1、2020-2021 学年河南省郑州市高新区九年级（上）第二次月考数学试卷学年河南省郑州市高新区九年级（上）第二次月考数学试卷 一一.选择题（共选择题（共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 2如图，直线 l1l2l3，分别交直线 m、n 于点 A、B、C、D、E、F若 AB：BC5：3，DE15，则 EF 的长为（ ） A6 B9 C10 D25 3一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其 中放入 8 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断
2、重复，共摸球 400 次， 其中 88 次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A28 个 B30 个 C36 个 D42 个 4下列函数：y2x；y；yx 1；y5x2+1，是反比例函数的个数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 5点 P1（2，y1） ，P2（2，y2） ，P3（6，y3）均在二次函数 yx2+2x+c 的图象上，则 y1、y2、y3的大小 关系是（ ） Ay2y3y1 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy2y1y3 6将抛物线 y2（x+1）2+3 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为（ ） Ay2（x+4）2+1 By2（x2）2+
3、1 Cy2（x+4）2+5 Dy2（x+4）2+5 7若函数 y与 yax2+bx+c 的图象如图所示，则函数 ykxb 的大致图象为（ ） A B C D 8 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示， 有以下结论： a+b+c0； ab+c0； abc0； 9a 3b+c0；ca1其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 9 九章算术中记载： “今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问： 邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中 A、C 处各开一道门，从点 A 往正北方向走 40 步刚好有一棵树位于点 B 处， 若从点 C 往正西方向走
4、 810 步到达点 D 处时正好看到此树， 则正方形城池 的边长为（ ） A360 步 B270 步 C180 步 D90 步 10如图，在矩形 OABC 中，点 A 和点 C 分别在 y 轴和 x 轴上AC 与 BO 交于点 D，过点 C 作 CEBD 于 点 E，DE2BE若 CE，反比例函数 y（k0，x0）经过点 D，则 k（ ） A2 B C D 二二.填空题（共填空题（共 5 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11已知关于 x 的一元二次方程（m2）x2（2m+1）x+m+20 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范 围是 12如果函数是关于 x 的二次函数，
5、那么 k 的值是 13如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 ABCDE，已知 OA10cm， OA20cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 ABCDE的周长的比值是 14如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 cosACB 等于 15如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，点 F 为射线 AD 上一动点，AEF 与AEF 关于 EF 所 在直线对称，连接 AC，分别交 EA、EF 于点 M、N，AB2，AD2若EMN 与AEF 相似， 则 AF 的长为 三解答题（共三解答题（共 75 分）分） 16先化简，再求值：（） ，其中 a2co
6、s45+（）0+tan30 172019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠 状病毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴口罩； 勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包 括不了解、了解很少、基本了解和很了解） ，通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必 须且只能选择一项） ，并将调查结果绘制成如下两幅统计图 （1）本次共调查了 名员工，条形统计图中 m ； （2）若该公可共有员工 1000 名，请你估计不了解防护措施的人数； （3）在调查中，发现有 4
7、名员工对防护措施很了解，其中有 3 名男员工、1 名女员工若准备从他们中 随机抽取 2 名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率 18如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 出发，沿水平方向行走 了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，DCBC在点 D 处放置测角仪，测角仪支 架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点的仰角AEF 为 27（点 A，B，C，D 在同一平面 内） ，斜坡 CD 的坡度（或坡比）i1：2.4，求建筑物 AB 的高度 （精确到个位） （参考
8、数据：sin270.45，cos270.89，tan270.51） 19如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，F，E 分别是 AD 及其延长线上的点，CFBE，连接 BF， CE （1）求证：四边形 BECF 是平行四边形； （2）填空： 若 AB5，则 AC 的长为 时，四边形 BECF 是菱形； 若 AB5，BC6 且四边形 BECF 是正方形，则 AF 的长为 20如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，m）在正比例函数 yx（x0）的图象上，反比例函数 y （x0）的图象经过点 A，点 P 是 x 轴正半轴上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，与正比例函数 yx（x 0）的图象交
9、于点 C，点 B 是线段 CP 与反比例函数的交点，连接 AP、AB （1）求该反比例函数的表达式； （2）观察图象，请直接写出当 x0 时，x的解集； （3）若 SABP1，求 B 点坐标； （4） 点 Q 是 A 点右侧双曲线上一动点， 是否存在APQ 为以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出点 Q 坐标；若不存在，请说明理由 21我市丹尼斯超市销售一种文具，进价为 5 元/件售价为 6 元/件时，当天的销售量为 100 件在销售过 程中发现：售价每上涨 0.5 元，当天的销售量就减少 5 件设当天销售单价统一为 x 元/件（x6 且 x 为 整数） ，当天销售利润为 y 元
10、（1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2） 若每件文具的利润不超过 80%， 要想当天获得利润最大， 每件文具售价为多少元？并求出最大利润 22如图，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，且点 B 的坐标为（2，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物 线对称轴为直线 x，连接 AC，BC，点 P 是抛物线上在第二象限内的一个动点过点 P 作 x 轴的垂 线 PH，垂足为点 H，交 AC 于点 Q过点 P 作 PGAC 于点 G （1）求抛物线的解析式 （2）求PQG 周长的最大值及此时点 P 的坐标 23如图，两等腰直角三角形 ABC 和 DE
11、F 有一条边 BC 与 EF 在同一直线上，DE4，AB2设 ECm （0m4） ，点 M 在线段 AD 上，且MEB45 （1）当 m4 时， ； （2）当 m4 时，ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，求的值； （3）当 0m4 时，ABC 绕点 C 逆时针旋转度（090） ，原题中其它条件不变，求的值 （用含 m 的代数式表示） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看是两个同心圆，内圆要画成实线 故选：C 2如图，直线
12、 l1l2l3，分别交直线 m、n 于点 A、B、C、D、E、F若 AB：BC5：3，DE15，则 EF 的长为（ ） A6 B9 C10 D25 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案 【解答】解：l1l2l3，DE15， ，即， 解得，EF9， 故选：B 3一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其 中放入 8 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球 400 次， 其中 88 次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A28 个 B30 个 C36 个 D42 个 【分析】共摸球 400
13、 次，其中 88 次摸到黑球，那么有 312 次摸到白球；由此可知：摸到黑球与摸到白球 的次数之比为 88：312；已知有 8 个黑球，那么按照比例，白球数量即可求出 【解答】解：由题意得：白球有828 个 故选：A 4下列函数：y2x；y；yx 1；y5x2+1，是反比例函数的个数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】利用反比例函数定义可得答案 【解答】解：y2x 是正比例函数； y是反比例函数； yx 1 是反比例函数； y5x2+1 是二次函数， 反比例函数共 2 个， 故选：C 5点 P1（2，y1） ，P2（2，y2） ，P3（6，y3）均在二次函数 yx2+2x
14、+c 的图象上，则 y1、y2、y3的大小 关系是（ ） Ay2y3y1 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy2y1y3 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线 x1，根据 x1 时，y 随 x 的增大 而减小，即可得出答案 【解答】解：yx2+2x+c（x1）2+1+c， 图象的开口向下，对称轴是直线 x1， A（2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1） ， 246， y2y1y3， 故选：D 6将抛物线 y2（x+1）2+3 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为（ ） Ay2（x+4）2+1 By2（x2）2+1 Cy2（x+4）2+5
15、Dy2（x+4）2+5 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的 顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可 【解答】解：抛物线 y2（x+1）2+3 的顶点坐标为（1，3） ， 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后的顶点坐标是（2，1） 所得抛物线解析式是 y2（x2）2+1 故选：B 7若函数 y与 yax2+bx+c 的图象如图所示，则函数 ykxb 的大致图象为（ ） A B C D 【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定 k、b 的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即 可 【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限
16、知 k0， 根据二次函数的图象确知 a0，b0， 函数 ykxb 的大致图象经过一、二、四象限， 故选：B 8 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示， 有以下结论： a+b+c0； ab+c0； abc0； 9a 3b+c0；ca1其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】由图象可知，a0，c1，对称轴 x1，即 b2a；当 x1 时，y0；当 x 1 时，y1；abc2a20；当 x3 时，y0；ca1a1 【解答】解：由图象可知，a0，c1， 对称轴 x1， b2a， 当 x1 时，y0， a+b+c0，故正确； 当 x1 时，y1， ab+c1，故正确； abc
17、2a20，故正确； 由图可知当 x3 时，y0， 9a3b+c0，故正确； ca1a1，故正确； 正确， 故选：D 9 九章算术中记载： “今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问： 邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中 A、C 处各开一道门，从点 A 往正北方向走 40 步刚好有一棵树位于点 B 处， 若从点 C 往正西方向走 810 步到达点 D 处时正好看到此树， 则正方形城池 的边长为（ ） A360 步 B270 步 C180 步 D90 步 【分析】 设正方形城池的边长为 x 步， 则 AECEx，证明 RtBEARtEDC， 利用相似比
18、得到 然后利用比例性质求出 x 即可 【解答】解：如图，设正方形城池的边长为 x 步，则 AECEx， AECD， BEAEDC， RtBEARtEDC， ，即， x360， 即正方形城池的边长为 360 步 故选：A 10如图，在矩形 OABC 中，点 A 和点 C 分别在 y 轴和 x 轴上AC 与 BO 交于点 D，过点 C 作 CEBD 于 点 E，DE2BE若 CE，反比例函数 y（k0，x0）经过点 D，则 k（ ） A2 B C D 【分析】 作 DFOC 于 F， 根据矩形的性质和射影定理求得 OD3， OE5， 根据勾股定理求得 OC， 然后通过三角形相似求得 DF 和 OF
19、，从而求得 D 的坐标，代入解析式即可求得 k 的值 【解答】解：作 DFOC 于 F， 在矩形 OABC 中，OCB90，ODBD， CEOB， CE2BEOE， DE2BECE， 设 Bx，则 DE2x，OD3x， OE5x， （）2x5x， 解得，x1， OD3，OE5， OC， OFDOEC90DOFEOC， DOFCOE， ，即， OF，DF， D 的坐标为（，） ， 反比例函数 y（k0，x0）经过点 D， k， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11已知关于 x 的一元二次方程（m2）x2（2m+1）x+m+20 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范 围是
20、m且 m2 【分析】根据关于 x 的一元二次方程（m2）x2（2m+1）x+m+20 有两个不相等的实数根，由根的 判别式可得b24ac0，从而可以列出关于 m 的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为 0 【解答】解：根据题意得， 解得 m且 m2 故答案为：m且 m2 12如果函数是关于 x 的二次函数，那么 k 的值是 0 【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可 【解答】解：由题意得：k23k+22， 解得 k0 或 k3； 又k30， k3 k 的值是 0 时 故答案为：0 13如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 ABCDE，已知 O
21、A10cm， OA20cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 ABCDE的周长的比值是 1：2 【分析】 由五边形ABCDE与五边形ABCDE位似， 可得五边形ABCDE五边形ABCD E，又由 OA10cm，OA20cm，即可求得其相似比，根据相似多边形的周长的比等于其相似比， 即可求得答案 【解答】解：五边形 ABCDE 与五边形 ABCDE位似，OA10cm，OA20cm， 五边形 ABCDE五边形 ABCDE，且相似比为：OA：OA10：201：2， 五边形 ABCDE 的周长与五边形 ABCDE的周长的比为：OA：OA1：2 故答案为：1：2 14如图，ABC 的顶点都是正方形网
22、格中的格点，则 cosACB 等于 【分析】根据题意，可以求得 AC、AB、BC、CD 的长，然后根据等积法可以求得 AE 的长，再根据勾股 定理即可得到 CE 的长，然后即可得到 【解答】解：作 CDAB 于点 D，作 AEBC 于点 E， 由已知可得，AC，AB5，BC5，CD3， ， ， 解得 AE3， CE1， cosACB， 故答案为： 15如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，点 F 为射线 AD 上一动点，AEF 与AEF 关于 EF 所 在直线对称，连接 AC，分别交 EA、EF 于点 M、N，AB2，AD2若EMN 与AEF 相似， 则 AF 的长为 1 或
23、3 【分析】 分两种情形当 EMAC 时， EMNEAF 当 ENAC 时， ENMEAF， 分别求解 【解答】解：当 EMAC 时，EMNEAF， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC2，B90， tanCAB， CAB30， AEM60， AEF30， AFAEtan301， 当 ENAC 时，ENMEAF， 可得 AFAEtan603， 故答案为 1 或 3 三解答题三解答题 16先化简，再求值：（） ，其中 a2cos45+（）0+tan30 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入三角函数值求出 a 的值，继而可得答 案 【解答】解：原式 ， a2cos45+（）0
24、+tan30 2+1+ +1+1 +2， 原式1+2 172019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠 状病毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴口罩； 勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包 括不了解、了解很少、基本了解和很了解） ，通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必 须且只能选择一项） ，并将调查结果绘制成如下两幅统计图 （1）本次共调查了 60 名员工，条形统计图中 m 20 ； （2）若该公可共有员工 1000 名，请你估计不了解防护措施
25、的人数； （3）在调查中，发现有 4 名员工对防护措施很了解，其中有 3 名男员工、1 名女员工若准备从他们中 随机抽取 2 名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率 【分析】 （1）用“了解很少”的人数除以其对应的百分比可得总人数，根据四种了解程度的人数之和等 于总人数可得 m 的值； （2）用总人数乘以样本中不了解防护措施的人数所占比例； （3）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“一男一女”的结果数，即可求出相应的概率 【解答】解： （1）本次调查的员工总人数为 2440%60（名） ， 条形统计图中 m60（12+24+4）20， 故答案为：60，
26、20； （2）估计不了解防护措施的人数为 1000200（名） ； （3）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 女 男 1 男 2 男 3 女 女，男 女，男 女，男 男 1 男，女 男，男 男，男 男 2 男，女 男，男 男，男 男 3 男，女 男，男 男，男 由表格可知，从 4 名学生中，随机抽取 2 名学生，共有 12 种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中 正好是 1 名男生和 1 名女生的情况有 6 种， 所以恰好抽中一男一女的概率为 18如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量 AB 的高度，小红从建筑物底端 B 出发，沿水平方向行走 了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD
27、前进，到达坡顶 D 点处，DCBC在点 D 处放置测角仪，测角仪支 架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点的仰角AEF 为 27（点 A，B，C，D 在同一平面 内） ，斜坡 CD 的坡度（或坡比）i1：2.4，求建筑物 AB 的高度 （精确到个位） （参考数据：sin270.45，cos270.89，tan270.51） 【分析】 过点 E 作 EMAB 与点 M， 根据斜坡 CD 的坡度 （或坡比） i1： 2.4 可设 DGx， 则 CG2.4x， 利用勾股定理求出 x 的值，进而可得出 CG 与 DG 的长，故可得出 EG 的长由矩形的判定定理得出四 边形 E
28、GBM 是矩形，故可得出 EMBG，BMEG，再由锐角三角函数的定义求出 AM 的长，进而可得 出结论 【解答】解：过点 E 作 EMAB 与点 M，延长 ED 交 BC 于 G， 斜坡 CD 的坡度（或坡比）i1：2.4，BCCD52 米， 设 DGx，则 CG2.4x 在 RtCDG 中， DG2+CG2DC2，即 x2+（2.4x）2522，解得 x20， DG20 米，CG48 米， EG20+0.820.8 米，BG52+48100 米 EMAB，ABBG，EGBG， 四边形 EGBM 是矩形， EMBG100 米，BMEG20.8 米 在 RtAEM 中， AEM27， AMEMt
29、an271000.5151 米， ABAM+BM51+20.872（米） 答：建筑物 AB 的高度约为 72 米 19如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，F，E 分别是 AD 及其延长线上的点，CFBE，连接 BF， CE （1）求证：四边形 BECF 是平行四边形； （2）填空： 若 AB5，则 AC 的长为 5 时，四边形 BECF 是菱形； 若 AB5，BC6 且四边形 BECF 是正方形，则 AF 的长为 1 【分析】 （1）由已知各件，据 AAS 很容易证得：BDECDF； （2）当 EFBC 时，平行四边形 BECF 为菱形，据此得出 ABAC； 根据正方形的性质得 BC
30、EF，根据 D 是 BC 中点得出 BD 与 DF 的长度，再由勾股定理求出 AD，进 而得出结果 【解答】解： （1）D 是 BC 边的中点， BDCD， CFBE， CFDBED， 在CFD 和BED 中， ， CFDBED（AAS） ， CFBE， 四边形 BFCE 是平行四边形； （2）当 AC5 时，四边形 BECF 是菱形；理由如下： AB5， ABAC， D 是 BC 边的中点， ADBC， EFBC， 四边形 BECF 为平行四边形， 四边形 BECF 是菱形 故答案为 5； 四边形 BEFC 是正方形， EFBC6，EFBC， 点 D 是 BC 的中点， BDCDDFDE3，
31、 AD， AFADDF431， 故答案为 1 20如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，m）在正比例函数 yx（x0）的图象上，反比例函数 y （x0）的图象经过点 A，点 P 是 x 轴正半轴上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，与正比例函数 yx（x 0）的图象交于点 C，点 B 是线段 CP 与反比例函数的交点，连接 AP、AB （1）求该反比例函数的表达式； （2）观察图象，请直接写出当 x0 时，x的解集； （3）若 SABP1，求 B 点坐标； （4） 点 Q 是 A 点右侧双曲线上一动点， 是否存在APQ 为以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出点 Q 坐标；若不存在
32、，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）观察图象即可求解； （3）SABPBP（xBxA）|2m|1，即可求解； （4）证明AMPPNQ（AAS） ，则 AMPN，PMQN，即 n2且 tn3，即可求解 【解答】解： （1）当 x2 时，yx3，故点 A（2，3） ， 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式得：3，解得 k6， 故反比例函数表达式为 y； （2）观察图象，请直接写出当 x0 时，x的解集为 0 x2； （3）设点 B（m，） ， 则 SABPBP（xBxA）|（m2）|1， 解得 m3 或 1.5（舍弃） ， 故点 B 的坐标为（3，2） ； （4）存在，理由
33、： 设点 Q 的坐标为（t，） ，点 P（n，0） ， APQ 为以 P 为直角顶点的等腰直角三角形，故 APQP，APQ90， 过点 A、Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N， APM+QPN90，QPN+PQN90， APMPQN， AMPPNQ90，APQP， AMPPNQ（AAS） ， AMPN，PMQN，即 n2且 tn3， 解得 t6， 故点 Q（6，1） 21我市丹尼斯超市销售一种文具，进价为 5 元/件售价为 6 元/件时，当天的销售量为 100 件在销售过 程中发现：售价每上涨 0.5 元，当天的销售量就减少 5 件设当天销售单价统一为 x 元/件（x6 且 x 为
34、整数） ，当天销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2） 若每件文具的利润不超过 80%， 要想当天获得利润最大， 每件文具售价为多少元？并求出最大利润 【分析】 （1）根据总利润单件利润销售数量可得函数解析式； （2）先根据每件文具利润不超过 80%求出 x 的取值范围，再将函数解析式配方成顶点式，继而利用二次 函数的性质求解可得答案 【解答】解： （1）由题意得 y（x5）100（x6）0.55 10 x2+210 x800， y 与 x 的函数关系式为：y10 x2+210 x800； （2）每件文具利润不超过 80%， x50.85
35、，得 x9， 文具的销售单价为 6x9， 由（1）得 y10 x2+210 x80010（x10.5）2+302.5， 对称轴为 x10.5， 6x9 在对称轴的左侧，且 y 随着 x 的增大而增大， 当 x9 时，取得最大值，此时 y10（910.5）2+302.5280， 即每件文具售价为 9 元时，最大利润为 280 元 22如图，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，且点 B 的坐标为（2，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物 线对称轴为直线 x，连接 AC，BC，点 P 是抛物线上在第二象限内的一个动点过点 P 作 x 轴的垂 线 PH，垂足为点 H，交 AC 于点
36、 Q过点 P 作 PGAC 于点 G （1）求抛物线的解析式 （2）求PQG 周长的最大值及此时点 P 的坐标 【分析】 （1）将已知点 B（2，0）代入，抛物线对称轴为直线 x，即，联立方程组， 求出 a，b，即可确定二次函数的解析式； （2）首先根据PQG 是等腰直角三角形，设 P（m，m2m+3）得到 F（m，m+3） ，进而得到 PQ m2m+3m3m2m，从而得到PQG 周长，m2m+（m2m） （+1） （m2m） ，配方后即可确定其最大值 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3 过点 B（2，0） ，对称轴为直线 x， ，解得， yx2x+3 （2）令 y0，即x2x+3
37、0， x13，x22， A（3，0） ， 令 x0，得 C（0，3） ， 直线 AC 经过 A（3，0） ，C（0，3） ，设直线 AC 的解析式为：ykx+b， 则， ， 直线 AC 的解析式为 yx+3， BAO45， PHAO，PGAB， AQHPQGQPG45， PQG 是等腰直角三角形， 设 P（m，m2m+3） ， Q（m，m+3） ， PQm2m+3m3m2m， 当 m时，PQmax，此时 P（，） ， PQG 是等腰直角三角， PQG 周长m2m+（m2m） ， （+1） （m2m） ， （+1）PQ， PFG 周长的最大值为：（+1） 23如图，两等腰直角三角形 ABC 和
38、DEF 有一条边 BC 与 EF 在同一直线上，DE4，AB2设 ECm （0m4） ，点 M 在线段 AD 上，且MEB45 （1）当 m4 时， 1 ； （2）当 m4 时，ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，求的值； （3）当 0m4 时，ABC 绕点 C 逆时针旋转度（090） ，原题中其它条件不变，求的值 （用含 m 的代数式表示） 【分析】 （1）如图，当 m4 时，C 与 F 重合设 EM 交 DF 于 N只要证明 EMAF，EMDF 即可解 决问题； （2）只要证明AEMFEB， 可得， 推出， 推出， 由此即可解决问题； （3）如图 3 中，过 B 作 BE 的垂线交直线 E
39、M 于点 G，连接 AG、BG只要证明ABGCBE，推出 AGECm，AGBCEB，推出AGMDEM，推出 AGDE，推出AGMDEM可得 ； 【解答】解： （1）如图，当 m4 时，C 与 F 重合设 EM 交 DF 于 N DFEAFB45， DFA90， MEBDFE45， ENF90， EMDF，ENFDFA， EMAF，DNNF， 1， DMAM 故答案为 1； （2）如图 2 中，连接 AE、BE ABC，DEF 均为等腰直角三角形，DE4，AB2， EF4，BC2，DEF90 DF，AC，EFB90， DF2AC，AD， 点 A 为 CD 的中点， EADF，EA 平分DEF， MAE90，AEF45，AE， BEM45， AEMFEB， AEMFEB， ， ， （3）如图 3 中，过 B 作 BE 的垂线交直线 EM 于点 G，连接 AG、BG EBG90 BEM45， EGBBEM45， BEBG ABC 为等腰直角三角形， BABC，ABC90， ABGCBE， ABGCBE， AGECm，AGBCEB， AGB+AGMCEB+DEM45， AGMDEM， AGDE， AGMDEM
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