1、2020-2021 学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1抛物线 y（x1）2+2 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 2 在同一时刻， 身高 1.8 米的小强在阳光下的影长为 0.9 米， 一棵大树的影长为 4.6 米， 则树的高度为 （ ） A9.8 米 B9.2 米 C8.2 米 D2.3 米 3 如图， AB 是O 的直径
2、， MN 是O 的切线， 切点为 N， 如果MNB52， 则NOA 的度数为 （ ） A52 B56 C54 D76 4下列事件中是必然事件的有（ ） A抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上 B三角形内心到三边距离相等 C测量宁波某天的最低气温，结果为80 D某个数的绝对值大于 0 5sin70，cos70，tan70的大小关系是（ ） Atan70cos70sin70 Bcos70tan70sin70 Csin70cos70tan70 Dcos70sin70tan70 6如图，在ABC 中，A78，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是（ ）
3、A B C D 7已知ABC 中，CRt，AC3，BC4，点 P 为边 AB 的中点，以点 C 为圆心，长度 r 为半径画圆， 使得点 A，P 在O 内，点 B 在C 外，则半径 r 的取值范围是（ ） A B C3r4 Dr3 8如图，在ABC 中，A90，ABAC2以 BC 的中点 O 为圆心的圆弧分别与 AB、AC 相切于点 D、E，则图中阴影部分的周长是（ ） A B+2 C+2 D1 9如图，在ABC 中，ACB90，AC4，BC3，P 是 AB 边上一动点，PDAC 于点 D，点 E 在 P 的右侧，且 PE1，连接 CE，P 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 到达点 B
4、 时，P 停止运动，设 PD x，图中阴影部分面积 S1+S2y，在整个运动过程中，函数值 y 随 x 的变化而变化的情况是（ ） A一直减小 B一直增大 C先减小后增大 D先增大后减小 10一个矩形按如图 1 的方式分割成三个直角三角形，把较大两个三角形纸片按图 2 中、两种方式放 置， 设中的阴影部分面积为 S1； 中的阴影部分面积为 S2， 当 S2S1时， 则矩形的两边之比为 （ ） A2 B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11在 RtABC 中，C90，AC12，BC5，则 tanA 的值为 12小莉抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，
5、硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正 面朝上的概率为 13如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边所在直线与半 圆相交于点 D、E，量出半径 OC5cm，弦 DE8cm，则直尺的宽度 14已知二次函数 yx2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 1 0 1 2 3 4 y 10 5 2 1 2 5 A（m4，y1） ，B（m+6，y2）两点都在该函数的图象上，若 y1y2，则 m 的值为 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 4 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点， 点 C 为弦 A
6、B 的中点， 直线 yx6 与 x 轴、 y 轴分别交于点 D、 E， 则CDE 面积的最小值为 16如图，正六边形 ABCDEF 中，G，H 分别是边 AF 和 DE 上的点，GFAB2，GCH60，则线 段 EH 长 三、解答题（第三、解答题（第 17 题题 6 分，分，18 题题 8 分，第分，第 19，20，21，22 题每题题每题 10 分，第分，第 23 题题 12 分，第分，第 24 题题 14 分共分共 80 分）分） 17计算：3tan30+cos2452sin60 18在 55 的方格中，ABC 的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形， 请按要求完
7、成下列作图 （1）在图 1 的方格中作出与ABC 相似的最小格点三角形； （2）在图 2 中把线段 AC 分成三条相等的线段 AEEFFC，点 E，F 都在线 AC 上 （只能用无刻度 的直尺作直线；保留作图痕迹） 19在平面直角坐标系中，将抛物线 C1：y（x1）21 向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位得到新抛 物线 C2 （1）求新抛物线 C2的表达式； （2）如图，将OAB 沿 x 轴向左平移得到OAB，点 A（0，5）的对应点 A落在平移后的新抛物线 C2 上，求点 B 与其对应点 B的距离 20如图 1 是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 2
8、是其侧面结构示 意图，已知托板长 AB120mm，支撑板长 CD40mm，托板 AB 固定在支撑板顶端点 C 处，且 CB 40mm，托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动 （1）若DCB90，CDE60，求点 A 到直线 DE 的距离； （2）为了观看舒适，保持DCB90，在（1）的情况下，将 CD 绕点 D 顺时针旋转，使点 B 落在直 线 DE 上即可，求 CD 旋转的角度 21在抗击新冠疫情期间，某校数学兴趣小组调查了某天上午 10 分钟内进入校门口的累积人数变化情况， 结果如表： 时间x （分钟） 0 2 4 6 8 10 累计人数 y （人） 0 360 64
9、0 840 960 1000 （1）请用适当的函数描述这 10 分钟内进入校门口人数的变化规律，写出 y 与 x 之间的函数解析式； （2）如果学生一进入校门口后就开始排队测体温，若有 6 个测温组，每个测温组每分钟测温 20 人，设 第 x 分钟时的排队人数为 w，问第几分钟时等候测温排队总人数最多，最多有几人？ 22生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中， 对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如： 网格中只有一个小方格 （如图） ， 通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息 （1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的总
10、个数（图中标号 1、2 表示两个不同位置的 小方格，下同） ； （2）图为 22 的网格图，它可表示不同信息的总个数为 ； （3）某校需要给每位师生制作一张“校园同出入证” ，准备在证件的右下角采用 nn 的网格图来表示个 人身份信息，若该校师生共 506 人，则 n 的最小值为 23已知ABC 内接于O，ABAC，ABC 的平分线与O 交于点 D，与 AC 交于点 E，连接 CD 并延 长与O 过点 A 的切线交于点 F，记BAC （1）如图 1，若 60； 直接写出的值为 ； 当O 的半径为 4 时，直接写出图中阴影部分的面积为 ； （2）如图 2若 60，DE6，求 DC 的长 24定义
11、：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形 （1）已知A120，B50，C，请直接写出一个 的值 ，使四边形 ABCD 为幸福 四边形； （2）如图 1，ABC 中，D、E 分别是边 AB，AC 上的点，AEDE求证：四边形 DBCE 为幸福四边 形； （3）在（2）的条件下，如图 2，过 D，E，C 三点作O，与边 AB 交于另一点 F，与边 BC 交于点 G， 且 BFFC 求证：EG 是O 的直径； 连结 FG，若 AE1，BG7，BGFB45，求 EG 的长和幸福四边形 DBCE 的周长 2020-2021 学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波
12、市海曙区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1抛物线 y（x1）2+2 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【分析】根据抛物线 y（x1）2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决 【解答】解：抛物线 y（x1）2+2， 该抛物线的顶点坐标为（1，2） ， 故选：A 2 在同一时刻， 身高 1.8 米的小强在阳光下的影长为 0.9 米， 一棵大树的影长为 4.6 米， 则树的高度为 （ ） A9.8 米 B9.2 米 C8.2 米 D2.3 米 【分析】在同一时刻
13、物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三 者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可 【解答】解：设树高为 x 米， ， 所以， 解得：x9.2 答：这棵树的高度为 9.2 米 故选：B 3 如图， AB 是O 的直径， MN 是O 的切线， 切点为 N， 如果MNB52， 则NOA 的度数为 （ ） A52 B56 C54 D76 【分析】先利用切线的性质得ONM90，则可计算出ONB38，再利用等腰三角形的性质得到 BONB38，然后根据圆周角定理得NOA 的度数 【解答】解：MN 是O 的切线， ONNM， ONM90， ONB9
14、0MNB905238， ONOB， BONB38， NOA2B76 故选：D 4下列事件中是必然事件的有（ ） A抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上 B三角形内心到三边距离相等 C测量宁波某天的最低气温，结果为80 D某个数的绝对值大于 0 【分析】根据事件发生的可能性大小判断，得到答案 【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上，是随机事件； B、三角形内心到三边距离相等，是必然事件； C、测量宁波某天的最低气温，结果为80，是不可能事件； D、某个数的绝对值大于 0，是随机事件； 故选：B 5sin70，cos70，tan70的大小关系是（ ） Atan70cos70sin
15、70 Bcos70tan70sin70 Csin70cos70tan70 Dcos70sin70tan70 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70和 cos70都小于 1，tan70大于 1，故 tan70最 大； 只需比较 sin70和 cos70，又 cos70sin20，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较 【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知 sin701，cos701，tan701 又 cos70sin20，正弦值随着角的增大而增大， sin70cos70sin20 故选：D 6如图，在ABC 中，A78，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角
16、形与 原三角形不相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确 D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误； 故选：C 7已知ABC 中，CRt，AC3，BC4，点 P 为边 AB 的中点，以点 C 为圆心，长度 r 为半径画圆， 使得点 A，P 在O 内，点 B 在C 外，则半径 r 的取值范围是（ ） A
17、 B C3r4 Dr3 【分析】点与圆心的距离 d，则 dr 时，点在圆外；当 dr 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内 【解答】解：由 AC3，BC4，以点 C 为圆心，长度 r 为半径画圆，使得点 A，P 在O 内，点 B 在 C 外，得 3r4， 故选：C 8如图，在ABC 中，A90，ABAC2以 BC 的中点 O 为圆心的圆弧分别与 AB、AC 相切于点 D、E，则图中阴影部分的周长是（ ） A B+2 C+2 D1 【分析】求出 AE、AD 的长，以及弧 DE 的长即可求出阴影部分的周长，根据切线的性质，平行线等分 线段定理可求出 AE、 AD， 以及弧 DE 的半径和相应的圆心
18、角度数， 根据弧长公式求出弧 DE 的长度即可 【解答】解：连接 OE、OD， 以 BC 的中点 O 为圆心的圆弧分别与 AB、AC 相切于点 D、E， OEAC，ODAB，且 ODOE， 又A90， 四边形 OEAD 是正方形， 又点 O 是 BC 的中点，OEAC， AEECAC1， AEADODOE1， ， 阴影部分的周长为+2， 故选：C 9如图，在ABC 中，ACB90，AC4，BC3，P 是 AB 边上一动点，PDAC 于点 D，点 E 在 P 的右侧，且 PE1，连接 CE，P 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 到达点 B 时，P 停止运动，设 PD x，图中阴影部分面
19、积 S1+S2y，在整个运动过程中，函数值 y 随 x 的变化而变化的情况是（ ） A一直减小 B一直增大 C先减小后增大 D先增大后减小 【分析】设 PDx，AB 边上的高为 h，想办法求出 AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问 题即可 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC3， AB5， 设 PDx，AB 边上的高为 h， h， PDBC， ADPACB， ， ADx，PAx， yxx+（4x） x22x+（x）2+， 当 0 x时，y 随 x 的增大而减小， 当x时，y 随 x 的增大而增大 故选：C 10一个矩形按如图 1 的方式分割成三个直角三角形，把较
20、大两个三角形纸片按图 2 中、两种方式放 置， 设中的阴影部分面积为 S1； 中的阴影部分面积为 S2， 当 S2S1时， 则矩形的两边之比为 （ ） A2 B C D 【分析】由面积关系可求 EC2AE，由相似三角形的性质可求解 【解答】解：如图， 由图 1，可得ACB+ACD90ACD+CDEADE+CDE， ACBCDE，ADEDCE， ADEDCE， ， 由图 2，ACBCDE，DEC90， ODOC，CACC， OCOCOD， S1SDCE， 由图 2，S2SABCSDCE， S2S1， SABCSDCESDCE， SABCSDCE， SDCESABCSADC， EC2AE， ， D
21、E22AE2， DEAE， ， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11在 RtABC 中，C90，AC12，BC5，则 tanA 的值为 【分析】根据正切的定义计算，得到答案 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC12，BC5， 则 tanA， 故答案为： 12小莉抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正 面朝上的概率为 【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求 概率的公式 【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面， 所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是， 故答案为
22、： 13如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边所在直线与半 圆相交于点 D、E，量出半径 OC5cm，弦 DE8cm，则直尺的宽度 3cm 【分析】过点 O 作 OFDE，垂足为 F，由垂径定理可得出 EF 的长，再由勾股定理即可得出 OF 的长 【解答】解：过点 O 作 OFDE，垂足为 F， OF 过圆心， DE8cm， EFDE4cm， OC5cm， OB5cm， OF3 故答案为：3cm 14已知二次函数 yx2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 1 0 1 2 3 4 y 10 5 2 1 2 5 A（m4，y1）
23、，B（m+6，y2）两点都在该函数的图象上，若 y1y2，则 m 的值为 1 【分析】根据表中的对应值得到 x1 和 x3 时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线 x2，由于 y1y2，所以 A（m4，y1） ，B（m+6，y2）是抛物线上的对称点，则2，然后解方程即可 【解答】解：x1 时，y2；x3 时，y2， 抛物线的对称轴为直线 x2， A（m4，y1） ，B（m+6，y2）两点都在该函数的图象上，y1y2， 2， 解得 m1 故答案为 1 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 4 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点， 点 C 为弦 AB 的中点，直
24、线 yx6 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，则CDE 面积的最小值为 8 【分析】连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N首先证明点 C 的运动轨迹是 以 M 为圆心，2 为半径的M，设M 交 MN 于 C求出 MN 的长，当点 C 与 C重合时，CDE 的面积最小 【解答】解：连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N，如图所示： ACCB，AMOM， MCOB2， 点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心，2 为半径的M， 设M 交 MN 于 C， 直线 yx6 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E， D（8，0） ，E
25、（0，6） ， OD8，OE6， DMODOM826，DE10， MDNODE，MNDDOE90， DNMDOE， ， 即， MN， 当点 C 与 C重合时，CDE 的面积最小，CDE 的面积最小值10（2）8， 故答案为 8 16如图，正六边形 ABCDEF 中，G，H 分别是边 AF 和 DE 上的点，GFAB2，GCH60，则线 段 EH 长 【分析】作 GPAB，交 BC 于点 P，ANBC 交 GP 于点 N，可得四边形 ABPN 是平行四边形，根据六 边形 ABCDEF 是正六边形，可得ANG 是等边三角形，然后证明CPGHDC，对应边成比例即可 解决问题 【解答】解：如图，作 G
26、PAB，交 BC 于点 P，ANBC 交 GP 于点 N， 四边形 ABPN 是平行四边形， PNAB6， 六边形 ABCDEF 是正六边形， BAFBBCDD120，AFABBCCD6， BANNAGAGN60，CPGD120， ANG 是等边三角形， NGANAG624， PGNG+PN4+610， PCG+DCHBCDGCH1206060， DHC+DCH180D18012060， PCGDHC， CPGD， CPGHDC， ， PCBCBP642，PG10，CD6， DH， EHEDDH6 故答案为： 三解答题三解答题 17计算：3tan30+cos2452sin60 【分析】根据特殊
27、角的三角函数值，即可解答 【解答】解：3tan30+cos2452sin60 18在 55 的方格中，ABC 的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形， 请按要求完成下列作图 （1）在图 1 的方格中作出与ABC 相似的最小格点三角形； （2）在图 2 中把线段 AC 分成三条相等的线段 AEEFFC，点 E，F 都在线 AC 上 （只能用无刻度 的直尺作直线；保留作图痕迹） 【分析】 （1）根据网格即可在图 1 的方格中作出与ABC 相似的最小格点三角形； （2）根据网格，在图 2 中在线 AC 上找到点 E，F 即可 【解答】解： （1）如图 1，三角形 DEF 即
28、为所求； （2）如图 2，点 E，F 即为所求 19在平面直角坐标系中，将抛物线 C1：y（x1）21 向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位得到新抛 物线 C2 （1）求新抛物线 C2的表达式； （2）如图，将OAB 沿 x 轴向左平移得到OAB，点 A（0，5）的对应点 A落在平移后的新抛物线 C2 上，求点 B 与其对应点 B的距离 【分析】 （1）根据平移规律“左加右减，上加下减”解答； （2）把 y5 代入抛物线 C2求得相应的 x 的值，即可求得点 A的坐标，根据平移的性质，线段 AA 的长度即为所求 【解答】解： （1）将抛物线 C1：y（x1）21 向左平移 2 个单位，向
29、下平移 3 个单位得到新抛物线 C2的表达式是：y（x1+2）213，即 y（x+1）24； （2）由平移的性质知，点 A 与点 A的纵坐标相等， 所以将 y5 代入抛物线 C2，得（x+1）245，则 x4 或 x2（舍去） 所以 AA4， 根据平移的性质知：BBAA4，即点 B 与其对应点 B的距离为 4 个单位 20如图 1 是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 2 是其侧面结构示 意图，已知托板长 AB120mm，支撑板长 CD40mm，托板 AB 固定在支撑板顶端点 C 处，且 CB 40mm，托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动
30、 （1）若DCB90，CDE60，求点 A 到直线 DE 的距离； （2）为了观看舒适，保持DCB90，在（1）的情况下，将 CD 绕点 D 顺时针旋转，使点 B 落在直 线 DE 上即可，求 CD 旋转的角度 【分析】 （1）延长 AB 交直线 DE 于点 F，过点 A 作 AM直线 DE 于点 M，在 RtCDF 中，利用三角形 内角和定理、30 度角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可求出 DF 和 CF 的长，进而可求出 AF 的长，由DCFAMF90，CFDMFA 可得出CDFMAF，再利用相似三角形的性质可 求出 AM 的长； （2）在 RtBCD 中，利用勾股定理可求出 BD
31、的长，进而可得出 BD2BC，利用 30 度角所对的直角 边等于斜边的一半可得出CDB30，再结合（2）中CDE 的度数即可求出 CD 旋转的角度 【解答】解： （1）延长 AB 交直线 DE 于点 F，过点 A 作 AM直线 DE 于点 M，如图 3 所示. 在 RtCDF 中，DCF90，CDF60，CD40mm， CFD180906030， DF2CD80（mm） ， CF120（mm） ， AFAC+CF80+120200（mm） DCFAMF90，CFDMFA， CDFMAF， ，即， AM100（mm） ， 若DCB90，CDE60，点 A 到直线 DE 的距离为 100mm （2
32、）依题意画出图形，如图 4 所示 在 RtBCD 中，BCD90，BC40mm，CD40mm， BD80（mm） ， BD2BC， CDB30， CD 旋转的角度603030 21在抗击新冠疫情期间，某校数学兴趣小组调查了某天上午 10 分钟内进入校门口的累积人数变化情况， 结果如表： 时间x （分钟） 0 2 4 6 8 10 累计人数 y （人） 0 360 640 840 960 1000 （1）请用适当的函数描述这 10 分钟内进入校门口人数的变化规律，写出 y 与 x 之间的函数解析式； （2）如果学生一进入校门口后就开始排队测体温，若有 6 个测温组，每个测温组每分钟测温 20 人
33、，设 第 x 分钟时的排队人数为 w，问第几分钟时等候测温排队总人数最多，最多有几人？ 【分析】 （1）由表格中的数据可知，可以用二次函数描述这 10 分钟内进入校门口人数的变化规律取三 组数据求得函数解析式，再将其余数据代入解析式进行验证即可； （2）用 10 分钟内进入校门口的累积人数减去 6 个测温组每分钟测温的人数，得出 w 关于 x 的函数关系 式，再将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）由表格中的数据可知，可以用二次函数描述这 10 分钟内进入校门口人数的变化规律 当 0 x10 时， x0，y0 符合函数， c0，设 yax2+bx， 把 x2，y360
34、；x4，y640 分别代入得： ， 解得， y10 x2+200 x， 验证：将 x6 代入，得 y840； 将 x8 代入，得 y960； 将 x10 代入，得 y1000； y 与 x 之间的函数解析式为 y10 x2+200 x； （2）由题意得： wy120 x 10 x2+200 x120 x 10 x2+80 x 10（x4）2+160， 当 x4 时，w 最大，最大值为 160 第 4 分钟时等候测温排队总人数最多，最多有 160 人 22生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中， 对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息
35、，例如： 网格中只有一个小方格 （如图） ， 通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息 （1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的总个数（图中标号 1、2 表示两个不同位置的 小方格，下同） ； （2）图为 22 的网格图，它可表示不同信息的总个数为 16 ； （3）某校需要给每位师生制作一张“校园同出入证” ，准备在证件的右下角采用 nn 的网格图来表示个 人身份信息，若该校师生共 506 人，则 n 的最小值为 3 【分析】 （1）画出树状图，即可得出答案； （2）画出树状图，即可得出答案； （3）由题意得出规律，即可得出答案 【解答】解： （1）画树状图如下： 共有 4 种等可能结果
36、， 图可表示不同信息的总个数为 4； （2）画树状图如下： 共有 16 种等可能结果， 故答案为：16； （3）由图得：当 n1 时，212， 由图得：当 n2 时，222216， n3 时，232323512， 16506512， n 的最小值为 3， 故答案为：3 23已知ABC 内接于O，ABAC，ABC 的平分线与O 交于点 D，与 AC 交于点 E，连接 CD 并延 长与O 过点 A 的切线交于点 F，记BAC （1）如图 1，若 60； 直接写出的值为 ； 当O 的半径为 4 时，直接写出图中阴影部分的面积为 6 ； （2）如图 2若 60，DE6，求 DC 的长 【分析】 （1）
37、由切线的性质得：OAF90，证明ABC 是等边三角形，得ABCACBBAC 60，根据三角形的内角和定理证明BAD90，可知 BD 是O 的直径，由圆周角，弧，弦的关 系得 ADCD，说明ADF 是含 30 度的直角三角形，可解答； 根据阴影部分的面积S梯形AODFS扇形OAD代入可得结论； （2）如图 2，连接 AD，连接 AO 并延长交O 于点 H，连接 DH，则ADH90，先证明ADF ADE（ASA） ，得 DFDE6，由已知得 DC 的长 【解答】解： （1）如图 1，连接 OA，AD， AF 是O 的切线， OAF90， ABAC，BAC60， ABC 是等边三角形， ABCACB
38、BAC60， BD 平分ABC， ABDCBD30， ADBACB60， BAD90， BD 是O 的直径， OAOBOD， ABOOAB30，OADADO60， BDCBAC60， ADF180606060OAD， OADF， F180OAF90， DAF30， tan30， 故答案为：； O 的半径为 4， ADOA4，DFAD2， AOD60， 阴影部分的面积为：S梯形AODFS扇形OADAF （DF+OA）（2+4） 6； 故答案为：6； （2）如图 2，连接 AD，连接 AO 并延长交O 于点 H，连接 DH，则ADH90， DAH+DHA90， AF 与O 相切， DAH+DAFF
39、AO90， DAFDHA， BD 平分ABC， ABDCBD， ， CADDHADAF， ABAC， ABCACB， 四边形 ABCD 内接于O， ABC+ADC180， ADF+ADC180， ADFABC， ADBACBABC， ADFADB， 在ADF 和ADE 中 ， ADFADE（ASA） ， DFDE6， ， DC9 24定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形 （1） 已知A120， B50， C， 请直接写出一个 的值 20或 70或 170或 155 （写 一个即可） ，使四边形 ABCD 为幸福四边形； （2）如图 1，ABC 中，D、E 分别是边
40、AB，AC 上的点，AEDE求证：四边形 DBCE 为幸福四边 形； （3）在（2）的条件下，如图 2，过 D，E，C 三点作O，与边 AB 交于另一点 F，与边 BC 交于点 G， 且 BFFC 求证：EG 是O 的直径； 连结 FG，若 AE1，BG7，BGFB45，求 EG 的长和幸福四边形 DBCE 的周长 【分析】 （1）先根据四边形的内角和为 360表示D 的度数，根据幸福四边形的定义分 8 种情况列方 程可得结论； （2）根据条件证明BBDEC，由幸福四边形的定义可得结论； （3）根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质得：AACF，BBCF，由三角形的内 角和定理可得ACB90
41、，最后由圆周角定理可得结论； 如图 3，作辅助线，构建相似三角形，证明AHEACB，根据勾股定理和相似三角形的性质计算 EG，AB，AC，BC 的长，从而可得结论 【解答】 （1）解：A120，B50，C， D36012050190， 若ABD，则 12050（190） ，解得：260（舍） ， 若ADB，则 120（190）50，解得：a20， 若BAC，则 50120，解得：70， 若BCA，则 50120，解得：170， 若CBD，则 50（190） ，无解， 若CDB，则 （190）50，解得：70， 若DAC，则 190120，无解， 若DCA，则 190120，解得：155， 综上
42、， 的值是 20或 70或 170或 155（写一个即可） ， 故答案为：20或 70或 170或 155（写一个即可） ； （2）证明：如图 1，设Ax，Cy，则B180 xy， AEDE， ADEAx， BDE180 x， 在四边形 DBCE 中，B180 xyBDEC， 四边形 DBCE 为幸福四边形； （3）证明：如图 2，D、F、G、E 四点都在O 上， ADEFGE， ADEA， FGEA， FGEACF， AACF， BFCF， BBCF， A+B+BCA180， ACF+BCF90，即ACB90， EG 是O 的直径； 如图 3，过 E 作 EHAB 于 H，连接 DG， BFCF， BBCFBDG， BGDG7， EG 是O 的直径， GDE90， DEAE1， EG5， BGFB45，BGFBCFCFG， CFGCEG45， ECG 是等腰直角三角形， CECG5， BC7+512，AC5+16， AB6， AHEACB90，AA， AHEACB， ，即， AH， AEDE，EHAD， AD2AH， 幸福四边形 DBCE 的周长BD+ED+CE+BC 6+1+5+12 18+
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