1、第第 17 章章 勾股定理勾股定理 1下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A5，12，13 B20，30，40 C5，9，12 D3，4，6 2等腰三角形的底边长为 6，底边上的中线长为 4，它的腰长为（ ） A6 B2 C D5 3如图，在 RtABC 中，BCA90，PAB 中 AB 边上的高等于 AB 的长度，QBC 中 BC 边上的高 等于 BC 的长度，HAC 中 AC 边上的高等于 AC 的长度，且PAB，QBC 的面积分别是 10 和 8，则 ACH 的面积是（ ） A2 B4 C6 D9 4如图，四边形 ABCD 中，ABCCDA90，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直
2、角三角形，其 中 3 个三角形的面积分别为 2，5，9，则第 4 个三角形的面积为（ ） A6 B9 C11 D12 5若直角三角形中，斜边的长为 17，一条直角边长为 15，则另一条直角边长为（ ） A7 B8 C20 D65 6如图，在ABC 中，C90，AC4，点 D 在 BC 上，ADC2B，AD5，则 BC 的长为（ ） A6 B7 C10 D8 7如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A、B、 C、D 的面积分别为 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是（ ） A47 B13 C11 D8 8一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大
3、 3，另一直角边长为 9，则斜边长为（ ） A15 B12 C10 D9 9如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8cm，BC15cm，其斜边上的高为（ ） A17cm B8.5cm Ccm Dcm 10如图，平面直角坐标系中，OAB 的边 OB 落在 x 轴上，顶点 A 落在第一象限若 OAAB5，OB 8，则点 A 的坐标是（ ） A （8，5） B （4，5） C （4，3） D （3，4） 11如图，在 RtABC 中，C90，AB6，则正方形 ADEC 与正方形 BCFG 的面积之和为 12如图，在 RtABC 中，C90，AC32，BC24，AB 的垂直平分线分别交 AB、AC
4、 于点 D、E， 则 AE 的长是 13已知ABC 的三边长分别为 6、8、10，则最长边上的高为 14如图，ABC 中，C90，AD 平分BAC，AB5，AC3，则 BD 的长是 15已知直角三角形的两边长为 3 和 4，则直角三角形的面积为 16 九章算术中有一个“折竹抵地”问题： “今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？” 意思是：现有竹子高 9 尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为 3 尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC 9 尺，BC3 尺，则 AC 尺 17如图所示的网格是正方形网格，点 A、B、C、D 均在格点上，则CAB+CBA 18在 RtABC 中，斜边 BC，则
5、 AB2+AC2+BC2的值为 19如图，在四边形 ABCD 中，AD2，AB2，BC10，CD8，BAD90，那么四边形 ABCD 的面积是 20直角坐标平面内，已知点 A（1，2） ，点 B（2，6） ，那么 AB 21如图，已知ABC 中，ACB90，过点 B 作 BDAC，交ACB 的平分线 CD 于点 D，CD 交 BC 于点 E （1）求证：BCBD； （2）若 AC3，AB6，求 CD 的长 22如图，一个直径为 12cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外 2cm，当筷子倒向杯 壁时（筷子底端不动） ，筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度 23如图，已知 BABC，
6、BDBE，ABCEBD90 （1）求证：AB 平分EAC； （2）若 AD1，CD3，求 BD 24如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEBC 交 BC 于点 E，且 BE2EA2AC2 （1）求证：A90； （2）若 AC6，BD5，求AEC 的周长 25如图，在 44 正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1 （1）求ABC 的周长； （2）求证：ABC90 26如图，在ABC 中，C90，AC8，BC6，DE 是ABD 的边 AB 上的高，且 AD，BD 求：DE 的长 27 （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，C90，AB13，BC4，CD3，AD12，求证：ADBD （2
7、）如图 2，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13 米，此人以 0.5 米每秒的速度收绳，6 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结 果保留根号） 参考答案参考答案 1解：A、52+122132， 以 5，12，13 为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意； B、202+302402， 以 20，30，40 为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； C、52+92122， 以 5，9，12 为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； D、32+4262， 以 3，4，6 为边的三角形不是直角三角形，故
8、本选项不符合题意； 故选：A 2解：等腰三角形 ABC 中，ABAC，AD 是 BC 上的中线， BDCDBC3，AD 同时是 BC 上的高线， AB5 故它的腰长为 5 故选：D 3解：在 RtABC 中，BCA90， AC2+BC2AB2， AC2+BC2AB2， PAB 中 AB 边上的高等于 AB 的长度，QBC 中 BC 边上的高等于 BC 的长度，HAC 中 AC 边上的 高等于 AC 的长度，且PAB，QBC 的面积分别是 10 和 8， ACH 的面积是 1082 故选：A 4解：连接 AC， 3 个等腰直角三角形的面积分别为 2，5，9， AD2，AB2，BC26， 在 Rt
9、ABC 中，AC2， 在 RtADC 中，CD4， 则第 4 个三角形的面积为 4（42）212 故选：D 5解：根据勾股定理，知另一直角边的长度为：8 故选：B 6解：ADC2B，ADCB+BAD， BDAB， DBDA5， 在 RtADC 中， DC3， BC5+38 故选：D 7解：设中间两个正方形的边长分别为 x、y，最大正方形 E 的边长为 z，由勾股定理得： x23+58； y22+35； z2x2+y213 故最大正方形 E 的面积是 z213 故选：B 8解：设斜边长为 x，则一直角边长为 x3， 根据勾股定理得 92+（x3）2x2， 解得 x15 故选：A 9 解： 在 R
10、tABC 中， ACB90， AC8cm， BC15cm， 由勾股定理得到： AB17cm； 由ACBCCDAB 得到：CD（cm） ， 故选：D 10解：如图，过点 A 作 ADOB 于点 D， OAAB5，OB8， ODOB4 在直角OAD 中，由勾股定理得：AD3 故点 A 的坐标是（4，3） 故选：C 11解：在 RtABC 中，C90，AB6， AC2+BC2AC236， 正方形 ADEC 的面积是 AC2，正方形 BCFG 的面积是 BC2， 正方形 ADEC 与正方形 BCFG 的面积之和为：AC2+BC2， 正方形 ADEC 与正方形 BCFG 的面积之和是 36， 故答案为：
11、36 12解：连接 BE， DE 垂直平分 AB， AEBE， 设 AEBEx，则 CE32x， 在 RtBCE 中， BC2+CE2BE2， 242+（32x）2x2， 解得 x25， AE25， 故答案为：25 13解：ABC 的三边长分别为 6、8、10，62+82102， ABC 是直角三角形，斜边长为 10， 最长边上的高为：， 故答案为： 14解：过 D 作 DEAB 于 E， 在ABC 中，C90，AB5，AC3， BC4， AD 平分BAC， DEDC， ACBCACCD+ABDE，即343CD+5CD， 解得 CD1.5， BD4CD41.52.5 故答案为：2.5 15解：
12、ABC 中，C90， 分为两种情况： 当斜边 AB4，BC3 时，由勾股定理得：AC， ABC 的面积是3； 当 BC3，AC4 时，ABC 的面积是6， 所以直角三角形的面积为或 6， 故答案为：或 6 16解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（9x）尺， 根据勾股定理得：x2+32（9x）2 解得：x4， 答：折断处离地面的高度为 4 尺 故答案为：4 17解：由图可知：ADCD，AC， ADC90， ACD45， BAC+BCAACD45， 故答案为：45 18解：在 RtABC 中，斜边 BC， AB2+AC2BC25， AB2+AC2+BC25+510， 故答案为 10 19解：
13、连接 DB， 在 RtABD 中，AD2，AB2，BAD90， BD6， BC10，DC8， BC2BD2+CD2， BDC90， S四边形ABCDSABD+SDCB22+682+24 故答案为：2+24 20解：根据题意得 AB 故答案为：5 21 （1）证明：ACB90，CD 平分ACB， BCDACDACB9045， BDAC， DACD45， DBCD， BCBD； （2）解：在 RtACB 中，BC3， BD3， BCDD45， CBD90， CD3 22解：设杯子的高度是 xcm，那么筷子的高度是（x+2）cm， 杯子的直径为 12cm， 杯子半径为 6cm， x2+62（x+2）
14、2， 即 x2+36x2+4x+4， 解得：x8， 8+210（cm） 答：筷子长 10cm 23解： （1）证明：ABCEBD90， ABD+CBDABD+ABE， CBDABE， 在ABE 和CBD 中， ， ABECBD（SAS） ， EABBAC， AB 平分EAC； （2）AD1，CD3， AC4 BABC，ABC90， ABBC2，C45， 过点 B 作 BFAC 于点 F，如图： 则BCF 为等腰直角三角形， BFCF2， DFCDCF1， 在 RtBFD 中，由勾股定理得： BD BD 的长等于 24证明： （1）D 是 BC 的中点，DEBC， EBEC， BE2EA2AC2
15、， EC2EA2AC2， EC2EA2+AC2， A90； （2）D 是 BC 的中点，BD5， BC2BD10， A90，AC6， AB， EBEC， AEC 的周长AE+EC+ACAE+EB+ACAB+AC6+814 25解： （1）AB2，BC，AC5， ABC 的周长2+53+5， （2）AC225，AB220，BC25， AC2AB2+BC2， ABC90 26解：C90，AC8，BC6， AB10， AD2+BD2（2）2+（4）2100AB2， ABD 是直角三角形，ADB90， ABD 的面积ABDEADBD， DE4 27证明： （1）C90，BC4，CD3， BD5， AB13，AD12，BD5， AB2AD2+BD2， ADB 是直角三角形，ADB90， ADBD； （2）在 RtABC 中： CAB90，BC13 米，AC5 米， AB12（米） ， 此人以 0.5 米每秒的速度收绳，6 秒后船移动到点 D 的位置， CD130.5610（米） ， AB（米） ， BDABAD125（米） ， 答：船向岸边移动了（125）米
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