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    浙江省宁波市2021届中考数学高频题型(十)二次函数(含答案)

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    浙江省宁波市2021届中考数学高频题型(十)二次函数(含答案)

    1、浙江省宁波市中考数学高频题型浙江省宁波市中考数学高频题型(十十) 二次函数二次函数 【中考真题】【中考真题】 1.(2017 浙江宁波 25)如图,抛物线 与 x 轴的负半轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,连 结 AB点 C 在抛物线上,直线 AC 与 y 轴交于点 D (1)求 c 的值及直线 AC 的函数表达式; (2)点 P 在 x 轴的正半轴上,点 Q 在 y 轴正半轴上,连结 PQ 与直线 AC 交于点 M,连结 MO 并延长交 AB 于点 N,若 M 为 PQ 的中点 求证: APMAON; 设点 M 的横坐标为 m , 求 AN 的长(用含 m 的代数式表示) 【答案】 (1)

    2、解:把点 C(6,)代入抛物线得:=9+c. 解得 c=-3. 当 y=0 时,x2+x-3=0. 解得:x1=-4,x2=3. A(-4,0). 设直线 AC 的函数表达式为:y=kx+b(k0). 把 A(-4,0),C(6,)代入得: 解得:直线 AC 的函数表达式为:y=x+3. (2)证明:在 Rt AOB 中,tanOAB=. 在 Rt AOB 中,tanOAD=. OAB=OAD. 在 Rt POQ 中,M 为 PQ 中点. OM=MP. MOP=MPO. 又 MOP=AON. APM=AON. APMAON. 解:如下图,过点 M 作 MEx 轴于点 E. OM=MP. OE=

    3、EP. 又点 M 的横坐标为 m. AE=m+4,AP=2m+4. tanOAD=. cosEAM=cosOAD=. AM=AE=. APMAON. =. AN=. 2.(2019 浙江宁波 22)如图,已知二次函数3 2 axxy的图象经过点 P(-2,3). (1)求 a 的值和图象的顶点坐标; (2)点 Q(m,n)在该二次函数图象上. 当 m=2 时,求 n 的值; 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2,请根据图象直接写出 n 的取值范围. 【答案】 (1)解:把 P(-2,3)代入 y=x2+ax+3,得 3=(-2)2-2a+3, 解得 a=2. y=x2+2x+3=(x+1)2+2

    4、, 顶点坐标为(-1,2) (2)解:把 x=2 代入 y=x2+2x+3,求得 y=11, 当 m=2 时,n=11. 211 【考点】待定系数法求二次函数解析式,二次函数 y=ax2+bx+c 的性质 【解析】【分析】(1) 将点 P 的坐标代入抛物线 即可算出 a 的值, 从而求出抛物线的解析式, 再将抛物线的解析式配成顶点式,即可求出其顶点坐标; (2)将点 Q 的横坐标 x=2 代入(1)所求的抛物线的解析式即可算出对应的函数值,该值就是 n 的值; (3)由于该函数顶点坐标是(-1,2) ,且函数开口向上,点 Q 的横坐标横坐标是 2 的时候,对应的函数值 是 11,故点 Q 到到

    5、 y 轴的距离小于 2 的时候,对应的函数值 n 的取值范围是 2n11. 3.(2020 浙江宁波 20)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 yax2+4x3 图象的顶点是 A,与 x 轴交于 B,C 两点,与 y 轴交于点 D点 B 的坐标是(1,0) (1)求 A,C 两点的坐标,并根据图象直接写出当 y0 时 x 的取值范围 (2)平移该二次函数的图象,使点 D 恰好落在点 A 的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式 【分析】(1)利用待定系数法求出 a,再求出点 C 的坐标即可解决问题 (2)由题意点 D 平移的 A,抛物线向右平移 2 个单位,向上平移 4 个单位,由此可得

    6、抛物线的解析式 解:(1)把 B(1,0)代入 yax2+4x3,得 0a+43,解得 a1, yx2+4x3(x2)2+1, A(2,1), 对称轴 x1,B,C 关于 x2 对称, C(3,0), 当 y0 时,1x3 (2)D(0,3), 点 D 平移的 A, 抛物线向右平移 2 个单位, 向上平移 4 个单位, 可得抛物线的解析式为 y (x4) 2+5 【解题指导解题指导】 二次函数近两年考得偏性质,同学们在复习时,一定要熟记各个系数对函数图像的影响,以下 内容要熟记! ! 【牛刀小试牛刀小试】 1如图如图,点,点 G 是等边三角形是等边三角形 AOB 的外心,点的外心,点 A 在第

    7、一象限,点 在第一象限,点 B 坐标为坐标为(4,0),连结,连结 OG抛物线抛物线 y ax(x2)+1+3的顶点为的顶点为 P (1)直接写出点)直接写出点 A 的坐标与抛物线的对称轴;的坐标与抛物线的对称轴; (2)连结)连结 OP,求当,求当AOG2AOP 时时 a 的值的值 (3)如图)如图,若抛物线开口向上,点,若抛物线开口向上,点 C,D 分别为抛物线和线段分别为抛物线和线段 AB 上的动点,以上的动点,以 CD 为底边构造顶角为为底边构造顶角为 120的等腰三角形的等腰三角形 CDE(点(点 C,D,E 成逆时针顺序) ,连结成逆时针顺序) ,连结 GE 点点 Q 在在 x 轴

    8、上,当四边形轴上,当四边形 GDQO 为平行四边形时,求 为平行四边形时,求 GQ 的值;的值; 当当 GE 的最小值为的最小值为 1 时,求抛物线的解析式时,求抛物线的解析式 【详解】 解: (1)如图,连接 AG 并延长 AG 交 OB 于 H, 点 B 坐标为(4,0) , OB4, 点 G 是等边三角形 AOB 的外心, AHOB,OAOB4,AOB60, OAH30, OH 1 2 OA2,AH3OH23, 点 A(2,2 3) , 抛物线 yax(x2)+1+ 3ax 22ax+1+ 3, 对称轴为:直线 x 2 2 a a 1; (2)如图,过点 P 作 PNOB 于 N,交 A

    9、O 于 F, ON1, 点 G 是等边三角形 AOB 的外心, OG 平分AOB, AOG30BOG, 当点 P 在 AOB 内, AOG2AOP, AOP15POG, PON45, PNOB, PONOPN45, PNON1, 点 P 坐标(1,1) , 1a(12)+1+ 3, a3, 当点 P 在 AOB 外, 同理可得AOP15, PON75, OPN15AOP, OFPF, AOB60,PNOB, OF2ON2PF,FN3ON3, PNPF+FN2+ 3, 点 P 坐标为(1,2+ 3) , 2+ 3a(12)+1+3, a1, 综上所述:a1 或3; (3)如图,连接 AG 并延长

    10、 AG 交 OB 于 H, 点 G 是等边三角形 AOB 的外心, AG2GH,OHBH2,AH2 3, GH 2 3 3 , 四边形 GDQO 为平行四边形, GDOB,GDOQ, AGGD AHOB , GD 4 3 , QH 2 3 , GQ 2 2 GHQH 412 99 4 3 ; 如图,在 OB 上截取 OMBD,连接 CM,GM,GB,MD,GD, 点 G 是等边三角形 AOB 的外心, OGGB,GOBGBOABG30, 又OMBD, OGMBGD(SAS) , MGGD,OGMBGD, OGBMGD1803030120, MD3GD,GDM30, CDE 中 CEDE,CED

    11、120, CD3DE,CDE30, MDCGDE,3 MDCD GDDE , GDEMDC, MC GE 3, 当 GE 最小值为 1 时,MC 最小值为 3, 当点 C 与抛物线顶点 P 重合,且 CMOB 时,CM 有最小值, CM 的最小值为顶点 P 的纵坐标, 点 P 坐标(1,3) , 3a(12)+1+3, a1, 抛物线的解析式为:yx(x2)+1+ 3(x1) 2+ 3 2如图,抛物线如图,抛物线 y= 7 24 x2+bx+c,经过矩形,经过矩形 OABC 的的 A(3,0),C(0,2),连结,连结 OBD 为横轴上一个动点,为横轴上一个动点, 连结连结 CD,以,以 CD

    12、 为直径作为直径作M,与线段,与线段 OB 有一个异于点有一个异于点 O 的公共点的公共点 E,连结,连结 DE过过 D 作作 DFDE,交,交M 于于 F (1)求抛物线的解析式;求抛物线的解析式; (2)tanFDC 的值;的值; (3)当点当点 D 在移动过程中恰使在移动过程中恰使 F 点落在抛物线上,求此时点点落在抛物线上,求此时点 D 的坐标; 的坐标; 连结连结 BF,求点,求点 D 在线段在线段 OA 上移动时,上移动时,BF 扫过的面积 扫过的面积 【详解】 解:(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线的表达式得: 2 7 930 24 2 bc c , 解得: 5 24 2 b

    13、c , 故抛物线的解析式为:y= 7 24 x2+ 5 24 x+2; (2)如图 1,连接 CE、CF、FO, CD 是直径, CED=90,即 CEDE, 又DFDE, FDC=ECD=EOD=BOA, tanFDC=tanBOA= 2 3 AB AO ; (3)如图 2, 连接 FO,则FOG=FCD, CD 是直径, CFD=90, 同理FDE=90, FCDE, FCD=CDE=COE, FOG=FCD=CDE=COE, tanFOG=tanCOE=tanCOB= 3 2 , 故直线 OF 的表达式为:y= 3 2 x, 联立并解得: 1 3 2 x y ,故点 F(1, 3 2 )

    14、; 过点 F 作 y 轴的平行线 GH,交 x 轴于点 G,交过点 C 与 x 轴的平行线于点 H, FG= 3 2 ,CH=1,HF=2 3 2 = 1 2 , HFC+GFD=90,HFC+HCF=90, HCF=GFD, 又CHF=FGD=90, CHFFGD, HCFH FGGD ,即 1 1 2 3 2 GD ,解得:GD= 3 4 , OD=1 3 4 = 1 4 , 故点 D 的坐标为:( 1 4 ,0); 如图 3,当点 D、O 重合时,连接 CF、BF, 则 BF 扫过的面积为 BOF 的面积,CFO=90, 过点 F 作 y 轴的平行线 HG,交 x 轴于点 G,交过点 C

    15、 与 x 轴的平行线于点 H, 由同理可得: CHFFGO,则 HCHF FGOG , 由知 tanFOG= 3 2 ,设 FG=3a,则 OG=2a=HC,HF=2GF=23a, 223 32 aa aa ,解得:a= 6 13 ; 在 Rt FOG 中,FO= 22 6 13 13 13 FGOGa, 同理在 Rt AOB 中,OB= 13, EF 是圆的直径,故 OFOE, BF 扫过的面积=S BOF= 1 2 BOFO= 16 13 133 213 , 故 BF 扫过的面积为 3 3矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点如图,在平面直角坐标系中,点矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点如

    16、图,在平面直角坐标系中,点A,B为抛物线为抛物线 2 yx=上上 的两个动点(的两个动点(A在在B的左侧) ,且的左侧) ,且/AB x轴,以轴,以AB为边画矩形为边画矩形ABCD,原点,原点O在边在边CD上上 (1)如图)如图 1,当矩形,当矩形ABCD为正方形时,求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标为正方形时,求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标 (2)如图)如图 2,在点,在点A,B的运动过程中,连结的运动过程中,连结AC交抛物线于点交抛物线于点E 求证:点求证:点E为矩形的奇特点;为矩形的奇特点; 连结连结BE,若,若BEAC,抛物线上的点,抛物线上的点F为矩形的另一奇特点,求经过 为矩形

    17、的另一奇特点,求经过A,E,F三点的圆的半径三点的圆的半径 【详解】 (1)设(2 ,0)Ca,则 2 2 ,4Baa , 因为ABCD是矩形, 易证4CDa, 2 4BCa, 当矩形ABCD为正方形时,CDBC, 解得1a , (2,0)C,(2,4)B,4CDBC, 易得矩形在第一象限内的奇特点的坐标为(1,1),(1,3) (2)证明:设(2 ,0)Ca,则 2 2 ,4Baa , 矩形在第一象限AC上的奇特点为 2 , a a , 又 2 , a a 在抛物线 2 yx=上, 2 , a a 为AC与抛物线 2 yx=的交点E, 即:点E为矩形的奇特点 由E是奇特点,设CEk ,3AE

    18、k 可以得到:3BCk, 3 tan 3 BE A AE , 30A , 由对称性,90AFBBEA, A,F,E,B四点共圆,且AB为直径, tanBCABA, 2 3 44 3 aa, 3 3 a ,即半径为 2 3 3 4如图如图 1,二次函数,二次函数 2 1 2 3 yxbx 的图象与的图象与 x 轴交于点轴交于点 A、B,与,与 y 轴交于点轴交于点 C,点,点 A 的坐标为的坐标为(4, 0) (1)b= ,点,点 B 的坐标是的坐标是 ; (2)连接)连接 AC、BC,判断,判断CAB 和和CBA 的数量关系,并说明理由的数量关系,并说明理由 (3) 如图) 如图 2, 点,

    19、点 D 是抛物线上第二象限内的一动点, 过点是抛物线上第二象限内的一动点, 过点 D 作作 DMAC 于点于点 M, 是否存在点, 是否存在点 D, 使得, 使得 CDM 中的某个角恰好等于中的某个角恰好等于BAC 的的 2 倍?若存在,写出点倍?若存在,写出点 D 的横坐标;若不存在,请说明理由的横坐标;若不存在,请说明理由 【详解】 (1)把 A(4,0)代入 2 1 2 3 yxbx 得, 16 3 4b+2=0, b= 5 6 当 y=0 时,有 2 15 -20 36 xx, 解得:x1=4,x2= 3 2 , 点 B 的坐标为( 3 2 ,0) 故答案为: 5 6 ; ( 3 2

    20、,0) (2)CBA=2CAB,理由如下: 作CBA 的角平分线,交 y 轴于点 E,过点 E 作 EFBC 于点 F,如图所示 点 B( 3 2 ,0) ,点 C(0,2) , OB= 3 2 ,OC=2,BC= 5 2 设 OE=n,则 CE=2n,EF=n, 由面积法,可知: 1 2 OBCE= 1 2 BCEF,即 3 2 (2n)= 5 2 n, 解得:n= 3 4 OC OA = 1 2 = OE OB ,AOC=90=BOE, AOCBOE, CAO=EBO, CBA=2EBO=2CAB (3) 如图所示: 过点D作DRy垂足为R, DR交AC与点G, 在AB上找点E使ACEEA

    21、C, 则DGAB, G=BAC,CEO=2BAC, A(-4,0) ,B( 3 2 ,0) ,C(0,2) , 在直角三角形 EOC 中, 222 OEOCEC 即: 2 2 44OEOE 解得:OE= 3 2 tanBAC= 1 2 OC OA ,tanOEC= 4 3 OC OE , 设 D 2 15 ,2 36 xxx , 当MCD=2BAC时, MCD=CDG+G CDR=BAC, 1 tantan 2 CR CDRBAC DR 则 2 15 - CR1 36 DR-x2 xx 解得: 1 x=0(不符合题意,舍去) , 2 x=-1, 点 D 的横坐标是-1 当CDM=2BAC时,则

    22、CDM=CEO 4 tantan 3 CDMCEO 设 CM=4k,DM=3k,则 CD=5k, tantanMGDBAC= 1 2 ,则 MG=6k,DG=3 5,CG=2k, AC= 22 2 5AOOC 5 sinsin 5 CROC CGRCAB CGAC CR= 2 5 5 k, 22 4 5 5 GRCGCRk , 22 DRCDCR 11 5 5 k, 2 152 5 - CR 365 DR-x11 5 5 xxk k , 解得: 1 x=0(不符合题意,舍去) , 2 x= 43 22 , 点 D 的横坐标是 43 22 综上所述,点 D 的横坐标是-1 或 43 22 5已知

    23、,如图已知,如图 1,O 是坐标原点,抛物线是坐标原点,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过)经过 A、B、C 三点,三点,AB y 轴于点轴于点 A,AB=2, AO=4,OC=5,点,点 D 是线段是线段 AO 上一动点,连接上一动点,连接 CD、 、BD (1)求出抛物线的解析式;)求出抛物线的解析式; (2)如图)如图 2,抛物线的对称轴分别交,抛物线的对称轴分别交 BD、CD 于点于点 E、F,当,当 DEF 为等腰三角形时,求出点为等腰三角形时,求出点 D 的坐标;的坐标; (3)当)当BDC 的度数最大时,请直接写出的度数最大时,请直接写出 OD 的长的长 【详解】 (1)A

    24、By 轴于点 A,AB=2,AO=4,OC=5, A(0,4) ,B(2,4) ,C(5,0) , 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过 A、B、C 三点, 424 2550 4 abc abc c , 4 15 2 15 4 a b c , 抛物线解析式为 y=- 4 15 x2- 2 15 x+4; (2)如图, 过点 B 作 BGOC 于 G,交 CD 于 H, 点 H,G 的横坐标为 2, EFOC, EFBH, DEF 是等腰三角形, BDH 是等腰三角形, 设 D(0,5m) (0m 4 5 ) , C(5,0) , 直线 CD 的解析式为 y=mx+5m, H(2,3m) ,

    25、 BH=43m, BH2=9m224m+16,DH2=4+(5m3m)2=4+4m2,BD2=4+(5m4)2=25m240m+20, 当 BD=DH 时,25m240m+20=4+4m2, m= 4 3 (舍)或 m= 4 7 , 5m= 20 7 , D(0, 20 7 ) , 当 BD=BH 时,25m240m+20=9m224m+16, m= 1 2 , D(0, 5 2 ) , 当 BH=DH 时,9m224m+16=4+ 4m2, m=12 2 21 5 或 m=12 2 21 5 (舍去) , D(0,122 21) , 即:当 DEF 为等腰三角形时,点 D 的坐标为(0, 2

    26、0 7 )或(0, 5 2 )或(0,122 21) ; (3)如图 1, 过点 B 作 BGOC 于 G,交 CD 于 H, 四边形 OABG 是矩形,点 H,G 的横坐标为 2, OAB=ABG=90, OG=2, OC=5, CG=3, B(2,4) , BG=4, 过点 B 作 BQCD, BQD=90, 要BDC 最大, DBQ 最小, 即:BDBC 时,DBQ 最小, DBC=90=ABG, ABD=CBG, BGC=BAD=90, ABDGBC, ABAD BGCG , 2 43 AD , AD= 3 2 , ODOAAD= 5 2 6 如图, 抛物线 如图, 抛物线 2 yxa

    27、xb与与 x 轴相交于轴相交于 (1,0)A ,(3,0)B, 与, 与 y 轴相交于点轴相交于点 C, 点, 点 P 在抛物线上运动在抛物线上运动 (1)直接写出抛物线的解析式;)直接写出抛物线的解析式; (2)若以)若以 P 为圆心,为圆心,2 为半径的为半径的P与坐标轴相切,直接写出点与坐标轴相切,直接写出点 P 的坐标;的坐标; (3)若)若PBC的面积等于的面积等于 3,直接写出点,直接写出点 P 的横坐标的横坐标 【详解】 解: (1) 抛物线 2 yxaxb与 x 轴相交于 (1,0)A ,(3,0)B, 抛物线为: 2 1343,yxxxx (2) 点 P 在抛物线上, 所以设

    28、 2 ,43 ,P x xx 当P与y轴相切时,则2,x 2,x 当2x时, 2 242315,y 215P , , 当2x时, 2 24 231,y 2, 1 ,P 当P与x轴相切时,则2,y 2,y 当 2y 时, 2 432,xx 2 410,xx 2 =44 1 112, 12 42 342 3 23,23, 22 xx 23,2P或 23,2 ,P 当 2y 时,则 2 432,xx 2 450,xx 2 =44 1 516204 0, 所以方程无解 综上:215P ,或2, 1P或23,2P或23,2P (3)如图, (1,0)A ,(3,0)B, 2,AB 2 43,yxx 令0

    29、,x 则3,y 0,3 ,3,COC 11 2 33, 22 ABC SAB OC 3, PBC S 此时,P A重合,1, P x 过A作 1/ AP BC交抛物线于 1, P 连接,BC 此时 1 3, PBCABC SS 设BC为,ykxb 3 30, b kb 1, 3 k b 所以BC为3,yx 所以设 1 AP的解析式为:y xm , 10,m 1,m 所以 1 AP的解析式为:1yx , 联立: 2 1 , 43 yx yxx 2 431,xxx 2 320,xx 120,xx 12 1,2,xx 结合图像可得: 1 2, P x 记1yx 与y轴的交点为,G 令0,x 则1,y

    30、 0,1 ,G 而0,3C, 所以把3yx 向上平移2个单位长度得直线:5,yx 与抛物线交于 23 ,P P 由平行线等分线段定理可得:直线 123 ,AP BC PP之间的距离相等, 23 3, P BCP BCABC SSS 所以联立 2 5 , 43 yx yxx 2 435,xxx 2 320,xx 由 2 =34 1217, 317 , 2 x 23 317317 ,. 22 PP xx 综上:P的横坐标为:1或2或 317 2 或 317 . 2 7如图,抛物线如图,抛物线 2 24(0)yaxaxa与与x轴交于轴交于A、B两点,与两点,与y轴交于点轴交于点C,直线,直线y m

    31、,交抛,交抛 物线于物线于D、E两点两点 (1)当)当 2 5 a 时,求时,求A,B两点的坐标;两点的坐标; (2)当)当2m,4DE 时,求抛物线的解析式;时,求抛物线的解析式; (3)当)当1a时,方程时,方程 2 34axaxm在在64x 的范围内有实数解,请直接写出的范围内有实数解,请直接写出m的取值范的取值范 围:围: 【详解】 解:(1)将 2 5 a 代回 2 24(0)yaxaxa中 得到抛物线的解析式为: 2 24 4 55 yxx 再令0y ,即: 2 24 40 55 xx 解得 12 2,5 xx 故(5,0)A, ( 2,0)B . 故答案为:(5,0)A, ( 2

    32、,0)B . (2)对称轴是直线 3 2 x 4DE ,2m, 7 (,2) 2 D,代入解析式中: 49 274 4 aa 解得 8 7 a 抛物线的解析式为: 2 824 4 77 yxx . 故答案为: 2 824 4 77 yxx . (3) 当1a时,方程 2 34axaxm 方程左边可以看成二次函数 2 34yxx , 方程右边可以看成y m , 方程 2 34axaxm在64x 的范围内有实数解 函数 2 34yxx 和直线y m 在64x 的范围内图像上有交点, 当64x 时, 函数 2 34yxx 的最大值为当 3 2 x 时取得,此时 9925 4 424 y; 函数 2

    33、34yxx 的最小值为当6x时取得,此时 36 18450 y ; 故m的取值范围是:- 25 50 4 m. 故答案为: 25 50 4 m. 8在平面直角坐标系中,设二次函数在平面直角坐标系中,设二次函数 y1x2+bx+a,y2ax2+bx+1(a,b 是实数,是实数,a0) ) (1)若函数)若函数 y1的对称轴为直线的对称轴为直线 x3,且函数,且函数 y1的图象经过点(的图象经过点(a,b) ,求函数) ,求函数 y1的表达式的表达式 (2)若函数)若函数 y1的图象经过点(的图象经过点(r,0) ,其中) ,其中 r0,求证:函数,求证:函数 y2的图象经过点(的图象经过点( 1

    34、 r ,0) ) (3)设函数)设函数 y1和函数和函数 y2的最小值分别为的最小值分别为 m 和和 n,若,若 m+n0,求,求 m,n 的值的值 【详解】 解: (1)由题意,得到 2 b 3,解得 b6, 函数 y1的图象经过(a,6) , a26a+a6, 解得 a2 或 3, 函数 y1x26x+2 或 y1x26x+3 (2)函数 y1的图象经过点(r,0) ,其中 r0, r2+br+a0, 1+ 2 ba rr 0, 即 a( 1 r )2+b 1 r +10, 1 r 是方程 ax2+bx+1 的根, 即函数 y2的图象经过点( 1 r ,0) (3)由题意 a0,m 2 4

    35、 4 ab ,n 2 4 4 ab a , m+n0, 2 4 4 ab + 2 4 4 ab a 0, (4ab2) (a+1)0, a+10, 4ab20, mn0 9已知关于已知关于 x 的二次函数的二次函数 yax24ax+a+1(a0) (1)若二次函数的图象与)若二次函数的图象与 x 轴有交点,求轴有交点,求 a 的取值范围;的取值范围; (2)若)若 P(m,n)和)和 Q(5,b)是抛物线上两点,且)是抛物线上两点,且 nb,求实数,求实数 m 的取值范围;的取值范围; (3)当)当 mxm+2 时,求时,求 y 的最小值(用含的最小值(用含 a、m 的代数式表示) 的代数式表

    36、示) 【详解】 解: (1)由题意得: (4a)24a(a+1)0,且 a0, 解得:a 1 3 ; (2)抛物线的对称轴为直线 x 4 2 a a 2, 当 nb 时,根据函数的对称性,则 m1 或 m=5, 故实数 m 的取值范围为:m1 或 m5; (3)当 m+22 时,即 m0 时, 函数在 xm+2 时,取得最小值, ymina(m+2)24a(m+2)+a+1am23a+1; 当 m2m+2 时,即 0m2, 函数在顶点处取得最小值, 即 ymin4a4a2+a+13a+1; 当 m2 时, 函数在 xm 时,取得最小值, yminam24am+a+1; 综上,y 的最小值为:a

    37、m23a+1 或3a+1 或 am24am+a+1 10如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数 2 1 ()4 2 yxm 图象的顶点为图象的顶点为 A,与,与 y 轴交于点轴交于点 B, 异于顶点异于顶点 A 的点的点 C(1,n)在该函数图象上在该函数图象上 (1)当)当 m=5 时,求时,求 n 的值的值 (2)当)当 n=2 时,若点时,若点 A 在第一象限内,结合图象,求当在第一象限内,结合图象,求当 y2时,自变量时,自变量 x 的取值范围的取值范围 (3)作直线)作直线 AC 与与 y 轴相交于点轴相交于点 D.当点当点 B 在在 x 轴上方

    38、,且在线段轴上方,且在线段 OD 上时,求上时,求 m 的取值范围的取值范围 【详解】 解: (1)当5m时, 2 1 (5)4 2 yx , 当1x 时, 2 1 444 2 n= -?= - (2)当2n时,将 (1,2)C 代入函数表达式 2 1 ()4 2 yxm ,得 2 1 2(1)4 2 m= -+, 解得3m或1(舍弃) , 此时抛物线的对称轴 3x , 根据抛物线的对称性可知,当 2y 时,1x 或 5, x 的取值范围为15x剟 (3)点A与点C不重合, 1m, 抛物线的顶点A的坐标是( ,4) m , 抛物线的顶点在直线4y 上, 当0 x时, 2 1 4 2 ym= -+, 点B的坐标为 2 1 (0,4) 2 m-+, 抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置,m逐渐减小,点B沿y轴向上移动, 当点B与O重合时, 2 1 40 2 m-+=, 解得2 2m 或 2 2 , 当点B与点D重合时,如图 2,顶点A也与B,D重合,点B到达最高点, 点(0,4)B , 2 1 44 2 m -+=,解得0m, 当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时,如图 3 点B不在线段OD上, B点在线段OD上时,m的取值范围是:01m或12 2m


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