1、2021 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（年江苏省南通市高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 7 小题）小题）. 1已知集合 M2，1，2，3，N2，2，下列结论成立的是（ ） AMN BMN CMNM DMN1 2在复平面内与复数 z所对应的点关于实轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为（ ） A1+i B1i C1i D1+i 3已知函数则函数 yf（1x）的图象大致是（ ） A B C D 4一个正三棱锥（底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶点都在半径为 1 的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）
2、 A B C D 5设当 x 时，函数 f（x）3sinx+4cosx 取得最小值，则 sin（ ） A B C D 6已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an+1Sn，若 an（0，2020），则称项 an为“和谐项”，则数 列an的所有“和谐项”的平方和为（ ） A B C D 7已知函数 f（x）x2 e x，g（x） x3+2x23x+c若对x1（0，+），x21，3，使 f（x1） g（x2）成立，则 c 的取值范围是（ ） Ac Bc Cc Dc 二、多项选择题（共二、多项选择题（共 4 小题）小题）. 8某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，其数据（单位：
3、cm）如下面的茎叶图所示，则下列 结论正确的是（ ） A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为 165 D男生身高的方差较小 9已知菱形 ABCD 中，BAD60，AC 与 BD 相交于点 O将ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M， 在折起的过程中，下列结论正确的是（ ） ABDCM B存在一个位置，使CDM 为等边三角形 CDM 与 BC 不可能垂直 D直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60 10设 A，B 是抛物线 yx2上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A若 OAOB，则|OA|OB|2 B若 OAOB，直线 AB 过定点
4、（1，0） C若 OAOB，O 到直线 AB 的距离不大于 1 D若直线 AB 过抛物线的焦点 F，且，则|BF|1 11已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1），则下列命题正确的是（ ） A当 x0 时，f（x）ex（x1） B函数 f（x）有 3 个零点 Cf（x）0 的解集为（，1）（0，1） Dx1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|2 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题）小题）. 12已知函数 ，则 13 平行四边形ABCD 中， M 为 CD 的中点， 点N 满足， 若， 则 + 的值为 14在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边
5、分别为 a，b，c，A30，C45，c3，点 P 是平面 ABC 内的一个动点，若BPC60，则PBC 面积的最大值是 15抛物线 C：y24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0），当取得最小值时，直线 AP 的方程为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。演算步骤。 16某班 50 名学生在一次数学测试中，成绩全部介于 50 与 100 之间，将测试结果按如下方式分成五组： 第一组50，60），第二组60，
6、70），第五组90，100如图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图 （）由频率分布直方图估计 50 名学生数学成绩的中位数和平均数； （）从测试成绩在50，60）90，100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为 m， n，求事件“|mn|10”概率 17已知数列an满足：Sn2an4n，设 bnan+4， （1）求数列an的通项公式； （2）设数列cn其前 n 项和为 Tn，如果 Tnm 对任意的 nN*恒成立，求实数 m 的取值范围 18某地区上年度电价为 0.8 元/kWh，年用电量为 akWh，本年度计划将电价降到 0.55 元/kWh 至 0.75 元 /kWh 之间，
7、而用户期望电价为 0.4 元/kWh 经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电 价的差成反比（比例系数为 K）该地区电力的成本为 0.3 元/kWh （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式； （2）设 k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%？ （注：收益实际用电量（实际电价成本价） 19已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，其面积 S （1）若 a，b，求 cosB； （2）求 sin（A+B）+sinBcosB+cos（BA）的最大值 20已知椭圆的左、右顶点分别为 A，B，点 P
8、在椭圆 O 上运动，若PAB 面 积的最大值为，椭圆 O 的离心率为 （1）求椭圆 O 的标准方程； （2）过 B 点作圆 E：x2+（y2）2r2，（0r2）的两条切线，分别与椭圆 O 交于两点 C，D（异于 点 B），当 r 变化时，直线 CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由 21已知函数 f（x）exx2（e2.71828为自然对数的底数）有两个极值点 x1，x2 （1）求 a 的取值范围； （2）求证：x1+x22lna 参考答案参考答案 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 7 小题）小题）. 1已知集合 M2，1，2，3，N2，2，下列结论成立的是（ ）
9、AMN BMN CMNM DMN1 解：集合 M2，1，2，3，N2，2，不满足 MN，则 A 错； MN2，2，则 B 错； MNM，则 C 正确； MN1，3，则 D 错 故选：C 2在复平面内与复数 z所对应的点关于实轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为（ ） A1+i B1i C1i D1+i 解：复数 z1+i， 复数的共轭复数是 1i，就是复数 z所对应的点关于实轴对称的点为 A 对应的复数； 故选：B 3已知函数则函数 yf（1x）的图象大致是（ ） A B C D 解：当 x0 时，f（x）xlnx，则令 f（x）lnx+10，解得 x，所以当 0 x时，f（x）单调 递减，
10、x时，f（x）单调递增， 当 x0 时，f（x），则令 f（x）e x10，所以当 x0 时，f（x）单调递增， 作出函数 f（x）的图象如图： 又因为 f（1x）的图象时将 f（x）图象先关于 y 轴对称，再向右移动一个单位得到的， 故根据 f（x）图象可值 f（1x）图象为 故选：B 4一个正三棱锥（底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶点都在半径为 1 的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ） A B C D 解：如图，设正三棱锥底面中心为 O， 连接 OP，延长 CO 交 AB 于 D，则 CD O 是三棱锥 PABC 的外接球球心，
11、 OPOC1， CD，BC VPABCSABCOP 1 故选：C 5设当 x 时，函数 f（x）3sinx+4cosx 取得最小值，则 sin（ ） A B C D 解：，其中， 由 f（）5sin（+）5， 可得 sin（+）1， ，kZ， ，kZ， ， 故选：C 6已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an+1Sn，若 an（0，2020），则称项 an为“和谐项”，则数 列an的所有“和谐项”的平方和为（ ） A B C D 解：因为 an+1Sn，所以 anSn1（n2），则 an+1anSnSn1，即 an+1anan，an+12an， 所以，因为 a12，所以 a2S1a
12、12， 故 ， 因为 an（0，2020），所以 1n11， 于是数列an 的所有“和谐项“的平方和为： ， 故选：A 7已知函数 f（x）x2 e x，g（x） x3+2x23x+c若对x1（0，+），x21，3，使 f（x1） g（x2）成立，则 c 的取值范围是（ ） Ac Bc Cc Dc 解：f（x）x2ex，x（0，+）， f（x），令 f（x）0，解得：x2， 故 f（x）在（0，2）递增，在（2，+）递减， 故 f（x）maxf（2）， 而 x0 时，f（x）0，x+时，f（x）+， 故 f（x）（0， g（x）x3+2x23x+c， g（x）（x3）（x1）， 令 g（x）0
13、，解得：1x3， 故 g（x）在1，3递增， 而 g（x）ming（1）+c， g（x）maxg（3）c， 故 g（x）+c，c， 若对x1（0，+），x21，3，使 f（x1）g（x2）成立， 则（0，+c，c， 故，解得：c， 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 8某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，
14、其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列 结论正确的是（ ） A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为 165 D男生身高的方差较小 解：A、找出所求数据中最大的值 173，最小值 161，再代入公式求值极差17316112，故本选项符 合题意； B、男生身高的数据在 167192 之间，女生身高数据在 161173 之间，所以男生身高的均值较大，故 本选项符合题意； C、 抽取的 10 名女生中， 身高数据从小到大排列后， 排在中间的两个数为 165 和 167， 所以中位数是 166， 故本选项不符合题意； D、抽取的学生中，男生身高的数据在 167192
15、 之间，女生身高数据在 161173 之间，男生身高数据 波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意 故选：AB 9已知菱形 ABCD 中，BAD60，AC 与 BD 相交于点 O将ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M， 在折起的过程中，下列结论正确的是（ ） ABDCM B存在一个位置，使CDM 为等边三角形 CDM 与 BC 不可能垂直 D直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60 解：菱形 ABCD 中，BAD60，AC 与 BD 相交于点 O将ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M，如 图：取 BD 的中点 E，连接 ME，EC，可知 MEBD，ECBD，所以
16、BD平面 MCE，可知 MCBD， 所以 A 正确； 由题意可知 ABBCCDDABD，三棱锥是正四面体时，CDM 为等边三角形，所以 B 正确； 三棱锥是正四面体时，DM 与 BC 垂直，所以 C 不正确； 在平面 MBD 与底面 BCD 垂直时，直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60，D 正确 故选：ABD 10设 A，B 是抛物线 yx2上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A若 OAOB，则|OA|OB|2 B若 OAOB，直线 AB 过定点（1，0） C若 OAOB，O 到直线 AB 的距离不大于 1 D若直线 AB 过抛物线的焦点 F，且，则|BF|1 解
17、：对于选项 A：A（x1，x12），B（x2，x22），OAOB， ，x1x2+（x1x2）20，x1x2 （1+x1x2）0，x ， |OA|OB|，当且仅当 x11 时等号成立，故选项 A 正确； 对于选项 B：若 OAOB，显然直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为：ykx+m， 联立方程，消去 y 得：x2kxm0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， x1+x2k，x1x2m， ， OAOB，x1x2+y1y20， m+m20，m0 或 1， 易知直线 AB 不过原点，m1， 直线 AB 的方程为：ykx+1，恒过定点（0，1），故选项 B 错误， 原点 O 到直线 A
18、B 的距离 d，k20，k2+11，d1，故选项 C 正确； 对于选项 D：直线 AB 过抛物线的焦点 F（0，），设直线 AB 的方程为：ykx+， 联立方程，消去 y 得：， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设点 A 在 y 轴右侧， x1+x2k，x1x2 ， |AF|y， ，x， ，y， |BF|1，故选项 D 正确， 故选：ACD 11已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1），则下列命题正确的是（ ） A当 x0 时，f（x）ex（x1） B函数 f（x）有 3 个零点 Cf（x）0 的解集为（，1）（0，1） Dx1，x2R，都有
19、|f（x1）f（x2）|2 解 ： 函 数f （ x ） 是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 当x 0时 ， f （ x ） ex（ x+1 ） ， 设 x0 时，x0，f（x）ex（x+1），f（x）f（x）ex（x1）， x0 时，f（0）0因此函数 f（x）有三个零点：0，1 当 x0 时，f（x）ex（x+1），f（x）ex（x+2），可得 x2 时，函数 f（x）取得极小值， f（2）可得其图象： f（x）0 时的解集为：（，1）（0，1） x 1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|f（0+）f（0）|2 因此 BCD 都正确 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共
20、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 12已知函数 ，则 解：根据题意，函数， 则 f（）sin2（）tan（）（1）， 则 f（f（）f（）e 3 ； 故答案为： 13 平行四边形 ABCD 中， M 为 CD 的中点， 点 N 满足， 若， 则 + 的值为 解：平行四边形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，点 N 满足， 所以+（）， +（）， 则根据平面向量基本定理可得， 解可得，1， 则 +， 故答案为： 14在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A30，C4
21、5，c3，点 P 是平面 ABC 内的一个动点，若BPC60，则PBC 面积的最大值是 解：在ABC 中，由正弦定理得， a ， 在PBC 中，由余弦定理得， a2PB2+PC22PBPCcosBPC， PB2+PC22PBPCcos60，PB2+PC2PBPC， PB2+PC22PBPC， PB2+PC2PBPCPBPC， 当且仅当 PBPC 时取等号，PBPC， SPBCPBPCsin60 ， PBC 的最大值为 故答案为： 15抛物线 C：y24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0），当取得最小值时，直线 AP 的方程为 x+y+10 或 xy+10 解：设 P
22、点的坐标为（4t2，4t），F（1，0），A（1，0） |PF|2（4t21）2+16t216t4+8t2+1 |PA|2（4t2+1）2+16t216t4+24t2+1 （） 2 111 1 ， 当且仅当 16t2，即 t时取等号， 此时点 P 坐标为（1，2）或（1，2）， 此时直线 AP 的方程为 y（x+1），即 x+y+10 或 xy+10， 故答案为：x+y+10 或 xy+10， 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。
23、演算步骤。 16某班 50 名学生在一次数学测试中，成绩全部介于 50 与 100 之间，将测试结果按如下方式分成五组： 第一组50，60），第二组60，70），第五组90，100如图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图 （）由频率分布直方图估计 50 名学生数学成绩的中位数和平均数； （）从测试成绩在50，60）90，100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为 m， n，求事件“|mn|10”概率 解：（）由直方图知，成绩在50，80）内的频率（0.004+0.018+0.04）100.62， 所以中位数在70，80）内， 设中位数为 x，则（0.004+0.018）10+0
24、.04（x70）0.5，解得 x77，所以中位数是 77， 设平均数为 ，则 （）由直方图知，成绩在50，60）内的人数为：50100.0042，设成绩为 x，y， 成绩在90，100的人数为 50100.0063，设成绩为 a、b、c，若 m，n50，60）时， 只有 xy 一种情况，若 m，n90，100时，有 ab，bc，ac 三种情况， 若 m，n 分别在50，60）和90，100）内时，有 xa，xb，xc，ya，yb，yc，共有 6 种情况， 基本事件总数为 10 种，事件“|mn|10”所包含的基本事件个数有 6 种， p（|mn）10） 17已知数列an满足：Sn2an4n，设
25、 bnan+4， （1）求数列an的通项公式； （2）设数列cn其前 n 项和为 Tn，如果 Tnm 对任意的 nN*恒成立，求实数 m 的取值范围 解：（1）当 n1 时，a1S12a14，解得 a14， 当 n2 时，Sn2an4n，Sn12an14（n1） 由得 anSnSn12an2an14， 即 an2an1+4， 可得 an+42（an1+4），即 bn2bn1， 所以 bnb12n182n12n+2， 则 an2n+24； （2）由（1）知， 所以， 由 Tnm 对任意的 nN*恒成立， 所以 18某地区上年度电价为 0.8 元/kWh，年用电量为 akWh，本年度计划将电价降到
26、 0.55 元/kWh 至 0.75 元 /kWh 之间，而用户期望电价为 0.4 元/kWh 经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电 价的差成反比（比例系数为 K）该地区电力的成本为 0.3 元/kWh （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式； （2）设 k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%？ （注：收益实际用电量（实际电价成本价） 解：（1）设下调后的电价为 x 元/kwh， 依题意知用电量增至，电力部门的收益为 （2）依题意有 整理得 解此不等式得 0.60 x0.75 答：当电价最低定为 0.6
27、 元/kwh 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20% 19已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，其面积 S （1）若 a，b，求 cosB； （2）求 sin（A+B）+sinBcosB+cos（BA）的最大值 解：（1）S，可得bcsinA， sinAcosA，可得 tanA1， A（0，）， A， a，b， 由正弦定理，可得 sinB， 又ab，B 为锐角， cosB （2）A， sin（A+B）+sinBcosB+cos（BA） sin（B+）+sinBcosB+cos（B ） sinB+cosB+sinBcosB+cosB+sinB （sinB+cosB）+
28、sinBcosB 令 tsinB+cosB，则 t21+2sinBcoB， 原式t2+t（t+）2，t（0， 当 t时，B，此时，原式的最大值为 20已知椭圆的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆 O 上运动，若PAB 面 积的最大值为，椭圆 O 的离心率为 （1）求椭圆 O 的标准方程； （2）过 B 点作圆 E：x2+（y2）2r2，（0r2）的两条切线，分别与椭圆 O 交于两点 C，D（异于 点 B），当 r 变化时，直线 CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由 解：（1）由题可知当点 P 在椭圆 O 的上顶点时，SPAB最大， SPAB， ，解得 椭圆 O
29、的标准方程为； （2）设过点 B（2，0）与圆 E 相切的直线方程为：yk（x2），即 kxy2k0， 直线与圆 E：x2+（y2）2r2相切， ，得（4r2）k2+8k+4r20 设两切线的斜率分别为 k1，k2（k1k2）， 则 k1k11 设 C（x1，y1），D（x2，y2）， 联立，得 ， 同理， 直线 CD 的方程为 整理得： 直线 CD 恒过定点（14，0） 21已知函数 f（x）exx2（e2.71828为自然对数的底数）有两个极值点 x1，x2 （1）求 a 的取值范围； （2）求证：x1+x22lna 解：（1）f（x）exax， 函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，
30、方程 f（x）0 有两个不等的实数根 x1，x2， 设 g（x）f（x）exax，则 g（x）exa， 当 a0 时，g（x）exa0， g（x）在 R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意； 当 a0 时，由 g（x）0 得 xlna， 当 x（，lna）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减， 当 x（lna，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增， g（x）ming（lna）aalna0，即 ae， 令， 当 a（0，2）时，（a）0，（a）为减函数，当 a（2，+）时，（a）0，（a）为增 函数， （a）min（2）22ln22（1ln2）0， （a）0，即 a2lna，从而，e
31、aa2， g（a）eaa20，又 g（0）10， g（x）在（0，lna）和（lna，a）上各有一个零点，符合题意 综上，实数 a 的取值范围为（e，+）； （2）证明：不妨设 x1x2，则 x1（，lna），x2（lna，+），则 x1lnax2， 设 p（x）g（x）g（2lnax）exaxe2lnaxa（2lnax）exa2ex2ax+2alna， 则， 当且仅当exa2e x， 即xlna时等号成立， p（x）在 R 上为增函数， 由 x2lna，故 p（x2）p（lna）0，即 g（x2）g（2lnax 2）0， 又x1，x2为函数 g（x）的两个零点， g（x1）g（x2）， g（x1）g（2lnax2）， 又 x2lna，故 2lnax2lna， 又函数 g（x）在（，lna）上单调递减， x12lnax2，即 x1+x22lna
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