1、2020-2021 学年江苏省扬州市宝应县八年级（上）期末数学试卷学年江苏省扬州市宝应县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上）题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片从对称美的角度看，拍得最成功的是（ ） A B C D 2下列说法正确的是（ ） A “买 10 张中奖率为的奖券必中奖”是必然事
2、件 B “汽车累计行驶 10000km，从未出现故障”是不可能事件 C天气预报说“明天下雪的概率为 80%” ，但“明天下雪”仍是随机事件 D射击奥运冠军射击一次，命中靶心是必然事件 3 下列 4 个袋子中， 装有除颜色外完全相同的 10 个小球， 任意摸出一个球， 摸到红球可能性最大的是 （ ） A B C D 4 如图， 点 B、 E、 C、 F 在一条直线上， ABDE， ACDF， 下列条件中， 能判断ABCDEF 的是 （ ） ABECE BAD CECCF DBECF 5如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距 离地面 2.4
3、 米如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度 为（ ） A0.7 米 B1.5 米 C2.2 米 D2.4 米 6等腰三角形的底边长为 6，底边上的中线长为 4，它的腰长为（ ） A6 B2 C D5 7如图，直线 ykx+b（k0）经过点 P（1，1） ，当 kx+bx，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 8将一张矩形纸片 ABCD 按如图所示操作： （1）将 DA 沿 DP 向内折叠，使点 A 落在点 A1处， （2） 将 DP 沿 DA1向内继续折叠， 使点 P 落在点 P1处， 折痕与边 AB 交于点 M 若 P1MAB，
4、 则DP1M 的大小是（ ） A135 B120 C112.5 D115 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上）相应位置上） 9小亮的体重为 53.95kg，将小亮的体重精确到 0.1kg，其近似值为 kg 10在ABC 中，ABAC，A40，则B 的度数为 11比较大小： 4 （填“” 、 “”或“” ） 12在平面直角坐标系中，第二象限内有一点 M，点 M 到 x 轴的距离为 5，到 y 轴的距离为 4，则点 M 的 坐标是
5、 13已知ABC 的三边长分别为 6、8、10，则最长边上的高为 14对于函数 y2x1，有下列性质：它的图象过点（1，0） ，y 随 x 的增大而减小，与 y 轴交点为 （0，1） ，它的图象不经过第二象限，其中正确的序号是 （请填序号） 15如图，四边形 ABCD 是正方形，AEBE 于点 E，且 AE5，BE12，则阴影部分的面积是 16已知关于 x、y 的二元一次方程组的解是，则一次函数 yax+b 和 ykx 的图象交点坐 标为 17如图，ACB 和DCE 都是等腰直角三角形，若ACBDCE90，AC2，CE3，则 AD2+BE2 18已知 yx+5，当 x 分别取 1、2、3、20
6、21 时，所对应 y 值的总和是 三、解答题（共三、解答题（共 96 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （1）计算：+|； （2）解方程：8（x+1）327 20图 1、图 2、图 3 都是 33 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A、B、C 均为格点在给 定的网格中，按下列要求画图： （1）在图 1 中，画一条不与 AB 重合的线段 MN，使 MN 与 AB 关于某条直线对称，且 M、N 为格点； （2）在图 2 中，画一条不与 AC 重合的线段 PQ，使
7、PQ 与 AC 关于某条直线对称，且 P、Q 为格点； （3）在图 3 中，画一个DEF，使DEF 与ABC 关于某条直线对称，且 D、E、F 为格点，符合条件 的三角形共有 个 21 一只不透明袋子中装有 1 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同， 某课外学习小组做摸球试验： 将球搅匀后从中任意摸出 1 个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 334 532 667 摸到白球的频率 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 （1）请完成表中所空的
8、数据； （2）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 （精确到 0.01） ，由此 估出红球有 个 22 如图， 小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端， 绳子末端刚好接触地面， 然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处， 发现此时绳子末端距离地面 2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计） 23如图，已知，ECAC，BCEDCA，AE （1）求证：BCDC； （2）若A25，D15，求ACB 的度数 24在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 yx 的图象平移得到，且经过点 （1，2） （1）请在所给平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象并求该
9、一次函数的解析式； （2）当 x1 时，对于 x 的每一个值函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，求出 m 的取 值范围 25如图，点 C 在线段 AB 上，ADEB，ACBE，ADBCCF 平分DCE 求证： （1）ACDBEC； （2）CFDE 26如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ACB 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上 （1）求证：ADB90； （2）若 AE2，AD4，求 AC 27某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作当停止工作时，油箱中油量为 5L，在 整个过程中，油箱里的油量 y（单位：L）与时间 x（单位：
10、min）之间的关系如图所示 （1）机器每分钟加油量为 L，机器工作的过程中每分钟耗油量为 L （2）求机器工作时 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围 （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时 x 的值 28如图，在等边ABC 中，点 E 是边 AC 上一定点，点 D 是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边 DEF，连接 CF 【问题思考】 如图 1，若点 D 与点 B 重合时，求证：CE+CFCD； 【类比探究】 如图 2，若点 D 在边 BC 上，求证：CE+CFCD； 【拓展归纳】 如图 3，若点 D 在边 BC 的延长线上，请直接写出线段 CE、CF 与
11、CD 之间存在的数量关系的结论是： （不证明） 2020-2021 学年江苏省扬州市宝应县八年级（上）期末数学试卷学年江苏省扬州市宝应县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片从对称美的角度看，拍得最成功的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意 故选：B 2下列说法正确的是（ ）
12、 A “买 10 张中奖率为的奖券必中奖”是必然事件 B “汽车累计行驶 10000km，从未出现故障”是不可能事件 C天气预报说“明天下雪的概率为 80%” ，但“明天下雪”仍是随机事件 D射击奥运冠军射击一次，命中靶心是必然事件 【分析】根据随机事件的概念、概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案 【解答】解：A、 “买 10 张中奖率为的奖券必中奖”是随机事件，故原命题错误，不符合题意； B、汽车累计行驶 10000km，从未出现故障”是随机事件，故原命题错误，不符合题意； C、天气预报说“明天下雪的概率为 80%” ，但“明天下雪”仍是随机事件，正确，符合题意； D、射击奥运冠军射
13、击一次，命中靶心是随机事件，故原命题错误，不符合题意， 故选：C 3 下列 4 个袋子中， 装有除颜色外完全相同的 10 个小球， 任意摸出一个球， 摸到红球可能性最大的是 （ ） A B C D 【分析】各选项袋子中分别共有 10 个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最多的袋 子即可得出答案 【解答】解：在四个选项中，D 选项袋子中红球的个数最多， 所以从 D 选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大， 故选：D 4 如图， 点 B、 E、 C、 F 在一条直线上， ABDE， ACDF， 下列条件中， 能判断ABCDEF 的是 （ ） ABECE BAD CECCF D
14、BECF 【分析】利用判定两个三角形全等的方法 SSS、SAS、ASA、AAS 进行分析 【解答】解：ABDE，ACDF， BDEF，FACB， A、添加 BECE，不能判定ABCDEF，故此选项不合题意； B、添加AD，不能判定ABCDEF，故此选项不合题意； C、添加 ECCF，不能判定ABCDEF，故此选项不合题意； D、添加 BECF，可利用 ASA 定理判定ABCDEF，故此选项符合题意； 故选：D 5如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距 离地面 2.4 米如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米，
15、则小巷的宽度 为（ ） A0.7 米 B1.5 米 C2.2 米 D2.4 米 【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，同理可得出 BD 的长，进而可得出结论 【解答】解：在 RtACB 中，ACB90，BC0.7 米，AC2.4 米， AB20.72+2.426.25 在 RtABD 中，ADB90，AD2 米，BD2+AD2AB2， BD2+226.25， BD22.25， BD0， BD1.5 米， CDBC+BD0.7+1.52.2 米 故选：C 6等腰三角形的底边长为 6，底边上的中线长为 4，它的腰长为（ ） A6 B2 C D5 【分析】根据等腰三角形的性质可知 BC 上的中线
16、AD 同时是 BC 上的高线，根据勾股定理求出 AB 的长 即可 【解答】解：等腰三角形 ABC 中，ABAC，AD 是 BC 上的中线， BDCDBC3，AD 同时是 BC 上的高线， AB5 故它的腰长为 5 故选：D 7如图，直线 ykx+b（k0）经过点 P（1，1） ，当 kx+bx，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】将 P（1，1）代入 ykx+b（k0） ，可得 k1b，再将 kx+bx 变形整理，得bx+b0， 求解即可 【解答】解：由题意，将 P（1，1）代入 ykx+b（k0） ， 可得 k+b1，即 k1b， 整理 kx+bx 得， （k
17、1）x+b0， bx+b0， 由图象可知 b0， x10， x1， 故选：A 8将一张矩形纸片 ABCD 按如图所示操作： （1）将 DA 沿 DP 向内折叠，使点 A 落在点 A1处， （2） 将 DP 沿 DA1向内继续折叠， 使点 P 落在点 P1处， 折痕与边 AB 交于点 M 若 P1MAB， 则DP1M 的大小是（ ） A135 B120 C112.5 D115 【分析】由折叠前后对应角相等且P1MA90可先求出DMP1DMA45，进一步求出ADM 45，再由折叠可求出MDP1ADPPDM22.5，最后在DP1M 中由三角形内角和定理即 可求解 【解答】解：折叠，且P1MA90，
18、DMP1DMA45，即ADM45， 折叠， MDP1ADPPDMADM22.5， 在DP1M 中，DP1M1804522.5112.5， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 9小亮的体重为 53.95kg，将小亮的体重精确到 0.1kg，其近似值为 54.0 kg 【分析】对百分位数字四舍五入即可 【解答】解：53.95 精确到 0.1 为 54.0， 故答案为：54.0 10在ABC 中，ABAC，A40，则B 的度数为 70 【分析】根据等腰三角形的性质可得到BC，已知顶角的度数，根据三角形内角和定理即可求解 【解答】解：ABAC， BC， A40， B（18040）2
19、70 故答案为：70 11比较大小： 4 （填“” 、 “”或“” ） 【分析】直接利用实数比较大小的方法分析得出答案 【解答】解：4， 4， 4 故答案为： 12在平面直角坐标系中，第二象限内有一点 M，点 M 到 x 轴的距离为 5，到 y 轴的距离为 4，则点 M 的 坐标是 （4，5） 【分析】根据点到 x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点 M 的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点 M 的具体坐标 【解答】解：设点 M 的坐标是（x，y） 点 M 到 x 轴的距离为 5，到 y 轴的距离为 4， |y|5，|x|4 又点 M 在第二象限内
20、， x4，y5， 点 M 的坐标为（4，5） ， 故答案为： （4，5） 13已知ABC 的三边长分别为 6、8、10，则最长边上的高为 【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断ABC 的形状，再根据等积法即可得到最长边上的高 【解答】解：ABC 的三边长分别为 6、8、10，62+82102， ABC 是直角三角形，斜边长为 10， 最长边上的高为：， 故答案为： 14对于函数 y2x1，有下列性质：它的图象过点（1，0） ，y 随 x 的增大而减小，与 y 轴交点为 （0，1） ，它的图象不经过第二象限，其中正确的序号是 （请填序号） 【分析】根据一次函数的性质进行计算即可 【解答】解：把 x
21、1 代入解析式得到 y1，即函数图象经过（1，1） ，不经过点（1，0） ，故错误； 函数 y2x1 中，k20，则该函数图象 y 值随着 x 值增大而增大，故错误； 当 x0 时，y1，则函数 y2x1 与 y 轴交点为（0，1） ，故错误； 函数 y2x1 中，k20，b10，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故 正确； 故答案为： 15如图，四边形 ABCD 是正方形，AEBE 于点 E，且 AE5，BE12，则阴影部分的面积是 139 【分析】根据勾股定理求出 AB，分别求出AEB 和正方形 ABCD 的面积，即可求出答案 【解答】解：在 RtAEB 中，AEB90，A
22、E5，BE12， 由勾股定理得：AB13， 正方形的面积是 1313169， AEB 的面积是AEBE51230， 阴影部分的面积是 16930139， 故答案为：139 16已知关于 x、y 的二元一次方程组的解是，则一次函数 yax+b 和 ykx 的图象交点坐 标为 （4，2） 【分析】根据方程组是由两个函数的解析式所构成，因此方程组的解即为两函数的交点坐标 【解答】解：根据题意可知： x4，y2 同时满足两个一次函数的解析式 则一次函数 yax+b 和 ykx 的图象交点坐标为（4，2） 故答案为： （4，2） 17如图，ACB 和DCE 都是等腰直角三角形，若ACBDCE90，AC2
23、，CE3，则 AD2+BE2 26 【分析】根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可 【解答】解：ACB 和DCE 都是等腰直角三角形， ACBDCB90，ACBC，DCCE， ACEBCD， 在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD（SAS） ， CDBCEA， DOEDCE90， AODAOBBOEDOE90， AD2AO2+DO2，BE2BO2+EO2，AB2AO2+BO2，DE2DO2+EO2， AD2+BE2AB2+DE2， 在 RtACB 中，AB22AC2， 在 RtDCE 中，DE22CD2， AB2+DE22（AC2+CD2）26 故答案为：26
24、 18已知 yx+5，当 x 分别取 1、2、3、2021 时，所对应 y 值的总和是 2033 【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简，然后代入求值即可求出答案 【解答】解：y|x4|x+5， 当 x4 时， y（x4）x+5 x+4x+5 2x+9， 当 x4 时， yx4x+5 1， y 值的总和为：7+5+3+1+1+1 7+5+3+12018 2033， 故答案为：2033 三解答题三解答题 19 （1）计算：+|； （2）解方程：8（x+1）327 【分析】 （1）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案； （2）直接利用立方根的性质计算得出
25、答案 【解答】解： （1）原式2（3）+ 5+； （2）则， 故， 解得： 20图 1、图 2、图 3 都是 33 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A、B、C 均为格点在给 定的网格中，按下列要求画图： （1）在图 1 中，画一条不与 AB 重合的线段 MN，使 MN 与 AB 关于某条直线对称，且 M、N 为格点； （2）在图 2 中，画一条不与 AC 重合的线段 PQ，使 PQ 与 AC 关于某条直线对称，且 P、Q 为格点； （3）在图 3 中，画一个DEF，使DEF 与ABC 关于某条直线对称，且 D、E、F 为格点，符合条件 的三角形共有 4 个 【分析】根据要求利用轴对称
26、的性质作出图形即可（答案不唯一） 【解答】解： （1）如图，线段 MN 即为所求作（答案不唯一） （2）如图，线段 PQ 即为所求作（答案不唯一） （3）如图，DEF 即为所求作（答案不唯一） ，符合条件的三角形有 4 个 故答案为：4 21 一只不透明袋子中装有 1 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同， 某课外学习小组做摸球试验： 将球搅匀后从中任意摸出 1 个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.36 0.3100 0
27、.3250 0.3340 0.3325 0.3335 （1）请完成表中所空的数据； （2）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 0.33 （精确到 0.01） ，由 此估出红球有 2 个 【分析】 （1）根据频率频数数据总和，频数数据总和频率，列出算式计算即可求解； （2）通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在 0.33 左右，估计得出答案 【解答】解： （1）722000.36， 4000.3250130， 填表如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球
28、的频率 0.36 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 故答案为：0.36，130； （2）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 0.33（精确到 0.01） ，由此估 出红球有 10.3312 个 故答案为：0.33，2 22 如图， 小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端， 绳子末端刚好接触地面， 然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处， 发现此时绳子末端距离地面 2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计） 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为 x，可得 ACADx，AB（x2）m，BC8m，在 Rt ABC 中利用勾股定理可求出 x
29、 【解答】解：设旗杆高度为 x，则 ACADx，AB（x2）m，BC8m， 在 RtABC 中，AB2+BC2AC2，即（x2）2+82x2， 解得：x17， 即旗杆的高度为 17 米 23如图，已知，ECAC，BCEDCA，AE （1）求证：BCDC； （2）若A25，D15，求ACB 的度数 【分析】 （1）根据 AAS 证明BCADCE，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可 【解答】证明： （1）BCEDCA， BCE+ACEDCA+ECA， 即BCADCE， 在BCA 和DCE 中， BCADCE（AAS） ， BCDC； （2）BCADCE， BD1
30、5， A25， ACB180AB140 24在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 yx 的图象平移得到，且经过点 （1，2） （1）请在所给平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象并求该一次函数的解析式； （2）当 x1 时，对于 x 的每一个值函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，求出 m 的取 值范围 【分析】 （1）先根据直线平移时 k 的值不变得出 k1，再将点 A（1，2）代入 yx+b，求出 b 的值，即 可得到一次函数的解析式； （2）根据点（1，2）结合图象即可求得 【解答】解： （1）一次函数 ykx+b（k0）的图象由直线
31、yx 平移得到， k1， 将点（1，2） ，解得 b1， 一次函数的解析式为 yx+1； （2）把点（1，2）代入 ymx 求得 m2， 当 x1 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 yx+1 的值， m2 25如图，点 C 在线段 AB 上，ADEB，ACBE，ADBCCF 平分DCE 求证： （1）ACDBEC； （2）CFDE 【分析】 （1）根据平行线性质求出AB，根据 SAS 推出即可 （2）根据全等三角形性质推出 CDCE，根据等腰三角形性质求出即可 【解答】证明： （1）ADBE， AB， 在ACD 和BEC 中 ACDBEC（SAS） ， （2）AC
32、DBEC， CDCE， 又CF 平分DCE， CFDE 26如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ACB 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上 （1）求证：ADB90； （2）若 AE2，AD4，求 AC 【分析】 （1）由“SAS”可证ECADCB，可得EBDC，由余角的性质可求解； （2）由全等三角形的性质可求 BDAE2，由勾股定理可求解 【解答】证明： （1）ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CACB，CECD， ECDACB90， ECDACDACBACD， 即ECADCB， 在ECA 和DCB 中， ， ECADCB（SAS） ， EBDC， E+E
33、DC90， 即ADB90； （2）ECADCB， BDAE2， ADB90，AD4， AB2AD2+BD220， ACB90，CACB， AB2AC2+BC220， 27某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作当停止工作时，油箱中油量为 5L，在 整个过程中，油箱里的油量 y（单位：L）与时间 x（单位：min）之间的关系如图所示 （1）机器每分钟加油量为 3 L，机器工作的过程中每分钟耗油量为 0.5 L （2）求机器工作时 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围 （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时 x 的值 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以
34、得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量； （2） 根据函数图象中的数据， 可以得到机器工作时 y 关于 x 的函数解析式， 并写出自变量 x 的取值范围； （3）根据（2）中的函数解析式和（1）中的加油的速度，令函数值为 302，即可得到相应的 x 的值 【解答】解： （1）由图象可得， 机器每分钟加油量为：30103（L） ， 机器工作的过程中每分钟耗油量为： （305）（6010）0.5（L） ， 故答案为：3，0.5； （2）当 10 x60 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 yax+b， ， 解得， 即机器工作时 y 关于 x 的函数解析式为 y0.5x+35（10 x
35、60） ； （3）当 3x302 时，得 x5， 当0.5x+35302 时，得 x40， 即油箱中油量为油箱容积的一半时 x 的值是 5 或 40 28如图，在等边ABC 中，点 E 是边 AC 上一定点，点 D 是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边 DEF，连接 CF 【问题思考】 如图 1，若点 D 与点 B 重合时，求证：CE+CFCD； 【类比探究】 如图 2，若点 D 在边 BC 上，求证：CE+CFCD； 【拓展归纳】 如图 3，若点 D 在边 BC 的延长线上，请直接写出线段 CE、CF 与 CD 之间存在的数量关系的结论是： FCCD+CE （不证明） 【分析】 【
36、问题思考】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； 【类比探究】作 DGAB 交 AC 于点 G，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； 【拓展归纳】过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线于点 G，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和 性质解答即可 【解答】 【问题思考】证明：ABC 是等边三角形， ABC60，ABBC， BEF 是等边三角形， BEBF，EBF60， ABE+EBCCBF+EBC60， ABECBF， 在ABE 和CBF 中， ， ABECBF（SAS） ， AECF， CDCBCACE+AECE+CF， CE+CFCD； 【类比探究】作
37、 DGAB 交 AC 于点 G，如图 1 所示： ABC 是等边三角形， ABC60， DGAB， GDCB60，DGCA60， GDCDGCC60， CDG 是等边三角形， DGDCCG，GDC60， DEF 是等边三角形， DEDF，EDF60， GDE+EDCCDF+EDC60， GDECDF， 在DE 和CDF 中， ， GDECDF（SAS） ， GECF， CDCGCE+EGCE+CF， CE+CFCD； 【拓展归纳】FCCD+CE：理由如下： 过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线于点 G，如图 2， GDAB， GDCB60，DGCA60， GDCDGC60， GCD 是等边三角形， DGCDCG，GDC60， EDF 为等边三角形， EDDF，EDFGDC60， EDGFDC， 在EGD 与FCD 中， ， EGDFCD（SAS） ， EGFC， FCEGCG+CECD+CE 故答案为：FCCD+CE
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