1、仿真模拟(二) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1设全集 U 为实数集 R，已知集合 Mx|x240，Nx|x24x30，则图中阴影 部分所表示的集合为( ) Ax|x3 Cx|1x2 Dx|x3 或 x0 x|x2 或 x2，Nx|x24x30 x|1x3，又 图中阴影部分所表示的集合是(UN)M，即为x|x3 或 x2，故选 D. 2已知 i 为虚数单位，则 ii2i3i2021等于( ) Ai B1 Ci D1 答案 A 解析 由于 ii2i3i4i1i10，且 in(nN*)的周期为 4，202145051
2、，所 以原式i.故选 A. 3槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区槟榔是重要的 中药材， 其果实被部分少数民族制作成为一种咀嚼嗜好品， 但它也被世界卫生组织国际癌症研 究机构列为致癌物清单类致癌物云南某民族中学为了解 A，B 两个少数民族班的学生咀嚼 槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取 5 名学生进行调查， 将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数 作为样本，样本数据如下： A 班：9，11，14，20，31； B 班：11，12，21，25，26. 现在从 A 班不超过 19 的样本数据中随机抽取一个数据记为 a， 从 B 班不超过 21 的样本数 据中随机抽取一个数据记为 b
3、，则 ab 的概率是( ) A1 5 B1 3 C2 3 D2 5 答案 B 解析 由题意可得，A 班不超过 19 的样本数据有 9，11，14，共 3 个，B 班不超过 21 的 样本数据有 11，12，21，共 3 个，现在从 A 班不超过 19 的样本数据中随机抽取一个数据记为 a，从 B 班不超过 21 的样本数据中随机抽取一个数据记为 b，基本事件(a，b)的总数 n33 9，ab 包含的基本事件(a，b)有(11，11)，(14，11)，(14，12)，共 3 个，则 ab 的概率 P 3 9 1 3.故选 B. 4 周髀算经是我国古代的天文学和数学著作其中有一个问题大意为：一年有
4、二十四 个节气， 每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同).二十四个节 气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺， 一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( ) A五寸 B二尺五寸 C三尺五寸 D四尺五寸 答案 B 解析 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列an，公差为 d，a115，a13135，则 1512d135，解得 d10.a2151025，周髀算经中所记录的小暑的晷长是 25 寸，即二尺五寸故选 B. 5当 a0 时，关于 x 的不等式 x24ax3a21)的 k 个相似图形所组成，则 k D，D 即是维数
5、例如一个边长为 1 的正方形，将 它的边长二等分，原图的线段长度缩小为原来的1 2，原图相应地被等分为 4 个相似的小正方形， 经过计算，可得正方形的维数为 D2.已知一块海绵 G 缩小为原来的1 2，则该海绵相应地被等 分为 3 个相似的小海绵，则海绵 G 的维数约为(参考数据：lg 30.48，lg 20.30)( ) A1.2 B1.5 C1.6 D1.8 答案 C 解析 由题意，得 k3，2；由 kD，得 Dlogklg k lg lg 3 lg 2 0.48 0.301.6，故选 C. 8已知点 A，B，C 均在半径为 2的圆上，若|AB|2，则AC BC 的最大值为( ) A32
6、2 B22 2 C4 D 2 答案 B 解析 根据圆 O 半径为 2，|AB|2，得到 OAOB，以 OB，OA 为 x，y 轴建立平面直角 坐标系， 则 A(0， 2)， B( 2， 0)， 设 C( 2cos ， 2sin )， 则AC BC ( 2cos ， 2sin 2) ( 2 cos 2， 2sin )22 2sin 4 ，当 sin 4 1 时有最大值为 22 2.故选 B. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9若方程 x2 5t y2 t11 所表示
7、的曲线为 C，则下面四个命题中正确的是( ) A若 1t5，则 C 为椭圆 B若 t1，则 C 为双曲线 C若 C 为双曲线，则焦距为 4 D若 C 为焦点在 y 轴上的椭圆，则 3t5 答案 BD 解析 当 t3 时，表示圆，所以 A 错误；当 t0，t15t0，即 3t0 时，f(x)x22x，则不等式 f(x)x 的解集用 区间表示为_ 答案 (3，0)(3，) 解析 设 x0，由题意可得f(x)f(x)(x)22(x)x22x，f(x) x22x，故当 xx，可得 x0， x22xx或 xx，求得 x3 或3x 13 45 1 5， 甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的
8、概率最大 21(本小题满分 12 分)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦距为 4，且过点 1， 14 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 A(0，b)，B(0，b)，C(a，b)，O(0，0)，过 B 点且斜率为 k(k0)的直线 l 交 E 于另 一点 M，交 x 轴于点 Q，直线 AM 与直线 xa 相交于点 P.证明：PQOC. 解 (1)由题可知 2c4，即 c2， 椭圆的左、右焦点分别为(2，0)，(2，0)， 由椭圆的定义知 2a （12）2 14 2 2 （12）2 14 2 2 4 2， a2 2，b2a2c24， 椭圆 E 的方程为x 2 8 y
9、2 41. 另解：由题可知 1 a2 7 2b21， a2b24， 解得 b 24， a28. (2)证明：易得 A(0，2)，B(0，2)，C(2 2，2)， 直线 l：ykx2 与椭圆 x22y28 联立，得 (2k21)x28kx0， xM 8k 2k21，从而 M 8k 2k21， 4k22 2k21 ，Q 2 k，0 . 直线 AM 的斜率为 4k22 2k212 8k 2k21 1 2k， 直线 AM 的方程为 y 1 2kx2. 令 x2 2，得 P 2 2， 2 k 2 ， 直线 PQ 的斜率 kPQ 2 k 2 2 22 k 22k 2 2k2 2（ 2k1） 2（ 2k1）
10、 2 2 ， 直线 OC 的斜率 kOC 2 2 2 2 2 ， kPQkOC，从而 PQOC. 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x ln x1 2mx 2(mR)，g(x)x1 ex 2 ex e1 e . (1)若函数 f(x)在(1，f(1)处的切线与直线 xy10 平行，求 m； (2)证明：在(1)的条件下，对任意 x1，x2(0，)，f(x1)g(x2)成立 解 (1)f(x)的定义域为(0，). f(x)ln x1mx， f(1)1m， 因为 f(x)在(1，f(1)处的切线与直线 xy10 平行， 所以 1m1，即 m0. (2)证明：在(1)的条件下，f(x)x ln x，可得 f(x)ln x1， 当 x 0，1 e 时，f(x)0，f(x)单调递增， 所以 f(x)x ln x 在 x1 e时取得最小值 f 1 e 1 e， 可知 f(x1)1 e. 由 g(x)x1 ex 2 ex e1 e ，得 g(x) x ex 2 e， 令 h(x)g(x) x ex 2 e，则 h(x)1x ex ， 所以当 x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增， 当 x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递减 所以 g(x)g(1)h(1)1 e. 因为 g(x)1 e0， 所以 g(x)在(0，)单调递减， 可知 g(x2)g(x2).
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