1、中考复习四边形综合型解答题专题提升训练中考复习四边形综合型解答题专题提升训练 1如图，正方形 ABCD 中，AB3，动点 P 在 CD 上（不与点 C、D 重合） ，连接 BP，AEBP 于点 E，将 线段 AE 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AF连接 EF 交 AB 于点 Q （1）求证：FABBPC； （2）当 CP1 时，求 EF 的长； （3）当AFQ 是等腰三角形时，求 CP 的长 2 【问题解决】 数学课上，老师提出这样一个问题：如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，PA1，PB2，PC3，求： （1）APB 的度数； （2）线段 PD 的长 发现： 如图 1 （1）
2、， 将APB 绕点 B 顺时针旋转 90， 得到CPB， 连接 PP， 进而求得APB135 如图 1（2） ，将APB 绕点 A 逆时针旋转 90，得到APD，由（1）得APD135，连接 PP 和 PD，进而求得 PD （直接写出答案） 类比探究：如图 2，点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA3，PB1，PC，求APB 的度数（写出 完整的解答过程） 类比应用：如图 2，点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA3，PB1，PC，则线段 PD （直 接写出答案） 3如图 1，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，点 E 在 BC 边上（点 E 不和 BC 的端点重
3、 合） ，且 BEBC，连接 AE 交 OB 于点 F，过点 B 作 AE 的垂线 BG 交 OC 于点 G，连接 GE （1）求证：OFOG； （2）用含 n 的代数式表示 tanOBG 的值； （3）如图 2，当GEC90时，求 n 的值 4在ABCD 中，对角线 AC 平分BAD （1）如图 1，求证：四边形 ABCD 为菱形； （2）如图 2，点 E、F 分别在 AB、DA 的延长线上，连接 CE、CF，CF 交 AB 于点 G，当ABCECF 60时，求证：AFBE； （3）如图 3，在（2）的条件下，若 AB6，AF2，求 CE 的长 5已知 ABCD，ABCD，AD （1）如图
4、1，求证：四边形 ABCD 为矩形 （2）如图 2，E 是 AB 边的中点，F 为 AD 边上的一点，DFC2BCE，求证：AF+BCCF （3）如图 3，在（2）的条件下，若 CE4，CF5，求 AF 的长 6如图，四边形 ABCD 中，ABC+ADC180 （1）如图 1，求证：BAD+BCD180； （2）如图 2，当 DADC 时，求证：BD 平分ABC； （3）如图 3，在（2）的条件下，BE3BF，BF1，DE 是ADB 的中线，CFAE，DGAB，求 AG 的长度 7已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上 （1）若 BEDF， 求证：BAED
5、AF； 联结 AC 交 EF 于点 O，过点 F 作 FMAE，交 AC 的延长线于 M，联结 EM，求证：四边形 AEMF 是 菱形 （2）联结 BD，交 AE、AF 于点 P、Q若EAF45，AB1，设 BPx，DQy，求 y 关于 x 的函 数关系及定义域 8 在正方形 ABCD 中， 连接 AC， 点 E 在线段 AD 上， 连接 BE 交 AC 于 M， 过点 M 作 FMBE 交 CD 于 F （1）如图，求证：ABE+CMFACD； （2）如图，求证：BMMF； （3）如图，连接 BF，若点 E 为 AD 的中点，AB6，求 BF 的长 9 （1）如图 1，在正方形 ABCD 中
6、，点 E、F 分别是 BC、CD 边上的动点，且EAF45，求证：EF DF+BE （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，如果点 E、F 分别是 CB、DC 延长线上的动点，且EAF45，则 EF、BE、DF 之间数量关系是什么？请写出证明过程 （3）如图 1，若正方形 ABCD 的边长为 6，AE3，求 AF 的长 10已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，且ECF45，直线 CE 与直线 AD 交于点 H，直线 CF 交直线 AB 于点 G，连接 EF，GH （1）如图 1，当 DFBE 时，求证：FC 平分DFE； （2）如图 2，将图 1 中的GC
7、H 绕点 C 逆时针旋转，其他条件不变， （1）的结论是否成立？说明理由； （3）当CGH 是等腰三角形时，直接写出 AG 的长 11如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，AF 与 DE 相交于点 M，且BAFADE （1）如图 1，求证：AFDE； （2）如图 2，AC 与 BD 相交于点 O，AC 交 DE 于点 G，BD 交 AF 于点 H，连接 GH，试探究直线 GH 与 AB 的位置关系，并说明理由； （3）在（1） （2）的基础上，若 AF 平分BAC，且BDE 的面积为 4+2，求正方形 ABCD 的面积 12如图，在菱形 ABCD 中，ABC120
8、，AB4，E 为对角线 AC 上的动点（点 E 不与 A，C 重合） ， 连接 BE，将射线 EB 绕点 E 逆时针旋转 120后交射线 AD 于点 F （1）如图 1，当 AEAF 时，求AEB 的度数； （2）如图 2，分别过点 B，F 作 EF，BE 的平行线，且两直线相交于点 G i）试探究四边形 BGFE 的形状，并求出四边形 BGFE 的周长的最小值； ii）连接 AG，设 CEx，AGy，请直接写出 y 与 x 之间满足的关系式，不必写出求解过 程 13如图，在菱形 ABCD 中，ABC60，连接 AC，动点 P 从 A 点出发沿射线 AB 方向运动，同时动点 Q 从 B 点出发
9、以与 P 点相同的速度沿射线 BC 方向运动，连接 AQ，CP，直线 AQ 与直线 CP 交于点 H （1）如图 1，当 P，Q 两点分别在线段 AB 和线段 BC 上时，直接写出CHQ 的度数； （2）如图 2，当 P，Q 两点分别运动到线段 AB 和线段 BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成 立：若成立请说明理由，若不成立，请求出CHQ 的度数； （3）如图 3，在（2）问的前提下，连接 DH，过点 D 作 DEPH 交 PH 延长线于点 E求证：AHCE DH 14点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 的同侧作正方形 ACDE 和 BCFG，连接
10、AF、 BD （1）如图，AF 与 BD 的数量关系和位置关系分别为 ； （2）将正方形 BCFG 绕着点 C 顺时针旋转 角（0360） ， 如图，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由 若 AC4，BC2，当正方形 BCFG 绕着点 C 顺时针旋转到点 A、B、F 三点共线时，求 DB 的长 度 15如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，点 F 是 AE 的中点 （1）如图，若点 G，H 分别是 ED，BC 的中点； 判断 FG 和 HC 之间的关系，并说明理由； 求证：DEHFHE； （2）如图，若 CEAC，连接 BF，DF求证：BFDF 16如图，在矩形 ABC
11、D 中，AD2AB8，点 E 是边 AD 的中点连结 EC，P、Q 分别是射线 AD、EC 上 的动点，且 EQAP连结 BP，PQ过点 B，Q 分别作 PQ，BP 的平行线交于点 F （1）当点 P 在线段 AE 上（不包含端点）时， 求证：四边形 BFQP 是正方形 若 BC 将四边形 BFQP 的面积分为 1：3 两部分，求 AP 的长 （2）如图 2，连结 PF，若点 C 在对角线 PF 上，求BFC 的面积（直接写出答案） 17如图 1，正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在平行线 l1、l2上，由 B、D 向 l1作垂线，垂足分别为 M、N （1）求证：AMDN； （2）如图 2
12、，正方形 AEFG 的顶点 E 在直线 l2上，过点 F、C 分别作 l2的垂线段 FP、CQ，求证：FP+CQ DE； （3）如图 3，正方形 AEFG 的顶点 A、G 在直线 l1上，顶点 E、F 在直线 l2上，连接 BG 并延长交 l2于 点 R，若BRD30，AE，求 AB 18 在矩形 ABCD 中， AB3， AD4， 将该矩形绕点 A 顺时针旋转 （0360） ， 得到矩形 AMNK （1）如图，当点 M 在 BD 上时，连接 DN求证：DMNMDA； （2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻使得 KAKD？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理 由； （3）当 90时，求
13、边 CD 扫过部分的面积 19如图，在矩形 ABCD 中，AB8，点 E 是边 CD 的中点，AE 和 BC 的延长线交于点 F，点 G 是边 BC 上的一点，且满足 BGBCa，连接 AG，DG且 DG 与 AE 交于点 O （1）若 a1，求AOG 的面积 （2）当AOG 是直角三角形时，求所有满足要求的 a 值 （3）记 SDOEx，SAOGy 求 y 关于 x 的函数关系式 当AGODEA 时，求 tanDAE 的值 参考答案参考答案 1 （1）证明：AEBP， AEP90， EAF90， EAFAEP， AFBP， FABABC， 四边形 ABCD 是正方形， ABCD， BPCAB
14、P， FABBPC （2）解：延长 AE 交 BC 于 J ABJCAEB90， BAJ+ABE90，ABE+CBP90， BAJCBP， ABBC， ABJBCP（ASA） ， BJPC1， AJ， BAEBAJ，AEBABJ90， AEBABJ，可得 AB2AEAJ， AE， EFAE， EF （3）解：F45，AQFAEF，即AQF45， 有两种情形： 如图 31 中，当 AQQE 时，此时点 P 与 D 重合，此种情形不符合题意， 如图 32 中，当 AEEQ 时， EAEQ，E45， EABEQA67.5， BPCEAB67.5， BCP90， CBP22.5， 在 BC 上取一点
15、J，使得 BJPJ，连接 PJ BJPJ， JBPJPB22.5， PJCJBP+JPB45， PCCJ，设 PCCJm，则 BJPJm， 则有m+m3， 解得 m33， 综上所述，PC 的长为 33 2解：发现：将APB 绕点 A 逆时针旋转 90，得到APD， APAP1，APD135，PDPB2，PAP90， APP45APP， PPD90，PPAP， PD， 故答案为：； 类比探究：如图 2，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP， ABPCBP， PBP90，BPBP1，APCP， 在 RtPBP中，BPBP1， BPP45，根据勾股定理得，PPBP， AP3，
16、 AP2+PP29+211， AP2（）211， AP2+PP2AP2， APP是直角三角形，且APP90， APBAPPBPP904545； 类比应用：如图 21，将ABP 绕点 A 逆时针旋转 90，得到ADF， ABPADF，PAF90， APAF3，PBDF1，APBAFD45， PFAP3，AFP45， PFDAFD+AFP90， PD， 故答案为： 3 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， OAOBOCOD，AOBO， AOFBOG， AEBG， OAF+AGB90，AGB+OBG90， OAFOBG， RtAOFRtBOG（ASA） ， OFOG； （2）如图，连接 FG，
17、OFOG，ACBD， OGF45OCB， FGBCAD， ， BEBCAD， AGnGC， 设 GCk，则 AGnk，AC（n+1）k， OBOCAC， OGOCGC， tanOBG； （3）如图，当GEC90时， GCE45， GEC 是等腰直角三角形， GCEC， tanOBG， OGOBOC， GCOCOGOCBC， 又BEBC， ECBCBEBC， BCBC， 即：n2n10， 解得：或（舍去） ， 4解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DACACB， AC 平分BAD， BACDAC， ACBBAC， ABBC， 四边形 ABCD 是菱形； （2）菱形 ABCD
18、 中，ABBC，ABC60， ABC 是等边三角形， ACBC， EBCFAC120， ECF60， ECB+BCF60，ACF+BCF60， ECBACF， 在AFC 和BEC 中， ， FACEBC（ASA） ， AFBE； （3）如图 3 所示，过点 C 作 CHAD 于 H，则CHD90，D60， DHCD3，CH3，FHAF+AH5， 在 RtFHC 中，FH2+HC2FC2， 即 52+（3）2FC2， 解得 FC2， 又FACEBC， CECF2 5解： （1）ABCD，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， A+D180， 又AD， A90， 四边形 ABCD
19、 是矩形； （2）如图 1，延长 DA、CE，交于点 G， 四边形 ABCD 是矩形， DABB90， ADBC， GAE90，GBCE， E 是 AB 的中点， AEBE， AGEBCE（AAS） ， AGBC， ADBC， DFCBCF， DFC2BCE， BCEFCEG， CFFGAF+AG，即 CFAF+BC； （3）如图 2，延长 DA、CE，交于点 H， AHBC，CFFH，HECE4，AHAD， CH8， AF+BCAF+AHFHCF5， 设 DFx， 在 RtCDF 和 RtCDH 中， 由勾股定理得，CD2CF2DF2CH2DH2，即 52x282（5+x）2， 解得 x1.
20、4， DH6.4， ADDH3.2， AFADDF1.8 6解： （1）ABC+ADC180， BAD+BCD（42）180ABCADC 360（ABC+ADC）180； （2）如图 2，作 DMAB 于 M，作 DNBC 于 N， DMADNC90， BAD+BCD180，BCD+DCN180， ADCN， 在ADM 和CDN 中， ， ADMCDN（AAS） ， DMDN， DMAB，DNBC， BD 平分ABC； （3）如图 3，作 DNBC 于 N， BE3BF，BF1， BE3， DE 是ADB 的中线， AEBE3， CFAE3， BAD+BCD180，BCD+DCN180， BA
21、DDCN， DGAB， DNBAGD90， 在AGD 和DCN 中， ， AGDCND（AAS） ， AGCN， 在 RtBGD 和 RtBND 中， ， RtBGDRtBND（HL） ， BGBN， ABAGBC+CN， BE+AEAGBF+BC+CN， 6AG4+AG， AG1 7 （1）证明：如图 1 中，四边形 ABCD 是正方形， BD90，ABAD， BEDF， ABEADF（SAS） ， BAEDAF 证明：如图 1 中，四边形 ABCD 是正方形， BACDAC45， BAEDAF， EAOFAO， BAEDAF， AEAF， ACEF，OEOF， FMAE， OFMOEA，
22、FOMEOA， FOMEOA（ASA） ， AEFM， FMAE， 四边形 AEMF 是平行四边形， AEAF， 四边形 AEMF 是菱形 （2）解：如图 2 中，将ADQ 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABT，连接 PT ADQABT， AQAT，ADQABT45，DAQBAT， ABD45， TBP90， EAF45，BAD90， DAQ+BAPBAT+BAP45， PATPAQ45， PAPA，ATAQ， APQAPT（SAS） ， PQPT， ABAD1，BAD90， BD， PQPTxy， 在 RtTBP 中，PT2BT2+PB2， （xy）2x2+y2， y（0 x） 8 （1）证
23、明：如图中， 在正方形 ABCD 中，BAD90，ADCD， DACACD， 在 RtABE 中，AEB90ABE， FMBE， BMF90， CMF+CMB90， CMB90CMF， AMECMB90CMF， 在AME 中，EAM+AME+AEM180， EAM+（90CMF）+（90ABE）180， ABE+CMFEAM， ABE+CMFACD （2）证明：如图中，作 MHBC 交 CD 于 H，交 AB 于 G GHBC， AGHABC90，GHDDCB90， GBCCHGGBC90， 四边形 BGHC 是矩形， CHBG， HCMCMH45， HMCH， BMF90， BMG+HMF9
24、0，HMF+MFH90， BMGMFH， BGMMHF（AAS） ， BMFM （3）解：如图中，延长 DC 到 P，使得 CPAE，连接 EF，BP ABBC，BAEBCP90，AECP， ABECBP（SAS） ， BEBP，ABECBP， ABE+EBCABC90， CBP+EBC90，即EBP90， BMMF，BMF90， MBF45， PBFEBF45， BFBF， BEFBPF（SAS） ， EFPF， E 是 AD 的中点， AEDEAD， BCADCDAB6， AEDE3， 设 CFm，则 DF6m，PF3+m EFPF， EF3+m， 在 RtDEF 中，EF2DE2+DF2
25、， 32+（6m）2（3+m）2， 解得 m2，即 CF2， 在 RtBCF 中，BF2 9证明： （1）把ABE 绕点 A 顺时针旋转 90至ADG，如图 1， BAEDAG，AEAG， EAF45， BAE+FAD45， DAG+FAD45， EAFFAG， AFAF， EAFGAF（SAS） ， EFFGDF+DG， EFDF+BE； （2）结论：EFDFBE； 证明：如图 2，将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90至ADM， EABMAD，AEAM，EAM90，BEDM， FAM45EAF， AFAF， EAFMAF（SAS） ， EFFMDFDMDFBE； （3）如图， 由（1）可得
26、AEAG3，EFFG，BEDG， DG3， BEDG3， ECBCBE3， EF2EC2+CF2， （DF+3）29+（6DF）2， DF2， AF2 10 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， CDCB，BDDCB90， 又 DFBE， CDFCBE（SAS） ， DCFBCE（90ECF）22.5，CFCE， DFC9022.567.5，CFECEF（180ECF）67.5， DFCCFE， FC 平分DFE； （2）成立， 理由如下：如图 2，延长 AD 到 M，使 DMBE， 四边形 ABCD 是正方形， CBCD，CDABDCB90， DCF+ECB90ECF45， CDM180
27、CDA90B， DMCBEC（SAS） ， CMCE，MCDECB， DCF+MCD45， 即MCEECF45 又 CFCF， MCFECF（SAS） ， MFCEFC， FC 平分DFE； （3）若 CGCH，如图 3，连接 AC， CHCG，CDCB， RtCDHRtCBG（HL） ， DHBG， AGAH， 又CGCH，ACAC， CAGCAH（SSS） ， ACGACH22.5， 四边形 ABCD 是正方形， ACCD4，CAB45， CABACG+AGC， AGCACG22.5， ACAG4； 若 CGGH 时，如图 4， CGGH， GCHGHC45， CGH90， CGB+AGH
28、90， 又CGB+BCG90， BCGAGH， 又CGGH，BGAH90， CGBGHA（AAS） ， AGBC4； 若 GHCH 时，如图 5， CHGH， GCHHGC45， CHG90， CHD+AHG90， 又CHD+DCH90， DCHAHG， 又CHGH，DGAH90， CDHHAG（AAS） ， CDAH4，AGDH， AGDHAD+AH8， 综上所述：AE 的长为 4 或或 8 11 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是正方形， DAEABF90， ADEBAF， ADE+AEDBAF+AED90， AME90， AFDE （2）解：如图 2 中结论：GHAB 理由
29、：连接 GH ADAB，DAEABF90，ADEBAF， ADEBAF（ASA） ， AEBF， AECD， ， BFAD， ， AEBF，CDAD， ， GHAB 解法二：证明AOHDOG（ASA）推出HOG 为等腰直角三角形，从而得到平行 （3）解：如图 21 中，在 AD 上取一点 J，使得 AJAE，连接 EJ设 AEAJa AF 平分BAC，BAC45， BAFADE22.5， AEAJa，EAJ90， AJE45， AJEJED+JDE， JEDJDE22.5， EJDJa， ABADa+a，AEAJ， BEDJa， SBDE4+2， a（a+a）4+2， 解得 a24， a2 或
30、2（舍弃） ， AD2+2， 正方形 ABCD 的面积12+8 12解： （1）如图 1 中， 四边形 ABCD 是菱形， BCAD，BACDAC， ABC+BAD180， ABC120， BAD60， EAF30， AEAF， AEFAFE75， BEF120， AEB1207545 （2）i）如图 2 中，连接 DE ABAD，BAEDAE，AEAE， BAEDAE（SAS） ， BEDE，ABEADE， BAF+BEF60+120180， ABE+AFE180， AFE+EFD180， EFDABE， EFDADE， EFED， EFBE， BEFG，BGEF， 四边形 BEFG 是平行
31、四边形， EBEF， 四边形 BEFG 是菱形， 当 BEAC 时，菱形 BEFG 的周长最小，此时 BEABsin302， 四边形 BGFE 的周长的最小值为 8 ii）如图 21 中，连接 BD，DE，过点 E 作 EHCD 于 H ABAD，BAD60， ABD 是等边三角形， BDBA，ABD60， BGEF， EBG18012060， ABDGBE， ABGDBE， BGBE， ABGDBE（SAS） ， AGDEy， 在 RtCEH 中，EHECxCHx， DH|4x|， 在 RtDEH 中，DE2EH2+DH2， y2x2+（4x）2， y2x212x+48， y（0 x12）
32、13解： （1）四边形 ABCD 是菱形，ABC60， ABBCADCD，ABCADC60 ABC 是等边三角形，ACD 是等边三角形， ABQCAP60，ABCA， 又点 P、Q 运动速度相同， APBQ， 在ABQ 与CAP 中， ， ABQCAP（SAS） ， BAQACP， QHCACP+QAC， QHCBAQ+QACBAC60； （2）改变， 理由如下：ABC 是等边三角形， ABQCAP60，ABCA， 又点 P、Q 运动速度相同， APBQ， 在ABQ 与CAP 中， ， ABQCAP（SAS） ， BAQACP， QHCBAQ+APH， QHCACP+APH180PAC1806
33、0120； （3）如图 3，延长 HE 至 F，使 EFHE，连接 DF， QHC120， AHC60，AHE120， ACD 是等边三角形， ADCDAC，DAC60ACDADC， ADCAHC， 点 A，点 D，点 H，点 C 四点共圆， AHDACD60，DAQDCH， DHFAHEAHD60， EFHE，DEHE， DHDF， DHF 是等边三角形， HFDHDF，FDHF60， EFHEDH， ADCD，DAHDCH，FAHD60， ADHCDF（AAS） ， CFAH， AHCECFCEEFDH 14解： （1）AF 与 BD 的数量关系和位置关系分别为 AFBD，AFBD，理由如
34、下： 延长 AF 交 BD 于 H，如图所示： 四边形 ACDE 和四边形 BCFG 是正方形， ACCD，CFCB，ACFDCB90， CAF+AFC90， 在ACF 和DCB 中， ACFDCB（SAS） ， AFBD，CAFCDB， DFHAFC， CDB+DFHCAF+AFC90， DHF90， AFBD； 故答案为：AFBD，AFBD； （2）第（1）问的结论仍然成立，理由如下： 设 AF 交 CD 于点 M，如图所示： 四边形 ACDE 和四边形 BCFG 是正方形， ACCD，CFCB，ACDFCB90， CAF+AMC90， ACD+DCFFCB+DCF， 即ACFBCD， 在
35、ACF 和DCB 中， ACFDCB（SAS） ， AFBD，CAFCDB， DMHAMC， CDB+DMHCAF+AMC90， DHM90， AFBD； 分两种情况： a、如图所示：连接 CG 交 BF 于 O， 四边形 BCFG 是正方形， CBBG，BFCG，BGF90，OBOFOCOG， BFCGBC24，OBOFOCBF2， AO2， AFAO+OF2+2， 由（2）得：AFDB， DB2+2； b、如图所示：连接 CG 交 BF 于 O， 同上得：OBOFOCBF2，AO2， AFAOOF22， 由（2）得：AFDB， DB22； 综上所述，当正方形 BCFG 绕着点 C 顺时针旋
36、转到点 A、 B、F 三点共线时， DB 的长度为 2+2 或 2 2 15 （1）解：判断：FGHC，FGHC；理由如下： 点 F，G 分别是 AE，DE 的中点， FG 是AED 的中位线， FGAD，FGAD， H 是 BC 的中点， CHBC， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADBC， FGHC，FGHC； 证明：四边形 ABCD 是矩形， BCD90 G 是 DE 的中点， CGDEGE， GEHGCE， FGHC，FGHC， 四边形 FHCG 是平行四边形， FHGC， FHEGCE， GEHFHE，即DEHFHE； （2）证明：连接 FC，如图所示： 四边形 ABCD 是
37、矩形， BADABC90，ADBC， ABE90 F 是 AE 的中点， BFAEAF， FBAFAB， FBCFAD， 在BFC 和AFD 中， BFCAFD（SAS） BFCAFD CEAC，F 是 AE 的中点， CFAE， CFD+AFD90， CFD+BFC90， BFDF 16 （1）证明：PQBF，BPPQ， 四边形 PBFQ 是平行四边形， 过点 Q 作 QHAD 于 H，如图 11 所示： 设 APx，则 EQAPx， 在矩形 ABCD 中，ADBC2AB2CD8，AADC90， 点 E 是 AD 的中点， EDADCD4， DEC45， EHQ90， EHQ 是等腰直角三角
38、形， EHHQAPx， PEAEAP4x， PHPE+EHPE+APAE4， ABPH， 在ABP 和HPQ 中， ABPHPQ（SAS） ， ABPHPQ，BPQP， ABP+APBHPQ+APB90， BPQ90， 平行四边形 PBFQ 是矩形， BPQP， 矩形 PBFQ 是正方形； 解：过点 F、Q 作 BC 的垂线段，垂足分别为点 M、N，如图 12 所示： 则四边形 ABNH 是矩形， HNAB4， 四边形 BFQP 是正方形， SBPKS正方形BFQP， BC 将四边形 BFQP 的面积分为 1：3 两部分， SBFKS正方形BFQP， SPQKS正方形BFQP， FKQK， 在
39、KMF 和KNQ 中， KMFKNQ（AAS） ， MFQN， 四边形 BFPQ 是正方形， BPBF，PBFBFK90， ABP+PBKFBM+PBK90， ABPFBM， 在BAP 和BMF 中， BAPBMF（AAS） ， MFAPQNx， HNHQ+QN2x4， 解得：x2， AP2； （2）解：过点 F 作 FKBC 于 K，过点 Q 作 QHAP 于 H，如图 2 所示： 四边形 PBFQ 是正方形， BPQPBF90，BPPQFB， APB+HPQ90， APB+ABP90， ABPHPQ， 在ABP 和PHQ 中， ABPPHQ（AAS） ， ABP+CBPKBF+CBP90，
40、 ABPKBF， 在ABP 和KBF 中， ABPKBF（AAS） ， ABPKBFPHQ， ABPH4，HQKF， 设 DPx，则 EHED+PH+DP8+x， DECD，EDC90， CDE 是等腰直角三角形， CECD4， 四边形 BFQP 是正方形， 由轴对称可得：BCCQ8， EQEC+CQ4+8， EHQ90，DEC45， EHQ 是等腰直角三角形， EQEH， 4+8（8+x） ， 解得：x44， KFHQEH8+x4+4， SBFCBCKF8（4+4）16+16 17 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABAD， BMAN，DNAN， AMBDNA90， ABM+BAM
41、DAN+BAM90， ABMDAN， 在ABM 和DAN 中， ABMDAN（AAS） ， AMDN； （2）证明：过点 A 作 AKDE 于 K，如图 2 所示： 四边形 AEFG 是正方形， EFEA，AEF90， FPPE，AKDE， FPEEKA90， PEF+AEK90，KAE+AEK90， PEFKAE， 在PEF 和KAE 中， PEFKAE（AAS） ， FPEK， 同理：ADKDCQ（AAS） ， DKCQ， FP+CQEK+DKDE； （3）解：分别过 B、D 作 BMl1，DNl1，M、N 分别为垂足，如图 3 所示： 则四边形 AEDN 为矩形， AEDN， 由（1）证
42、明知：AMDN， AM， 四边形 AEFG 是正方形， AGAE， GMAG+AM+2， l1l2， BGMBRD30， 设 BMx，则 BG2x， 在 RtGBM 中，由勾股定理得：BG2BM2+GM2， 即（2x）2x2+（2）2， 解得：x12，x22（不合题意舍去） ， BM2， 在 RtABM 中，由勾股定理得：AB 18解： （1）由旋转可得，AMAB，AMNABCDAB90，MNBCADAK， AMBABM， 又ABM+MDA90AMB+DMN， MDADMN， 又DMMD， DMNMDA（SAS） ， （2）如图，当 KAKD 时，点 K 在 AD 的垂直平分线上， 分两种情况
43、讨论： 当点 K 在 AD 右侧时， KAKDAK， ADK 是等边三角形， DAK60， 旋转角 60； 当点 K 在 AD 左侧时，同理可得ADK 是等边三角形， DAG60， 旋转角 36060300 （3）如图 3， AB3，ADBC4， AC5， S扇形ACN，S扇形ADK4， S阴影S扇形ACNS扇形ADK4 19解： （1）a1， BG1，BC3， GC2， ADG 的面积8312， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， ADEFCE， 1，即 ADCF， GF5， ADBC， ADOFGO， ， AOG 的面积12； （2）如图 1，过点 O 作 MNAB 交 AD 于 M，交 BC 于 N， ADBC， ADOFGO， ， OM3，ON5， MNCD， GNOGCD， ， GNa，AMBNa， 当AOG90时，AOMOGN， ，即， 解得，a， 当AGO90时，ABGGCD， ，即， 解得，a4， 综上所述，AOG 是直角三角形时，a或 4； （3），AEEF， OA3OE， SAOD3SDOE， ， SAOGSAOD， SAOG5SDOE， y5x； AGODEA，AOGDOE， AODDOE， （）25， OA25OD2，即（a）2+325（a）2+32， 解得，a4， tanDAE
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