1、第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 考情研析 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率 和双曲线的渐近线 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等). 核心知识回顾 1.圆锥曲线的定义式 (1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)； (2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b0)的渐近线方程为 03y b ax；焦点坐标 F1 04(c，0)，F205(c， 0)； 双曲线y 2 a2 x2 b21(a0， b0)的渐近线方程为 06y a bx， 焦点坐标 F1 07(0， c)， F208(0， c) (3)抛物线的焦点坐标与准
2、线方程 抛物线 y2 2px(p0)的焦点坐标为 09 p 2，0 ， 准线方程为 10 xp 2； 抛物线 x2 2py(p0)的焦点坐标为 11 0，p 2 ，准线方程为 12yp 2 3弦长问题 (1)弦长公式 设直线的斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2或 |AB| 1 1 k 2 |y1y2| 1 1 k 2 （y1y2）24y1y2. (2)过抛物线焦点的弦长 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p 2 4 ，y1y2
3、p2，弦长|AB| 01x1x2p 热点考向探究 考向 1 圆锥曲线的定义和标准方程 例 1 (1)(2020 河南一模)已知 P 为圆 C：(x5)2y236 上任意一点，A(5，0)，若线 段 PA 的垂直平分线交直线 PC 于点 Q，则 Q 点的轨迹方程为( ) Ax 2 9 y2 161 Bx 2 9 y2 161 Cx 2 9 y2 161(x0) 答案 B 解析 点 Q 是线段 AP 垂直平分线上的点，|AQ|PQ|，又|QA|QC|PC|60)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A， B， C， 若|BC| 2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为( ) Ay23 2x
4、By23x Cy29 2x Dy29x 答案 B 解析 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设准线与 x 轴的交 点为 G，|BF|a，则由已知得|BC|2a，由定义得|BD|a，故BCD30.在 RtACE 中， |AE|AF|3，|AC|33a，2|AE|AC|，33a6，从而得 a1.BDFG，1 p 2 3， 解得 p3 2，抛物线的方程为 y 23x. (3)(2020 山东省青岛市高三三模)若方程x 2 m y2 1m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则实数 m 的取值范围为_ 答案 0，1 2 解析 由题可知， 方程x 2 m y2 1m1表示焦点在y轴
5、上的椭圆， 可得1mm0， 解得0m 1 2， 所以实数 m 的取值范围为 0，1 2 . 圆锥曲线的定义、标准方程的关注点 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时， 椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式 (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定 (3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建 方程组，便于解决问题. (4)圆锥曲线基本问题考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一 些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑 进去 1(202
6、0 山东省淄博市二模)当 3， 5 6 时，方程 x2cos y2sin 1 表示的轨迹不可 能是( ) A两条直线 B圆 C椭圆 D双曲线 答案 B 解析 当 3， 2 时，0cos sin 1，方程 x2cos y2sin 1 表示的曲线为椭圆；当 2时，方程为 y 21，即 y 1，方程 x2cos y2sin 1 表示两条直线；当 2， 5 6 时， cos 0b0)的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第二象限 内的点，延长 PF1交椭圆于点 Q，若 PF2PQ，且|PF2|PQ|，则椭圆的离心率为( ) A 6 3 B 21 C 3 2 D2 2 答案 A 解析 由 PF2PQ 且|P
7、F2|PQ|，可得PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|t，则|QF2| 2t，由椭圆的定义可得|PF1|2at，2t 2t4a，则 t2()2 2 a，在直角三角形 PF1F2 中，可得 t2(2at)24c2，4(64 2)a2(128 2)a24c2，化为 c2(96 2)a2，可得 ec a 6 3.故选 A. 3P 是双曲线 C：x 2 2y 21 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线，P 在 l 上的 射影为 Q，F1是双曲线 C 的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为( ) A1 B2 15 5 C4 15 5 D2 21 答案 D 解析 如图所示，设双曲线的右焦点为
8、 F2，则|PF1|PQ|2a|PF2|PQ|，即当|PQ| |PF2|最小时，|PF1|PQ|取最小值，由图知当 F2，P，Q 三点共线时|PQ|PF2|取得最小值， 即 F2到直线 l 的距离 d1，故所求最小值为 2a12 21.故选 D. 考向 2 圆锥曲线的几何性质 例 2 (1)(2020 山东省潍坊市二模)以抛物线 E：x24y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切 的圆的方程为( ) A(x1)2y24 Bx2(y1)24 C(x1)2y24 Dx2(y1)24 答案 D 解析 抛物线 E：x24y 的焦点为(0，1)，准线方程为 y1，圆与 E 的准线相切，则圆 的半径 r2，
9、故圆的方程为 x2(y1)24.故选 D. (2)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，P 是 双曲线在第一象限上的点， 直线PO交双曲线C左支于点M， 直线PF2交双曲线C右支于点N， 若|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线 C 的渐近线方程为( ) Ay 2x By 2 2 x Cy 2x Dy 2 2x 答案 A 解析 由题意得，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a，由于 P，M 关于原点对称，F1，F2关于原点对称，线段 PM，F1F2互相平分，四边形 PF1MF2为
10、平行四 边形，PF1MF2， MF2N60， F1PF260， 由余弦定理可得 4c216a24a22 4a 2a cos 60， c 3a，bc2a2 2a.b a 2，双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x.故选 A. (3)(多选)(2020 山东省潍坊市三模)已知椭圆 C： x2 a y2 b1(ab0)的左、 右焦点分别为 F1， F2，且|F1F2|2，点 P(1，1)在椭圆内部，点 Q 在椭圆上，则以下说法正确的是( ) A|QF1|QP|的最小值为 2 a1 B椭圆 C 的短轴长可能为 2 C椭圆 C 的离心率的取值范围为 0， 51 2 D若PF1 F1Q ，则椭圆 C 的长轴
11、长为 5 17 答案 ACD 解析 因为|F1F2|2，所以 F2(1，0)，|PF2|1，所以|QF1|QP|2 a|QF2|QP|2 a |PF2|2 a1，当 Q，F2，P 三点共线时，取等号，故 A 正确；若椭圆 C 的短轴长为 2，则 b1，a2，所以椭圆方程为x 2 2 y2 11， 1 2 1 11，则点 P 在椭圆外，故 B 错误；因为点 P(1， 1)在椭圆内部，所以1 a 1 b1，又 ab1，所以 ba1，所以 1 a 1 a10， 解得 a3 5 2 62 5 4 （1 5） 2 4 ，所以 a1 5 2 ，所以 e 1 a0，b0)渐近线的斜率 k 与离心率 e 之间
12、满足关系式 e21k2. 1设 F1，F2分别是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点， l 在 y 轴上的截距为 1， 若|AF1|2|F1B|， 且 AF2x 轴， 则此椭圆的短轴的长为( ) A5 B2 5 C10 D 5 答案 B 解析 AF2x 轴，直线 l 在 y 轴上的截距为 1，A(c，2)，又|AF1|2|F1B|，B(2c， 1)，则 c 2 a2 4 b21， 4c2 a2 1 b21， 16 b2 1 b23，即 b 25，b 5，故选 B. 2已知 F 是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(
13、a0，b0)的左焦点，过点 F 作垂直于 x 轴的直线交该 双曲线的一条渐近线于点 M，若|FM|2a，记该双曲线的离心率为 e，则 e2( ) A1 17 2 B1 17 4 C2 5 2 D2 5 4 答案 A 解析 由题意，得 F(c，0)，该双曲线的一条渐近线为 yb ax，将 xc 代入 y b a x 得 ybc a ， bc a 2a， 即 bc2a2， 4a4b2c2c2(c2a2)， e4e240， 解得 e21 17 2 ， 故选 A. 考向 3 直线与圆锥曲线 角度 1 弦中点、弦分点问题 例 3 (1)已知椭圆 E： x2 9 y2 41， 直线 l 交椭圆于 A， B
14、 两点， 若 AB 的中点坐标为 1 2，1 ， 则 l 的方程为( ) A2x9y100 B2x9y100 C2x9y100 D2x9y100 答案 D 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x 2 1 9 y2 1 4 1，x 2 2 9 y2 2 41，两式作差并化简整理得 y2y1 x2x1 4 9 x1x2 y1y2，而 x1x21，y1y22，所以 y2y1 x2x1 4 9 x1x2 y1y2 2 9，所以直线 l 的方程为 y 12 9 x1 2 ，即 2x9y100.经验证可知符合题意故选 D. (2)(2020 河北省保定市一模)抛物线 y22px(p0)焦点为
15、F，点 P 满足OP OF (O 为坐标 原点)，若过点 O 作互相垂直的两弦 OA，OB，则当弦 AB 过点 P 时， 的所有可能取值的集合 为( ) A4 B3 C 1 4，4，3 D 1 3，3，4 答案 A 解析 由已知得 F p 2，0 ，因为OP OF ，所以OP p 2，0 p 2 ，0 ，所以 P p 2 ，0 ， 由题意知，弦 AB 所在直线的斜率不为 0，可设直线 AB 的方程为 xmyp 2 ，A(x1，y1)，B(x2， y2)， 由 xmyp 2 ， y22px， 得 y22pmyp20， 所以 y1y22pm， y1y2p2， 所以 x1x2 my1p 2 my2p
16、 2 m2y1y2pm 2 (y1y2) 2p2 4 m2(p2)pm 2 2pm 2p2 4 2p2 4 .因为 OAOB，所以 OA OB 0，又OA (x1，y1)，OB (x2，y2)，所以 x1x2y1y20，即 2p2 4 p20，又 p0，所 以 2 40，解得 4 或 0(不符合题意，舍去)，当 4 时，满足 4p 2m24p20，所 以 的所有可能取值的集合为4故选 A. (1)弦中点问题：在涉及圆锥曲线弦中点的问题中，基本的处理方法有两个：一是设出弦 的端点坐标，使用“点差法”；二是设出弦所在的直线方程，利用直线方程与圆锥曲线方程联 立消元后的一元二次方程， 根据根与系数的
17、关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决 问题. (2)弦分点问题：解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其 转化为弦端点及弦分点的坐标关系， 再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的关系， 构建 方程(组)求解 1(2020 汉中市重点中学高三联考)已知抛物线 C：y26x，直线 l 过点 P(2，2)，且与抛 物线 C 交于 M，N 两点，若线段 MN 的中点恰好为点 P，则直线 l 的斜率为( ) A1 3 B5 4 C3 2 D1 4 答案 C 解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入抛物线 C：y26x，得 y 2 16x1， y2 26x2， 得
18、(y1y2)(y1y2)6(x1x2).因为线段 MN 的中点恰好为点 P， 所以 x 1x24， y1y24，从 而 4(y1y2)6(x1x2)，即直线 l 的斜率为y 1y2 x1x2 3 2.故选 C. 2(2020 湖南省雅礼中学高三 5 月质检)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分 别为 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与一条渐近线交于点 P(P 在第一象限)，PF1交双曲线的左支 于点 Q，若PQ 2QF1 ，则双曲线的离心率为( ) A1 10 2 B 101 2 C 10 2 D 10 2 1 答案 A 解析 以 F1F2为直径的圆 x2y2c2
19、与渐近线 yb ax 联立得 P(a， b).设 Q(x0， y0)， 由PQ 2QF1 得 x0a2c 3 ，y0b 3，代入 x2 a2 y2 b21 整理，得 4e 24e90，解得 e1 10 2 .故选 A. 角度 2 弦长问题 例 4 (2020 广东省汕头市三模)已知抛物线 E：y22px 上一点(m，2)到其准线的距离为 2. (1)求抛物线 E 的方程； (2)如图，A，B，C 为抛物线 E 上三个点，D(8，0)，若四边形 ABCD 为菱形，求四边形 ABCD 的面积 解 (1)由已知可得 42mp， mp 22， 消去 m 得 p24p40，解得 p2， 抛物线 E 的方
20、程为 y24x. (2)设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，菱形 ABCD 的中心 M(x0，y0). 当 ACx 轴，则 B 在原点，M(4，0)，|AC|8，|BD|8，菱形 ABCD 的面积 S1 2|AC| |BD| 32. 解法一：当 AC 与 x 轴不垂直时， 设直线 AC 的方程为 xtym(t0)，则直线 BD 的斜率为t. 联立 y 24x， xtym消去 x，得 y 24ty4m0， y 1y24t， y1y24m， x1x2y 2 1y 2 2 4 （y 1y2）22y1y2 4 4t22m， x02t2m，y02t，M 为 BD 的中点， B(4t22m8，4t)，
21、又点 B 在抛物线上， 且直线 BD 的斜率为t， 16t 24（4t22m8）， 2t 2t2m8t (t0)， 解得 m4，t 1，满足 16t216m0， B(4，4)，|BD|4 2， |AC|1t2|y1y2|1t216t216m 216644 10. 菱形 ABCD 的面积 S1 2|AC| |BD|16 5. 综上，菱形 ABCD 的面积 S32 或 16 5. 解法二：设 B(a2，2a)，直线 BD 的斜率为 k(k0)， 则 k 2a a28，M a28 2 ，a ，直线 AC 的斜率为1 k， 直线 AC 的方程为 xa 28 2 k(ya)， xa 28 2 k（ya）
22、， y24x， 消去 x， 得 y24ky4ka2a2160， y1y22y02a，4k2a，ka 2. 解方程a 2 2a a28(a0)， 得 a 2， k 1， 满足16k 241(4ka2a216)16k2 16ka8a2640，接下去同解法一 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的 弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 (2)弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB| 1k2（x1x2）24x1x2，其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率. 已知点 M 到定
23、点 F(4，0)的距离和它到直线 l：x25 4 的距离的比是常数4 5. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)若直线 l： ykxm 与圆 x2y29 相切， 切点 N 在第四象限， 直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求证：FAB 的周长为定值 解 (1)设 M(x，y)，由题意得 （x4）2y2 x25 4 4 5， x2 25 y2 91 为点 M 的轨迹 C 的方程 (2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知 k0，m0，x1x2 50km 25k29，x1x2 25m2225 25k29 ， |AB| k21|x1x2| k21 50km 25k29
24、 2 425m 2225 25k29 120k k21 25k29 ， |FA|FB|54 5x15 4 5x210 4 5(x1x2) 10 40km 25k2910 120kk21 25k29 ， |FA|FB|AB|10， FAB 的周长为定值 10. 真题押题 真题检验 1(2020 全国卷)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p( ) A2 B3 C6 D9 答案 C 解析 设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|AF|xAp 212，即 9 p 212，解得 p 6.故选 C. 2(2020 全国卷)设
25、双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心 率为 5.P 是 C 上一点，且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4，则 a( ) A1 B2 C4 D8 答案 A 解析 c a 5，c 5a，根据双曲线的定义可得|F1P|F2P|2a，SPF1F2 1 2 |F1P|F2P|4，|F1P| |F2P|8.F1PF2P，|F1P|2|F2P|2(2c)2，(|F1P|F2P|)2 2|F1P|F2P|4c2，即(2a)2284( 5a)2，解得 a1，故选 A. 3(多选)(2020 新高考卷)已知曲线 C：mx2ny21，( ) A若 mn0，则
26、 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 mn0，则 C 是圆，其半径为 n C若 mn0，则 C 是两条直线 答案 ACD 解析 对于 A，若 mn0，则 mx2ny21 可化为x 2 1 m y 2 1 n 1，因为 mn0，所以 0 1 m0，则 mx2ny21 可化为 x2y21 n，此时曲线 C 表示圆心在原点，半径为 n n 的圆，故 B 不正确；对于 C，若 mn0，则 mx2ny21 可化为 y21 n，y n n ，此时曲线 C 表示 平行于 x 轴的两条直线，故 D 正确故选 ACD. 4(2020 全国卷)设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线为
27、 y 2x，则 C 的离 心率为_ 答案 3 解析 由双曲线方程x 2 a2 y2 b21 可得其焦点在 x 轴上，因为双曲线的一条渐近线方程为 y 2x，所以b a 2，所以 e c a 1b 2 a2 3. 5(2020 新高考卷)斜率为 3的直线过抛物线 C：y24x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两 点，则|AB|_ 答案 16 3 解析 抛物线的方程为 y24x，抛物线的焦点为 F(1，0)，又直线 AB 过焦点 F 且斜 率为 3， 直线 AB 的方程为 y 3(x1)， 代入抛物线方程消去 y 并化简得 3x210 x30， 解法一：解得 x11 3，x23，|AB| 1k2|
28、x1x2|13 1 33 16 3 . 解法二：10036640， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x210 3 ，过 A，B 分别作准线 x1 的垂线，设垂足分别 为 C，D，如图所示，则|AB|AF|BF|AC|BD|x11x21x1x2216 3 . 6(2020 全国卷)已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合， C1的中心与 C2的顶点重合 过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A， B 两点， 交 C2于 C， D 两点， 且|CD|4 3|AB|. (1)求 C1的离心率； (2)设 M 是 C1与 C2的公
29、共点，若|MF|5，求 C1与 C2的标准方程 解 (1)F(c，0)，ABx 轴且与椭圆 C1相交于 A，B 两点， 则直线 AB 的方程为 xc， 联立 xc， x2 a2 y2 b21， a2b2c2， 解得 xc， y b2 a ， 则|AB|2b 2 a . 抛物线 C2的方程为 y24cx，把 xc 代入 y24cx，得 y 2c，|CD|4c. |CD|4 3|AB|，即 4c 8b2 3a ，2b23ac. 又 b2a2c2，2c23ac2a20， 即 2e23e20，解得 e1 2或 e2， 0e1，e1 2，椭圆 C1 的离心率为1 2. (2)由(1)知 a2c，b 3c
30、，椭圆 C1的方程为 x2 4c2 y2 3c21， 联立 y 24cx， x2 4c2 y2 3c21， 消去 y 并整理得 3x216cx12c20， 解得 x2 3c 或 x6c(舍去)， 由抛物线的定义可得|MF|2 3cc 5c 3 5， 解得 c3. 曲线 C1的标准方程为 x2 36 y2 271， 曲线 C2的标准方程为 y212x. 金版押题 7已知 A，B 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且 满足AF 2FB ，SOAB 2 3 |AB|，则抛物线的标准方程为( ) Ay24x By21 4x Cy28x Dy21 8x 答案
31、A 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF 2FB ，所以 y12y2，又由抛物线焦点弦的性 质，得 y1y2p2，所以2y2 2p 2，解得|y2| 2 2 p，|y1| 2p，所以 1 |AF| 1 |BF| 3 2|BF| 2 p， 解得|BF|3 4p，|AF| 3 2p，|AB| 9 4p，SOAB 1 2 p 2 (|y1|y2|) 3 2 8 p2 2 3 9 4p，解得 p2，所以 抛物线的标准方程为 y24x，故选 A. 8已知双曲线 x2y 2 31 的左、右焦点分别为 F1，F2，圆 x 2y21 上的点到直线 x 3 y60 的距离的最小值为 m， 若双
32、曲线上一点 P， 使sin PF 2F1 sin PF1F2m， 则F2P F2F1 的值为( ) A3 B2 C3 D2 答案 B 解析 由双曲线 x2y 2 31，得 a1，b 3，c2，圆 x 2y21 的圆心(0，0)到直线 x 3y60 的距离为 d 6 133，所以圆上的点到直线 x 3y60 的距离的最小值为 m312， 设|PF1|s， |PF2|t， 且 P 在双曲线的右支上， 可得 st2at2， 又sin PF 2F1 sin PF1F2 m2，由正弦定理可得s t |PF1| |PF2| sin PF2F1 sin PF1F22，解得 s4，t2，由余弦定理可得 cos
33、 PF2F12 24242 224 1 4，则F2P F2F1 241 42.故选 B. 专题作业 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若圆锥曲线 C：x2my21 的离心率为 2，则 m( ) A 3 3 B 3 3 C1 3 D1 3 答案 C 解析 因为圆锥曲线 C 的离心率为 2，故为双曲线，所以 m0)的左焦点的直线交双曲线的左支于 A，B 两点，且|AB|6，这 样的直线可以作 2 条，则 b 的取值范围是( ) A(0，2 B(0，2) C(0， 6 D(0， 6) 答案 D 解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能作一条
34、， 所 以过左焦点的直线与双曲线的左支交于 A，B 两点，|AB|6，且可作两条，则要求2b 2 a 6，又 a 2，即 b20，故 b 的取值范围为(0， 6)，故选 D. 3 已知抛物线 C： y1 4x 2 的焦点为 F， 准线为 l， P 是 l 上一点， 直线 PF 与抛物线交于 A， B 两点，若PA 2AF ，则|AB|为( ) A40 9 B40 C16 D16 3 答案 D 解析 抛物线 C 的方程为 x24y，焦点 F(0，1)，准线方程为 y1，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则由抛物线的定义可知，|AB|AF|BF|y1y22.PA 2AF ，直线 AB 的斜
35、率为 3 3 ，直线 AB 的方程为 y 3 3 x1，联立方程 y 3 3 x1， x24y， 消去 x 得 3y210y30， y1y210 3 ，|AB|AF|BF|y1y2216 3 ，故选 D. 4(2020 河北省衡水中学高三一模)已知椭圆 C1： x2 m2y 21(m1)与双曲线 C2：x 2 n2y 2 1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则( ) Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dmn 且 e1e20， m1， n0，mn. e1 m21 m 1 1 m2，e2 n21 n 1 1 n2， e1e2 1 1 m2 1 1 n2
36、 1 1 n2 1 m2 1 m2n2 1m 2n21 m2n2 1 1 m2n21，故选 A. 5 已知双曲线x 2 3y 21 的右焦点是抛物线 y22px(p0)的焦点， 直线 ykxm 与抛物线 相交于 A， B 两个不同的点， 点 M(2， 2)是 AB 的中点， 则AOB(O 为坐标原点)的面积是( ) A4 3 B3 13 C 14 D2 3 答案 D 解析 双曲线右焦点为(2，0)， 抛物线焦点为(2，0)，y28x， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y 2 18x1， y2 28x2， 得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)， y 1y2 x1x2 8 y1y2
37、 8 42. 直线 AB 的斜率为 2，又过点 M(2，2)， 直线 AB 的方程为 y2x2.将直线 AB 的方程与 y28x 联立得 x24x10，x1x2 4，x1x21， |AB|k21 （x1x2）24x1x2 51642 15. 又 O 到直线 AB 的距离 d 2 5 2 5 5 . SAOB1 22 15 2 5 5 2 3.故选 D. 6(2020 山东省实验中学高考预测卷)已知点 P 在椭圆 ：x 2 a2 y2 b21(ab0)上，点 P 在 第一象限，点 P 关于原点 O 的对称点为 A，点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，设PD 3 4PQ ，直线 AD 与椭圆 的另
38、一个交点为 B，若 PAPB，则椭圆 的离心率 e( ) A1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 3 答案 C 解析 设 P(x0， y0)， 由题意可得 A(x0， y0)， Q(x0， y0)， 由PD 3 4PQ 可得 D x0，y 0 2 ， 所以 kPAy0 x0，kAD y0 2 y0 x0 x0 y0 4x0，设 B(x，y)，则 kPBkAB yy0 xx0 yy0 xx0 y2y2 0 x2x2 0.因为 P，B 在椭圆上，所以 x 2 a2 y2 b21， x2 0 a2 y2 0 b21， 两式相减可得y 2y2 0 x2x2 0 b2 a2，所以可得 kPBkAB b
39、2 a2，所以 kPB b 2 a2 1 kAB b2 a2 1 kAD b2 a2 4x0 y0 .因为 PAPB，所以 kPAkPB1，即y0 x0 b 2 a2 4x0 y0 1，整理可得 a24b2，所以离心率 ec a c2 a2 1b 2 a2 11 4 3 2 ，故选 C. 7已知曲线 C1是以原点 O 为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线 C2是以 O 为顶点，F2 为焦点的抛物线， A 是曲线 C1与 C2的交点， 且AF2F1为钝角， 若|AF1|7 2， |AF2| 5 2， 则AF1F2 的面积是( ) A 3 B2 C 6 D4 答案 C 解析 不妨设曲线 C1，C2
40、的焦点在 x 轴上，画出图形如图所示，ADF1D，根据抛物线 的定义可知|AF2|AD|5 2，故 cos F1AD 5 7，也即 cos AF1F2 5 7，在AF1F2 中，由余弦 定理得5 7 49 4 |F1F2|225 4 27 2|F1F2| ，解得|F1F2|2 或|F1F2|3，由于AF2F1为钝角，故|AD|F1F2|， 所以|F1F2|3 舍去，故|F1F2|2.而 sin AF1F21 5 7 2 2 6 7 ，所以 SAF1F21 2 7 2 22 6 7 6.故选 C. 8(2020 石家庄模拟)过双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 F 的直
41、线 l 交 C 的右支 于 A，B 两点，直线 AO(O 是坐标原点)交 C 的左支于点 D，若 DFAB，且|BF|2|DF|，则双 曲线 C 的离心率为( ) A 10 2 B 10 C 29 3 D 87 3 答案 C 解析 设左焦点为 F.因为直线 AO 交 C 的左支于点 D，所以 A，D 两点关于原点对称， 连接 AF，DF，BF，因为 DFAB，且|AF|DF|，|AF|DF|，所以四边形 AFDF为矩 形因为|BF|2|DF|，所以令|DF|t，则|BF|2t，|AF|t，|AF|t2a，|BF|2t2a， 在ABF中， |AF|2|AB|2|BF|2， 即 t2(3t2a)2
42、(2t2a)2， 解得 t10 3 a.在AFF中， |AF |2|AF|2|FF|2，即 10 3 a 2 10 3 a2a 2 4c2，解得 e 29 3 ，故选 C. 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9(2020 济南一中模拟)已知曲线 C 的方程为 x2 k22 y2 6k1(kR)，则下列结论正确的 是( ) A当 k8 时，曲线 C 为椭圆，其焦距为 4 15 B当 k2 时，曲线 C 为双曲线，其离心率为 3 C对任意实数 k，曲线 C 都不可能为焦点在 y 轴上的双曲线 D当 k3 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线与圆(x4)2y29 相切 答案 BC
43、解析 对于 A， 当 k8 时， 曲线 C 的方程为 x2 62 y2 21， 该曲线为椭圆， 焦距 2c2 622 4 15， A 错误； 对于 B， 当 k2 时， 曲线 C 的方程为x 2 2 y2 41， 该曲线为双曲线， 则 a 2， c 6， 其离心率 ec a 3， B 正确； 对于 C， 若曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线， 则 6k0， k220，b0)的一条渐近线方程为 x2y0， 双曲线的左焦点在直线 xy 50 上，A，B 分别是双曲线的左、右顶点，点 P 为双曲线右 支上位于第一象限的动点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2的取值可能为( )
44、 A3 4 B1 C4 3 D2 答案 CD 解析 由双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 x2y0，可得 a2b，由双曲 线的左焦点在直线 xy 50 上，可得 c 5，则 a2b25，得 a2，b1，双曲线的方 程为x 2 4y 21， 由题意可得 A(2， 0)， B(2， 0)， 设 P(m， n)(m2， n0)， 则m 2 4 n21， 即 n2 m24 1 4，k1k2 n m2 n m2 n2 m24 1 4，易知 k1，k20，则 k1k22 k1k21，由 A，B 分别为双 曲线的左、右顶点，可得 k1k2，则 k1k21.故选 CD. 11 (
45、2020 邯郸一中模拟)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F， 点 P 在椭圆 C 上， 点 Q 在圆 E：(x3)2(y4)24 上，且圆 E 上的所有点均在椭圆 C 外，若|PQ|PF|的最小 值为 2 56，且椭圆 C 的长轴长恰与圆 E 的直径长相等，则下列说法正确的是( ) A椭圆 C 的焦距为 2 B椭圆 C 的短轴长为 3 C|PQ|PF|的最小值为 2 5 D过点 F 的圆 E 的切线斜率为4 7 3 答案 AD 解析 由题意，知圆 E 的圆心为 E(3，4)，半径为 2.因为椭圆 C 的长轴长恰与圆 E 的直 径长相等，所以 2a4，即 a2.如图
46、，设椭圆的左焦点为 F1，连接 PF1，EF1，由椭圆的定义 知|PF|PF1|2a4，所以|PF|4|PF1|，所以|PQ|PF|PQ|(4|PF1|)|PF1|PQ| 4|PF1|PE|24|EF1|62 56，当且仅当 P，Q，E，F1四点共线，且当 P，Q 分别 为线段 EF1与椭圆 C、圆 E 的交点时，等号成立，则|EF1|（3c）2（40）2 （c3）2162 5.对于 A，因为 0c0)的焦点，AB，CD 是经过点 F 的弦且 ABCD，AB 的斜率为 k，且 k0，C，A 两点在 x 轴上方则下列结论中一定成立的是( ) AOC OD 3 4p 2 B四边形 ACBD 面积的
47、最小值为 16p2 C 1 |AB| 1 |CD| 1 2p D若|AF| |BF|4p2，则直线 CD 的斜率为 3 答案 ACD 解析 设 AB 的倾斜角为 ， 则有|AB| 2p sin2， |CD| 2p sin2 2 2p cos2， 所以 1 |AB| 1 |CD| 1 2p，C 正确；|AF| p 1cos，|BF| p 1cos ，若|AF| |BF|4p 2，则 sin 1 2， tan 3 3 ， 所以直线CD的斜率为 3， D正确； S四边形ACBD1 2|AB| |CD| 2p2 sin2cos2 8p2 sin22 8p2，当 4时等号成立，即四边形 ACBD 面积的最小值为 8p 2，所以 B 不正确；设 C(x1， y1)，D(x2，y2)，由抛物线过焦点弦的性质可知，x1x2p 2 4 ，y1y2p2，所以OC OD x1x2y1y2 3 4p 2，所以 A 正确故选 ACD. 三、填空题 13已知椭
浙公网安备33030202001339号