1、2021 年年 3 月北京市海淀区中考数学模拟试卷月北京市海淀区中考数学模拟试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星” ，它距离太阳系约 4.2 光 年光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1 光年约为 9 500 000 000 000 千米，则“比邻 星”距离太阳系约为（ ） A41013千米 B41012千米 C9.51013千米 D9.51012千米 2实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示若 b+d0，则下列结论中正确的是（ ） Ab+c0 B C
2、adbc D|a|d| 3如果 a2+3a20，那么代数式（）的值为（ ） A1 B C D 4 孙子算经中有一道题： “今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺问木长 几何？”译文大致是： “用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺 ”如果设木条长为 x 尺，绳子长为 y 尺，根据题意列方程组正确的是（ ） A B C D 5如图，点 O 为线段 AB 的中点，点 B，C，D 到点 O 的距离相等，连接 AC，BD则下面结论不一定成 立的是（ ） AACB90 BBDCBAC CAC 平分BAD DBCD+BAD180
3、 6如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的 概率为（ ） A B C D 7如图，点 M 坐标为（0，2） ，点 A 坐标为（2，0） ，以点 M 为圆心，MA 为半径作M，与 x 轴的另一个 交点为 B，点 C 是M 上的一个动点，连接 BC，AC，点 D 是 AC 的中点，连接 OD，当线段 OD 取得最 大值时，点 D 的坐标为（ ） A （0，） B （1，） C （2，2） D （2，4） 8如图 1，矩形的一条边长为 x，周长的一半为 y定义（x，y）为这个矩形的坐标如图 2，在平面直角 坐标系中，直线 x1，y3 将第一象限划分
4、成 4 个区域已知矩形 1 的坐标的对应点 A 落在如图所示的 双曲线上，矩形 2 的坐标的对应点落在区域中则下面叙述中正确的是（ ） A点 A 的横坐标有可能大于 3 B矩形 1 是正方形时，点 A 位于区域 C当点 A 沿双曲线向上移动时，矩形 1 的面积减小 D当点 A 位于区域时，矩形 1 可能和矩形 2 全等 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9已知ABC 的三边长 a、b、c 满足，则ABC 一定是 三角形 10如图，在ABCD 中，B110，则D 11 将一副直角三角板如图放置， 使含 30角的三角板的短直角边和含 45角的三角板的一
5、条直角边重合， 则1 的度数为 度 12如图，在ABC 中，ABC100，ACB 的平分线交 AB 边于点 E，在 AC 边取点 D，使CBD 20，连接 DE，则CED 的大小 （度） 13如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC2，E 是 AB 的中点，直线 l 平行于直线 EC，且直线 l 与直线 EC 之间的距离为 2，点 F 在矩形 ABCD 边上，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 A 恰好落在直线 l 上， 则 DF 的长为 14如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的长方形 ABCD 土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条 与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其
6、余部分种花草要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应 设计成多少 m？设通道的宽为 xm，由题意列得方程 15如图，RtABC 中，A90，ADBC 于点 D，若 AD：CD4：3，则 tanB 16 如图， ABC 是等边三角形， AB， 点 D 是边 BC 上一点， 点 H 是线段 AD 上一点， 连接 BH、 CH 当 BHD60，AHC90时，DH 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 52 分，第分，第 17-20 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 21-23 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 24-25 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步
7、骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17计算： （3）0+4sin45+|1| 18关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m210 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根 19如图，在ABC 中，AD 平分BAC，E 是 AD 上一点，且 BEBD （1）求证：ABEACD； （2）若 BD1，CD2，求的值 20如图，在平行四边形 ABCD 中，BCBD，BE 平分CBD 交 CD 于 O，交 AD 延长线于 E，连接 CE （1）求证：四边形 BCED 是菱形； （2）若 OD2，tanAEB，求
8、ABE 的面积 21如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，以点 D 为圆心，DC 长为半径画 D （1）补全图形，判断直线 AB 与D 的位置关系，并证明； （2）若 BD5，AC2DC，求D 的半径 22坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔 接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系 图 1 反映了 20142019 年我国生活垃圾清运量的情况图 2 反映了 2019 年我国 G 市生活垃圾分类的情 况 根据以上材料回答下列问题： （1）图 2 中，n 的值为 ； （2）20142019 年，我
9、国生活垃圾清运量的中位数是 ； （3）据统计，2019 年 G 市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为 0.02 亿吨，所创造的经济总价值约为 40 亿元若 2019 年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与 G 市的占比相同，根据 G 市的数据估计 2019 年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少 23已知抛物线 yax2+2ax+3a24 （1）该抛物线的对称轴为 ； （2）若该抛物线的顶点在 x 轴上，求抛物线的解析式； （3）设点 M（m，y1） ，N（2，y2）在该抛物线上，若 y1y2，求 m 的取值范围 24如图，在等腰直角ABC 中，ACB90点 P 在线段 BC 上，延长 BC
10、 至点 Q，使得 CQCP，连 接 AP，AQ过点 B 作 BDAQ 于点 D，交 AP 于点 E，交 AC 于点 FK 是线段 AD 上的一个动点（与 点 A，D 不重合） ，过点 K 作 GNAP 于点 H，交 AB 于点 G，交 AC 于点 M，交 FD 的延长线于点 N （1）依题意补全图 1； （2）求证：NMNF； （3）若 AMCP，用等式表示线段 AE，GN 与 BN 之间的数量关系，并证明 25A，B 是C 上的两个点，点 P 在C 的内部若APB 为直角，则称APB 为 AB 关于C 的内直角， 特别地，当圆心 C 在APB 边（含顶点）上时，称APB 为 AB 关于C 的
11、最佳内直角如图 1，AMB 是 AB 关于C 的内直角，ANB 是 AB 关于C 的最佳内直角在平面直角坐标系 xOy 中 （1）如图 2，O 的半径为 5，A（0，5） ，B（4，3）是O 上两点 已知 P1（1，0） ，P2（0，3） ，P3（2，1） ，在AP1B，AP2B，AP3B 中，是 AB 关于O 的内直 角的是 ； 若在直线 y2x+b 上存在一点 P，使得APB 是 AB 关于O 的内直角，求 b 的取值范围 （2） 点 E 是以 T （t， 0） 为圆心， 4 为半径的圆上一个动点， T 与 x 轴交于点 D （点 D 在点 T 的右边） 现 有点 M（1，0） ，N（0，
12、n） ，对于线段 MN 上每一点 H，都存在点 T，使DHE 是 DE 关于T 的最佳内 直角，请直接写出 n 的最大值，以及 n 取得最大值时 t 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星” ，它距离太阳系约 4.2 光 年光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1 光年约为 9 500 000 000 000 千米，则“比邻 星”距离太阳系约为（ ） A41013千米 B41012千米 C9.51013千米 D9.51012千米 【分析】科学记数法的表示形式为
13、a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：依题意得：4.2 光年4.29.5101241013 故选：A 2实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示若 b+d0，则下列结论中正确的是（ ） Ab+c0 B Cadbc D|a|d| 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得 ab0cd，根据有理数的运算，可 得答案 【解答】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得 ab0cd， A、b
14、+d0，b+c0，故 A 不符合题意； B、0，故 B 不符合题意； C、adbc0，故 C 不符合题意； D、|a|b|d|，故 D 正确； 故选：D 3如果 a2+3a20，那么代数式（）的值为（ ） A1 B C D 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入 计算即可求出值 【解答】解：原式， 由 a2+3a20，得到 a2+3a2， 则原式， 故选：B 4 孙子算经中有一道题： “今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺问木长 几何？”译文大致是： “用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条
15、剩余 1 尺，问木条长多少尺 ”如果设木条长为 x 尺，绳子长为 y 尺，根据题意列方程组正确的是（ ） A B C D 【分析】本题的等量关系是：木长+4.5绳长；绳长+1木长，据此可列方程组即可 【解答】解：设木条长为 x 尺，绳子长为 y 尺，根据题意可得， ， 故选：A 5如图，点 O 为线段 AB 的中点，点 B，C，D 到点 O 的距离相等，连接 AC，BD则下面结论不一定成 立的是（ ） AACB90 BBDCBAC CAC 平分BAD DBCD+BAD180 【分析】先利用圆的定义可判断点 A、B、C、D 在O 上，如图，然后根据圆周角定理对各选项进行判 断 【解答】解：点 O
16、 为线段 AB 的中点，点 B，C，D 到点 O 的距离相等， 点 A、B、C、D 在O 上，如图， AB 为直径， ACB90，所以 A 选项的结论正确； BDC 和BAC 都对， BDCBAC，所以 B 选项的结论正确； 只有当 CDCB 时，BACDAC，所以 C 选项的结论不正确； 四边形 ABCD 为O 的内接四边形， BCD+BAD180，所以 D 选项的结论正确 故选：C 6如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的 概率为（ ） A B C D 【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率 【解答】解：设小正
17、方形的边长为 1，则其面积为 1 圆的直径正好是大正方形边长， 根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为， 大正方形的边长为， 则大正方形的面积为2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 故选：C 7如图，点 M 坐标为（0，2） ，点 A 坐标为（2，0） ，以点 M 为圆心，MA 为半径作M，与 x 轴的另一个 交点为 B，点 C 是M 上的一个动点，连接 BC，AC，点 D 是 AC 的中点，连接 OD，当线段 OD 取得最 大值时，点 D 的坐标为（ ） A （0，） B （1，） C （2，2） D （2，4） 【分析】根据垂径定理得到 OAOB，然后根据三角形中位线定理
18、得到 ODBC，ODBC，即当 BC 取得最大值时，线段 OD 取得最大值，根据圆周角定理得到 CAx 轴，进而求得OAD 是等腰直角三角 形，即可得到 ODOA2，得到 D 的坐标为（2，2） 【解答】解：OMAB， OAOB， ADCD， ODBC，ODBC， 当 BC 取得最大值时，线段 OD 取得最大值，如图， BC 为直径， CAB90， CAx 轴， OBOAOM， ABC45， ODBC， AOD45， AOD 是等腰直角三角形， ADOA2， D 的坐标为（2，2） ， 故选：C 8如图 1，矩形的一条边长为 x，周长的一半为 y定义（x，y）为这个矩形的坐标如图 2，在平面直
19、角 坐标系中，直线 x1，y3 将第一象限划分成 4 个区域已知矩形 1 的坐标的对应点 A 落在如图所示的 双曲线上，矩形 2 的坐标的对应点落在区域中则下面叙述中正确的是（ ） A点 A 的横坐标有可能大于 3 B矩形 1 是正方形时，点 A 位于区域 C当点 A 沿双曲线向上移动时，矩形 1 的面积减小 D当点 A 位于区域时，矩形 1 可能和矩形 2 全等 【分析】A、根据反比例函数 k 一定，并根据图形得：当 x1 时，y3，得 kxy3，因为 y 是矩形周 长的一半，即 yx，可判断点 A 的横坐标不可能大于 3； B、根据正方形边长相等得：y2x，得点 A 是直线 y2x 与双曲
20、线的交点，画图，如图 2，交点 A 在区 域，可作判断； C、先表示矩形面积 Sx（yx）xyx2kx2，当点 A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小，矩 形 1 的面积会越来越大，可作判断； D、当点 A 位于区域，得 x1，另一边为：yx2，矩形 2 的坐标的对应点落在区域中得：x1， y3，即另一边 yx0，可作判断 【解答】解：设点 A（x，y） ， A、设反比例函数解析式为：y（k0） ， 由图形可知：当 x1 时，y3， kxy3， yx， x3，即点 A 的横坐标不可能大于 3， 故选项 A 不正确； B、当矩形 1 为正方形时，边长为 x，y2x， 则点 A 是直线 y2x
21、 与双曲线的交点，如图 2，交点 A 在区域， 故选项 B 不正确； C、当一边为 x，则另一边为 yx，Sx（yx）xyx2kx2， 当点 A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小， 矩形 1 的面积会越来越大， 故选项 C 不正确； D、当点 A 位于区域时， 点 A（x，y） ， x1，y3，即另一边为：yx2， 矩形 2 落在区域中，x1，y3，即另一边 yx0， 当点 A 位于区域时，矩形 1 可能和矩形 2 全等； 故选项正确； 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9 已知ABC 的三边长 a、 b、 c 满足， 则ABC 一定是 等腰直角 三角形 【分析】先根
22、据非负数的性质求出 a、b、c 的值，再根据三角形的三边关系进行判断即可 【解答】解：ABC 的三边长 a、b、c 满足， a10，b10，c0， a1，b1，c a2+b2c2， ABC 一定是等腰直角三角形 10如图，在ABCD 中，B110，则D 110 【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， BD110 故答案为：110 11 将一副直角三角板如图放置， 使含 30角的三角板的短直角边和含 45角的三角板的一条直角边重合， 则1 的度数为 75 度 【分析】根据三角形三内角之和等于 180求解 【解答】解：如图 360，445，
23、151803475 故答案为：75 12如图，在ABC 中，ABC100，ACB 的平分线交 AB 边于点 E，在 AC 边取点 D，使CBD 20，连接 DE，则CED 的大小 10 （度） 【分析】根据题意和图象，通过作辅助线，可以求得CED 的度数，本题得以解决 【解答】解：延长 CB 到 F， 在ABC 中，ABC100，CBD20， ABF80，ABD80， AB 平分FBD， 又ACB 的平分线交 AB 边于点 E， 点 E 到边 BF，BD，AC 的距离相等， 点 E 在ADB 的平分线上， 即 DE 平分ADB， DBCADBACB，DBC20， ， 10， DECADEACE
24、， DEC10， 故答案为：10 13如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC2，E 是 AB 的中点，直线 l 平行于直线 EC，且直线 l 与直线 EC 之间的距离为 2，点 F 在矩形 ABCD 边上，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 A 恰好落在直线 l 上， 则 DF 的长为 2或 42 【分析】当直线 l 在直线 CE 上方时，连接 DE 交直线 l 于 M，只要证明DFM 是等腰直角三角形即可 利用 DFDM 解决问题， 当直线 l 在直线 EC 下方时， 由DEF1BEF1DF1E， 得到 DF1DE， 由此即可解决问题 【解答】解：如图，当直线 l 在直线 CE 上方
25、时，连接 DE 交直线 l 于 M， 四边形 ABCD 是矩形， AB90，ADBC， AB4，ADBC2， ADAEEBBC2， ADE、ECB 是等腰直角三角形， AEDBEC45， DEC90， lEC， EDl， EM2AE， 点 A、点 M 关于直线 EF 对称， MDFMFD45， DMMFDEEM22， DFDM42 当直线 l 在直线 EC 下方时， DEF1BEF1DF1E， DF1DE2， 综上所述 DF 的长为 2或 42 故答案为 2或 42 14如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的长方形 ABCD 土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条 与 AB 平行，另
26、一条与 AD 平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应 设计成多少 m？设通道的宽为 xm，由题意列得方程 x235x+660 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， （302x） （20 x）786， 化简，得 x235x+660， 故答案为：x235x+660 15如图，RtABC 中，A90，ADBC 于点 D，若 AD：CD4：3，则 tanB 【分析】根据同角的余角相等，可得 tanBtanCAD，再根据正切函数的定义即可求解 【解答】解：RtABC 中，A90，ADBC， BCAD， AD：CD4：3， tanB
27、tanCAD 故答案为： 16 如图， ABC 是等边三角形， AB， 点 D 是边 BC 上一点， 点 H 是线段 AD 上一点， 连接 BH、 CH 当 BHD60，AHC90时，DH 【分析】作 AEBH 于 E，BFAH 于 F，如图，利用等边三角形的性质得 ABAC，BAC60，再 证明ABHCAH，则可根据“AAS”证明ABECAH，所以 BEAH，AECH，在 RtAHE 中 利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 HEAH，AEAH，则 CHAH，于是在 RtAHC 中利用勾股定理可计算出 AH2，从而得到 BE2，HE1，AECH，BH1，接下来在 RtBFH 中计算出
28、HF，BF，然后证明CHDBFD，利用相似比得到2，从而利用比例性质可 得到 DH 的长 【解答】解：作 AEBH 于 E，BFAH 于 F，如图， ABC 是等边三角形， ABAC，BAC60， BHDABH+BAH60，BAH+CAH60， ABHCAH， 在ABE 和CAH 中 ， ABECAH， BEAH，AECH， 在 RtAHE 中，AHEBHD60， sinAHE，HEAH， AEAHsin60AH， CHAH， 在 RtAHC 中，AH2+（AH）2AC2（）2，解得 AH2， BE2，HE1，AECH， BHBEHE211， 在 RtBFH 中，HFBH，BF， BFCH，
29、CHDBFD， 2， DHHF 故答案为 三解答题三解答题 17计算： （3）0+4sin45+|1| 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（3） 0+4sin45 +|1|的值是多少即可 【解答】解： （3）0+4sin45+|1| 1+421 12+1 18关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m210 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根 【分析】 （1）由方程有两个不相等的实数根即可得出0，代入数据即可得出关于 m 的一元一次不等 式，解不等式即可得出结论； （2
30、）结合（1）结论，令 m1，将 m1 代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m210 有两个不相等的实数根， （2m+1）241（m21）4m+50， 解得：m （2）m1，此时原方程为 x2+3x0， 即 x（x+3）0， 解得：x10，x23 19如图，在ABC 中，AD 平分BAC，E 是 AD 上一点，且 BEBD （1）求证：ABEACD； （2）若 BD1，CD2，求的值 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到BAECAD，根据等腰三角形的性质得到BEDBDE， 由等角的补角相等得到AEBADC，根据相似三
31、角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结论 【解答】 （1）证明：AD 平分BAC， BADCAD BEBD， BEDBDE AEBADC ABEACD （2）解：ABEACD， BEBD1，CD2， 20如图，在平行四边形 ABCD 中，BCBD，BE 平分CBD 交 CD 于 O，交 AD 延长线于 E，连接 CE （1）求证：四边形 BCED 是菱形； （2）若 OD2，tanAEB，求ABE 的面积 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得出 BCAE，根据平行线的性质得出CBEDEB，求出DEB DBE，推出 BDDE，再根据菱形的判定推出即可； （
32、2）根据菱形的性质得出 BOEO，DOE90，求出 OD 是ABE 的中位线，求出 AB 和 BE，再 根据三角形的面积公式求出即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BCAE， CBEDEB， BE 平分CBD， CBEDBE， DEBDBE， BDDE， 又BCBD， BCDE 且 BCDE， 四边形 BCED 是平行四边形， 又BCBD， 四边形 BCDE 是菱形； （2）解：四边形 BCDE 是菱形， BOEO，DOE90， 又ADBCDE， OD 是ABE 的中位线， ODAB，AB2OD4，ABEDOE90， ， BE8， SABE4816 21如图，在 Rt
33、ABC 中，C90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，以点 D 为圆心，DC 长为半径画 D （1）补全图形，判断直线 AB 与D 的位置关系，并证明； （2）若 BD5，AC2DC，求D 的半径 【分析】 （1）根据要求画出图形，结论 AB 与D 相切过点 D 作 DEAB 于 E证明 DEDC 即可 （2）设 DEDCr，BEx利用勾股定理构建方程组求解即可 【解答】解： （1）图形如图所示，结论 AB 与D 相切 理由：过点 D 作 DEAB 于 E AD 平分BAC，DCAC，DEAB， DEDC， D 与 AB 相切 （2）设 DEDCr，BEx AB，AC 是D 的切线， AC
34、AE2CD2r， ACBBED90， 则有， 解得， D 的半径为 3 22坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔 接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系 图 1 反映了 20142019 年我国生活垃圾清运量的情况图 2 反映了 2019 年我国 G 市生活垃圾分类的情 况 根据以上材料回答下列问题： （1）图 2 中，n 的值为 18 ； （2）20142019 年，我国生活垃圾清运量的中位数是 2.1 亿吨 ； （3）据统计，2019 年 G 市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为 0.02 亿吨，所创造的经济总价值约为 40
35、亿元若 2019 年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与 G 市的占比相同，根据 G 市的数据估计 2019 年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少 【分析】 （1）根据题意列式计算即可； （2）根据中位数的定义即可得到结论； （3）根据样本估计总体列式计算即可 【解答】解： （1）n1002055718， 故答案为：18； （2）在 1.8，1.9，2.0，2.2，2.3，2.5 中，2.0 和 2.2 处在中间位置， 20142019 年，我国生活垃圾清运量的中位数是2.1（亿吨） 故答案为：2.1 亿吨； （3）2.520%（400.02）1000（亿元） ， 答：估计 2019
36、年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是 1000 亿元， 23已知抛物线 yax2+2ax+3a24 （1）该抛物线的对称轴为 直线 x1 ； （2）若该抛物线的顶点在 x 轴上，求抛物线的解析式； （3）设点 M（m，y1） ，N（2，y2）在该抛物线上，若 y1y2，求 m 的取值范围 【分析】 （1）根据题意可得抛物线的对称轴； （2）抛物线的顶点在 x 轴上，可得顶点坐标为（1，0） ，进而可得 a 的值； （3）根据点 N（2，y2）关于直线 x1 的对称点为 N（4，y2） ，进而可得 m 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 yax2+2ax+3a24 对称轴为直线 x1， 故答
37、案为：直线 x1； （2）抛物线的顶点在 x 轴上， 顶点坐标为（1，0） ， 解得 a1 或 a， 抛物线的解析式为：yx22x1 或 yx2+x+； （3）对称轴为直线 x1， 点 N（2，y2）关于直线 x1 的对称点为 N（4，y2） ， 当 a0 时，若 y1y2，则 m4 或 m2； 当 a0 时，若 y1y2，则4m2 24如图，在等腰直角ABC 中，ACB90点 P 在线段 BC 上，延长 BC 至点 Q，使得 CQCP，连 接 AP，AQ过点 B 作 BDAQ 于点 D，交 AP 于点 E，交 AC 于点 FK 是线段 AD 上的一个动点（与 点 A，D 不重合） ，过点 K
38、 作 GNAP 于点 H，交 AB 于点 G，交 AC 于点 M，交 FD 的延长线于点 N （1）依题意补全图 1； （2）求证：NMNF； （3）若 AMCP，用等式表示线段 AE，GN 与 BN 之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）根据题意补全图 1 即可； （2）根据等腰三角形的性质得到 APAQ，求得APQQ，求得MFNQ，同理，NMF APQ，等量代换得到MFNFMN，于是得到结论； （3）连接 CE，根据线段垂直平分线的性质得到 APAQ，求得PACQAC，得到CAQQBD， 根据全等三角形的性质得到 CPCF，求得 AMCF，得到 AEBE，推出直线 CE 垂直平分 AB，
39、得到 ECBECA45，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解： （1）依题意补全图 1 如图所示； （2）CQCP，ACB90， APAQ， APQQ， BDAQ， QBD+QQBD+BFC90， QBFC， MFNBFC， MFNQ， 同理，NMFAPQ， MFNFMN， NMNF； （3）连接 CE， ACPQ，PCCQ， APAQ， PACQAC， BDAQ， DBQ+Q90， Q+CAQ90， CAQQBD， PACFBC， ACBC，ACPBCF， APCBFC（AAS） ， CPCF， AMCP， AMCF， CABCBA45， EABEBA， AEBE， ACBC， 直线
40、 CE 垂直平分 AB， ECBECA45， GAMECF45， AMGCFE， AGMCEF（ASA） ， GMEF， BNBE+EF+FNAE+GM+MN， BNAE+GN 25A，B 是C 上的两个点，点 P 在C 的内部若APB 为直角，则称APB 为 AB 关于C 的内直角， 特别地，当圆心 C 在APB 边（含顶点）上时，称APB 为 AB 关于C 的最佳内直角如图 1，AMB 是 AB 关于C 的内直角，ANB 是 AB 关于C 的最佳内直角在平面直角坐标系 xOy 中 （1）如图 2，O 的半径为 5，A（0，5） ，B（4，3）是O 上两点 已知 P1（1，0） ，P2（0，
41、3） ，P3（2，1） ，在AP1B，AP2B，AP3B 中，是 AB 关于O 的内直 角的是 AP2B，AP3B ； 若在直线 y2x+b 上存在一点 P，使得APB 是 AB 关于O 的内直角，求 b 的取值范围 （2） 点 E 是以 T （t， 0） 为圆心， 4 为半径的圆上一个动点， T 与 x 轴交于点 D （点 D 在点 T 的右边） 现 有点 M（1，0） ，N（0，n） ，对于线段 MN 上每一点 H，都存在点 T，使DHE 是 DE 关于T 的最佳内 直角，请直接写出 n 的最大值，以及 n 取得最大值时 t 的取值范围 【分析】 （1）判断点 P1，P2，P3是否在以 A
42、B 为直径的圆弧上即可得出答案； （2）求得直线 AB 的解析式，当直线 y2x+b 与弧 AB 相切时为临界情况，证明OAHBAD，可求 出此时 b5，则答案可求出； （3）可知线段 MN 上任意一点（不包含点 M）都必须在以 TD 为直径的圆上，该圆的半径为 2，则当点 N 在该圆的最高点时，n 有最大值 2，再分点 H 不与点 M 重合，点 M 与点 H 重合两种情况求出临界位置 时的 t 值即可得解 【解答】解： （1）如图 1， P1（1，0） ，A（0，5） ，B（4，3） ， AB4，P1A，P1B3， P1不在以 AB 为直径的圆弧上， 故AP1B 不是 AB 关于O 的内直角
43、， P2（0，3） ，A（0，5） ，B（4，3） ， P2A8，AB4，P2B4， P2A2+P2B2AB2， AP2B90， AP2B 是 AB 关于O 的内直角， 同理可得，P3B2+P3A2AB2， AP3B 是 AB 关于O 的内直角， 故答案为：AP2B，AP3B； （2）APB 是 AB 关于O 的内直角， APB90，且点 P 在O 的内部， 满足条件的点 P 形成的图形为如图 2 中的半圆 H（点 A，B 均不能取到） ， 过点 B 作 BDy 轴于点 D， A（0，5） ，B（4，3） ， BD4，AD8， 并可求出直线 AB 的解析式为 y2x5， 当直线 y2x+b 过
44、直径 AB 时，b5， 连接 OB，作直线 OH 交半圆于点 E，过点 E 作直线 EFAB，交 y 轴于点 F， OAOB，AHBH， EHAB， EHEF， EF 是半圆 H 的切线 OAHOAH，OHBBDA90， OAHBAD， ， OHAHEH， OHEO， EOFAOH，FEOAHO90， EOFHOA（ASA） ， OFOA5， EFAB，直线 AB 的解析式为 y2x5， 直线 EF 的解析式为 y2x+5，此时 b5， b 的取值范围是5b5 （3）对于线段 MN 上每一个点 H，都存在点 T，使DHE 是 DE 关于T 的最佳内直角， 点 T 一定在DHE 的边上， TD4
45、，DHT90，线段 MN 上任意一点（不包含点 M）都必须在以 TD 为直径的圆上，该圆的 半径为 2， 当点 N 在该圆的最高点时，n 有最大值， 即 n 的最大值为 2 分两种情况： 若点 H 不与点 M 重合，那么点 T 必须在边 HE 上，此时DHT90， 点 H 在以 DT 为直径的圆上， 如图 3，当G 与 MN 相切时，GHMN， OM1，ON2， MN， GMHOMN，GHMNOM，ONGH2， GHMNOM（ASA） ， MNGM， OG1， OT+1， 当 T 与 M 重合时，t1， 此时 t 的取值范围是1t1， 若点 H 与点 M 重合时，临界位置有两个，一个是当点 T 与 M 重合时，t1，另一个是当 TM4 时， t5， 此时 t 的取值范围是 1t5， 综合以上可得，t 的取值范围是1t5
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