1、20202020- -20212021 学年高三下学期数学考试仿真系列卷二学年高三下学期数学考试仿真系列卷二 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本
2、试卷上无效 3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合1,0.31 x Ax xBx ，则（ ） A. 0ABx x B. ABR C. 1ABx x D. AB 2.已知复数z满足 2 2 i zii ，则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知直线 12 :(2)10,:20laxay
3、lxay ，其中aR，则“ 3a”是“1 2 ll”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种病毒疫 苗后，有 80%不会感染这种病毒，若有 4 人接种了这种疫苗，则最多 1 人被感染的概率为（ ） A 512 625 B 256 625 C 113 625 D 1 625 5.函数 | | cos ( ) 2 x xx f x 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2018 年全年投入研
4、发资金 130 万元，在此基 础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （ ） （参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30） A. 2020 年 B. 2021 年 C. 2022 年 D. 2023 年 7.数独是源自 18 世纪瑞士的一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏.玩家需要根据 99 盘面上的已知数字， 推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（33）内的数字均含 1-9.2020 年中 国数独锦标赛决赛作为 2020 数独大会重要赛事之一于 10 月 18 日在国家体育总局举行.
5、某选手在解决如图 所示的标准数独题目时，正确完成后，记第i行的数字分别为 1 i a， 2i a， 3i a， 9i a，令 12345678 2345678 iiiiiiiii baaaaaaaa 9 9 i a ，1,2,3,8,9i ，则 129 bbb （ ） A45 B45 C225 D225 第 7 题图 第 8 题图 8.已知点O是ABC内一点，且满足 4 20, 7 AOB ABC S OAOBmOC S ，则实数m的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每
6、小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9.已知点( 5,0)F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点， 以点F为圆心，2 2为半径的圆与双曲线C的 一条渐近线交于M，N两点，若MFNF，则下列结论正确的是（ ） A| | 4MN B双曲线C的实轴长为4 C双曲线C的渐近线方程为 1 2 yx D双曲线C的离心率5e 10.已知函数( )2sin()(0,0)f xx 的部分图象如图所示，点0, 3A，,0 3
7、 B ，则下 列说法错误的是（ ） A. 直线 12 x 是 f x图象的一条对称轴 B. f x的最小正周期为 C. f x在区间, 3 12 上单调递增 D. f x的图象可由 ( ) 2sin2g xx=向左平移 3 个单位而得到 11.已知a，b是不同直线，是不同平面，且a， /b，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若ba ，则/ B. 若/ab，则 C. 若，则/ab D. 若/ ，则a b rr 12.在梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2CB，将BDC沿BD折起，使C到C的位置（C与C不重合），E，F分 别为线段AB，AC的中点，H在直线DC上，那么在翻折的过程中（ ）
8、A. DC与平面ABD所成角的最大值为 6 B. F在以E为圆心的一个定圆上 C. 若BH丄平面ADC，则 3DHC H D. 当AD丄平面BDC时，四面体C-ABD的体积取得最大值 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13. 6 2 1(1)x x 展开式中 2 x的系数为_ 14.写出一个满足前 5 项的和为 10，且递减的等差数列的通项 n a _. 15.已知抛物线 2 2(0)(1,0),ypx pFF的焦点为过点的直线交抛物线于 A，B 两点，且23,ABFA则抛 物线的准线方程为 ；|BF的值为 .（本题第
9、一空 2 分，第二空 3 分） 16.已知函数 2 lg,0 64,0 xx f x xxx ， 若关于x的方程 2 10fxbf x 有 8 个不同根， 则实数b的 取值范围是_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.请从下面两个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解决该问题 ABC 的面积为3 15; 2 6ABAB BC 在ABC中,角CBA,所对的边分别为.,cba已知2cb，A为钝角， 15 sin 4 A . (1)求边a的长； (2)求C2sin的值. 1
10、8.已知数列 n a的前n项和 (1) 2 n n n S ，数列 n b满足 1 4b ，且 1 32 nn bb （1）求证数列1 n b 为等比数列，并求数列 n b的通项公式； （2）设 n n n a c b ，求证： 12 3 4 n ccc 19.为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取 200 只小白鼠，并将该疫苗首次注 射到这些小白鼠体内独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分 布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）： (1)根据频率分布直方图，估计 200 只小白鼠该项医学指标平均值x（同一组数据用该组
11、数据区间的中点值 表示）； (2)若认为小白鼠的该项医学指标值X服从正态分布),( 2 N，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值 不低于 14.77 时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的 200 只小白鼠中 没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有 16 只小白鼠又产生了抗体这里近似为小白鼠 医学指标平均值 2 ,x近似为样本方差. 2 s经计算得92. 6 2 s，假设两次 注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p（精确到 0.01) 附：参考数据与公式 63. 292. 6 ，若),( 2 NX，则 ;6827. 0)(XP ;954
12、5. 0)22(XP .9973. 0)33(XP 20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 底面ABCD，M为线段PC的中点， PDAD，N为线段BC上的动点. （1）证明：平面MND平面PBC； （2） 当点N在线段BC的何位置时， 平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为 30？指出点N的位 置，并说明理由. 21. 已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点坐标为F1,0（），其左右顶点分别为A，B，点M 3 1 2 （，）在椭圆E上， （1）求椭圆E的标准方程； （2）若过点(4,0)P的直线l与椭圆E交于,C D两点，,AC BD交于点T
13、, 求 ATAP 的值. 22.已知函数f(x)=2e x+aln(x+1)-2. （1）当a=-2 时，讨论f(x)的单调性； （2）当x0，时，f(x)sinx恒成立，求a的取值范围. 20202020- -20212021 学年高三下学期数学考试仿真系列卷二学年高三下学期数学考试仿真系列卷二 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目
14、的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合1,0.31 x Ax xBx ，则（ ） A. 0ABx x B. ABR C. 1ABx
15、x D. AB 【答案】B 【解析】因为0.3 1，所以 0.3xf x 单调递减，由 0 0.310.3 x 可得0 x， 即0Bx x，所以01ABxx，ABR，故选:B. 【点睛】本题考查了结合指数函数的单调性化简集合B，从而可求出两集合的交集和并集,属于基础题. 2.已知复数z满足 2 2 i zii ，则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】C 【解析】因为 2 ( 1) 22213 22255 iiiiiii z iii ， 所以 31 55 zi ， z对应点为 31 , 55 ，所以z在复平面内对应的点位于第三象限,故选：C.
16、【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题 3.已知直线 12 :(2)10,:20laxaylxay ，其中aR，则“ 3a”是“1 2 ll”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】直线 12 ll的充要条件是(2)0(3)00aaaa aa 或 3a 故选:A 【点睛】本题考查了两直线垂直的充要条件，属于基础题. 4.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种病毒疫 苗后，有 80%不会感染这种病毒，若有 4 人接种了这种疫苗，则最多 1 人被感染的
17、概率为（ ） A 512 625 B 256 625 C 113 625 D 1 625 【答案】A 【解析】P 134 4 512 0.20.80.8 625 C，故选:A 【点睛】本题考查了二项分布计算概率,属于基础题. 5.函数 | | cos ( ) 2 x xx f x 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，函数 | | cos ( ) 2 x xx f x 的定义域为R，关于原点对称， 又由 coscos 22 xx xxxx fxf x ，所以函数 f x为奇函数，排除 C、D；又因为 0,0 24 ff ，结合选项，可得选项 A 适合.故选：.
18、 A 【点睛】本题考查了通过研究函数的性质来识别的函数图象,属于基础题. 6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2018 年全年投入研发资金 130 万元，在此基 础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （ ） （参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30） A. 2020 年 B. 2021 年 C. 2022 年 D. 2023 年 【答案】C 【解析】由题意，设第n年开始超过 200 万元， 则 2018 1301 12%200 n ，即 20182 1 12% 1.3 n ， 两
19、边同时取以 10 为底的对数，可化为：2018 lg1.12lg2lg1.3n， 解可得： lg2lg1.3 20183.8 lg1.12 n ；则2022n.故选：C 【点睛】本题考查了指数函数模型的应用，涉及解指数不等式和对数的运算，属于基础题. 7.数独是源自 18 世纪瑞士的一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏.玩家需要根据 99 盘面上的已知数字， 推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（33）内的数字均含 1-9.2020 年中 国数独锦标赛决赛作为 2020 数独大会重要赛事之一于 10 月 18 日在国家体育总局举行.某选手在解决如图 所示的标准数独题目时，正
20、确完成后，记第i行的数字分别为 1 i a， 2i a ， 3i a ， 9i a ，令 12345678 2345678 iiiiiiiii baaaaaaaa 9 9 i a ，1,2,3,8,9i ，则 129 bbb （ ） A45 B45 C225 D225 第 7 题图 第 8 题图 【答案】C 【解析】由题意可知每一列数字之和为123945，因此， 129 ( 123bbb 9)45225 故选:C 【点睛】本题考查了以数学文化为背景,考查了等差数列求和,属于基础题. 8.已知点O是ABC内一点，且满足 4 20, 7 AOB ABC S OAOBmOC S ，则实数m的值为（
21、） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】由 2OAOBmOC 得： 12 333 m OAOBOC 设 3 m OCOD，则 12 33 OAOBOD ,A B D 三点共线 如下图所示： OC与OD uuu r 反向共线，0m, 3 OD m OC 3 3 1 3 m OD m m m CD 73 4 AOB ABCD S OD mS m C 4m .故选：D. 【点睛】本题考查了向量共线定理的应用，属于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的
22、选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9.已知点( 5,0)F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点， 以点F为圆心，2 2为半径的圆与双曲线C的 一条渐近线交于M，N两点，若MFNF，则下列结论正确的是（ ） A| | 4MN B双曲线C的实轴长为4 C双曲线C的渐近线方程为 1 2 yx D双曲线C的离心率 5e 【答案】AD 【解析】以点F为圆心，2 2为半径的圆与双曲线C的一条渐近线的交点为M,N，若MFNF，则圆F与 渐近线相交所得弦长|22
23、24MN ， 所以 A 正确； 因为焦点F到渐近线的距离为b， 所以22 2b ， 得2b ，而5c ，所以 222 1acb，得 1a ，所以双曲线C的实轴长为 2，B 不正确；双曲线C的渐 近线方程为 2yx ，C 不正确；离心率5e ，D 正确.故选:AD. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质以及圆的知识,属于基础题. 10.已知函数( )2sin()(0,0)f xx 的部分图象如图所示，点0, 3A，,0 3 B ，则下 列说法错误的是（ ） A. 直线 12 x 是 f x图象的一条对称轴 B. f x的最小正周期为 C. f x在区间, 3 12 上单调递增 D. f x的图象可
24、由 ( ) 2sin2g xx=向左平移 3 个单位而得到 【答案】D 【解析】由题意，函数( )2sin()f xx的图象过点0, 3A， 可得 03f，即2sin3，即 3 sin 2 ， 因为0，所以 3 ，即( )2sin() 3 f xx ， 又由点,0 3 B ，即()2sin()0 333 f ，可得 33 ，解得2， 所以函数的解析式为( )2sin(2) 3 f xx ， 令 12 x ，可得2 121 ()2sin(2)si 22 2 n 3 f ，所以 12 x 是函数( )f x的一条对称轴，所以A 是正确的； 由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得 22 2 T
25、，所以B是正确的； 当(,) 3 12 x ，则2(,) 33 2 x ， 根据正弦函数的性质，可得函数 ( )f x在区间(,) 3 12 单调递增，所以C是正确的； 由函数 ( ) 2sin2g xx=向左平移 3 个单位而得到函数 2 2sin2()2sin(2) 33 yxx pp =+=+， 所以选项D不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式以及三角函数的图象与性质的应用，考查 了逻辑推理与数学运算能力，属于基础题. 11.已知a，b是不同直线，是不同平面，且a， /b，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若ba ，则/ B. 若/ab，则 C
26、. 若，则/ab D. 若/ ，则a b rr 【答案】BD 【解析】对于选项 A,若ba ，则/ 或, 相交，此时b平行于, 的交线,故 A 错误； 对于选项 B,若/ab，a，则b，且b / ，根据线面平行性质定理可知，存在c，使/bc， 所以c，又c，则，故 B 正确； 对于选项 C, 若，则/ab，或相交，异面，故 C 错误； 对于选项 D,若/ /，a，则a，又b / ，则a b rr ，故 D 正确,故选：BD 【点睛】本题考查了线线，线面，面面的位置关系，以及判断定理和性质定理,考查了空间想象能力与运算 能力，属于基础题. 12.在梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2CB，将
27、BDC沿BD折起，使C到C的位置（C与C不重合），E，F分 别为线段AB，AC的中点，H在直线DC上，那么在翻折的过程中（ ） A. DC与平面ABD所成角的最大值为 6 B. F在以E为圆心的一个定圆上 C. 若BH丄平面ADC，则 3DHC H D. 当AD丄平面BDC时，四面体C-ABD的体积取得最大值 【答案】ACD 【解析】如图，在梯形ABCD中，因为/,222AB CD ABADDCCB，E是AB的中点， 所以/,CD BE CDBE，所以四边形BCDE是菱形，所以BCDE， 由于ADDEAE，所以三角形ADE是等边三角形， 所以 1 2 DEAB，故ADBD， 6 BDCDBC
28、. 在将BDC沿BD翻折至 BDC的过程中， ,BDCDBC 的大小保持不变， 由线面角的定义可知， DC 与平面ABD所成角的最大值为 6 ，故 A 正确. 因为DBC大小不变，所以在翻折的过程中， C的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的底面圆周上，而EF是 ABCV的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点E，故 B 不正确. 当BH 平面 ADC时，BHDH.因为 3 HC B ，所以 2DCBCC H，所以 3DHC H ， 故 C 正确. 在翻折的过程中， BC D的面积不变， 所以当AD 平面 BDC时， 四面体 CABD的体积取得最大值， 故 D 正确,故选：A
29、CD 【点睛】本题考查了根据线面角的知识确定 A 选项的正确性；根据圆锥的几何性质判断 B 选项的正确性； 求得 2DCC H，由此确定 C 选项的正确性；结合锥体体积求法，确定 D 选项的正确性,属于中档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13. 6 2 1(1)x x 展开式中 2 x的系数为_ 【答案】55 【解析】 66622 1111xxx xx ， 6 1x展开式通项 16 rr r TC x ， 6 1x展开式中 2 x的系数为 2 6 C, 62 1x x 展开式中 2 x的系数为 3 6 2C,
30、则 23 66 255CC，故答案为:55. 【点睛】本题考查了利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得 2 x的系数,属于基 础题. 14.写出一个满足前 5 项的和为 10，且递减的等差数列的通项 n a _. 【答案】5n （答案不唯一） 【解析】依题意数列是递减的等差数列，所以0d ，又 15 53 5 510 2 aa Sa ，所以 3 2a ，不妨取 等差1d ，所以 3 32315 n aandnn 所以5 n an ,故答案为：5n 15.已知抛物线 2 2(0)(1,0),ypx pFF的焦点为过点的直线交抛物线于 A，B 两点，且23,ABFA则抛 物线
31、的准线方程为 ；|BF的值为 .（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 【答案】1 3 2 x 【解析】抛物线 2 2(0)(1,0),1,2, 2 p ypx pFp 的焦点为则所以抛物线方程 为 2 4 ,yx准线为1.x 如图，取 AF 的中点为 C，分别过点 A，C，F，B 作准线的 垂线，垂足分别为M，Q，P，N.由 23| 2|,| 2|ABFAAFFBAMBN可知从而有.设|,| 2 .BNtAMt则 又| 2,| 4.| 2|,222(4)PFCQtPFAMCQtt所以又即,解得 3 , 2 t 所以|BF 3 . 2 故答案为：1 3 2 x 【点睛】本题考查了抛物线的定义、
32、准线方程与几何性质,属于基础题. 16.已知函数 2 lg,0 64,0 xx f x xxx ， 若关于x的方程 2 10fxbf x 有 8 个不同根， 则实数b的 取值范围是_ 【答案】 17 2, 4 【 解 析 】 函 数 ( )f x 的 图 像 如 图 所 示 ， 因 为 22 64(3)5xxx， 所 以 关 于x的 方 程 2 10fxbf x 在(0,4上有 2 个根令( )tf x，则方程 2 10tbt 在(0,4上有 2 个不同的正 解，所以 2 04 2 40 (4)1610 (0)10 b b fb f ，解得 17 2 4 b 【点睛】本题考查了分段函数、函数的
33、图象以及利用方程的根的个数求参,其中方程解的个数问题解法： 研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题;当研究程的实根个数问题，即方程 的实数根个数问题时， 也常要进行参变分离， 得到的形式， 然后借助数形结合 （几何法） 思想求解也可将方程化为形如，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找 到符合题意的临界值，然后总结答案即可,属于中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.请从下面两个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解决该问题 ABC 的面积为3
34、15; 2 6ABAB BC 在ABC中,角CBA,所对的边分别为.,cba已知2cb，A为钝角， 15 sin 4 A . (1)求边a的长； (2)求C2sin的值. 【答案】(1)8; (2) 32 157 cossin22sinCCC 【解析】（1）若选择条件ABC 的面积为3 15， 15 sin 4 A，24,153 8 15 sin 2 1 bcbcAbcS ABC 由2cb，可得4, 6cb 而 A 为钝角， 15 sin 4 A，所以 4 1 cosA 64cos2 222 Abccba 8a （2） 8 7 2 cos 222 ab cba C 8 15 64 49 1si
35、nC 32 157 cossin22sinCCC （1）若选A 为钝角， 15 sin 4 A，所以 4 1 cosA -6bccosA)( 2 ACABBCABABBCABAB 24bc 由2cb，可得4, 6cb 而 A 为钝角， 15 sin 4 A，所以 4 1 cosA 64cos2 222 Abccba 8a （2） 8 7 2 cos 222 ab cba C 8 15 64 49 1sinC 32 157 cossin22sinCCC 【点睛】本题考查了三角恒等变换、同角三角函数关系、余弦定理以及向量数量积公式，考查了数学运算 能力,属于基础题. 18.已知数列 n a的前n项
36、和 (1) 2 n n n S ，数列 n b满足 1 4b ，且 1 32 nn bb （1）求证数列1 n b 为等比数列，并求数列 n b的通项公式； （2）设 n n n a c b ，求证： 12 3 4 n ccc 【答案】（1）证明见解析，31 n n b ；（2）证明见解析 【解析】（1）因为 1 32 nn bb ，所以 1 132 1 3 11 nn nn bb bb ， 所以数列1 n b为首项 1 13b ，公比为 3 的等比数列， 所以 1 1 1133 nn n bb ，所以31 n n b （2）因为数列 n a的前n项和 (1) 2 n n n S ，所以 11
37、 1aS， 当2n时， 1 (1)(1) 22 nnn n nn n aSSn ， 1n 时，也适合 n an，综上，, 313 n nn nn n ann anc b ， 12 2 12 333 n n n cccLL，设 2 12 333n n M L， 231 112 3333n n M L， 211 2111111 1 333332332 nnnn nn M L， 12 33 , 44 n McccL 【点睛】本题考查了等比数列定义的证明以及“错位相减法”求数列的和，利用“错位相减法”求数列的 和需注意：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减 时
38、注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q，属 于基础题 19.为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取 200 只小白鼠，并将该疫苗首次注 射到这些小白鼠体内独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分 布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）： (1)根据频率分布直方图，估计 200 只小白鼠该项医学指标平均值x（同一组数据用该组数据区间的中点值 表示）； (2)若认为小白鼠的该项医学指标值X服从正态分布),( 2 N，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值 不低于 14.77 时，则
39、认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的 200 只小白鼠中 没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有 16 只小白鼠又产生了抗体这里近似为小白鼠 医学指标平均值 2 ,x近似为样本方差. 2 s经计算得92. 6 2 s， 假设两次注射疫苗相互独立， 求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体 的概率p（精确到 0.01) 附：参考数据与公式 63. 292. 6 ，若),( 2 NX，则 ;6827. 0)(XP ;9545. 0)22(XP .9973. 0)33(XP 【答案】（1）17.4；（(2)0.92 【解析】(1) X 12 14 16 18 20 22 2
40、4 p 0.04 0.12 0.28 0.36 0.10 0.06 0.04 4 .172404. 02206. 02010. 01836. 01628. 01412. 01204. 0 EXx (2)77.1463. 240.17 8414. 0 2 6827. 01 6827. 0)( xp 记事件A表示首先注射疫苗后产生抗体，则 8414. 0)(Ap ，1586. 0)(Ap 因此 200 只小鼠首先注射疫苗后有1688414. 0200只产生抗体，有 200-168=32 只没有产生抗体. 故注射疫苗后产生抗体的概率92 . 0 200 16168 P 【点睛】本题考查了频率分布直方
41、图求平均数，利用正态分布估计概率，利用概率公式求解具体问题，属 于中档题. 20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 底面ABCD，M为线段PC的中点， PDAD，N为线段BC上的动点. （1）证明：平面MND平面PBC； （2） 当点N在线段BC的何位置时， 平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为 30？指出点N的位 置，并说明理由. .【答案】（1）证明见详解；（(2)N为线段BC的中点 【解析】（1）因为PD 底面ABCD，BC面ABCD，所以PDBC， 又CDBC，PDCDD，所以BC 平面PCD， 又DM 平面PCD，所以DMBC， 因为在PDC中，PDAD，
42、M为PC的中点，所以DMPC， 又PCBCC，所以DM 平面PBC， 又DM 平面DMN，所以平面MND平面PBC； （2）设1PD ，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直 角坐标系Dxyz，设,1 ,0N，则1 ,0,1AP ，0,1,0AB ，,1,0DN， 1 1 0, 2 2 DM . 设 111 ,mx y z为平面PAB的一个法向量， 则有 0 0 m AP m AB ，即 11 1 0 0 xz y ，令 1 1x ，可得1,0,1m ， 设 2 , xx nx y z为平面MND的一个法向量， 则有 0 0 n DN n DM ，即 22
43、 22 0 11 0 22 xy yz ，令 2 1x ，可得；1,n ， 因为平面MND与平面PAB夹角为30，所以 3 2 m n m n ，. 即 2 13 2 2 12 ，解得 1 2 ， 故N为线段BC的中点. 【点睛】本题考查了空间线面、面面位置关系以及利用面面成角的大小判别点的位置,考查了空间想象能力 以及数学运算,属于基础题. 21. 已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点坐标为F1,0（），其左右顶点分别为A，B，点M 3 1 2 （，）在椭圆E上， （1）求椭圆E的标准方程； （2）若过点(4,0)P的直线l与椭圆E交于,C D两点，,AC BD交
44、于点T, 求 ATAP 的值. 【答案】（1） 22 1 43 xy ；（(2)18. 【解析】(1)设 ( 1,0) F ， 42 ,2MFMFa a， 222 1,3cabc b 椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy (2)设 1122 ( ,),(,),C x yD xy直线CD的方程为(4)yk x 联立 22 (4) , 1 43 yk x xy 得 2222 (34)3264120kxk xk 首先0所以 22 1212 22 326412 , 3434 kk xxx x kk ， 直线,AC BD的方程分别为 12 12 (2),(2) 22 yy yxyx xx 则 解出交
45、点横坐标 83 )3(2 21 2121 xx xxxx xT 121 12121 48)(3 )2(2 xxx xxxxx ）（ 1 2 2 1 2 2 48 34 96 )2 34 1232 (2 x k k x k k 1 4 34 2464 4 34 2464 1 2 2 1 2 2 x k k x k k ,从而 18AP AT 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及利用基本不等式求最值,考查了逻辑推理能力与数学运算能 力,属于中档题. 22.已知函数f(x)=2e x+aln(x+1)-2. （1）当a=-2 时，讨论f(x)的单调性； （2）当x0，时，f(x)sinx恒成立
46、，求a的取值范围. 【答案】（1）函数 f x在(-1，0)单调递减，在0,单调递增；（2）1, . 【解析】（1）当2a 时 ,22ln12,1 x f xexx. 2 2, 1 x fxefx x 1, 单调递增，且 00. f 当1,0 x 时， 0fx ；当0,x时 ,0fx . 所以函数 f x在(-1，0)单调递减，在0,单调递增. （2）令 sin2ln12 sin ,0, x g xf xxeaxx x 当0,x时， sinf xx恒成立等价于 00g xg恒成立. 由于 cos2cos ,0, 1 x a gxfxxex x x ， 所以（i）当0a时， 210, x g xe 函数 yg x在0,单调递增， 所以 00g xg，在区间0,恒成立，符合题意. （ii）当0a 时， 2cos 1 x a gxex x 在0,单调递增， 021 1gaa . 当10a 即10a 时，
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