 f(x) g(x)0 (2) f(x)
5、g(x) 0 f(x) g(x) 0 且 g(x)0. (3) f(x) g(x) 0 f(x) g(x)0 (4) f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 且 g(x)0. 10、绝对值 不等式 若若 a0， axaax “小于取中间小于取中间” axaxax 或 “大于取两边大于取两边” 若若 c0， |axb| c c axb c； |axb| c axbc 或或 axb 0) 4、函数的 解析式 求函数解析式的 4 种方法 (1)换元法换元法（从前到后）（从前到后）(2)配凑法配凑法（从后到前）（从后到前）(3)待定系数法待定系数法(4)解方程组法解方程组法：f(x)与) 1
6、( x f f(x)解方程组 5、函数的 单调性 设, 21 baxx 、 那么 )(0)()( 2121 xfxfxfxx ，若为增函数；若 f(x1)f(x2) x1x2 0 f(x)为增函数 （同号为增） )(0)()( 2121 xfxfxfxx ，若为减函数；若 f(x1)f(x2) x1x2 0,递增；递增；k0,图像在一、三象限；图像在一、三象限；k0) x0,当当 xa时时，ymin a2 ；x1 0a0 时，y 1； 当 x0 时，0 y 0 时，0 y 1； 当 x 1 在(， )上是增增函数 （同号）（同号） 在(，)上是减减函数（异号）（异号） cd1ab 10、基本不
7、 等式 2abab；abba2 22 ； 2 ) 2 ( 22 2 baba ab 满足三个条件：“一正二定三相等” 口诀：ab均值的平方平方的均值 . 吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了. 第第 5 5 页页 共共 2222 页页 14、对数函 数 对数函数对数函数 ylogax a1 0a1 时，y0； 当 0x1 时，y1 时，y0； 当 0x0 在(0，)上是增增函数（同号）（同号） 在(0，)上是减减函数（异号）（异号） 0cd1a0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值； 如果在 x0附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值 6
8、6、函数的最值函数的最值 连续函数 f(x)在闭区间a，b上必有最大值与最小值 将函数的极值极值与端点处端点处的值 f(a)，f(b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值 吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了. 第第 7 7 页页 共共 2222 页页 第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形）第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形） 1、 角的概念 与弧度制 角的概念：角的概念：任意任意角的定义角的定义；正角正角（逆）、（逆）、负角负角（顺）、（顺）、零角零角；象限角象限角轴上角轴上角；终边相同的角终边相同的角（代表（代表+周期）周期） 角度制与弧度制的
9、互化：角度制与弧度制的互化： 180 ， 571 2、 扇形弧长 扇形面积 圆的周长圆的周长rc 2 ；圆的面积；圆的面积 2 rS 扇形的弧长公式：扇形的弧长公式： = |； 扇形面积公式：扇形面积公式： = = | . 3、三角函 数的定义 三角函数的定义三角函数的定义:角终边上任一点 P),(yx,设 rOP | 则： r y 斜 对 sin r x 斜 邻 cos x y 邻 对 tan 三角函数的符号：三角函数的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 特殊角的特殊角的三角函数值：（单位圆或查表） 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0
10、 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 0 1 tan 0 3 3 1 3 不存在 3 1 3 3 0 不存在 0 4、同角关 系式 sin2cos21 知一求二知一求二 sin、cos、tan ；平方搭桥；平方搭桥(sin cos )21 2sin cos ； tan sin cos . 弦切互化（分式齐次，分子分母同除以 弦切互化（分式齐次，分子分母同除以 cos） 5、 诱导公式 诱导公式的作用：化简化简大角化小角，负角化正角，最好
11、化成特殊角. 谨记：出现轴上角轴上角才用诱导公式 口诀：“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限” 6、两角和 差 S ：sin( )sin cos cos sin； C ：cos( )cos cos sin sin； T ：tan( ) tan tan 1 tan tan . 配角技巧：所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式。配角技巧：所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式。 吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了. 第第 8 8 页页 共共 2222 页页 7、二倍角、 降幂公式 cossin22sin. 2222 cos2cossin2
12、cos1 1 2sin . 2 2tan tan2 1 tan . 降幂公式降幂公式： . 2 2cos1 sin; 2 2cos1 cos 22 8、三角函 数图像 xysin xycos xytan 图象图象 定义域定义域 R R 2 | kxx 值域值域 -1,1 -1,1 R 周期性周期性T 2 2 奇偶性奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 偶函数，图像关于y对称 奇函数，关于原点对称 最值最值 当 2 2 kx ，1 max y 当 2 2 kx，1 min y 当 kx2 ，1 max y 当 kx2，1 min y 无最大值 无最小值 单单 调调 性性 增增 函函 数数 2 2 ,
13、2 2 kk 2 ,2kk ) 2 , 2 ( kk 单 调递增，无递减区间 减减 函函 数数 2 2 3 ,2 2 kk 2,2kk 对对 称称 性性 点点 对称中心（0 , k） 对称中心（0 , 2 k） 对称中心（0 , 2 k ） 直直 线线 对称轴 2 kx 对称轴 kx 无对称轴 周期与对称性之间的关系：相邻两对称中心（两对称轴）间隔半个周期1 2T； 相邻对称中心与对称轴间隔1 4T。 9、辅助角 公式 )sin(cossin 22 xbaxbxay a b tan , 2222 sincos ba abab 其中， 10、三角函 数的图像 变换 ysin x 经过图像变换得到
14、 y2sin( ) 2x 3 1： 方法一：向左平移 3，得到 ysin() x 3 ；横坐标缩短到原来的1 2倍，得到 ysin() 2x 3 ； 纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 y2sin( ) 2x 3 ；向上平移 1 个单位长度，得到 y2sin( ) 2x 3 1 方法二：横坐标缩短为原来的1 2倍，得到 ysin 2x；向左平移 6，得到 ysin 2( ) x 6 sin( ) 2x 3 ；同上 吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了. 第第 9 9 页页 共共 2222 页页 11、三角函 数的解析 式 (1) AMm 2 ，(2)BMm 2
15、 . (3)：先求周期 T，再由T2 得 . 把A、B、代入yAsin(x)B 中 (4) ：代特殊点：上升点（0 ,2 k）、最高点（ 1 ,2 2 k ）下降点（0 ,2 k ）最低点（ 1,2 2 3 k ） 即得统一的形式：yAsin(x)B 三角函数图像化简思路三角函数图像化简思路： 二次化一次（二次化一次（2 倍角、降幂公式），一次再统一（辅助角、两角和差）倍角、降幂公式），一次再统一（辅助角、两角和差） 即化成统一的形式：yAsin(x)B 12、 正弦型函 数的性质 正弦型函数 yAsin(x) （A0 ） 方法：整体代入整体代入 周期：周期： 2 T 奇偶性：当奇偶性：当 k
16、 2时， 时，yAsin(x) Acosx 偶函数偶函数；当当 k 时，时，yAsin(x) sinx 奇函数奇函数 最值：当最值：当 x 2 2k 时，时，y 最大；x 2 2k 时，时，y 最小。 单调性：增区间：单调性：增区间： kxk2 2 2 2 减区间：减区间： kxk2 2 3 2 2 对称轴对称轴：xk 2；对称中心 ；对称中心：xk 13、解三角 形 三角形内角和定理： ()ABCCAB sin Csin(AB)； cos Ccos(AB)； tan Ctan (AB)； 三边关系： 两边之和大于第三边 a + b c ；两边之差小于第三边 a b 0 时，a 与 a 的方向
17、相同相同； 当 0；钝角 a b0 投影：|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 ab a b0. a a|a|2 |a b|a|b|. 吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了. 第第 2020 页页 共共 2222 页页 当 a 与 b 同向同向，a b|a|b|；当 a 与 b 反向反向，a b|a|b| 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则向量的数量积 a bx1x2y1y2， 向量垂直：向量垂直：ab x1x2y1y20. 向量平行：向量平行： ab x1y2x2y1 cos a b
18、 |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22 平面向量数量积运算的常用公式：(ab) (ab)a2b2. )(ab)2a22a bb2. (ab)2a22a bb2. 6、复数 (1) 复数的定义：形如 z=abi 的数叫做复数，其中 a 为实部，b 为虚部(i 为虚数单位) (2) 规定：1 2 i (3) 的幂的周期性：周期 T=4 = ，= ， = ， = ，= ， 5= (4) 复数的分类： bizabiazb abiazb , 0, 0 , 0 纯虚数虚数： 实数： 复数 (5) 复数相等：abicdi ac 且 bd (6) 共轭复数共轭复数：z=abi 的共轭复数为
19、biaz ，且 22222 )(baibabiabiazz ） (7) 复数的复数的模模：复数 zabi 的模，|z|abi|a2b2 (8) 在复平面的象限：复数 zabi 与点(a，b)的象限相同 吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了. 第第 2121 页页 共共 2222 页页 第八部分：排列组合、二项式、期望方程第八部分：排列组合、二项式、期望方程 1、计数原 理 1加法原理：做一件事有 n 类办法，则方法数 N=+ 2乘法原理：做一件事分 n 步完成，则方法数 N= 2、排列组 合 排列排列定义定义：n 中取中取 m，m 排一排（有顺序）排一排（有
20、顺序） .排列排列公式公式：Am nn(n1)(n2)(nm1) n！ nm！ 全排列全排列 注意：1! 0 ，1 0 n A,nAn 1 组合组合定义定义：n 中取中取 m（无顺序）（无顺序） 公式：Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m！ n！ m！nm！ 注意： 1 0 n C，1 n n C，nCn 1 组合的性质：组合的性质： =；若 b n a n CC ,则ba 或nba +=（头取大，底加 1）. 1 m 2 m n m 12n mmm 122 1! n n An nnn m n C mn n C m n C 1m n C m n C 1 3、 二项式、 二项式 二
21、项展开式共1 n项： 011222 n nnnrn rrnn nnnnn abC aC abC abC abC b 展开式中的通项公式通项公式： 1 rn rr rn TC ab （第1r 项） 二项式系数二项式系数： 01 , n nnn C CC， 二项式系数之和二项式系数之和：； 偶（奇）数项的二项式系数之和相等，即 中间项的二项式系数最大中间项的二项式系数最大. 当两项的系数均为 1 时，各项的系数等于二项式系数。 当n是偶数时，中间项仅有一项为 1 2 n T ；当n是奇数时，中间项有两项 1 2 1 -n T和 1 2 1 n T. 各项的系数各项的系数：是指未知数前面的系数。 n
22、 n n n n xaxaxaxaabax 1 1210 )( 赋值法： 令0 x ； n baa)( 0 令1x ； n n baaaaa)( 210 （各项的系数之和）（各项的系数之和） 令1x ； n n baaaaaa)( 3210 由得 2 1 420 aaa(+) 2 1 531 aaa(- ) 01 2 rnn nnnn CCCC 0241351 2n nnnnnn CCCCCC 吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了. 第第 2222 页页 共共 2222 页页 4、 期望期望 方差方差 1离散型随机变量的均值与方差 随机变量常用字母 X，Y，
23、表示 步骤：第一步列表；第二步代公式 分布列的性质: pi 0，（i1,2,3n） : p1p2p3pn1. (1)期望期望：E(X)x1p1x2p2xipixnpn (2)方差方差： 期望方差的性质期望方差的性质： (1) E(aXb)aE(X)b (2) D(aXb)a2D(X) (3) D ()E()() 2常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布两点分布: 其中 pP(X1)称为成功概率若随机变量 X服从两点分布，则服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) (2)超几何分布超几何分布：在含有M个特殊元素的N个元素中，不放回的任取n件，其中含有特殊元素的个数记为X， 则有 ,
24、0,1,2, kn k MNM n N C C P Xkkm C ，即： (3)二项分布二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为p，设在n次试验中事件A发生的次数为随机变量 X，则有1,0,1,2, n k kk n P XkC ppkn ，即： 若随机变量 X 服从二项分布二项分布 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) 变量 X x1 x2 xi xn 概率 P p1 p2 pi pn X 0 1 P 1p p X 0 1 m P 00n MNM n N C C C 11n MNM n N C C C mn m MNM n N C C C X 0 1 k n P 0 1 n n Cp 1 1 1 n n C pp 1 n k kk n C pp nn n C p 2 1 n ii i D XxE Xp
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