1、2020-2021 学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 1tan30的值等于（ ） A1 B C D 2泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量同一时 刻标杆的影长， 标杆的高度， 金字塔的影长， 推算出金字塔的高度， 这种测量原理， 就是我们所学的 （ ） A图形的平移 B图形的旋转 C图形的轴对称 D图形的相似 3若代数式 x2的值与 2x 的值相等，则 x 的值是（ ） A2 B0 C2 或2 D
2、0 或 2 4如图，半圆的直径为 AB，圆心为点 O，C、D 是半圆的 3 等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴 影部分的概率是（ ） A B C D 5某同学对数据 16，20，20，36，5，51 进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看 不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A中位数 B平均数 C方差 D众数 6一个直角三角形的两条直角边的和是 28cm，面积是 96cm2设这个直角三角形的一条直角边为 xcm，依 题意，可列出方程为（ ） Ax（14x）96 Bx（14x）96 Cx（28x）96 Dx（28x）96 7如图，在ABC 中，AC4，D 是 AC
3、 上一点，AD1，M、N 分别是 BD、BC 的中点，若ABD ACB，则的值是（ ） A B C D 8如图，两个正六边形 ABCDEF、EDGHIJ 的顶点 A、B、H、I 在同一个圆上，点 P 在上，则 tanAPI 的值是（ ） A2 B2 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9若 x3y，则 10数据 6，5，10，6，7 的极差是 11已知圆弧所在圆的半径为 4，所对的圆心角为 60，则这条弧的长是 12ABC，DEF 的条件如图所示，则 n 的值是 13在ABC 中，C90，AC3，BC4，则 si
4、nABC 14 写一个一元二次方程， 使它的二次项系数为 1， 且两个根分别为 3、 2 所写的一元二次方程为 15 正方形ABCD、 正方形FECG如图放置， 点E在BC上， 点G在CD上， 且BC3EC， 则tanFAG 16如图，ABC 是O 的内接三角形，AE 是O 的弦，且 AEBC，垂足为 D若 cosEAC， CE2，则OAB 的面积是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，第小题，第 17、19、22、24 题每题题每题 8 分，第分，第 18、23 题每题题每题 7 分，第分，第 20、21 题每题题每题 6 分，第分，第 25 题题 10 分，共分，共 68
5、分）分） 17 （1）解方程：x24x12； （2）计算：sin30+cos30tan45 18某商店 16 周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表）所示（单位：台） ： 第 1 周 第 2 周 第 3 周 第 4 周 第 5 周 第 6 周 甲 9 10 10 9 12 10 乙 13 12 7 11 10 7 现根据表数据进行统计得到表： 平均数 中位数 众数 甲 10 乙 10 7 （1）填空：根据表的数据补全表； （2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差： S乙 2 （1310）2+（1210）2+（710）2+（1110）2+（1010）2+（710）2（台 2） 请你计算甲品牌冰箱销量
6、的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？ 19学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课现有以下社团：A篮球、B机器人、C绘画，学校要 求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团 （1）甲选择“机器人”社团的概率是 ； （2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率 20网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展某快递公司 2020 年 9 月份与 11 月份投 递的快递件数分别为 10 万件和 14.4 万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同，求该快递公司投递 的快递件数的月平均增长率 21如图，四边形 ABCD 内接于O，AD、BC 的延长线
7、相交于点 EABE 与CDE 相似吗？为什么？ 22已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mxn2+50 （1）当 m1 时，该一元二次方程的一个根是 1，求 n 的值； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根 求 m、n 满足的关系式； 在 x 轴上取点 H，使得 OH|m|，过点 H 作 x 轴的垂线 l，在垂线 l 上取点 P，使得 PH|n|，则点 P 到点（3，4）的距离最小值是 23 图 1 是放置在水平面上的可折叠式护眼灯， 其中底座的高 AB2cm， 连杆 BC40cm， 灯罩 CD34cm （1）转动 BC、CD，使得BCD 成平角，且ABC150，如图 2，则灯罩端点 D
8、 离桌面 l 的高度 DH 是 cm （2）将图 2 中的灯罩 CD 再绕点 C 顺时针旋转，使BCD150，如图 3，求此时灯罩端点 D 离桌面 l 的高度 DI 24如图，已知OAB，点 A 的坐标为（2，2） ，点 B 的坐标为（3，0） （1）求 sinAOB 的值； （2）若点 P 在 y 轴上，且POA 与AOB 相似，求点 P 的坐标 25 如图 1， 在矩形 ABCD 中， AB6cm， BC8cm， 点 P 以 3cm/s 的速度从点 A 向点 B 运动， 点 Q 以 4cm/s 的速度从点 C 向点 B 运动点 P、Q 同时出发，运动时间为 t 秒（0t2） ，M 是PQB
9、 的外接圆 （1）当 t1 时，M 的半径是 cm，M 与直线 CD 的位置关系是 ； （2）在点 P 从点 A 向点 B 运动过程中 圆心 M 的运动路径长是 cm； 当M 与直线 AD 相切时，求 t 的值 （3）连接 PD，交M 于点 N，如图 2，当APDNBQ 时，求 t 的值 2020-2021 学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1tan30的值等于（ ） A1 B C D 【分析】根据特殊角的三角函数值解答 【解答】解：tan30 故选：D 2泰勒斯是
10、古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量同一时 刻标杆的影长， 标杆的高度， 金字塔的影长， 推算出金字塔的高度， 这种测量原理， 就是我们所学的 （ ） A图形的平移 B图形的旋转 C图形的轴对称 D图形的相似 【分析】根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可 【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高 度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似， 故选：D 3若代数式 x2的值与 2x 的值相等，则 x 的值是（ ） A2 B0 C2 或2 D0 或 2 【分析】先列方程 x22x，然后利用因式分解
11、法解方程 【解答】解：根据题意得 x22x， 移项得 x22x0， x（x2）0， x0 或 x20， 所以 x10，x22 故选：D 4如图，半圆的直径为 AB，圆心为点 O，C、D 是半圆的 3 等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴 影部分的概率是（ ） A B C D 【 分 析 】 由 C 、 D 是 半 圆 的 3 等 分 点 知 AOC COD BOD 60 ， 据 此 得 ，再根据概率公式求解即可 【解答】解：C、D 是半圆的 3 等分点， AOCCODBOD60， ， 该点取自阴影部分的概率为， 故选：D 5某同学对数据 16，20，20，36，5，51 进行统计分析，发现
12、其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看 不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A中位数 B平均数 C方差 D众数 【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断即可 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为 20 与 36 的平均数，与被涂污数字无关 故选：A 6一个直角三角形的两条直角边的和是 28cm，面积是 96cm2设这个直角三角形的一条直角边为 xcm，依 题意，可列出方程为（ ） Ax（14x）96 Bx（14x）96 Cx（28x）96 Dx（28x）96 【分析】设一条直角边的长为 xcm，则另一条直角边的长为（28
13、x）cm，根据三角形的面积公式结合面 积是 96cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程 【解答】解：设一条直角边的长为 xcm，则另一条直角边的长为（28x）cm， 根据题意得：x（28x）96， 故选：C 7如图，在ABC 中，AC4，D 是 AC 上一点，AD1，M、N 分别是 BD、BC 的中点，若ABD ACB，则的值是（ ） A B C D 【分析】通过证明ABDACB，可得，即可求解 【解答】解：M、N 分别是 BD、BC 的中点， AM，AN 分别是ABD，ABC 的中线， ABDACB，BADCAB， ABDACB， ， ， AB2， ， 故选：C 8如图，两个正六边形 AB
14、CDEF、EDGHIJ 的顶点 A、B、H、I 在同一个圆上，点 P 在上，则 tanAPI 的值是（ ） A2 B2 C2 D1 【分析】如图，连接 AE，EI，AH，过点 J 作 JMEI 于 M证明AIH90，设 HIa，求出 AI 即可 解决问题 【解答】解：如图，连接 AE，EI，AH，过点 J 作 JMEI 于 M ABCDEF 是正六边形， DEFF120， FAFE， FEAFAE30， AED90， 同法可证，DEIEIH90， AED+DEI180， A，E，I 共线， 设 IHIJJEa， JMEI， EMMIa， AI2EI2a， APIAHI， tanAPItanAH
15、I2， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9若 x3y，则 3 【分析】直接利用已知进而变形求出答案 【解答】解：x3y， 3 故答案为：3 10数据 6，5，10，6，7 的极差是 5 【分析】用最大数减去最小数即可 【解答】解：这组数据最大的是 10，最小的是 5， 所以这组数据的极差为 1055， 故答案为：5 11已知圆弧所在圆的半径为 4，所对的圆心角为 60，则这条弧的长是 【分析】直接利用弧长公式 L计算可得 【解答】解：此扇形的弧长为， 故答案为 12ABC，DEF 的条件如图所示，则 n 的值是 6 【分析】通过证明ABCEFD，可得，即可求解 【解答】解
16、：A50，B60， C70， BF60，CD， ABCEFD， ， ， n6， 故答案为 6 13在ABC 中，C90，AC3，BC4，则 sinABC 【分析】利用勾股定理先求出 AB 的长，再求出ABC 的正弦值 【解答】解：在ABC 中，C90，AC3，BC4， AB 5 sinABC 故答案为： 14写一个一元二次方程，使它的二次项系数为 1，且两个根分别为 3、2所写的一元二次方程为 x2 x60 【分析】首先设此一元二次方程为 x2+px+q0，由二次项系数为 1，两根分别为 3，2，根据根与系数 的关系可得 p（32）1，q3（2）6，继而求得答案 【解答】解：二次项系数为 1，
17、 设此一元二次方程为 x2+px+q0， 两根分别为 3 和2 p（32）1，q3（2）6， 这个方程为：x2x60 故答案为：x2x60 15正方形 ABCD、正方形 FECG 如图放置，点 E 在 BC 上，点 G 在 CD 上，且 BC3EC，则 tanFAG 【分析】根据题意，可以设 ECa，然后即可得到 AD、DG 和 AG 的长，然后作 FHAG，利用锐角三 角函数和勾股定理可以得到 AH 和 FH 的长，从而可以得到 tanFAG 的值 【解答】解：作 FHAG 于点 H， 设 ECa，则 BCADCD3a， 四边形 ABCD 是正方形， D90，DGBE2a， AGa， sin
18、DAG， ADGF， HGFDAG， sinHGF， sinHGF， ， 解得 HFa， HGa， AHAGHGaaa， tanFAH， 即 tanFAG， 故答案为： 16如图，ABC 是O 的内接三角形，AE 是O 的弦，且 AEBC，垂足为 D若 cosEAC， CE2，则OAB 的面积是 3 【分析】由圆周角定理可得ABF90，设 AF10 x，AB3x，由勾股定理可求 x 的值，由三角 形的面积公式可求解 【解答】解：如图，延长 AO，交O 于 F，连接 BF， AF 是直径， ABF90， ABFADC， 又CF， EACBAF， ， CEBF2， cosEAC， cosBAF，
19、设 AF10 x，AB3x， AF2AB2+BF2， 100 x24+90 x2， x， AB6， OAB 的面积SABFABBF3， 故答案为 3 三解答题三解答题 17 （1）解方程：x24x12； （2）计算：sin30+cos30tan45 【分析】 （1）先移项得到 x24x120，然后利用因式分解法解方程； （2）利用特殊角的三角函数值得到原式+1，然后进行二次根式的混合运算 【解答】解： （1）x24x120， （x6） （x+2）0， x60 或 x+20， 所以 x16，x22； （2）原式+1 + 1 18某商店 16 周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表）所示（单位：台
20、） ： 第 1 周 第 2 周 第 3 周 第 4 周 第 5 周 第 6 周 甲 9 10 10 9 12 10 乙 13 12 7 11 10 7 现根据表数据进行统计得到表： 平均数 中位数 众数 甲 10 10 10 乙 10 10.5 7 （1）填空：根据表的数据补全表； （2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差： S乙 2 （1310）2+（1210）2+（710）2+（1110）2+（1010）2+（710）2（台 2） 请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？ 【分析】 （1）将两种品牌冰箱销售量重新排列，再根据平均数、众数和中位数的概念
21、求解即可； （2）先计算出甲品牌冰箱销售数量的方差，再根据方差的意义求解即可 【解答】解： （1）甲品牌销售数量从小到大排列为：9、9、10、10、10、12， 所以甲品牌销售数量的平均数为10（台） ，众数为 10 台， 乙品牌销售数量从小到大排列为 7、7、10、11、12、13， 所以乙品牌销售数量的中位数为10.5（台） ， 补全表格如下： 平均数 中位数 众数 甲 10 10 10 乙 10 10.5 7 故答案为：10、10、10.5； （2）建议商家可多采购甲品牌冰箱， 甲品牌冰箱销量的方差（910）22+（1010）23+（1210）21，S乙 2 ， S乙 2， 甲品牌冰箱的
22、销售量比较稳定，建议商家可多采购甲品牌冰箱 19学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课现有以下社团：A篮球、B机器人、C绘画，学校要 求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团 （1）甲选择“机器人”社团的概率是 ； （2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 9 个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个社团的结果有 3 个，再由概率公式求解 即可 【解答】解： （1）甲选择“机器人”社团的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有 9 个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个社团的结果有 3 个， 甲、乙两
23、人选择同一个社团的概率为 20网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展某快递公司 2020 年 9 月份与 11 月份投 递的快递件数分别为 10 万件和 14.4 万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同，求该快递公司投递 的快递件数的月平均增长率 【分析】设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为 x，根据该快递公司今年 9 月份及 11 月份投递 的快递件数，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 【解答】解：设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为 x， 依题意，得：10（1+x）214.4， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答
24、：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为 20% 21如图，四边形 ABCD 内接于O，AD、BC 的延长线相交于点 EABE 与CDE 相似吗？为什么？ 【分析】根据圆内接四边形的性质得到EDCB，于是可证明EDCEBA，则 ED：EBEC： EA，然后利用比例的性质即可得到结论 【解答】解：EDCEBA，理由如下： 四边形 ABCD 内接于O， EDCB， 而DECBEA， EDCEBA 22已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mxn2+50 （1）当 m1 时，该一元二次方程的一个根是 1，求 n 的值； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根 求 m、n 满足的关系式； 在 x
25、轴上取点 H，使得 OH|m|，过点 H 作 x 轴的垂线 l，在垂线 l 上取点 P，使得 PH|n|，则点 P 到点（3，4）的距离最小值是 5 【分析】 （1）把 m1，x1 代入方程得 1+2n2+50，然后解关于 n 的方程即可； （2）利用判别式的意义得到4m24（n2+5）0，从而得到 m 与 n 的关系； 利用勾股定理得到 OP，则点 P 在以 O 点为圆心，为半径的圆上，然后根据点与 圆的位置关系判断点 P 到点（3，4）的距离最小值 【解答】解： （1）把 m1，x1 代入方程得 1+2n2+50， 解得 n2， 即 n 的值为2； （2）根据题意得4m24（n2+5）0，
26、 整理得 m2+n25； OH|m|，PH|n|， OP， 即点 P 在以 O 点为圆心，为半径的圆上， 原点与点（3，4）的连线与O 的交点 P 使点 P 到点（3，4）的距离最小， 原点到点（3，4）的距离为5， 点 P 到点（3，4）的距离最小值是 5 故答案为 5 23 图 1 是放置在水平面上的可折叠式护眼灯， 其中底座的高 AB2cm， 连杆 BC40cm， 灯罩 CD34cm （1）转动 BC、CD，使得BCD 成平角，且ABC150，如图 2，则灯罩端点 D 离桌面 l 的高度 DH 是 （37+2） cm （2）将图 2 中的灯罩 CD 再绕点 C 顺时针旋转，使BCD150
27、，如图 3，求此时灯罩端点 D 离桌面 l 的高度 DI 【分析】 （1）作 BEDH 于点 E，根据题意求出 BD，根据正弦的定义求出 DE，进而求出 DH； （2）过点 D 作 DEl 于 E，过点 C 作 CGBH 于 G，CKDE 于 K，根据直角三角形的性质求出 DK， 根据正弦的定义求出 KE，进而求出 DI 【解答】解： （1）如图 2，作 BEDH 于点 E， ABAH，DHAH， 四边形 ABEH 是矩形， EBA90，EHAB2cm， DBE1509060， EDBDsin6037（cm） ， DHED+EH（37+2）cm， 连杆端点 D 离桌面 l 的高度 DE 为（3
28、7+2）cm， 故答案为： （37+2） ； （2）如图 3，过点 D 作 DEl 于 E，过点 C 作 CGBH 于 G，CKDE 于 K， 则四边形 ABEI、CGEK 为矩形， EIAB2cm，KECG，KCG90， DCK150309030， DKDC17（cm） ， 在 RtCBG 中，CGBCsinCBG4020（cm） ， DIDK+KE+EIDK+CG+EI17+20+2（20+19）cm， 答：灯罩端点 D 离桌面 l 的高度 DI 为（20+19）cm 24如图，已知OAB，点 A 的坐标为（2，2） ，点 B 的坐标为（3，0） （1）求 sinAOB 的值； （2）若点
29、 P 在 y 轴上，且POA 与AOB 相似，求点 P 的坐标 【分析】 （1）证明AOB45，可得结论 （2）分两种情形，利用相似三角形的性质分别求解即可 【解答】解： （1）如图，过点 A 作 AHOB 于 H A（2，2） ， AHOH2， AOB45， sinAOB （2）由（1）可知，AOPAOB45，OA2， 当AOPAOB 时， 可得 OPOB3， P（0，3） ， 当AOPBOA 时， ， OP， P（0，） ， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（0，3）或（0，） 25 如图 1， 在矩形 ABCD 中， AB6cm， BC8cm， 点 P 以 3cm/s 的速度从点 A
30、 向点 B 运动， 点 Q 以 4cm/s 的速度从点 C 向点 B 运动点 P、Q 同时出发，运动时间为 t 秒（0t2） ，M 是PQB 的外接圆 （1）当 t1 时，M 的半径是 cm，M 与直线 CD 的位置关系是 相离 ； （2）在点 P 从点 A 向点 B 运动过程中 圆心 M 的运动路径长是 5 cm； 当M 与直线 AD 相切时，求 t 的值 （3）连接 PD，交M 于点 N，如图 2，当APDNBQ 时，求 t 的值 【分析】 （1）先求出 PB，BQ 的长，根据勾股定理可得 PQ 的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边 即可求解； （2）根据边界点确定：故 M 运动路径为
31、OB，根据勾股定理即可求解； 如图 3，根据切线的性质作辅助线 EF，则 EFAD，EFBC，由 EFFM+ME 列方程即可求解； （3）如图 4，作辅助线，构建全等三角形，证明 APPQ，ADDQ，最后根据勾股定理列方程即可求 解 【解答】解： （1）如图 1，过 M 作 KNAB 于 N，交 CD 于 K， 四边形 ABCD 是矩形， ABC90，ABCD， M 的直径是 PQ，KNCD， 当 t1 时，AP3，AQ4， AB6，BC8， PB633，BQ844， PQ5， M 的半径为cm， MNBQ，M 是 PQ 的中点， PNBN， MN 是PQB 的中位线， MNBQ42， MK8
32、26， M 与直线 CD 的位置关系是相离； 故答案为：，相离； （2）如图 2，由 P、Q 运动速度与 AB，BC 的比相等， 圆心 M 在对角线 BD 上， 由图可知：P 和 Q 两点在 t2 时在点 B 重合， 当 t0 时，直径为对角线 AC，M 是 AC 的中点， 故 M 运动路径为 OBBD， 由勾股定理得：BD10， 则圆心 M 的运动路径长是 5cm； 故答案为：5； 如图 3，当M 与 AD 相切时，设切点为 F，连接 FM 并延长交 BC 于 E，则 EFAD，EFBC， 则 BQ84t，PB63t， PQ105t， PMFM5t， BPQ 中，MEPB3t， EFFM+ME， 5t+3t6， 解得：t； （3）如图 4，过 D 作 DGPQ，交 PQ 的延长线于点 G，连接 DQ， APDNBQ，NBQNPQ， APDNPQ， A90，DGPG， ADDG8， PDPD， RtAPDRtGPQ（HL） ， PGAP3t， PQ105t， QG3t（105t）8t10， DC2+CQ2DQ2DG2+QG2， 62+（4t）282+（8t10）2， 3t210t+80， （t2） （3t4）0， 解得：t12（舍） ，t2
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