1、锐角三角函数及解直角三角形锐角三角函数及解直角三角形 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、勾股定理和勾股定理逆定理：一、勾股定理和勾股定理逆定理： 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a 2b2=c2。 2.勾股定理逆定理： 如果三角形三边长 a，b，c 满足 a 2b2=c2；那么这个三角形是直角三角形。 【例题【例题 1 1】（2020包头）如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是 AB 的中点，BECD，交 CD 的延长线于点 E若 AC2，BC22，则 BE 的长为（ ） A26 3 B 6 2 C3 D2 【答案】A 【
2、解析】方法 1：根据勾股定理可求 AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出 BD，CD 的长，设 DEx，根据勾股定理得到关于 x 的方程，解方程可求 x，进一步求出 BE 的 长 方法 2：由 AC，BC 易求三角形 ABC 的面积，由 D 是 AB 中点，从而得到BCD 的面积是ABC 面积的一半，从而得到 BE 解：方法 1：在 RtABC 中，ACB90，AC2，BC22， 由勾股定理得 AB= AC2+ BC2=22+ (22)2=23， D 是 AB 的中点， BDCD= 3， 设 DEx， 由勾股定理得（3） 2x2（22）2（3 +x）2，解得 x= 3 3 ， 在
3、 RtBED 中，BE= BD2 DE2=(3)2 ( 3 3 )2= 26 3 方法 2：三角形 ABC 的面积= 1 2 ACBC= 1 2 222 =22， D 是 AB 中点，BCD 的面积ABC 面积 1 2 = 2， RtABC 中，ACB90，AC2，BC22， 由勾股定理得 AB= AC2+ BC2=22+ (22)2=23， D 是 AB 的中点，CD= 3，BE= 2 222 3 = 26 3 故选：A。 【变式练习【变式练习 1 1】（2020 秋青羊区校级期末）下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的 一组是（ ） A3，4，5 B5，12，14 C6，8，9 D8，
4、13，15 【答案】A 【解析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三 角形是直角三角形判定则可 解：A、4 2+3252，能构成直角三角形，故此选项符合题意； B、5 2+122142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、6 2+8292，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、8 2+122152，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：A 二、直角三角形的判定及性质：二、直角三角形的判定及性质： 1.1.直角三角形的判定：直角三角形的判定： （1）有一个角等于 90的三角形是直角三角形； （2）两锐角互余的三角形是直角三角形； （
5、3）两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形； （4）有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。 2.2.直角三角形的性质：直角三角形的性质： （1）直角三角形的两锐角互余； （2）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （3）直角三角形中 30角所对直角边等于斜边的一半； （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【例题【例题 2 2】（2019 秋开州区期末）如图，在ABC 中，ACB90，沿 CD 折叠CBD，使点 B 恰好落在边 AC 上点 E 处，若A25，则ADE 的大小为（ ） A40 B50 C65 D75 【答案】A 【解析】根据三角形内角和定理
6、可得B65，再由折叠可得CED 的度数，再根据三角形 外角的性质可得ADE 的度数 解：在ABC 中，ACB90，A25，B180902565， 根据折叠可得CED65，ADE652540，故选：A。 【变式练习【变式练习 2 2】（2019 秋定州市期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F，则下列结论成立的是（ ） AECEF BFEFC CCECF DCECFEF 【答案】C 【解析】求出CAFBAF，BACD，根据三角形外角性质得出CEFCFE，即可得出 答案； 解：在 RtABC 中，ACB90，CDAB
7、，CDBACB90， ACD+BCD90，BCD+B90，ACDB， AF 平分CAB，CAEBAF， ACD+CAEB+BAF， CEFCFE，CECF故选：C。 三、锐角三角函数：三、锐角三角函数： 1.1.锐角三角函数的定义：锐角三角函数的定义：在 RtABC 中，C90，ABc，BCa，ACb； （1）正弦：把锐角 A 的对边与斜边的比值叫做A 的正弦；sin Aa A c 的对边 斜边 ； （2）余弦：把锐角 A 的邻边与斜边比值的叫做A 的余弦；cos Ab A c 的邻边 斜边 ； （3）正切：把锐角 A 的对边与邻边的比值叫做A 的正切；tan Aa A Ab 的对边 的邻边
8、。 2.2.几个重要公式：几个重要公式：设是一个锐角，则 （1）sincos(90)； （2）cossin(90)； （3）sinsin 2 2 coscos 2 2 1 1。 3.3.锐角三角函数值的变化规律：锐角三角函数值的变化规律： （1）当 090时，sin(tan)随着角度的增大而 增大 ； （2）当 090时，cos随着角度的增大而 减小 。 【例题【例题 3 3】（2020河池）在 RtABC 中，C90，BC5，AC12，则 sinB 的值是（ ） A 5 12 B12 5 C 5 13 D12 13 【答案】D 【解析】直接利用勾股定理得出 AB 的长，再利用锐角三角函数得出
9、答案 解：如图所示： C90，BC5，AC12， AB= 52+ 122=13， sinB= AC AB = 12 13故选：D 。 【变式练习【变式练习 3 3】（2020雅安）如图，在 RtACB 中，C90，sinB0.5，若 AC6，则 BC 的长为（ ） A8 B12 C63 D123 【答案】C 【解析】根据锐角三角函数的边角间关系，先求出 AB，再利用勾股定理求出 BC 解：法一、在 RtACB 中，sinB= AC AB = 6 AB =0.5，AB12 BC= AB2 AC2= 144 36 63故选：C 法二、在 RtACB 中，sinB0.5，B30 tanB= AC B
10、C = 6 BC = 3 3 ，BC63故选：C。 4.4.特殊角的三角函数值：特殊角的三角函数值： 【例题【例题 4 4】（2020 秋长春期末）式子 2cos30tan45的值是（ ） A1 2 2 B0 C3 1 D3 2 2 【答案】C 【解析】把 30的余弦值、45的正切值代入，计算即可 解：2cos30tan452 3 2 1= 3 1，故选：C。 【变式练习【变式练习 4 4】（2020 秋崇明区期末）计算：tan60+ 2cos30+cot45 2sin30 sin 245 【答案】23 + 1 2 【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案 解：原式= 3 + 2 3
11、 2 +1 21 2 （ 2 2 ） 2= 3 + 3 +11 2 23 + 1 2。 四、解直角三角形：四、解直角三角形： 1.1.解直角三角形：解直角三角形： （1）概念：在直角三角形中，由 已知元素 求 未知元素 的过程，叫做解直角三角形。 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角； 由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.2.解直角三角形的常用关系解直角三角形的常用关系（理论依据）（理论依据）： （1）三边关系：a 2b2c2； （2）两锐角关系：AB90； （3）边与角关系：sincos a AB c ，cossin b AB
12、 c ，tan a A b ； （4）任意角满足：sin 2Acos2A1。 3.3.解直角三角形类型总结表格：解直角三角形类型总结表格： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边 a、b c= 22 ab； tanA= a b ； B=90-A 一直角边 a，斜边 c b= 22 ca； sinA= a c ； B=90-A 一边一锐角 一直角边 a，锐角 A B=90-A； b=acotA； c= sin a A 斜边 c，锐角 A B=90-A； a=csinA； b=ccosA 4.4.解直角三角形的应用常用知识：解直角三角形的应用常用知识： （1）仰角和俯角： 仰角：在视线与水平线所成的
13、角中，视线在水平线上方的角叫做仰角； 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角。 （2）坡度和坡角： 坡度(坡比)：坡面的 铅直高度 h 与 水平宽度 l 的比 h l ，叫做坡度或坡比； 一般用 i 表示；即： l h i ； 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，itan； 坡度越大，角越大，坡面 越陡 。 （3）方向角(或方位角)： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角叫做方向角。 【例题【例题 5 5】（2020安徽）如图，RtABC 中，C90，点 D 在 AC 上，DBCA若 AC 4，cosA= 4 5，则 BD 的长度为（ ） A9 4 B
14、12 5 C15 4 D4 【答案】C 【解析】在ABC 中，由三角函数求得 AB，再由勾股定理求得 BC，最后在BCD 中由三角函数 求得 BD 解：C90，AC4，cosA= 4 5，AB= AC cosA = 5， BC = AB2 AC2= 3， DBCA cosDBCcosA= BC BD = 4 5， BD = 3 5 4 = 15 4 ，故选：C。 【变式练习【变式练习 5 5】（2020凉山州）如图所示，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tanA 的 值为（ ） A1 2 B 2 2 C2 D22 【答案】A 【解析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求 AD、BD，再
15、根据三角函数的意义可求出 tanA 的值 解：如图，连接 BD，由网格的特点可得，BDAC， AD= 22+ 22=22，BD= 12+ 12= 2， tanA= BD AD = 2 22 = 1 2，故选：A。 【例题【例题 6 6】（2020黔南州）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在 点 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角ADE 为 55，测角仪 CD 的高度为 1 米，其底端 C 与旗杆底端 B 之间的距离为 6 米，设旗杆 AB 的高度为 x 米，则下列关系式正确的是（ ） Atan55= 6 x1 Btan55= x1 6 Csin55= x1 6 Dcos55=
16、x1 6 【答案】B 【解析】根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可 解：在 RtADE 中，DE6，AEABBEABCDx1，ADE55， sin55= AE AD，cos55= DE AD，tan55= AE DE = x1 6 ，故选：B。 【变式练习【变式练习 6 6】（2020大连）如图，小明在一条东西走向公路的 O 处，测得图书馆 A 在他的 北偏东 60方向，且与他相距 200m，则图书馆 A 到公路的距离 AB 为（ ） A100m B1002m C1003m D2003 3 m 【答案】A 【解析】根据题意求出AOB，根据直角三角形的性质解答即可 解：由题意得，AOB906030，AB= 1 2OA100（m），故选：A。
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