1、 深圳中考专项复习第 13 讲之几何填空压轴题 【考点介绍】 在深圳中考卷中第 15 或 16 题位置，每年都会出现一道纯几何填空题，难度中等或偏上，对初中几何性质、定理、 数学典型模型的综合（特别是相似综合）考查. 【最近五年中考实题详解】 1.(2020 深圳)如图， 已知四边形 ABCD， AC 与 BD 相交于点 O， ABC=DAC=90， tanACB=1 2, BO OD = 4 3,则 SABD SCBD = _ 【解析】由已知条件的线段比联想到相似，故过 B 点作 BE/AD 交 AC 于点 E，构造相似典型图形“8 字模型” ，可得 OE OA = BO OD = 4 3,
2、而相似中的面积问题，一般有两条解题思路线：若两三角形相似，则面积比等于相似比的平方； 若两三角形不相似，则必出现等底（或等高） ，则面积之比会等于高（或底）之比。此题是属于第种情况， SOAD SOCD = SOAB SOCB = OA OC，则由比例的等比性质可得 SABD SCBD = OA OC，故只需要求出 OA OC的值即可。在 RtABC 中出现一个数学典 型模型 “双垂模型” ， 则ACB=ABE， 则 tanACB=tanABE=1 2， 即 BE CE = AE BE = 1 2， 由 OE OA = 4 3可设 OE=4a,则 OA=3a,AE=7a， BE=14a，EC=
3、28a，OC=OE+EC=32a,则 SABD SCBD = OA OC = 3a 32a = 3 32. 2.(2019 深圳)如图，在正方形 ABCD 中，BE=1，将 BC 沿 CE 翻折，使 B 点对应点刚好落在对角线 AC 上，将 AD 沿 AF 翻折，使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上，求 EF=_ 【解析】 ：中等难度题，折叠问题，考查正方形性质及勾股定理。 E C o D B A F E D CB A G M F E D CB A 作 FMAB 于点 M， 设 B 的对应点为 G， 由折叠问题易得： BCEDAF （ASA） ， BE=DF=1， BE=EG=1， BAC
4、=45， EGA 是等腰直角三角形，AE=2，AB=AD=MF=2 + 1，ME=AE-AM=2 1，在直角三角形 MFE 中，由勾股定 理可得 EF=6. 3.(2018 深圳)在 RtABC 中，C=90,AD 平分CAB，AD、BE 交于点 F，且 AF=4,EF=2,则 AC=_. 【解析】 ：填空压轴题，高难度题型。考查几何综合证明与计算。 由多条角平分线，联想到“两角平分线与角度关系”的典型模型-“两内角角平分线：AFB = 90 + 1 2C” ， 便可得出AFB=135，进而得出AFE=45， （这个结论的得出，是解决此题的“突破口”和思路的关键点） ，则 AFE=45联想到一
5、条解题经验： “出现 45往往构造等腰直角三角形” ，所以作 EMAD 于点 M，则EFM 是等腰直 角三角形，由 EF=2，便可算出 MF=EM=1，则 AM=3，由勾股定理得出 AE=10，连接 CF，由“三角形三条角平分线 会交于一点”可知 CF 是ACB 的角平分线，则ACF=45，由相似典型图形的“共角”模型，易证AEF AFC，得AE AF = AF AC，即 10 4 = 4 AC，则AC = 8 510 4.(2017 深圳)如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，RtMPN，MPN=90，点 P 在 AC 上，PM 交 AB 于点 E，PN 交 BC 于点
6、 F，当 PE=2PF 时，AP= 【解析】旋转典型模型“尺子模型” ，常见解题方法：把尺子摆正，按这添辅助线。如图作 PQAB 于 Q，PRBC 于 R 由QPERPF， 推出PQ PR = PE PF=2， 可得 PQ=2PR=2BQ， 由 PQBC， 可得 AQ： QP： AP=AB： BC： AC=3： 4： 5， 设 PQ=4x， 则 AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得 2x+3x=3，可得 x=3 5,AP=5x=3 【针对练习巩固】 1如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置已知ABC 的面积为 16，阴影部分三角形的面 积 9若 AA1，则 AD 等
7、于_ 2.如图， 在RtABC中， ACB=90， CDAB于点D， AF平分CAB， 交CB于点F， 交CD于点E， 若AC=6， sinB=3 5,则DE的长 为_. 3.如图， ABC 中， 4AB=5AC， AD 为ABC 的角平分线， 点 E 在 BC 的延长线上， EFAD 于点 F， 点 G 在 AF 上， FG=FD， 连接 EG 交 AC 于点 H，若点 H 是 AC 的中点，则AG FD的值为_ 4如图，在ABC 中，ABAC5，BC45，D 为边 AB 上一 动点（B 点除外） ，以 CD 为一边作正方形 CDEF， 连接 BE，则 BDE 面积的最大值为_ 5.如图，四
8、边形 ABCD 是菱形，AB=4，且ABC=60，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意 一点，则 AM+1 2BM 的 最小值_ F E D C B A 6如图，正方形 ABCO 的边长为2.，OA 与 x 轴正半轴的夹角为 15 o，点 B 在第一象限，点 D 在 x 轴的负半轴上， 且满足BDO15，直线 ykx+b 经过 B、D 两点，则 bk 7如图，RtABC 中，C90，AB43，F 是线段 AC 上一点，过点 A 的F 交 AB 于点 D，E 是线段 BC 上 一点，且 EDEB，则 EF 的最小值为_ 8如图，RtABC，AB3，AC4，点 D 在以 C 为圆心 3 为半径
9、的圆上，F 是 BD 的中点，则线段 AF 的最大值 是 9.如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，AB=3，AD=5，BAD=60，点 C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是_ 10 如图， 在ABCD 中， B=60 ， AB=10， BC=8， 点 E 为边 AB 上的一个动点， 连接 ED 并延长至点 F ， 使得 DF=1 4DE， D M C B A D F E C B A 以 EC、EF 为邻边构造EFGC，连接 EG，则 EG 的最小值为 . 11.如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ABC60，ADBCCD4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足 AMD90，
10、则点 M 到直线 BC 的距离的最小值为 12如图，点 A，B 的坐标分别为 A（2，0） ，B（0，2） ，点 C 为坐标平面内一点，BC1，点 M 为线段 AC 的中点， 连接 OM，则 OM 的最大值为_ 13.如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC12，E 为 AD 中点，F 为 AB 上一点，将AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处，则折痕 EF 的长是 14.如图，在 RtABC 中，ACB90，AB10，BC6，CDAB，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E，DE G F E D C B A M D C BA A B C O M x y 15如图，
11、矩形 ABCD 的四个顶点分别在直线 l3，l4，l2，l1上若直线 l1l2l3l4且间距相等，AB4，BC3， 则 tan 的值为_ 16.如图，矩形 OABC 的边 OC 的 y 轴上，OA 在 x 轴上，C（0，3） ，点 D 是线段 OA 的一个动点，连接 CD，以 CD 为边 作矩形 CDEF，使 EF 过点 B，连接 OF，当点 D 与点 A 重合时，所作矩形 CDEF 的面积为 12，在点 D 的运动过程中， 当线段 OF 有最大值时，则点 F 的坐标为_ 17.如图，矩形 ABCD 中，BC=4，且 AB=23，连接对角线 AC，点 E 为 AC 中点，点 F 为线段 AB
12、上的动点，连接 EF， 作点C关于EF的对称点C， 连接CE， CF， 若EFC与ACF的重叠部分 （EFG） 面积等于ACF的1 4， 则BF= . 18.如图，正方形 ABCD 中，点 E,F,G 分别为 AB,BC,CD 边上的点，EB=3,GC=4,连接 EF,FG,EG，恰好构成一个等边三 三角形，则这个正方形的边长是_ 19. 如图，矩形 OABC 的边 OA 与 x 轴重合，B（-1，2） ，将矩形 OABC 绕平面内一点 P 顺时针旋转 90，使 A、C 两 点落在反比例函数 y= 4 x的图像上，则旋转中心 P 点的坐标为_ F E D C B A O y x G F D E
13、 C B A C 20.如图，分别以ABC 中 BC 和 AC 为腰向外作等腰直角EBC 和等腰直角DAC，连结 DE，且 DEBC， EB=BC=6，四边形 EBCD 的面积为 24，则 AB 的长为_ 21.如图， 等腰ABC 中， BC=85,tanABC=1 2,D 为边 AC 上一动点 （不与 C 点重合） ， 作 DEBD 于点 D， 使得 DE BD = 2 3,连接 CE，则CDE 面积的最大值为_ 22. 已知矩形 ABCD，AB=8,AD=6,E 是 BC 边上一点且 CE=2BE,F 是 CD 边的中点，连接 AF、BF、DE 相交于 M、N 两点， 则FMN 的面积是_
14、 23如图，矩形 ABCD 中，AE1 3AD，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CFFD3，则 BC 的长为_ x y O A BC O AB C C BA O F P E C B A O y x E D CB A G F E D C B A 【答案详解】 1 【解析】 ：设 AB交 BC 于 E，AC交 BC 于 FSABC16、SAEF9，且 AD 为 BC 边的中线， SADE1 2SAEF 9 2，SABD 1 2SABC8，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC， AEAB，DAEDAB，则（AD AD） 2SADE SABD
15、，即（ AD AD:1） 2 9 2 8 = 9 16，解得 AD3 或 AD 3 7（舍） ， 2.【解析】 ：考查角平分线的性质、相似判定与性质应用。 由 AC 及 sinB 可得 AB=10，BC=8，在直角三角形 ABC 中，由数学典型模型“双垂型”的“射影定理”可得：AC=AD AB，AD=3.6，由角平分线的相似性质可得：AF 是BAC 的角平分线，AB：AC=BF：FC，FC=3，易证 ADEACF，AD：DE=AC：CF，DE=1.8. 3.【解析】由题易知DEG 为等腰三角形，证ABDAHG 即可，AG:DF=4:3. 【思路分析】 （1）先理清题目条件: 已知条件： 在AB
16、C 中，AB:AC=5:4,H 是 AC 的中点，则 AB:AH=5:2； 由题可证EDG 是等腰三角形，F 是 DG 中点； 所求结论： 求 AG:FD 的值，可拓展为求 AG:GF 或 AG:GD 或 AG:AD 的值均可； （2）梳理解题思路： 求线段比问题，首先考虑相似知识，即首先找到相关联的两个三角形。对刚才梳理的条件中“已知条件与未知条 件”进行比对，不难发现：已知条件中的“AB:AH”与未知条件中的“AG:AD”既包含有已知条件与未知条件，AB 与 AD、AG 与 AH 又分别处于ABD 与AGH 中，若能证明出这两个三角形相似，本题就问题就能迎刃而解。所以思 考的重点转移到了如
17、何证明ABDAHG 中，BAD=HAG 是已知条件，故只需再找一组对应等角即可，结合已知 条件，不难得出ABD=AGH。 【解答过程】 4AB=5AC，H 是 AC 的中点，AB:AH=5:4，又EFAD，FG=FD，EF 是 DG 的垂直平分线，EG=ED，EGD= EDG， ADB=AGH， 又BAD=HAG， ABDAHG， AB:AH=AD:AG=5:2,设 AD=5,则 AG=2， 则 DG=3， DF=1.5, AG:DF=2:1.5=4:3=4/3 4 【解析】求BDE 面积的底与高均是未知变化的，关于两个变量的最值问题，多采用代数方法：用二次三项式表 示出面积，再利用二次函数配
18、方法求最值。设 BD=x,作 EGBA 交 BA 的延长线于点 G，用办法用 x 表示出 EG 的长即 可。当 EGBA 时，出现一个数学典型模型“L 型一线三垂直模型”中的“二垂” ，故作 CHBA 于点 H，则 RtEDG RtDCH,则EG=DH， 想办法利用等腰三角形ABC性质及勾股定理表示出DH的长。 作AMBC于点M， 则BM=CM=25,由 相似典型图形“共角模型”易证BMABHC，得BM BH = AB BC,即 25 BH = 5 45，得 BH=8，则 DH=8-x=EG， 则SBDE= 1 2BD EG = 1 2x(8 x) = 1 2 (x 4)2+ 8，当 x=4
19、时，SBDE有最大值，最大值为 8. 5.【解析】数学典型题型： “胡不归问题” ，由ABD=30，故作 MEAB 于点 N，则1 2BM=EM，BD 是ABC 的角平分 线，作 MFBC 于点 F，则 MF=ME=1 2BM,当 A、M、F 在同一直线上时，即作 AFBC 交 BC 于点 F，交 BD 于点 M，此时 AM+MF 有最小值，即 AM+1 2BM 有最小值，最小值为 AF 的长度，在 RtABF 中，AF=ABsin60=23. 6 【解析】连接 OB，过点 B 作 BEx 轴于点 E，根据正方形的性质可得出AOB 的度数及 OB 的长，结合三角形外角 A B C D E F
20、M H G D F M F E C B A 的性质可得出BDODBO，利用等角对等边可得出 ODOB，进而可得出点 D 的坐标，在 RtBOE 中，通过解 直角三角形可得出点 B 的坐标，由点 B，D 的坐标，利用待定系数法可求出 k，b 的值，再将其代入（bk）中即 可求出结论 解： 连接 OB， 过点 B 作 BEx 轴于点 E， 如图所示 正方形 ABCO 的边长为2， AOB45， OB2OA2 OA与x轴正半轴的夹角为15 o， BOE451530 又BDO15， DBOBOEBDO15， BDODBO，ODOB2，点 D 的坐标为（2，0） 在 RtBOE 中，OB2，BOE30，
21、BE1 2OB1，OE3，点 B 的坐标为（3，1） 将 B（3，1） ，D（2，0）代入 ykx+b，解得： k = 2 3 b = 4 23，bk423（23）23 7【解析】数学转化思维，连接 DF，由 DE=BE 可得B=1，由A+B=90, A=2,可得1+2=90， FDE=90，则 D、E、C、F 四点共圆，EF 是该圆的直径，连接 OC、OD，则 EF=OC+OD，求 EF 的最小值也就求 OC+OD 的最小值，当 C、O、D 在同一直线上，且 CDAB 时 OC+OD 最短，如图 2，易证四边形 DFCE 是正方形，CAB 是等 腰直角三角形，由 CD=1 2AB=23. 8
22、 【解析】取 BC 的中点 N，连接 AN，NF，DC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线 定理求得 AN 和 NF 的长，然后确定 AF 的范围 解：取 BC 的中点 N，连接 AN，NF，DC，RtABC，AB3，AC4，BC5， N 为 BC 的中点，AN1 2BC 5 2，又F 为 BD 的中点，NF 是CDB 的中位线， NF1 2DC 3 2， 5 2 3 2AF 5 2+ 3 2，即 1AF4最大值为 4， o 21 D F E C B A 图1 o A B C EF D 图2 9.【解析】A、B、C、D 四点共圆，BAD=120，BCD=180-60=1
23、20，BAD=60，AC 平分BAD， CAD=CAB=30，如图 1，将ACD 绕点 C 逆时针旋转 120得CBE，则E=CAD=30，BE=AD=5，AC=CE， ABC+EBC=（180-CAB+ACB）+（180-E-BCE）=180，A、B、E 三点共线， 过 C 作 CMAE 于 M，AC=CE，AM=EM=1 2（5+3）=4，在 RtAMC 中，AC= AM cos30= 4 3 2 =83 3 10 【解析】由点 E 的“三个特殊位置确定运动轨迹法”可以确定点 G 在线段 MN 上运动，如图 1，当 EG 是平行线 AB、MN 之间的距离（高）时，EG 最短，如图 2,由于
24、平行线的距离处处相等，与点 E 的位置无关，故可以取 E 在特 殊位置来求 AB 与 MN 之间的距离， 如图 2， 当 E 与 A 重合时， EG=AD=8,则 DF=2,AF=CG=10,BG=18， 作 GHAB 于点 H， 在 RtBHG 中，GH=cosBBG=93，即 EG 的最小值为 93. 11.【解析】延长 AD、BC 交于点 P， 作 MHPB 于 H. ABCD，PD AD = PC BC，ABCDCP60.ADBCCD 4，PDPC，PDC 为等边三角形，PDPCCD4，P60. 由AMD90，可知点 M 在以 AD 为 直径的E 上，且在四边形 ABCD 内的一个动点
25、，根据垂线段最短可知 E、M、H 三点共线时 MH 最小.在 RtPEH 中，EP6，P60，EHEPsin6033，MH 的最小值EHEM332. 图1 N M G F E D C B A H 图2 G FD C B A(E) 12 【解析】本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点 C 为坐标平面 内一点，BC1，所以点 C 在以点 B 为圆心、1 长为半径的圆上，在 x 轴上取 OA=OA=2，当 A、B、C 三点共线时， AC 最大，则 AC=2 2 1，所以 OM 的最大值为 2 1 2 ， 13.【解析】连接 EC，利用矩形的性质，求出 EG，DE
26、 的长度，证明 EC 平分DCF，再证FEC90，最后证FEC EDC，利用相似的性质即可求出 EF 的长度 解：如图，连接 EC，四边形 ABCD 为矩形，AD90，BCAD12，DCAB3，E 为 AD 中点， AEDEAD6 由翻折知，AEFGEF，AEGE6，AEFGEF，EGFEAF90D，GEDE， EC 平分DCG，DCEGCE，GEC90GCE，DEC90DCE， GECDEC，FECFEG+GEC18090，FECD90，又DCEGCE， FECEDC，EC3，FE2， 14.【解析】由 CDAB，DABE，DCBE，所以 CDBC6，再证明AEBCED，根据相似比求出 DE
27、 的 长ACB90，AB10，BC6，AC8，BD 平分ABC，ABECDE，CDAB， DABE，DCBE，CDBC6，AEBCED， H P M DC BA E M C B A/AOx y CEAC83，BE，DEBE， 15【解析】作 CFl4于点 F，交 l3于点 E，设 CB 交 l3于点 G，由已知可得，GEBF，CEEF， CEGCFB，BC3，GB，l3l4，GAB， 四边形 ABCD 是矩形，AB4，ABG90，tanBAG，tan 的值为， 16. 【思路过程】由条件“当点 D 与点 A 重合时，所作矩形 CDEF 的面积为 12” ，及利用矩形面积的“一半模型”即 可求出
28、 OA 的长，由点 D 不管怎么运动，矩形 CDEF 都经过 B 点可知CFB=90，可构造圆模型，以 CB 为直径作CFB 的外接圆，当点 F 在该圆 CB 的上方运动，当点 F、圆心、点 O 在同一直线上时，OF 有最大值。 【解题过程】 如图 1， 当 D 点与 A 点重合时， BAC 的面积， 即是矩形 CDEF 面积的一半， 也是矩形 OABC 面积的一半 （ “一半模型” ） ， 矩形 CDEF 的面积为 12，矩形 OABC 的面积为 12，OA=4。由题可知，矩形 CDEF 经过 B 点，即CFB 在运动中 保持 90不变， 以 CB 为直径，作BCF 的外接圆M，则点 F 在
29、 BC 上方圆部分运动， 当点 O、M、F 在同一直线上时， OF 有最大值，OC=3，CM=MB=MF=2，OF 的最大值为：OF=OM+MF=13+2.过点 F 作 FNBC 于点 N，FN/OC， FM：MO=FN：OC=MN：CM，即 2：13=FN：3=MN：2，FN=613 13 ，MN=413 13 ，F 点的坐标为（413 13 + 2，613 13 +3） ，即 当线段 OF 有最大值时，则点 F 的坐标为（413:26 13 ，613:39 13 ）. 17.【解析】由 E 是中点，EFC与ACF 的重叠部分（EFG）面积等于ACF 的1 4，可得 G 是 AE 的中点，由
30、折叠 可得EFG 面积等于FEC的1 2，所以 G 也是 FC的中点，则 AFEC是平行四边形，AF=EC=EC=7，故 BF=23 7. 图1 F E C B A(D) O y x M 图2 x y O A B C D E F 18.【解析】用函数方法求解。以点 B 建立直角坐标系，如图构造“一线三垂直模型”并设未知数计算，由图可列 方程为：4 3 = 3 2，解得 a= 53 6 ，则正方形边长=a+33 2 = 73 3 19. 20.【解析】由题意可得 SDEC=24-18=6，由等腰三角形的性质可得 BE=BC=6，AC=DA，EBC=DAC=90， ECB=45=DCA，可证ABC
31、DEC，由相似三角形的性质可得 SABC=3，DEC=ABC=45，由三角形的面积公 式可求 AB 的长 C A B C E D G F y x NM H G F E D C B A 4- 3a 3a 3 3 2 3 2 3 2 a 2a 3 4 A. （ 4 3 ，- 2 3 ） B. （ 5 3 ，- 4 3 ） C. （ 3 2 ，- 1 2 ） D. （ 5 4 ，- 1 3 ） 解析：先求出旋转后各点的坐标。由旋转性质可得：OA=BC=OA=BC=1,OC=AB=OC=AB=2, 设C点坐标为(m, 4 m)，则点B的坐标为(m, 4 m+1),则A点坐标为(m-2, 4 m+1),
32、由于A在反比例函数图像上， (m-2)( 4 m+1)=4，解得m=4或-2(舍去)，C(4,1)、B(4,2)、A(2,2)、O(2,1),可知BB在同一直线上，且平行于x轴， 找两组对应点B与B、O与O，连接BB、OO，分别作垂直平分线，交点即为点P，由BB的坐标可知其中点E的坐标 为( 3 2 ,2),可知点P的横坐标为 3 2 ，由O(0,0)、O(2,1)易得直线OO的解析式为：y= 1 2 x,OO的中点F的坐标为(1, 1 2 ),因为 FPOO,设直线FP的解析式为:y=-2x+b，代入F的坐标，可得直线FP的解析式为：y=-2x+ 5 2 ,当x= 3 2 时y=- 1 2
33、,P点的坐 标为（ 3 2 ，- 1 2 ） x y O A BC O AB C C BA O F P E C B A O y x A. （4 3，- 2 3） B. （ 5 3，- 4 3） C. （ 3 2，- 1 2） D. （ 5 4，- 1 3） 解析：先求出旋转后各点的坐标。由旋转性质可得：OA=BC=OA=BC=1,OC=AB=OC=AB=2, 设C点坐标为(m, 4 m)，则点B的坐标为(m, 4 m+1),则A点坐标为(m-2, 4 m+1),由于A在反比例函数图像上， (m-2)( 4 m+1)=4，解得m=4或-2(舍去)，C(4,1)、B(4,2)、A(2,2)、O(2
34、,1),可知BB在同一直线上，且平行于x轴， 找两组对应点B与B、O与O，连接BB、OO，分别作垂直平分线，交点即为点P，由BB的坐标可知其中点E的坐标 为(3 2,2),可知点P的横坐标为 3 2，由O(0,0)、O(2,1)易得直线OO的解析式为：y= 1 2x,OO的中点F的坐标为(1, 1 2),因为 FPOO,设直线FP的解析式为:y=-2x+b，代入F的坐标，可得直线FP的解析式为：y=-2x+5 2,当x= 3 2时y=- 1 2,P点的坐 标为（3 2，- 1 2） x y O A BC O AB C C BA O F P E C B A O y x 解： SBEC=1 2BC
35、BE=18， 四边形EBCD的面积为24， SDEC=24-18=6.EBC与DAC是等腰直角三角形.BE=BC=6， AC=DA， EBC=DAC=90， ECB=45=DCA， EC=2BC， DC=2AC， BCA=DCE， EC BC = DC AC = 2， 且BCA=DCE， ABCDEC,DEC=ABC， SDEC SABC = (2)2= 2,SABC=3,DEBC,DEC=ECB=45.ABC=45,如图， 过点 A 作 AMBC 于 M,SABC=1 2BCAM=3,AM=1,ABC=45，AMBC,ABC=BAM=45,BM=AM=1， AB= 2 21.【解析】作 AF
36、BC 于点 F，则 BF=FC=45,由 tanABC=1 2可得 AF=25,AB=AC=10,由CAFCBQ，可得 = = 10 85，可得 CQ=16,设 CD=x，则 QD=16-x，易证EDG=QBD，则 sinEDG=sinQBD,则 = = 2 3，可得 GE=2 3(16-x)， = 1 2 2 3(16-x)= 1 3( 8) 2 + 64 3 ，CDE 面积的最大值为64 3 22. 【解析】 如图，过点 F 作 FG/BC，交 DE 于点 G，过点 M 作 MHFG，过点 N 作 PNFG，根据题意及中位线性质，解得 CE、BE 的长，再根据相似三角形的判定方法，可证明F
37、NGBNE,ADMFGM,然后结合相似三角形对应边成比例，分 别解得 N 到 FG 的距离、M 到 FG 的距离，继而根据三角形面积公式解题即可 【详解】如图，过点 F 作 FG/BC，交 DE 于点 G，过点 M 作 MHFG，过点 N 作 PNFG， 在矩形 ABCD 中，AB=8,AD=6, CE=2BE,CE=2 3BC= 2 3AD=4,BE= 1 3BC= 1 3AD=2, FG/BC，F 是 CD 边的中点，FG= 1 2EC= 1 2 4=2,1=2,3=4,FNGBNE, = 1，N 到 FG 的距离1= 1 2 = 1 4 = 1 4 = 1 4 8 = 2， = 1 2
38、1 = 1 2 2 2 = 2， 同理可得，DAF=AFG,ADM=DGF，ADMFGM， = 2 6 = 1 3， A BC D E Q F G M 到 FG 的距离2= 1 4 = 1 8 = 1 8 8 = 1，= 1 2 2 = 1 2 2 1 = 1， = + = 2 + 1 = 3， 23 【解析】数学典型题型：折叠问题. （一）代数方法（解方程） ：折叠性质+方程思路+勾股定理或相似. 由折叠性质及方程思路可表示出如图各边，在 RtBCF 中，由勾股定理得：32+ (3 )2= (6 + 9 + 3 2)2. 方程看似复杂，其实很好解，过程如下： 去平方得：9+9 2=36+12
39、9 + 3 2+9+3 2，化简得29 + 3 2= 2 6 两边平方得：36+12 2= 4 12 2+ 36,得 2=24，得 a=26，则 BC=66 （二）几何方法（相似）题目条件中出现“AE1 3AD”,即 AE:AD=1:3,相似典型题型： “线段比问题” ，构 造三角形相似，利用相似性质解题. 作 ENBC 于点 N， 交 BF 于点 M， 由 MN/CF 可得BM BF = MN FC = BN BC = AE AD = 1 3,CF=3,MN=1， 由 BN=AE=EG， BMN=EMG, BNM=EGM 可得BNMEGM，则 MG=MN=1，则 BM=BG-MG=AB-MG=6-1=5，由BM BF = 1 3可得 FB=15，在 RtBCF 中由勾股定理可得 BC=66. 9+3a2 9+4a2 a 3a 2a a 6 6 3 3 G F E D C B A N M G F E D C B A
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