1、2020-2021 学年河南省洛阳市孟津县九年级（上）期末数学试卷学年河南省洛阳市孟津县九年级（上）期末数学试卷 一一.选择题（每小题选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1如图，在直角ABC 中，C90，若 AB5，AC4，则 sinB（ ） A B C D 2 一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球， 其中 3 个红球， 4 个白球， 从布袋中随机摸出一个球， 摸出的球是红球的概率是（ ） A B C D 3某人沿坡度为 i1：的山路行了 20m，则该人升高了（ ） A20m Bm
2、 Cm Dm 4某超市一月份的营业额为 36 万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业 额为 48 万元，设从一月到三月平均每月的增长率为 x则下面所列方程正确的是（ ） A36（1x）248 B36（1+x）248 C36（1x）24836 D48（1x）236 5下列各组图形一定相似的是（ ） A有一个角相等的等腰三角形 B有一个角相等的直角三角形 C有一个角是 100的等腰三角形 D有一个角是对顶角的两个三角形 6下列运算中，正确的是（ ） A B2+36 C D （+1） （1）3 7下列说法错误的是（ ） A随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大
3、B一个事件 A 试验中出现的次数越多，频数就越大 C试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 8如图，小明为了测量其所在位置 A 点到河对岸 B 点之间的距离，沿着与 AB 垂直的方向走了 m 米，到达 点 C，测得ACB，那么 AB 等于（ ） Amsin 米 Bmtan 米 Cmcos 米 D米 9如图，ABC 中，CDAB 于 D，下列条件中： 1A，B+290，BAC：ABC：ACB3：4：5，ACBDAD CD，1+2A+B 一定能确定ABC 为直角三角形的条件的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 10如图，ABC 的两个顶点 B、C 均在第
4、一象限，以点 A（0，1）为位似中心，在 y 轴左侧作ABC 的位 似图形ADE， ABC 与ADE 的位似比为 1： 2 若点 C 的纵坐标是 m， 则其对应点 E 的纵坐标是 （ ） A B2m+3 C（2m+3） D2m+3 二二.填空题（每小题填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是 12将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB8cm，则阴影部分ABF 的面积是 cm2 13如图，A 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 到墙距离 BC 是 1.6 米，梯上的点 D 到墙距离 DE 是 1.4 米， BD 的长是 0.55
5、米，则梯子的长为 米 14如图，APD90，APPBBCCD，在APB、APC、APD、ABC、ABD、ACD 中写 出一对相似三角形 15线段 AB、CD 在平面直角坐标系中的网格位置如图所示，O 为坐标原点，A、B、C、D 均在格点上， 线段 AB、CD 是位似图形，位似中心的坐标是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 55 分）分） 16计算：（2cos45sin60）+ 17解方程： （y+2）2（3y1）2 18如图，在ABC 中，AB12cm，AC8cm，AD、AE 分别是其角平分线和中线，过点 C 作 CGAD 于 点 F，交 AB 于点 G，
6、连接 EF，求线段 EF 的长 19如图，在ABC 中，B90，AB4，BC2，以 AC 为边作ACE，ACE90，ACCE，延 长 BC 至点 D，使 CD5，连接 DE求证：ABCCED 20某校有 A、B 两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐 （1）请用列表或画树形图的方法求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率； （2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在 B 餐厅用餐的概率 21某学习小组，为了测量旗杆 AB 的高度，他们在大楼 MN 第 10 层 D 点测得旗杆底端 B 的俯角是 32， 又上到第 35 层，在 C 点测得旗杆顶端 A 的俯角是 60，每层楼高
7、度是 2.8 米，请你根据以上数据计算 旗杆 AB 的高度 （精确到 0.1 米，已知：sin320.37，cos320.93，tan320.62，1.73） 22某商家将进货单价 40 元的商品按 50 元出售，能卖出 500 件，已知这种商品每涨价 0.4 元，就会少销售 4 件商家为了赚得 8000 元的利润，每件售价应定为多少？ 23如图，正方形 ABCD 的边长是 12cm，E、F 分别是直线 BC、直线 CD 上的动点，当点 E 在直线 BC 上 运动时，始终保持 AEEF （1）证明：RtABERtECF； （2）当点 E 在边 BC 上，BE 为多少时，四边形 ABCF 的面积
8、等于 88cm2； （3）当点 E 在直线 BC 上时，AEF 和CEF 能相似吗？若不能，说明理由，若能，直接写出此时 BE 的长 2020-2021 学年河南省洛阳市孟津县九年级（上）期末数学试卷学年河南省洛阳市孟津县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1如图，在直角ABC 中，C90，若 AB5，AC4，则 sinB（ ） A B C D 【分析】根据三角函数的定义就可以解决 【解答】解：由正弦的定义知，sinB 故选：B 2 一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球， 其中 3 个红球， 4 个白球， 从布
9、袋中随机摸出一个球， 摸出的球是红球的概率是（ ） A B C D 【分析】直接根据概率公式求解即可 【解答】解：装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球， 从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率 故选：B 3某人沿坡度为 i1：的山路行了 20m，则该人升高了（ ） A20m Bm Cm Dm 【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可 【解答】解：设该人升高了 x 米，则水平前进了x 米 根据勾股定理可得 x2+（x）2202 则 x 故选：C 4某超市一月份的营业额为 36 万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业 额为 48 万元，设
10、从一月到三月平均每月的增长率为 x则下面所列方程正确的是（ ） A36（1x）248 B36（1+x）248 C36（1x）24836 D48（1x）236 【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：依题意得：36（1+x）248 故选：B 5下列各组图形一定相似的是（ ） A有一个角相等的等腰三角形 B有一个角相等的直角三角形 C有一个角是 100的等腰三角形 D有一个角是对顶角的两个三角形 【分析】因为角的不确定性，所以无法确定两个内角是等腰三角形的底角还是顶角，直角三角形中两个 直角相等也无法确定三角形相似，即可解题 【解答】解：A若
11、一个等腰三角形的底角和一个等腰三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故 本选项错误； B两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误； C一个角为 100，则这个角必须是顶角，且两底角度数为 40，故两个三角形三内角均相等，即可 判定两三角形相似，故本选项正确； D对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误， 故选：C 6下列运算中，正确的是（ ） A B2+36 C D （+1） （1）3 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 【解答】解：，故选项 A 正确； ，故选项 B 错误；
12、 ，故选项 C 错误； （+1） （1）211，故选项 D 错误； 故选：A 7下列说法错误的是（ ） A随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B一个事件 A 试验中出现的次数越多，频数就越大 C试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案 【解答】解：A、随着试验次数的增多，某一事件发生的频率不会改变，故原说法错误，符合题意； B、一个事件 A 试验中出现的次数越多，频数就越大，正确，不合题意； C、试验的总次数一定时，频率与频数成正比，正确，不合题意； D、频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程
13、度，正确，不合题意； 故选：A 8如图，小明为了测量其所在位置 A 点到河对岸 B 点之间的距离，沿着与 AB 垂直的方向走了 m 米，到达 点 C，测得ACB，那么 AB 等于（ ） Amsin 米 Bmtan 米 Cmcos 米 D米 【分析】在直角ABC 中，已知 及其邻边，求 的对边，根据三角函数定义即可求解 【解答】解：在直角ABC 中，tan， ABmtan 故选：B 9如图，ABC 中，CDAB 于 D，下列条件中： 1A，B+290，BAC：ABC：ACB3：4：5，ACBDAD CD，1+2A+B 一定能确定ABC 为直角三角形的条件的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【
14、分析】由题意根据直角三角形的判定及相似三角形的判定方法，对各选项一一分析可得出答案 【解答】解：A+290，1A， 1+290， 即ABC 为直角三角形，故符合题意； CD2ADDB， ， ADCCDB90， ACDCBD， 1A， A+290， 1+290， 即ACB90，故符合题意； B+290，B+190， 12， 即无法得到两角和为 90，故不符合题意； A：B：C3：4：5，A+B+C180（三角形的内角和是 180） ， A45，B60，C75， ABC 不是直角三角形；故不符合题意； 由三角形的相似无法推出 ACBDADCD 成立，所以ABC 不是直角三角形，故不符合题意 1+2
15、A+B，1+2+A+B180， 1+290， ACB90， ABC 是直角三角形；故符合题意 故一定能确定ABC 为直角三角形的条件有 故选：C 10如图，ABC 的两个顶点 B、C 均在第一象限，以点 A（0，1）为位似中心，在 y 轴左侧作ABC 的位 似图形ADE， ABC 与ADE 的位似比为 1： 2 若点 C 的纵坐标是 m， 则其对应点 E 的纵坐标是 （ ） A B2m+3 C（2m+3） D2m+3 【分析】设点 C 的纵坐标为 x，然后表示出 AC、EA 的纵坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解 【解答】解：设点 C 的纵坐标为 m，则 A、C 间的纵坐标的长度为（m1
16、） ， ABC 放大到原来的 2 倍得到ADE， E、A 间的纵坐标的长度为 2（m1） ， 点 E 的纵坐标是2（m1）1（2m3）2m+3 故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是 【分析】首先利用列举法可得：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正， 反反；然后直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反； 出现两个正面朝上的概率是：， 故答案为： 12将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB8cm，则阴影部分ABF 的面积是 （
17、88） cm2 【分析】由直角三角形的性质可求 AC4（cm） ，BCAC4（cm） ，ACCF4（cm） ，可求 BF 的长，由面积公式可求解 【解答】解：B30，ACB90，AB8cm， AC4（cm） ，BCAC4（cm） ， 由题意可知 BCED， AFCADE45， ACCF4（cm） ， BFBCCF（44） （cm） ， ABF 的面积BFAC（88） （cm2） ， 故答案为（88） 13如图，A 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 到墙距离 BC 是 1.6 米，梯上的点 D 到墙距离 DE 是 1.4 米， BD 的长是 0.55 米，则梯子的长为 4.40 米 【分析】根据梯
18、子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点 D 三者构成的直角三角相似， 利用相似三角形对应边成比例解答即可 【解答】解：因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形， 即ABCADE，则， 设梯子长为 x 米，则， 解得，x4.40 故答案是：4.40 14如图，APD90，APPBBCCD，在APB、APC、APD、ABC、ABD、ACD 中写 出一对相似三角形 ABCDBA 【分析】分别求出 ABAP，ACAP，ADAP，由相似三角形的判定定理可求解 【解答】解：APD90，APPBBCCD， ABAP，ACAP，ADAP， ， ， 又ABCABD， ABCDBA， 故
19、答案为：ABCDBA 15线段 AB、CD 在平面直角坐标系中的网格位置如图所示，O 为坐标原点，A、B、C、D 均在格点上， 线段 AB、CD 是位似图形，位似中心的坐标是 （0，0）或（，4） 【分析】分点 A 和点 C 为对应点，点 B 和点 D 为对应点、点 A 和点 D 为对应点，点 B 和点 C 为对应点 两种情况，根据位似中心的概念解答 【解答】解：当点 A 和点 C 为对应点，点 B 和点 D 为对应点时，延长 CA、BD 交于点 O， 则位似中心的坐标是（0，0） ， 当点 A 和点 D 为对应点，点 B 和点 C 为对应点时，连接 AD、BC 交于点 P， 则点 P 为位似
20、中心， 线段 AB、CD 是位似图形， ABCD， PABPDC， ，即， AP， 位似中心点 P 的坐标是（，4） ， 综上所述，位似中心点的坐标是（0，0）或（，4） ， 故答案为： （0，0）或（，4） 三解答题三解答题 16计算：（2cos45sin60）+ 【分析】先算特殊角的三角函数值，二次根式化简，再算乘除法，最后计算加减法即可求解 【解答】解：（2cos45sin60）+ （2）+ 2 17解方程： （y+2）2（3y1）2 【分析】直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为 x2p 或（mx+n）2p（p0）形式，再运用 算术平方根意义求解 【解答】解：直接开平方，得 y+2
21、（3y1） 即 y+23y1 或 y+2（3y1） ， 解得：y1，y2 18如图，在ABC 中，AB12cm，AC8cm，AD、AE 分别是其角平分线和中线，过点 C 作 CGAD 于 点 F，交 AB 于点 G，连接 EF，求线段 EF 的长 【分析】首先证明AGFACF，则 AGAC4，GFCF，证明 EF 是BCG 的中位线，利用三角 形的中位线定理即可求解 【解答】解：在AGF 和ACF 中， ， AGFACF（ASA） AGAC8cm， GFCF，则 BGABAG1284（cm） 又BECE， EF 是BCG 的中位线 EFBG2cm 答：EF 的长为 2cm， 19如图，在ABC
22、 中，B90，AB4，BC2，以 AC 为边作ACE，ACE90，ACCE，延 长 BC 至点 D，使 CD5，连接 DE求证：ABCCED 【分析】先利用勾股定理计算出 AC2，则 CE2，所以，再证明BACDCE然 后根据相似三角形的判定方法可判断ABCCED 【解答】证明：B90，AB4，BC2， AC2， CEAC， CE2， CD5， ， ， B90，ACE90， BAC+BCA90，BCA+DCE90 BACDCE ABCCED 20某校有 A、B 两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐 （1）请用列表或画树形图的方法求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；
23、 （2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在 B 餐厅用餐的概率 【分析】 （1）画树形图展示所有 8 种等可能的结果数，再找出甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的 结果数，然后根据概率公式求解； （2）从树状图中找出甲、乙、丙三名学生中至少有一人在 B 餐厅用餐的结果数，然后根据概率公式求 解 【解答】解： （1）画树形图为： 共有 8 种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的结果数为 2， 所以甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率； （2）甲、乙、丙三名学生中至少有一人在 B 餐厅用餐的结果数为 7， 所以甲、乙、丙三名学生中至少有一人在 B 餐厅用餐的概率 21某学习
24、小组，为了测量旗杆 AB 的高度，他们在大楼 MN 第 10 层 D 点测得旗杆底端 B 的俯角是 32， 又上到第 35 层，在 C 点测得旗杆顶端 A 的俯角是 60，每层楼高度是 2.8 米，请你根据以上数据计算 旗杆 AB 的高度 （精确到 0.1 米，已知：sin320.37，cos320.93，tan320.62，1.73） 【分析】构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进行解答即可 【解答】解：过 C 作 CEBA 交 BA 的延长线于点 E，过点 D 作 DFBA 交 BA 于点 F 由题意知： 点 D 在第 10 层，点 C 在第 35 层，每层楼高为 2.8 米， MD2.
25、81028（米） ，CM2.83598（米） ， 在 RtDFB 中，FDB32，BFMD28， DF45.16（米） ， 在 RtCEA 中，ACE60，CEDF45.16， EACEtanACE45.16tan6045.161.7378.13（米） ， BECM98（米） BABEAE9878.1319.8719.9（米） ， 答：旗杆 AB 的高度约为 19.9 米 22某商家将进货单价 40 元的商品按 50 元出售，能卖出 500 件，已知这种商品每涨价 0.4 元，就会少销售 4 件商家为了赚得 8000 元的利润，每件售价应定为多少？ 【分析】设售价应定为 x 元/个，则每个的销
26、售利润为（x40）元，能卖出（100010 x）件，根据总利 润每个的销售利润销售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设售价应定为 x 元/个，则每个的销售利润为（x40）元，能卖出 5004（1000 10 x）件， 依题意，得： （x40） （100010 x）8000， 整理得：x2140 x+48000， 解得：x160，x280 答：售价应定为 60 元/个或 80 元/个 23如图，正方形 ABCD 的边长是 12cm，E、F 分别是直线 BC、直线 CD 上的动点，当点 E 在直线 BC 上 运动时，始终保持 AEEF （1）证明：RtABERt
27、ECF； （2）当点 E 在边 BC 上，BE 为多少时，四边形 ABCF 的面积等于 88cm2； （3）当点 E 在直线 BC 上时，AEF 和CEF 能相似吗？若不能，说明理由，若能，直接写出此时 BE 的长 【分析】 （1）通过余角的性质可得BAECEF，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解； （3）分三种情况讨论，由相似三角形的性质可求解 【解答】证明： （1）AEEF， AEB+CEF90， 又BAE+AEB90 BAECEF， 又BC90， RtABERtECF； （2）如图，设 BExcm，则 CE（12x）cm， RtABERtECF， ， ，
28、 ， ， 根据题意得：， 整理得：x212x+320， x14，x28， BE4cm 或 BE8cm； （3）ABEAEF 能成立， 如图 1，当点 E 在线段 BC 上时， AEEF， AEFC90， AF 不平行 BC， AFEFEC， 当FECEAF 时，AEFECF， RtABERtECF， BAEFECEAF， tanBAEtanEAF， ， ， BE6（cm） ； 如图 2，当点 E 在 CB 的延长线上时，设 AF 与 BC 的交点为 H， 当CEFAFE 时，CEFEFA， EHHF，FAEHEA， AHEHHF， BCAD， CFHDFA， ， CH6（cm） ， BH6（cm） ， AH6（cm） ， BEEHBH（66） （cm） ， 如图 3，当点 E 在 BC 的延长线上时，设 AF 与 BC 交于点 H， 当EFCEAF 时，FCEAEF， 同理可求 BE（6+6） （cm） ， 综上所述：BE 的长是 6cm 或（）cm 或（）cm
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