1、2020-2021 学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期末数学试卷学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分 ）分 ） 1方程 x2x 的解是（ ） Ax13，x23 Bx11，x20 Cx11，x21 Dx13，x21 2已知O 的半径为 4，点 P 在O 外，OP 的长可能是（ ） A2 B3 C4 D5 3在一次田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如表所示： 成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 1 1 4 3
2、 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数是（ ） A1.65 B1.70 C4 D3 4把抛物线 yx2向右平移 1 个单位所得的新抛物线的函数表达式是（ ） Ayx2+1 Byx21 Cy（x1）2 Dy（x+1）2 5如图，是由半圆和长方形拼成一个转盘，其中点 O 是半圆的圆心，半圆的直径与长方形的宽相等，直径 和过点 O 的长方形长边的平行线， 把转盘分成 4 个部分， 若任意转动指针， 指针停止的位置是等可能的， 则指针指向阴影部分的概率是（ ） A B C D因长方形的长没有告知，所以概率不确定 6如图，A、B、C 是O 上的三个点，若C35，则OAB 的度数是（ ） A35 B55 C
3、65 D70 7某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数 是 91设每个支干长出 x 个分支，则可列方程为（ ） Ax2+x+191 B （x+1）291 Cx2+x91 Dx2+191 8如图，现要在抛物线 yx（4x）上找点 P（a，b） ，针对 b 的不同取值，所找点 P 的个数，四人的说 法如下， 甲：若 b1，则点 P 的个数为 3；乙：若 b0，则点 P 的个数为 1；丙：若 b4，则点 P 的个数为 1； 丁：若 b5，则点 P 的个数为 0 其中说法正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二、填空题（本大题共二、
4、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9若抛物线 y（a1）x2开口向上，则 a 的取值范围是 10如果从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数中任意选取 1 个数，那么取到的数恰好是 3 的倍数 的概率是 11计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：S2（x13）2+（x23）2+（x103）2，则这 组数据的平均数是 12若二次函数 yx2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是 13用一个半径为 10cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计） ，则该圆锥的高为 14如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，
5、当拱顶离水面 2 米高时，水面 l 为 4 米，则当水面下降 2 米时， 水面宽度增加 米 15如图，一段抛物线：yx（x6） （0 x6） ，记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1绕 A1旋转 180得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3，过抛物线 C1，C3顶点的直 线与 C1、C2、C3围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为 16已知二次函数 yax24ax5（1a） ，当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 个 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 10 小题，共小题，共 102 分解答时写出必要的文字说明、证明
6、过程或演算步骤）分解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17解下列方程： （1）2x2+6x+30； （2） （x+2）23（x+2） 18已知 x2 时，二次三项式 x22mx+4 的值等于 4 （1）x 为何值时，这个二次三项式的值为 3； （2）是否存在 x 的值，使得这个二次三项式的值为1？说明理由 19已知二次函数 yx26x+5 （1）在如图所示的网格中画出这个二次函数的图象； （2）当 x 满足 时，y 随的增大而减小； （3）当 0 x6 时，函数 y 的取值范围是 ； （4）当 y0 时，自变量 x 的取值范围是 20近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此
7、进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有： A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查 统计，得到两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了 名购买者； （2）在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为 度； （3）若该超市这一周内有 1600 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名？ 21某校合唱团为了开展线上“同唱一首赞歌”活动，需招收新成员，小东、小海、小富、小美四名同学 报名参加了应聘活动，其中小东、小海来自八年级，小富、小美来自九年级，现对这四名同学采取随机
8、抽取的方式进行线上面试 （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小东同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率 22在下列正方形网格中，点 A 是O 上一点（点 A 和圆心 O 均为格点） （1）在图中不过点 A 画O 的 3 条弦（要求弦的端点均为格点） ，使这 3 条弦与O 组成的图形是轴 对称图形，但不是中心对称图形； （2）在图中不过点 A 画O 的 3 条弦（要求弦的端点均为格点） ，使这 3 条弦与O 组成的图形是中 心对称图形，但不是轴对称图形； （3）在图中不过点 A 画O 的 5 条弦（要求弦的端点均为格点） ，使这 5 条弦与O
9、组成的图形既是 中心对称图形，又是轴对称图形 23如图，在 RtOAB 中，AOB90，以 O 为圆心，以 OA 的长为半径作O，交 AB 于点 D，交 OB 于点 E，过点 B 和点 O 分别作 OA、AB 的平行线，交于点 C，连接 CD （1）若OAB60，OA2，求阴影部分的面积； （2）试判断 CD 与O 的位置关系，并说明理由 24某超市销售一种时尚玩具，进价为每件 10 元，售价为每件 12 元时，当天的销售量为 200 件，在销售 过程中发现：售价每上涨 0.5 元，当天的销售量就减少 10 件设当天销售单价统一为每件 x 元（x12， 且是按着 0.5 元的倍数上涨） ，当天
10、销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）若当天销售利润为 640 元，求当天的销售单价； （3）若每件玩具的利润不超过 80%，要想当天获得利润最大，每件玩具的售价应为多少元？并求出最大 利润 25如图 1，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（6，0） （1）求抛物线的函数关系式 （2）如图 1，点 C 是抛物线在第四象限内图象上的一点，过点 C 作 CPy 轴，P 为垂足，求 CP+OP 的 最大值； （3）如图 2，设抛物线的顶点为点 D，点 N 的坐标为（2，16） ，问在抛物线的对称轴上是否存在点 M，
11、使线段 MN 绕点 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，且点 N恰好落在抛物线上？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 26思考发现： （1） 如图 1， 点 A 和点 B 均在O 上， 且AOB60， 点 P 和点 Q 均在射线 AM 上， 若APB30， 则点 P 与O 的位置关系是 ；若AQB30，则点 Q 与O 的位置关系是 问题解决： 如图 2，四边形 ABCD 中，BD90，DAB135，且 AB2，AD4 （2）若点 P 是 BC 边上任意一点，且APD45，求 BP 的长； （3）如图 3，以 B 为圆心，BC 为半径作弧，交 BA 的延长线于点 E，若点 Q 为弧
12、 EC 上的动点，过点 Q 作 QHBC 于点 H，设点 I 为BQH 的内心，连接 BI，QI，当点 Q 从点 C 运动到点 E 时，则内心 I 所 经过的路径长为 （直接填空） 2020-2021 学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期末数学试卷学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1方程 x2x 的解是（ ） Ax13，x23 Bx11，x20 Cx11，x21 Dx13，x21 【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方 程来求解 【解答】
13、解：方程变形得：x2x0， 分解因式得：x（x1）0， 可得 x0 或 x10， 解得：x11，x20 故选：B 2已知O 的半径为 4，点 P 在O 外，OP 的长可能是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据题意可以求得 OP 的取值范围，从而可以解答本题 【解答】解：O 的半径为 4，点 P 在O 外， OP4， 故选：D 3在一次田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如表所示： 成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 1 1 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数是（ ） A1.65 B1.70 C4 D3 【分析
14、】根据表格中的数据和中位数的定义，可以得到这些运动员跳高成绩的中位数，本题得以解决 【解答】解：由表格中的数据可知，成绩按照从小到大排列的第 8 个数据是 1.70， 故这些运动员跳高成绩的中位数是 1.70， 故选：B 4把抛物线 yx2向右平移 1 个单位所得的新抛物线的函数表达式是（ ） Ayx2+1 Byx21 Cy（x1）2 Dy（x+1）2 【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减得出答案即可 【解答】解：把抛物线 yx2向右平移 1 个单位所得的新抛物线的函数表达式是：y（x1）2 故选：C 5如图，是由半圆和长方形拼成一个转盘，其中点 O 是半圆的圆心，半圆的直径与长方形的
15、宽相等，直径 和过点 O 的长方形长边的平行线， 把转盘分成 4 个部分， 若任意转动指针， 指针停止的位置是等可能的， 则指针指向阴影部分的概率是（ ） A B C D因长方形的长没有告知，所以概率不确定 【分析】根据圆周角等于 360，结合几何概率的计算公式即可求解 【解答】解：任意转动指针，指针停止的位置是等可能的， 指针指向阴影部分的概率是 故选：A 6如图，A、B、C 是O 上的三个点，若C35，则OAB 的度数是（ ） A35 B55 C65 D70 【分析】先根据圆周角定理求出AOB 的度数，再由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结 论 【解答】解：AOB 与C 是同弧所
16、对的圆心角与圆周角， AOB2C23570， OAOB， OABOBA55 故选：B 7某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数 是 91设每个支干长出 x 个分支，则可列方程为（ ） Ax2+x+191 B （x+1）291 Cx2+x91 Dx2+191 【分析】由题意设每个支干长出 x 个小分支，因为主干长出 x 个（同样数目）支干，则又长出 x2个小分 支，则共有 x2+x+1 个分支，即可列方程 【解答】解：设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意列方程得：x2+x+191 故选：A 8如图，现要在抛物线 yx（4x）上找点 P（a，
17、b） ，针对 b 的不同取值，所找点 P 的个数，四人的说 法如下， 甲：若 b1，则点 P 的个数为 3；乙：若 b0，则点 P 的个数为 1；丙：若 b4，则点 P 的个数为 1； 丁：若 b5，则点 P 的个数为 0 其中说法正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】把 P 点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式逐个判断即可 【解答】解：甲：当 b1 时， （4a）1， 整理得：a24a10， （4）241（1）200， 方程有两个不相等的实数根， 即此时点 P 的个数为 2，故甲的说法错误； 乙：当 b0 时，a（4a）0， 解得：a0 或 4， 即此时点 P
18、 的个数为 2，故乙的说法错误； 丙：当 b4 时，a（4a）4， 整理得：a24a+40， （4）24140， 方程有两个相等的实数根， 即此时点 P 的个数为 1，故丙的说法正确； 丁：当 b5 时，a（4a）5， 整理得：a24a+50， （4）241540， 方程没有实数根， 即此时点 P 的个数为 0，故丁的说法正确； 所以正确的个数是 2 个， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9若抛物线 y（a1）x2开口向上，则 a 的取值范围是 a1 【分析】利用二次函数图象与系数的关系得到 a10，然后解不等式即可 【解答】解：抛物线 y（a1）x2开口向上， a10，
19、 a1， 即 a 的取值范围是 a1 故答案为 a1 10如果从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数中任意选取 1 个数，那么取到的数恰好是 3 的倍数 的概率是 【分析】直接利用概率公式计算得出答案 【解答】解：从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数中任意选取 1 个数，取到的数恰好是 3 的倍数有 3，6，9， 取到的数恰好是 3 的倍数的概率是： 故答案为： 11计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：S2（x13）2+（x23）2+（x103）2，则这 组数据的平均数是 3 【分析】根据方差的计算公式即可得出答案 【解答】解：S2（x13）2
20、+（x23）2+（x103）2， 这组数据的平均数是 3， 故答案为：3 12若二次函数 yx2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是 k1 【分析】根据二次函数 yx2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点，可知判别式0，列出不等式并解之 即可求出 k 的取值范围 【解答】解：二次函数 yx2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点， 44（1） k0， 解得：k1， 故答案为：k1 13用一个半径为 10cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计） ，则该圆锥的高为 5cm 【分析】易得圆锥的母线长为 10cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以
21、 2 即为圆锥的底面半径，进而利用勾股定理即可求得圆锥的高 【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为 210210（cm） ， 圆锥的底面半径为 1025（cm） ， 圆锥的高为：5（cm） 故答案是：5cm 14如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面 2 米高时，水面 l 为 4 米，则当水面下降 2 米时， 水面宽度增加 （44） 米 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意 计算可得结果 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示： 则抛物线顶点 C 的坐标为（0，2） ， 设抛物线的解析式为 yax2+2， 将 A 点坐标（2，0）代入
22、，可得：04a+2， 解得：a， 故抛物线的解析式为 yx2+2， 当水面下降 2 米，即当 y2 时，求对应的抛物线上两点之间的距离， 也就是直线 y2 与抛物线相交的两点之间的距离， 将 y2 代入抛物线解析式得出：2x2+2， 解得：x2， 所以水面宽度为 4米， 故水面宽度增加了（44）米， 故答案为：44 15如图，一段抛物线：yx（x6） （0 x6） ，记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1绕 A1旋转 180得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3，过抛物线 C1，C3顶点的直 线与 C1、C2、C3围成的如图中的
23、阴影部分，那么该阴影部分的面积为 108 【分析】根据题意和函数解析式，可以求得 yx（x6）与 x 轴的交点坐标、顶点坐标，再根据图形 可知阴影部分的面积等于矩形 C1DEC3的面积，然后计算即可 【解答】解：yx（x6）（x3）2+9， 点 O 的坐标为（0，0） ，点 A1的坐标为（6，0） ，顶点坐标为（3，9） ， 由已知可得，阴影部分的面积等于矩形 C1DEC3的面积， 矩形 C1DEC3的面积是： （62）9129108， 阴影部分的面积是 108， 故答案为：108 16已知二次函数 yax24ax5（1a） ，当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 3 个 【分析】 由二次函
24、数的性质根据题意得到3a5y5， 因为 1a， 即可得到 y 的值为8， 7， 6 共 3 个 【解答】解：yax24ax5， 抛物线对称轴为直线 x2， 1a， 开口向上， 23x4， 对应的 y：3a5y5， 1a， y 的值为8，7，6， 故答案为 3 三解答题三解答题 17解下列方程： （1）2x2+6x+30； （2） （x+2）23（x+2） 【分析】 （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）2x2+6x+30， 2x2+6x3， 则 x2+3x， x2+3x+，即（x+）2， 则 x+， x1，x2； （2）（x+2）23（x+2）0， （x
25、+2） （x1）0， 则 x+20 或 x10， 解得 x12，x21 18已知 x2 时，二次三项式 x22mx+4 的值等于 4 （1）x 为何值时，这个二次三项式的值为 3； （2）是否存在 x 的值，使得这个二次三项式的值为1？说明理由 【分析】 （1）令代数式的值为 4，求出 m 的值，进而求出所求； （2）令二次三项式为1，利用根的判别式判断即可 【解答】解： （1）当 x2 时，x22mx+44，即 44m+44， 解得：m1，即二次三项式为 x22x+4， 令 x22x+43， 解得：x1x21； （2）不存在，理由为： 令 x22x+41，即 x22x+50， b24ac42
26、0160， 方程无解， 则不存在 x 的值，使得这个二次三项式的值为1 19已知二次函数 yx26x+5 （1）在如图所示的网格中画出这个二次函数的图象； （2）当 x 满足 x3 时，y 随的增大而减小； （3）当 0 x6 时，函数 y 的取值范围是 4y5 ； （4）当 y0 时，自变量 x 的取值范围是 x1 或 x5 【分析】 （1）根据题目中的函数解析式，可以画出相应的函数图象； （2）根据函数图象，可以写出 y 随的增大而减小时 x 的取值范围； （3）根据函数图象，可以写出当 0 x6 时，函数 y 的取值范围； （4）根据函数图象，可以写出当 y0 时，自变量 x 的取值范围
27、 【解答】解： （1）yx26x+5（x3）24（x1） （x5） ， 该函数的顶点坐标为（3，4） ，与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （5，0） ，过点（0，5） 、 （6，5） ， 函数图象如右图所示； （2）由图象可得， 当 x3 时，y 随 x 的增大而减小， 故答案为：x3； （3）由图象可得， 当 0 x6 时，函数 y 的取值范围是4y5， 故答案为：4y5； （4）由图象可得， 当 y0 时，自变量 x 的取值范围是 x1 或 x5， 故答案为：x1 或 x5 20近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有： A 微信、B 支
28、付宝、C 现金、D 其他该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查 统计，得到两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了 200 名购买者； （2）在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为 108 度； （3）若该超市这一周内有 1600 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名？ 【分析】 （1）根据 B 的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数； （2）先根据统计图中的数据可以求得选择 A 和 D 的人数，再由 A 种支付方式所对应的圆心角的度数 360所占比例可得答案； （3）利用样本估计总体
29、的方法可得计算出使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名 【解答】解： （1）本次调查购买者人数为：5628%200（人） ， 故答案为：200； （2）D 方式支付的有：20020%40（人） ， A 方式支付的有：20056444060（人） ， 所以在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为：360108， 故答案为：108； （3）1600928（名） ， 答：使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有 928 名 21某校合唱团为了开展线上“同唱一首赞歌”活动，需招收新成员，小东、小海、小富、小美四名同学 报名参加了应聘活动，其中小东、小海来自八年级，小富、小美来自九年级
30、，现对这四名同学采取随机 抽取的方式进行线上面试 （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小东同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可得出 答案 【解答】解： （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小东同学的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 总共有 12 种可能结果，其中两名均来自九年级的结果有 2 种， 所以 22在下列正方形网格中，点 A 是O 上一点（点 A 和圆心 O 均为格点） （1）在图中不过点
31、A 画O 的 3 条弦（要求弦的端点均为格点） ，使这 3 条弦与O 组成的图形是轴 对称图形，但不是中心对称图形； （2）在图中不过点 A 画O 的 3 条弦（要求弦的端点均为格点） ，使这 3 条弦与O 组成的图形是中 心对称图形，但不是轴对称图形； （3）在图中不过点 A 画O 的 5 条弦（要求弦的端点均为格点） ，使这 5 条弦与O 组成的图形既是 中心对称图形，又是轴对称图形 【分析】 （1）利用轴对称图形的意义得出答案即可； （2）利用中心对称图形的意义得出答案即可； （3）利用轴对称图形的意义及中心对称图形的意义得出答案即可 【解答】解： （1）如图 1 是轴对称图形，但不是中
32、心对称图形；答案不唯一 （2）如图 2 是中心对称图形，但不是轴对称图形；答案不唯一 （3）如图 3 既是中心对称图形，又是轴对称图形；答案不唯一 23如图，在 RtOAB 中，AOB90，以 O 为圆心，以 OA 的长为半径作O，交 AB 于点 D，交 OB 于点 E，过点 B 和点 O 分别作 OA、AB 的平行线，交于点 C，连接 CD （1）若OAB60，OA2，求阴影部分的面积； （2）试判断 CD 与O 的位置关系，并说明理由 【分析】 （1）连接 OD，由已知条件求得 OB2，进而求出 SOAB2，根据等腰三角形的判定定 理和等边三角形的判定定理证得 DBDODA，可得 SODB
33、SOAB，由扇形的面积公式求得 S 扇形ODE，根据阴影部分面积为 SODBS扇形ODE即可求得结论； （2） 由已知得到四边形 OABC 是平行四边形， 且COBABO， 根据平行四边形的性质得到 ABOC， 根据三角形的外角定理和角的和差得到ACOD，根据全等三角形的判定证得ABOOCD，根 据全等三角形的性质得到ODCAOB90，由圆的切线的判定定理即可证得结论 【解答】解： （1）在 RtOAB 中，连接 OD， AOB90，OAB60，OA2， AB4，ABO30， OB2， SOAB222， OAOD， OAD 是等边三角形， AOD60，DODA， DOE30， ABODOE，
34、DBDODA， SODBSOAB， S扇形ODE， 阴影部分面积为 SODBS扇形ODE； （2）CD 与O 相切 理由如下： ABOC，AOBC， 四边形 OABC 是平行四边形，且COBABO， ABOC， ADOABO+BOD，CODCOB+BOD， ADOCOD， OAOD， AADO， ACOD， 在ABO 和OCD 中， ， ABOOCD（SAS） ， ODCAOB90， 又OD 是O 的半径， CD 是O 的切线 24某超市销售一种时尚玩具，进价为每件 10 元，售价为每件 12 元时，当天的销售量为 200 件，在销售 过程中发现：售价每上涨 0.5 元，当天的销售量就减少 1
35、0 件设当天销售单价统一为每件 x 元（x12， 且是按着 0.5 元的倍数上涨） ，当天销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）若当天销售利润为 640 元，求当天的销售单价； （3）若每件玩具的利润不超过 80%，要想当天获得利润最大，每件玩具的售价应为多少元？并求出最大 利润 【分析】 （1）根据总利润单件利润总销量，化简即可得到解析式； （2）根据（1）中的式子，令 y640，求出相应的 x； （3）根据利润的范围以及二次函数解析式求解即可 【解答】解： （1）由题意得：y（x10）200（x12）0.5 20 x2+640 x4
36、400， 故答案为：y 与 x 的函数关系式为：y20 x2+640 x4400； （2）由题意得：20 x2+640 x4400640 解 得：x114，x218， 答：当天的销售单价为 14 元或 18 元 （3）每件利润不超过 80%， x101080%，得 x18， 文具的售价为：12x18， y20 x2+640 x440020（x16）2+720， 当 x16 时，y 有最大值 720 元， 所以当 x16 时，y 有最大值 720 元 答：当每件售价为 16 元时，当天利润最大 25如图 1，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（6，0） （1）求抛物线
37、的函数关系式 （2）如图 1，点 C 是抛物线在第四象限内图象上的一点，过点 C 作 CPy 轴，P 为垂足，求 CP+OP 的 最大值； （3）如图 2，设抛物线的顶点为点 D，点 N 的坐标为（2，16） ，问在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使线段 MN 绕点 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，且点 N恰好落在抛物线上？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）把 AB 两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组可得结论 （2）设点 C 坐标为（a，a24a12） ，根据二次函数，利用二次函数的性质求解即可 （3）分两种情形：如图 21 中，当点 M 在 D 点下方时
38、，当点 M 在 D 点上方时，如图 22 中，分别 求出点 N的坐标，利用待定系数法求解即可 【解答】解： （1）由题意得， 解得， 所以函数关系式为 yx24x12 （2）设点 C 坐标为（a，a24a12） ， 则， 10， 当 a时，CP+OP 有最大值，最大值为 （3）如图 21 中，当点 M 在 D 点下方时， 根据抛物线函数关系式可知 D（2，16） ， 过点 M 作 x 轴平行线，分别过点 N、N，向所画直线作垂线，分别交于 E、F，可得ENMFMN， 设点 M（2，m） ，EMFN4，ENDMMF16m，则 N坐标为（14m，4+m） ， 代入抛物线函数关系式解得 4+m（14
39、m）24（14m）12， 解得：（舍去） ， 当点 M 在 D 点上方时，如图 22 中，同法可得，（舍去） ， 综上可知或 26思考发现： （1） 如图 1， 点 A 和点 B 均在O 上， 且AOB60， 点 P 和点 Q 均在射线 AM 上， 若APB30， 则点 P 与O 的位置关系是 在圆上 ；若AQB30，则点 Q 与O 的位置关系是 在圆内 问题解决： 如图 2，四边形 ABCD 中，BD90，DAB135，且 AB2，AD4 （2）若点 P 是 BC 边上任意一点，且APD45，求 BP 的长； （3）如图 3，以 B 为圆心，BC 为半径作弧，交 BA 的延长线于点 E，若点
40、 Q 为弧 EC 上的动点，过点 Q 作 QHBC 于点 H，设点 I 为BQH 的内心，连接 BI，QI，当点 Q 从点 C 运动到点 E 时，则内心 I 所 经过的路径长为 （直接填空） 【分析】 （1）根据点 Y2 圆的位置关系判断即可 （2）过点 D 作 DE 垂直于 BC 交于点 E，过点 A 作 AF 垂直于 DE以点 F 为圆心，DF 为半径作圆，交 BC 于点 P，连接 AP，PD，则APDAFD45，分两种情形分别求解即可 （3）如图 3 中，连接 IC，以 BC 为斜边，向下作等腰直角三角形BCT，证明BICBIQ135， 推出点 I 在BCT 的外接圆上运动，利用弧长公式
41、求解即可 【解答】解： （1）如图 1 中， APB30，AOB60， APBAOB， 点 P 在O 上， 当AQB30，时 点 Q 在O 内部， 故答案为：在圆上，在圆内 （2）过点 D 作 DE 垂直于 BC 交于点 E，过点 A 作 AF 垂直于 DE AFEFEBB90， 四边形 ABEF 是矩形， BAF90， BAD135， DAF1359045， AFD90， FADFDA45， FAFD， 以点 F 为圆心，DF 为半径作圆，交 BC 于点 P，连接 AP，PD，则APDAFD45， 当点 P 在 E 点右侧时，DAF45，ABFE2， FPFA4， EP2，即 当点 P 在 E 点左侧时， （3）如图 3 中，连接 IC，以 BC 为斜边，向下作等腰直角三角形BCT， BQBC，QBICBI，BIBI， BIQBIC， I 是BHQ 的内心，BHQ90， BIQ18090135， BICBIQ135， 点 I 在BCT 的外接圆上运动， 由（2）可知 BCBE+EC4+610， BTTC105， 点 I 的运动路径的长 故答案为：
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