1、考点十九考点十九 概率随机变量及其分布列概率随机变量及其分布列 A 卷卷 一、选择题 1同时抛掷 3 枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A“至少有 1 枚正面”与“最多有 1 枚正面” B“最多有 1 枚正面”与“恰有 2 枚正面” C“至多有 1 枚正面”与“至少有 2 枚正面” D“至少有 2 枚正面”与“恰有 1 枚正面” 答案 C 解析 两个事件是对立事件必须满足两个条件：不同时发生， 两个事件的概率之和等 于 1.故选 C. 2 (2020 山东泰安二轮复习质量检测)中国古代“五行”学说认为： 物质分“金、 木、 水、 火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土
2、生金”从五种不同属 性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的 2 种物质不相生的概率为( ) A.1 5 B1 4 C1 3 D1 2 答案 D 解析 从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种， 共 C2510 种情况， 而相生的有 5 种情况， 则抽到的两种物质不相生的概率 P1 5 10 1 2，故选 D. 3(2020 浙江杭州高级中学高三下学期仿真模拟)一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白 球和 n(nN*)个黑球现从中有放回的摸取 4 次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球的个数 为 X，若 D(X)1，则 E(X)( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 由题意，XB(4，p)，D
3、(X)4p(1p)1，p1 2，E(X)4p4 1 22，故选 B. 4(2020 山东潍坊 6 月模拟)某学校共有教职工 120 人，对他们进行年龄结构和受教育程 度的调查，其结果如下表： 本科 研究生 合计 35 岁以下 40 30 70 3550 岁 27 13 40 50 岁以上 8 2 10 现从该校教职工中任取 1 人，则下列结论正确的是( ) A该教职工具有本科学历的概率低于 60% B该教职工具有研究生学历的概率超过 50% C该教职工的年龄在 50 岁以上的概率超过 10% D该教职工的年龄在 35 岁及以上且具有研究生学历的概率超过 10% 答案 D 解析 该教职工具有本科
4、学历的概率 P 75 120 5 862.5%60%， 故 A 错误； 该教职工具有 研究生学历的概率 P 45 120 3 837.5%50%，故 B 错误；该教职工的年龄在 50 岁以上的概率 P 10 120 1 128.3%10%，故 D 正确 5一试验田某种作物一株生长果实个数 x 服从正态分布 N(90，2)，且 P(x70)0.2，从 试验田中随机抽取 10 株，果实个数在90,110的株数记作随机变量 X，且 X 服从二项分布，则 X 的方差为( ) A3 B2.1 C0.3 D0.21 答案 B 解析 xN(90，2)，且 P(x110)0.2，P(90 x110)0.50.
5、2 0.3，XB(10,0.3)，则 X 的方差为 100.3(10.3)2.1，故选 B. 6(2020 山东济南 6 月仿真模拟)已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移 动一个单位，则在第 6 次移动后，该质点恰好回到初始位臵的概率是( ) A.1 4 B 5 16 C3 8 D1 2 答案 B 解析 该问题等价于：一个数据为零，每次加 1 或者减 1，经过 6 次后，结果还是零的问 题则每次都有加 1 或者减 1 两种选择，共有 2664 种可能；要使得结果还是零，则只需 6 次中出现 3 次加 1，剩余 3 次为减 1，故满足题意的有 C3620 种可能故满足题意的概率 P
6、20 64 5 16.故选 B. 7(多选)(2020 山东济南二模)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 X 服从正 态分布 N(100,100)，其中 90 分为及格线，120 分为优秀线下列说法正确的是( ) 附：随机变量 服从正态分布 N(，2)，则 P()0.6826，P(22) 0.9544，P(33)0.9974. A该市学生数学成绩的期望为 100 B该市学生数学成绩的标准差为 100 C该市学生数学成绩及格率超过 0.8 D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 答案 AC 解析 数学成绩 X 服从正态分布 N(100,100)，则数学成绩的期望为 100，数
7、学成绩的标准 差为 10，故 A 正确，B 错误；及格率为 p111P1001010010 2 0.8413，C 正确； 不及格概率为 p20.1587，优秀概率 p31P1002010020 2 0.0228，D 错误故选 AC. 8(多选)若随机变量 X 服从两点分布，其中 P(X0)1 3，E(X)，D(X)分别为随机变量 X 的均值与方差，则下列结论正确的是( ) AP(X1)E(X) BE(3X2)4 CD(3X2)4 DD(X)4 9 答案 AB 解析 随机变量 X 服从两点分布，其中 P(X0)1 3，P(X1) 2 3，E(X)0 1 31 2 3 2 3，D(X) 02 3
8、21 3 12 3 22 3 2 9.对于 A，P(X1)E(X)，故 A 正确；对于 B，E(3X2) 3E(X)232 324，故 B 正确；对于 C，D(3X2)9D(X)9 2 92，故 C 错误；对 于 D，D(X)2 9，故 D 错误故选 AB. 二、填空题 9 (2020 山东济宁嘉祥县第一中学四模)已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)， 且 P(4) 0.8，则 P(02)_. 答案 0.3 解析 因为正态分布的均值 2，P(24)0.80.50.3，故 P(00 的概率为_ 答案 1 3 解析 取两个不同的数 a， b， 记为有序数对(a， b)， 所有基本事件为(2,
9、3)， 2，1 2 ， 2，2 3 ， (3,2)， 3，1 2 ， 3，2 3 ， 1 2，2 ， 1 2，3 ， 1 2， 2 3 ， 2 3，2 ， 2 3，3 ， 2 3， 1 2 ， 共 12 种， 满足 logab0 的情况有(2,3)，(3,2)， 1 2， 2 3 ， 2 3， 1 2 ，共 4 种，所以其概率为1 3. 11(2020 天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和 1 3.假定两球是否落入盒子 互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概 率为_ 答案 1 6 2 3 解析 因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2， 1
10、 3，且两球是否落入盒子互不影响，所以 甲、乙都落入盒子的概率为1 2 1 3 1 6，甲、乙两球都不落入盒子的概率为 11 2 11 3 1 3， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 11 3 2 3. 12 (2020 山东师范大学附属中学高三 6 月模拟)一个不透明的箱中原来装有形状、大小相 同的 1 个绿球和 3 个红球甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到 绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸 球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是_ 答案 15 128 解析 设“甲摸到绿球”的事件为 A，则 P(A)
11、1 4，“甲摸到红球”的事件为A ，则 P(A) 3 4，设“乙摸到绿球”的事件为 B，则 P(B) 1 4，“乙摸到红球”的事件为B ，则 P(B)3 4. 在前四次摸球中， 甲恰好摸到两次绿球的情况是 AAA (BB)， AA B A，A B AA， 所以 P1 4 1 4 3 41 1 4 3 4 3 4 1 4 3 4 3 4 1 4 1 4 15 128. 三、解答题 13(2020 全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者 被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场 比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被
12、淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其 中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛 双方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率 解 (1)记事件 M：甲连胜四场，则 P(M) 1 2 41 16. (2)记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 PP(ABAB)P(ACAC)P(BCBC)P(BABA)4 1 2 41 4， 所以需要进行第五场比赛的概率为 P1P3 4. (3)记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输， 记事件 M：
13、甲赢，记事件 N：丙赢， 则甲赢的基本事件包括 BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC， BCBAC， 所以甲赢的概率为 P(M) 1 2 47 1 2 59 32. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为 P(N)12 9 32 7 16. 14 (2020 山东济南 6 月仿真模拟)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购 买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是 1000 g，上下浮动不超过 50 g这 句话用数学语言来表达就是： 每个面包的质量服从期望为 1000 g， 标准差为 50 g 的正态分布
14、(1)假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中 质量大于 1000 g 的个数为 ，求 的分布列和数学期望； (2)作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25 天后，得 到数据如下表，经计算 25 个面包总质量为 24468 g. 庞加莱购买的 25 个面包质量的统计数据(单位：g) 981 972 966 992 1010 1008 954 952 969 978 989 1001 1006 957 952 969 981 984 952 959 987 1006 1000 977 966 尽管上述数据都落在(950,1050)上，
15、但庞加莱还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概 率角度说明理由 附： 若 XN(， 2)，从 X 的取值中随机抽取 25 个数据， 记这 25 个数据的平均值为 Y， 则由统计学知识可知，随机变量 YN ， 2 25 ； 若 N(， 2)， 则 P()0.6826， P(22)0.9544， P(3 3)0.9974； 通常把发生概率在 0.05 以下的事件称为小概率事件 解 (1)由题意知， 的所有可能取值为 0,1,2. P(0)C02 1 2 0 1 2 21 4； P(1)C121 2 1 2 1 2； P(2)C22 1 2 2 1 2 01 4. 所以 的分布列为 0 1 2 P
16、1 4 1 2 1 4 所以 E()01 41 1 22 1 41(个) (2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量 X. 假设面包师没有撒谎，则 XN(1000,502) 根据附，从 X 的取值中随机抽取 25 个数据，记这 25 个数据的平均值为 Y，则 Y N(1000,102) 庞加莱记录的 25 个面包质量，相当于从 X 的取值中随机抽取了 25 个数据，这 25 个数据 的平均值为 Y24468 25 978.721000210980， 由附数据知，P(Y980)10.9544 2 0.02280.05， 由附知，事件“Y980”为小概率事件， 所以“假设面包师没有撒谎”有误，
17、所以庞加莱认为面包师撒谎 一、选择题 1(2020 山东滨州三模)已知随机变量 服从正态分布 N(0，1)，如果 P(1)0.8413， 则 P(11)0.1587，P(1a1时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为3 4，则 a1 的取值范 围是_ 答案 (，612，) 解析 由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当 a32(2a16)64a118，其 出现的概率为 1 2 21 4；当 a3 1 2(2a16)6a13，其出现的概率为 1 2 21 4；当 a32 a1 2 6 6a16，其出现的概率为 1 2 21 4；当 a3 1 2 a1 2 6 6a1 4 9，其出现的概率为 1
18、 2 21 4， 甲获胜的概率为3 4，即 a3a1 的概率为3 4，则满足 4a118a1， a1 4 9a1 或 4a118a1， a1 4 9a1， 整理得 a16 或 a112. 三、解答题 13 (2020 吉林第四次调研测试)体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温 度 T(单位：)平均在 3637 之间即为正常体温，超过 37.1 即为发热发热状态下，不 同体温可分成以下三种发热类型： 低热： 37.1T38； 高热： 3840.某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗医生根据病情变化，从 14 日开始， 以 3 天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患
19、者进行消炎退热住院期间，患者每天上 午 8：00 服药，护士每天下午 16：00 为患者测量腋下体温，记录如下： 抗生素使 用情况 没有使用 使用“抗生素 A” 治疗 使用“抗生素 B” 治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温() 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使 用情况 使用“抗生素 C” 治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温() 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 (1)请你计算住院期
20、间该患者体温不低于 39 的各天体温平均值； (2)在 1923 日期间，医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目 “a 项目”的检查， 记 X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数， 试求 X 的分布列与数学期望； (3)抗生素治疗一般在服药后 28 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到 消炎退热效果假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效 果最佳，并说明理由 解 (1)由表可知，该患者共 6 天的体温不低于 39 ，记平均体温为 x ， x 1 6(39.439.740.139.939.239.0)39.55 . 所以，患者体温
21、不低于 39 的各天体温平均值为 39.55 . (2)X 的所有可能取值为 0,1,2， P(X0)C 3 3C02 C35 1 10，P(X1) C23C12 C35 3 5，P(X2) C13C22 C35 3 10， 则 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 E(X)0 1 101 3 52 3 10 6 5. (3)“抗生素 C”治疗效果最佳，理由如下： “抗生素 B”使用期间先连续两天降温后又回升 0.1 ，“抗生素 C”使用期间持续降 温共计 1.4 ，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳 “抗生素 B”治疗期间平均体温约为 39.03 ，方差约为 0.0156，“抗生素 C”治疗期 间平均体温为 38 ，方差约为 0.1067，“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某 个时间节点降温效果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳
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