1、1 数学八下数学思想数学八下数学思想 目录目录 一、转化思想一、转化思想 . 1 1.“新知识”向“旧知识”转化 . 1 a.将分式方程转化为整式方程. . 1 b.将新定义转化为所学知识解题. . 1 c.将求两直线交点坐标问题转化为解二元一次方程组. . 1 2.“未知”向“已知”转化 . 2 a.将四边形转化为三角形解题. . 2 b.添加辅助线将多边形转化为三角形解题. . 2 3.“复杂”向“简单”转化 . 4 a.将立体图形上最短路径问题转化为平面图形上两点之间最短距离问题 . . 4 b.将不规则图形面积转化为规则图形的面积. . 4 c.将解方程（组）的问题转化为解不等式（组）
2、的问题. . 4 二、分类讨论思想二、分类讨论思想 . 6 1.对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论 . 6 2.对图形的位置、类型的分类讨论 . 7 3.对问题的题设条件需分类讨论 . 8 4.从图象中获取信息进行分类讨论 . 8 5.对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论 . 9 三、数形结合思想三、数形结合思想 . 11 1.数转化为形. . 11 2.形转化为数 . 11 3.数形结合 . 13 四、方程思想四、方程思想 . 13 1.利用方程思想解决实际问题 . 14 a.结合所给数据列方程求解. . 14 2 b.列分式方程解决实际问题. . 14 2.利用方程思想解决数学问
3、题 . 15 a.利用待定系数法列方程（组）求一次函数解析式. . 15 b.利用勾股定理列方程求解. . 15 五、整体思想五、整体思想 . 16 1.把一组数或一个代数式看作一个整体 . 16 2.把某个图形看作一个整体 . 17 六、数学建模思想六、数学建模思想 . 17 1.方程模型 . 18 2.函数模型 . 18 3.几何模型 . 20 4.三角模型 . 20 1 一、转化思想一、转化思想 转化思想就是将所要解决的问题， 转化为一个较易解决的问题或已经解决问 题的思想.具体来说，就是使“新知识”向“旧知识”转化，“未知”向“已知” 转化，“复杂”向“简单”转化. 1.1.“新知识”
4、向“旧知识”转化“新知识”向“旧知识”转化 a.将分式方程转化为整式方程. b.将新定义转化为所学知识解题. c.将求两直线交点坐标问题转化为解二元一次方程组. 【示例【示例 a a】 11 4 1 1 2 x x xx x 【破题思维】【破题思维】 将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解 得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【参考答案】【参考答案】 去分母得 x 2+2x+1-4=x2-x， 解得 x=1， 经检验 x=1 是增根， 所以原分式方程无解 【示例【示例 b b】 规定运算：ab=a-b，ab=a+b，其中 a，b 为实 数，则（35）（35）= 【破题思维】【
5、破题思维】 根据题中的新定义，将新定义的运算转化为熟悉的二次 根式运算，计算即可求出值 【参考答案参考答案】 根据题中的新定义得原式=（3-5）（3+5） =3-5=-2. 【示例【示例 c c】 已知直线 l1：y=-4x+5 和直线 l2：y= 2 1 x-4 （1）求两条直线 l1和 l2的交点坐标； （2）求两条直线 l1和 l2与 x 轴围成的三角形的面积 【破题思维】【破题思维】 将两直线的表达式联立起来解方程组，方程组的解就是 交点坐标，本题将求两直线交点坐标的问题转化为解二元一次方程组， 体现了转化思想的应用. 2 【参考答案】【参考答案】 设两条直线 l1和 l2的交点坐标为
6、 P（x，y）， 依题意得 , 4 2 1 , 54 xy xy 解得 ，3 , 2 y x 即 P（2，-3）. （2）如图，设两条直线 l1和 l2与 x 轴的交点为 A，B， 则 A（8，0），B（ 4 5 ，0）， S PAB= 2 1 （8- 4 5 ）3= 8 81 2.2.“未知”向“已知”转化“未知”向“已知”转化 a.将四边形转化为三角形解题. b.添加辅助线将多边形转化为三角形解题. 【示例【示例 a a】 如图，在 ABCD 中，点 E、F 分别在边 CB，AD 的延长线上， 且 BE=DF，EF 分别与 AB，CD 交于点 G，H，则 BG 与 DH 有怎样数量关系？
7、证明你的结论 3 【破题思维】【破题思维】 本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定 和性质，解题的关键是四边形转化为三角形，通过全等三角形找出线段 间的关系 【参考答案参考答案】 BG=DH，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC，A=C，AB=DC， E=F. 又BE=DF，AF=AD+DF，CE=CB+BE， AF=CE， 在CEH 和AFG 中， , , , EF CEAF CA AFGCEH（ASA）， AG=CH， BG=DH 【示例【示例 b b】 已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 中点求证： S四 边 形 ABCD=2
8、S CDE 【破题思维】 通过添加辅助线，将不规则的多边形转化为熟悉的三角形，利用 全等三角形的判定与性质进行求解与证明. 【参考答案参考答案】 如图，延长 DE 交 CB 的延长线于点 F， ADCF， A=EBF，ADE=F. 点 E 为 BA 的中点， AE=BE. 在DAEBEF 中， 4 , , , BEAE EBFA FADE DAEBEF， DE=EF，DA=BF. 设四边形 ABCD 的高为 h， S DCF= 2 1 （BC+BF）h= 2 1 （BC+AD）h=S四 边 形 ABCD， S DEC= 2 1 S DCF= 2 1 S四 边 形 ABCD 3.3.“复杂”向“
9、简单”转化“复杂”向“简单”转化 a.将立体图形上最短路径问题转化为平面图形上两点之间最短距离问 题. b.将不规则图形面积转化为规则图形的面积. c.将解方程（组）的问题转化为解不等式（组）的问题. 【示例【示例 a a】 如图，圆柱形容器的高为 0.9m，底面周长为 1.2m，在容器 内壁离容器底部 0.3m 处的点 B 处有一蚊子此时，一只壁虎正好在容 器外壁，离容器上沿 0.2m 与蚊子相对的点 A 处，求壁虎捕捉蚊子的最 短距离. 【破题思维】【破题思维】 将容器侧面展开，即将立体图形转化为平面图形，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为 所求
10、 5 【参考答案】【参考答案】 如图，高为 0.9m，底面周长为 1.2m，在容器内壁离 容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁， 离容器上沿 0.2m 与蚊子相对的点 A 处， AD=0.6m，BD=0.8m. 将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A， 连接 AB，则 AB 即为最短距离， AB= 22 BDDA= 22 8 . 06 . 0=1（m） 【示例【示例 b b】 如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过 O 作直 线交 AD 于点 E，交 BC 于点 F若 ABCD 的面积为 30，求阴影部分的面 积. 【破题思维】
11、【破题思维】 运用全等三角形的性质将三角形 AEO 的面积转化为三角 形 CFO 的面积，从而使三块阴影部分构成一个整体，进而求解. 【参考答案参考答案】 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC， ABCD， BCD 的面积= 2 1 平行四边形 ABCD 的面积= 2 1 30=15， AEO=CFO. 在AOE 和COF 中， , , , OCOA COFAOE CFOAEO 6 AOECOF（AAS）， AOE 的面积=COF 的面积， 阴影部分的面积=BCD 的面积=15 【示例【示例 c c】 如果关于 x，y 的二元一次方程组 pyx yx,3135 的解是正整 数，求整数
12、p 的值 【破题思维】【破题思维】 先把 p 看成常数，求出方程组的解，然后根据题意转化 为求解关于 p 的不等式组. 【参考答案参考答案】 解二元一次方程组 ，pyx yx,3135 得 . 2 315 , 2 331 p y p x 方程组的解是正整数， , 0 2 315 , 0 2 331 p p 解得 3 31 5 31 p. p 为整数，方程组的解为正整数， p=7，9 二、分类讨论思想二、分类讨论思想 分类讨论思想,其实质是把问题“分而治之，各个击破”.把要解决的数学问 题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小” 问题,便于求解. 1.1.对字母、未
13、知数的取值范围分不同情况讨论对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论 【示例】【示例】 已知一次函数0kbkxy的图象经过点 A（0，3），且与 两坐标轴所围成的三角形的面积为 3，求此一次函数的表达式. 【破题思维】【破题思维】 根据点（0，3）确定常数 b 的值，利用图象与 x 轴的交点坐标 特征确定其坐标，再根据图象与两坐标轴围成的三角形的面积确定待定系数 k, 即可求出一次函数表达式. 7 【参考答案】【参考答案】 把 A（0，3）代入一次函数 y=kx+b 得 b=3， 当 y=0 时，kx+3=0，解得 x=-k 3 ， 则直线与 x 轴的交点坐标为（-k 3 ，0）， 一次函数的图
14、象与两坐标轴所围成的三角形的面积为 3， 2 1 |-k 3 |3=3， 当 k0 时，解得 k=1.5， 当 k0,则 a-b 的值为_. 【破题思维】【破题思维】 本题中 a,b 可能是正数，也可能是负数，因此分情况讨论即可 求解. 【参考答案】【参考答案】 |a|=5, 3 2 b ,且 ab0, a=5,b=3 或 a=-5,b=-3. 当 a=5,b=3 时，a-b=2; 当 a=-5,b=-3 时，a-b=-2. 综上 a-b 的值为-2 或 2. 4.4.从图象从图象中获取信息进行分类讨论中获取信息进行分类讨论 【示例】【示例】 如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点
15、E 是 BC 边上一点，连 接 AE，把B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B处，当CEB为直角三角 形时，求 BE 的长 【破题思维】【破题思维】 由题和题图可分BEC=90，EBC=90，BEC=90三 种情况讨论即可. 【参考答案】【参考答案】 当BEC=90时，如图（1）， 9 BEA=BEA=45， BE=AB=3； (2)当EBC=90时，如图（2）. 在 RtABC 中，AB=3，BC=4， AC= 22 BCAB =5， 矩形 ABCD 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B处， B=ABE=90，EB=EB，AB=AB=3， 点 A、B、C 共线，即点 B在 AC 上，CB=
16、AC-AB=5-3=2， 设 BE=x，则 EB=x，CE=4-x， 在 RtCEB中，EB 2+CB2=CE2， x 2+22=（4-x）2，解得 x=2 3 ， 即 BE=2 3 ， (3)当BEC=90，不符合题意. 综上所述，BE 的长为 3 或2 3 (1) (2) 5.5.对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论 【示例】【示例】 已知ABC 是等腰三角形，BC 边上的高恰好等于 BC 边长的 一半，求BAC 的度数 10 【破题思维】【破题思维】 在解题过程中分情况 BC 边为底边或 BC 边为腰讨论，可使问题 化难为易得到解决. 【参
17、考答案】【参考答案】 （1）如图（1），当 BC 边为底边时，AD=2 1 BC=BD=CD， 所以ABD 和ADC 为等腰直角三角形， 所以BAC=BAD+CAD=90 （2）如图（2），当 BC 边为腰，垂足在三角形内部时， AD=2 1 BC=2 1 AC， 所以C=30， 又因为 AC=BC， 所以BAC=ABC=2 1 （180-C）=75 （3）如图（3），当 BC 边为腰，垂足落在三角形外时， AD=2 1 AB， 所以ABD=30， 所以BAC=C=2 1 ABD=15 故BAC 的度数为 90或 75或 15 （1） （2） （3） 11 三、数形结合思想三、数形结合思想 数
18、形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问 题的一种思维策略。“数无形时不直观，形无数时难入微”“数无形时不直观，形无数时难入微”数形结合思想的关 键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以 “数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化 1.1.数转化为形数转化为形： 即根据给出的 “数式” 的结构特点， 构造出与之相应的几何图形， 用几何方法解决代数问题. 【示例】【示例】 如图是一个长、宽、高分别是 4，2，1 的长方体木块，一只蚂蚁要从 长方体木块的一个顶点 A 处，沿着长方体的表面到长方体上和点 A 相对的顶点 B 处吃食物，那
19、么它需要爬行的最短路径的长是 . 【破题思维】【破题思维】 本题计算最短路径，但在立方体表面不容易进行分析计算，因此 需要把立体图形展开成平面图形，把各边长准确地标记好，就能更直观地进行路 径的分析计算. 【参考答案】【参考答案】 5 【解析】【解析】 因为蚂蚁在长方体表面爬行，可以将长方体展开成平面图形求解。长 连接 AB，如图（1），得 AB 2=（2+4）2+12=37；把前面和上面展开，连接 AB， 如图（2），得 AB 2=（1+4）2+22=29；把左面和上面展开，连接 AB，如图（3）， 得 AB 2=（2+1）2+42=25.综上，最短路径的长为 25=5 图（1） 图（2）
20、图（3） 2.2.形转化为数形转化为数：用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点. 【示例】【示例】 如图，在ABC 中，AB=AC，ADBC，垂足为点 D，AN 是ABC 外角 12 CAM 的平分线，CEAN，垂足为点 E. （1）求证：四边形 ADCE 为矩形. （2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是正方形？并给出证明 【破题思维】【破题思维】 在证明矩形的过程中，需要通过计算求得未知角的度数，看是否 满足矩形的条件；证明正方形则在矩形的基础上，利用角度关系求得三角形的满 足条件.把各种几何图形的联系转换成边角的计算， 以 “数” 精确地研究 “形” ， 实现代数与几
21、何之间的相互转化 【解题思路】【解题思路】 （1） 在等腰三角形 ABC 中， 易得BAD=CAD， 由 AN 平分MAC， 可得MAE=CAE，进而可得DAE=90，由ADC=CEA=90，即可得证； （2）要使四边形 ADCE 是正方形，需 AD=DC，即DAC=45，则BAC=90. 【参考答案】【参考答案】 （1）证明：在ABC 中，AB=AC，ADBC BAD=DAC. AN 是ABC 外角CAM MAE=CAE DAE=DAC+CAE= 2 1 180=90. 又 ADBC，CEAN ADC=CEA=90 四边形 ADCE （2）当ABC 满足BAC=90时，四边形 ADCE 是正
22、方形 证明：AB=AC，BAC=90 ACB=B=45. ADBC CAD=ACD=45 DC=AD 13 四边形 ADCE 是正方形 3.3.数形结合数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、 思路易寻. 【示例】【示例】 如图(1)，在长方形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿着 NPQM 方向运动至点 M 处停止设点 R 运动的路程为 x，MNR 的面积为 y，如果 y 关 于 x 的函数图象如图(2)所示，那么下列说法不正确的是 （ ） 图（1） 图（2) A当 x2 时，y5 B长方形 MNPQ 的周长是 18 C当 x6 时，y10 D当 y8 时
23、，x10 【破题思维】【破题思维】 根据面积与运动路程的函数图象，结合拐点的数据，以及矩形的 特征，逐段分析运动情况，体现了数形结合的数学思想. 【参考答案】【参考答案】 D 【解析】【解析】 由题图可知，MN5，NP4.当 x2 时，MNR 的面积 2 1 52 5，故选项 A 正确.长方形 MNPQ 的周长为 2（4+5）18，故选项 B 正确.当 x 6 时，点 R 在 QP 上，MNR 的面积 2 1 5410，故选项 C 正确.当 y8 时，设此时MNR 的高为 h，则 2 1 5 h8，则 h 5 16 ，所以点 R 在 PN 或 QM 上.当点 R 在 PN 上时，x= 5 16
24、 ；当点 R 在 QM 上时，x= 5 49 ，故选项 D 错误.故选 D 四、方程思想四、方程思想 在解决问题时， 通过已知量和未知量的联系， 建立起方程或方程组， 通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种 通过立方程（组）去沟通已知和未知的联系的数学思想，就称为方程思 想. 14 1.1.利用方程思想解决实际问题利用方程思想解决实际问题 a.结合所给数据列方程求解. b.列分式方程解决实际问题. 【示例【示例 a a】 李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了 8 名同学进行调查，调查结果如下（单位：篇/周）：4，2，5， 5，4，3，3，其中有一个数据不
25、小心被墨迹污损已知这组数据的平均 数为 4，那么这组数据的中位数为 篇 【破题思维】【破题思维】 设被污损的数据为 x，根据这组数据的平均数为 4 列方 程求出 x 的值，再依据中位数的定义求解 【参考答案参考答案】 设被污损的数据为 x，依题意得 4+x+2+5+5+4+3+3=48， 解得 x=6， 将这 8 个数据从小到大排列为 2、3、3、4、4、5、5、6， 2 1 （4+4）=4， 这组数据的中位数为 4 篇. 【示例【示例 b b】 为防控“新型冠状病毒”，某超市分别用 1600 元、6000 元 购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的 3 倍，但单价比 第一批贵 2
26、元 （1）第一批口罩进货单价多少元？ （2）若这两次购买防护口罩过程中所产生其他费用不少于 600 元，那 么该超市购买这两批防护口罩的平均单价至少为多少元？ 【破题思维】【破题思维】 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用， 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各 数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 【参考答案参考答案】 （1）设第一批口罩进货单价为 x 元，则第二批进货单 价为（x+2）元， 依题意，得 3 x 1600 = 2 6000 x ， 解得 x=8， 15 经检验，x=8 是原分式方程的解，且符合题意 答：第一批口罩进货单价为 8 元 （
27、2）购进第一批防护口罩的数量 16008=200（个）， 购进第一批防护口罩的数量 2003=600（个） 设该超市购买这两批防护口罩的平均单价为 m 元， 依题意，得（200+600）m1600+6000+600， 解得 m10.25 答：该超市购买这两批防护口罩的平均单价至少为 10.25 元 2.2.利用方程思想解决数学问题利用方程思想解决数学问题 a.利用待定系数法列方程（组）求一次函数解析式. b.利用勾股定理列方程求解. 【示例【示例 a a】 已知一次函数 y=kx+b，当 x=2 时，y=-3，当 x=0 时，y=-5 （1）求该一次函数的解析式 （2）将该函数的图象向上平移
28、7 个单位，求平移后的图象与 x 轴交点 的坐标 【破题思维】【破题思维】 利用待定系数法列方程求一次函数解析式，根据一次函 数的平移特征求出平移后的直线的函数表达式，进而求解. 【参考答案参考答案】 （1）由题意得， , 5 , 32 b bk 解得 , 5 , 1 b k 一次函数的解析式为 y=x-5. （2）将直线 y=x-5 向上平移 7 个单位后得到的直线是 y=x+2 当 y=0 时，x=-2， 平移后的图象与 x 轴交点的坐标是（-2，0） 【示例【示例 b b】 如图，在 RtABC 中，C=90，BC=6，AC=8，AB 的垂直 平分线 DE 交 AB 于点 D，交 AC
29、于点 E，连接 BE （1）求 AD 的长； （2）求 AE 的长 16 【破题思维】【破题思维】 在直角三角形中求线段长时，往往需要引入未知数，根 据勾股定理列出方程，通过解方程完成. 【参考答案参考答案】 （1）如图所示，在 RtABC 中，C=90，BC=6， AC=8， AB=10. DE 垂直平分 AB， AD=BD=5 （2）DE 垂直平分 AB， BE=AE， 设 EC=x，则 AE=BE=8-x， 故 6 2+x2=（8-x）2， 解得 x= 4 7 ， AE=8- 4 7 = 4 25 五、整体思想五、整体思想 整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，
30、把 握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法. 1.1.把一组数或一个代数式看作一个整体把一组数或一个代数式看作一个整体 【示例【示例 a a】 已知一组数据 x1，x2，xn的方差是 2，则另一组数据 2x1-5，2x2-5，2xn-5 的方差是_. 【破题思维】【破题思维】 若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若 数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，把数据 x1，x2，xn看成一 个整体，即可得出答案 【参考答案】【参考答案】 数据 x1，x2，xn 的方差是 2， 17 数据 2x1-5，2x2-5，2xn-5 的方差是 2 22=8
31、. 【示例【示例 b b】 已知(2018-a)(2016-a)=2017,求(2018-a) 2+(2016-a)2的值. 【破题思维】【破题思维】 将 2018-a 和 2016-a 分别看成整体， 利用完全平方公式进行计算. 【参考答案】【参考答案】 设 2018-a=x,2016-a=y,则有 x-y=2,xy=2017. 因为(x-y) 2=x2-2xy+y2=4, 所以 x 2+y2=4+2xy=4038. 故(2018-a) 2+(2016-a)2的值为 4038. 2.2.把某个图形看作一个整体把某个图形看作一个整体 【示例】【示例】 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于
32、点 O，且 ADCD，过点 O 作 OMAC，交 AD 于点 M如果CDM 的周长为 6，那么平行四边形 ABCD 的周长是 （ ） A.8 B.10 C.12 D.18 【破题思维】【破题思维】 由平行四边形的性质可得 AOCO，由线段垂直平分线的性质可 得 AMMC，然后把 CM+MD 看作一个整体 AD，即可求解 【参考答案】【参考答案】 四边形 ABCD 是平行四边形， AOCO，且 OMAC， AMMC. CDM 的周长为 6， CMMDCD6, AMMDCDADCD6, 平行四边形 ABCD 的周长2（ADCD）12, 故选 C 六、数学建模思想六、数学建模思想 在运用数学知识解决
33、实际问题时，可以先根据研究的问题建立数学模型，再 通过对数学模型的探索进而达到解题目的的方法。 初中数学中常用的数学模型有： 方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等。 18 1.1.方程模型方程模型 【示例】【示例】 某校为了创建书香校园，去年购进一批图书经了解，科普书的单价 比文学书的单价多 4 元，用 12 000 元购进的科普书与用 8 000 元购进的文学书 本数相等 (1)文学书和科普书的单价各多少钱？ (2)今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用 10 000 元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书 550 本后至多还能购进多 少本科普书
34、？ 【破题思维】【破题思维】 在运用数学知识解决实际问题时，可以构建简单的数学模型，本 题构建分式方程模型，代入未知数，寻找等量关系，求解后检验解的合理性，使 实际问题得以解决. 【参考答案】【参考答案】 (1)设文学书的单价为 x 元，则科普书的单价为(x4)元，根据 题意，得 12 000 x4 8 000 x ， 解得 x8， 经检验 x8 是方程的解，并且符合题意 所以 x412. 答：文学书和科普书的单价分别是 8 元和 12 元 (2)设购进文学书 550 本后还能购进 y 本科普书，根据题意，得 550812y10 000， 解得 y4662 3， 因为 y 为整数，所以 y 的
35、最大值为 466. 答：至多还能购进 466 本科普书 2.2.函数模型函数模型 【示例】【示例】 甲、乙两地相距 300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向 乙地.如图， 线段 OA 表示货车离甲地距离 y （km） 与时间 x （h） 之间的函数图象； 折线 BCD 表示轿车离甲地距离 y（km）与时间 x（h）之间的函数图象.请根据图 19 （1）求货车离甲地距离 y（km）与时间 x（h）之间的函数表达式；（2）当轿车 与货车相遇时，求此时 x （3）在轿车与货车行驶过程中，当两车相距 20 km 时，求 x 的值 【破题思维】【破题思维】 本题需要分析图中所给的图象，判断计算
36、两车的行驶状况，借助 一次函数模型，求出各自的行驶情况，再进行分析.要注意在构建函数模型时， 先确定是哪一种函数模型，再利用待定系数法确定函数表达式，结合函数的性质 解决实际问题. 【参考答案】【参考答案】 （1）设货车离甲地距离 y（km）与时间 x（h）之间的函数表达 式为 y=k1x，根据题意得 5k1=300 解得 k1=60 即货车离甲地距离 y（km）与时间 x（h）之间的函数表达式为 y=60 x(0 x5). （2）设 CD 段函数表达式为 y=k x+b（k0）（2.5x4.5 由题图可得 C（2.5，80），D（4.5，300），将点 C，D 的坐标分别代入函数表 达式，得
37、 .3005 . 4 ,802.5 bk bk 解得 .195 ,110 b k 所以 CD 段函数表达式为 y=110 x-195（2.5x4.5）. 由 ,60 ,195110 xy xy 解得 .234 , 9 . 3 y x 所以当轿车与货车相遇时，x 的值为 3.9. 20 （3）由题意知，当 x=2.5 时，y货=150，两车间距离为 150-80=70（km）,不满足 题意. 令 60 x-（110 x-195）=20 或 110 x-195-60 x=20 解得 x=3.5 或 x=4.3 所以当两车相距 20 km 时，x 的值为 3.5 或 4.3 3.3.几何模型几何模型
38、 【示例】【示例】 顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，要使四边形 EFGH 是菱形，应添加的条件是 ( ) AADBC BAC=BD CACBD DAD=AB 【破题思维】【破题思维】 本题是连接四边形各边中点构建菱形， 解体的关键是要清楚菱形 的性质， 借助三角形中位线的性质寻找添加条件， 体现了数学建模中的几何模型. 【参考答案】【参考答案】 B 【解析】【解析】 如图，连接 AC，BD，E，F，G，H 分别是线段 AB，BC，CD，AD 的中点， 则 EH，FG 分别是ABD，BCD 的中位线，EF，HG 分别是ABC，ACD 的中位 线，EH=FG= 2 1 B
39、D，EF=HG= 2 1 AC，当 AC=BD 时，EH=FG=HG=EF，四边形 EFGH 是菱形故选 B 4.4.三角模型三角模型 【示例】【示例】 如图，1+2+3+4+5+6+7= . 【破题思维】【破题思维】 题图不规则，直接求度数难度大，若转换成我们熟悉的三角模型 就很容易求解，解题关键是要构造合适的三角形，利用内角和为 180和三角形 21 的外角计算. 【参考答案】【参考答案】 540 【解析】【解析】 如图，连接 BC，则2+ABC+ACB=180，DBC+DCB=CDE， 1+2+5=180+CDE.连接 EG，则GDE+DGE+DEG=180，6+ FGE+FEG=180， CDE+DGF+6+7=360. DGF=3+4， 1+2+3+4+5+6+7=180+360=540.
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