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    北京市各区2020届高三二模数学分类汇编5:立体几何

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    北京市各区2020届高三二模数学分类汇编5:立体几何

    1、2020 北京各区高三二模数学分类汇编立体几何 1.(2020海淀二模)已知三条不同的直线, ,l m n和两个不同的平面,下列四个命题中正确的为 (A)若/m,/n,则/m n (B)若/lm,m,则/l (C)若/l,/l,则/ (D)若/l,l,则 2.(2020海淀二模)某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为 1,那 么该三棱锥的体积为 (A) 2 3 (B) 4 3 (C)2 (D)4 3.(2020海淀二模)如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面 11 BBC C 的边界及其内部运动.若 1 DOOP,则 11 D

    2、C P面积的最大值 为 4.(2020昌平高三二模)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是 (A) (B) (C) (D) 5(2020西城高三二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 (A) 2 5 5 (B) 4 5 5 (C)5 (D)2 5 主视图左视图 俯视图 A B C D 1 A1 B 1 C 1 D O P (A)6 (B)4 (C)3 (D)2 6. (2020东城高三二模)已知一个几何体的三视图如图所示,正(主) 视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的,俯视图和侧 (左)视图分别为一个正方形和一个长方形,那么这个几何体的体积 是 (A)

    3、 1 2 (B) 1 4 (C) 1 8 (D)1 7. (2020丰台高三二模)如图所示,一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形,俯视图为等腰直角三角形, 则该棱锥的体积为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 (C) 4 3 3 (D)2 3 8.(2020房山高三二模)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长侧棱的长为 (A)2 (B)2 2 2 222 俯视图 左视图主视图 俯视图俯视图 侧侧(左左)视图视图 正正(主主)视图视图 1 1 1.5 (C)2 3 (D)4 9.(2020密云高三二模) 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长的棱长为 A B2 C D 10. (20

    4、20西城高三(下)6 月模拟)佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填 充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成 各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目,图 1 的ABCD由六个正三角形构成.将它 沿虚线折起来,可得图 2 所示的六面体形状的香囊.那么在图 2 这个六面体中,棱AB与CD所在直线的位置关 系为 (A)平行 (B)相交 (C)异面且垂直 (D)异面且不垂直 11.(2020东城高三二模)设, 是三个不同的平面,mn,是两条不同的直线,给出下列三个结论: 若m,n,则mn; 若m,m,则; 若,则. 其中,正确结论的序号为_ 注:本题给出的结论中,有多

    5、个符合题目要求。全部选对得 5 分,不选或有错选得 0 分,其他得 3 分。 12(2020西城高三二模)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,4PAAB, , ,E F H分别是棱,PB BC PD的中点,对于平面EFH截四棱锥PABCD所得的截面多边形,有以下三个结论: 截面的面积等于4 6; 截面是一个五边形; 截面只与四棱锥PABCD四条侧棱中的三条相交 其中,所有正确结论的序号是_ 13.(2020朝阳高三二模)某四棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为 1,那么该四棱锥的体积 为 14. (2020西城高三(下)6 月模拟)某几何体的三视图如图所

    6、示,则该几何体的表 面积为 . 15.(2020海淀二模)(本小题共 14 分) 在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,/BCAD,90ADC, 1 1 2 BCCDAD,E为线段 AD的中点.PE 底面ABCD,点F是棱PC的中点,平面BEF与棱PD相 交于点G. ()求证: /BE FG; ()若PC与AB所成的角为 4 ,求直线PB与平面BEF所成角的正弦值 A B B C P E G F E A1 BC D 16(2020西城高三二模)(本小题满分 14 分) 如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,DE 平面ABCD,DEBF,且 22DEBF ()求证

    7、:平面BCF 平面ADE; ()求钝二面角DAEF的余弦值 17.(2020东城高三二模)(本小题 14 分) 如图,四边形ABCD中,/ADBC,CDBC,1BCCD,2AD ,E为AD中点. 将ABE沿BE折起到 1 ABE的位置,如图. ()求证:平面 1 AEB平面 1 AED; ()若 1 90AED,求 1 AC与平面 1 A BD所成角的正弦值. 图 图 ADE CB 18.(2020朝阳高三二模)(本小题 14 分) 如图,在五面体ABCDEF中,面ABCD是正方形,,4,2ADDE ADDEEF且. 3 EDC (I)求证:AD 平面CDEF; (II)求直线BD与平面ADE

    8、所成角的正弦值; (III)设M是CF的中点,棱AB上是否存在点G,使得/ /MG平面ADE?若存在,求线段AG的长;若不存 在,说明理由. 19. (2020西城高三(下)6 月模拟)(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 111 ABCABC中, 1 CC 底面,ABC ACBC D是 11 AC的 中点,且 1 2ACBCAA. ()求证: 1 BC平面 1 AB D; ()求直线BC与平面 1 AB D所成角的正弦值. EA1 B1 C1 C A B 20.(2020昌平高三二模)(本小题 14 分) 如图,在四棱锥中,平面,为 中点,_ ,求证:四边形是直角梯形,并求直线与平面所成

    9、角的正弦值. 从;平面这两个条件中选一个,补充在上面问题中,并完成解答; 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 21.(2020丰台高三二模)(本小题共 14 分) 如图,四边形ABCD为正方形,MAPB,MABC,ABPB,1MA ,2ABPB. ()求证:PB 平面ABCD; ()求直线PC与平面PDM所成角的正弦值. 22.(2020房山高三二模)(本小题 14 分) 如图,在三棱柱 111 ABCABC 中, 11 BCC B 是边长为2的正方形,平面ABC 平面 11 BCC B , 1AB , ABBC ,点E为棱 1 AA 的中点 ()求证: 1 BC 平面 11 A

    10、BC ; ()求直线 1 BC 与平面 1 BCE 所成角的正弦值 23.(2020密云高三二模)(本小题满分 14 分) 如图,直三棱柱中,是棱的中点, ()证明:; ()求二面角的大小 2020 北京各区高三二模数学分类汇编立体几何 参考答案 1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B 11. 12. 13.12 14. 15.(本小题共 14 分) ()证明:因为E为AD中点,所以 1 1 2 DEAD. 又因为1BC ,所以DEBC. 在梯形ABCD中,/DEBC, 所以四边形BCDE为平行四边形. 所以/BECD. 又因为BE 平面PCD,且CD

    11、 平面PCD, 所以/BE平面PCD. 因为BE 平面BEF,平面BEF平面PCDFG, 所以/BEFG. ()解:(解法 1)因为PE 平面ABCD,且,AE BE 平面ABCD, 所以PEAE,且PEBE. 因为四边形BCDE为平行四边形,90ADC, 所以AEBE. 以E为坐标原点,如图建立空间直角坐标系E xyz . 则 (0,0,0)E , (1,0,0)A , (0,1,0)B , ( 1,1,0)C , ( 1,0,0)D . 设 (0,0,)Pm( 0m ), 所以(1, 1,)CPm,( 1,1,0)AB . 因为PC与AB所成角为 4 , 所以cos,CP AB= CP A

    12、B CPAB = 2 2 22m =cos 4 2 2 . 所以2m . 则(0,0,)2P, 1 12 (,) 2 22 F . 所以(0,1,0)EB , 1 12 (,) 2 22 EF ,(0,1,)2PB . 设平面BEF的法向量为 ( , , )x y zn , 则 0 0. EB EF ,n n 即 0 112 0. 222 y xyz , 令2x ,则1z ,所以( 2,0,1)n. 所以cos , | PB PB PB n n n 22 333 . 所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为 2 3 . ()(解法 2) 连结EC, 因为/AEBC且AEBC,所以四边形ABC

    13、E为平行四边形. 所以/ABCE. 因为PC与AB所成角为 4 ,所以PC与CE所成角为 4 . A A B C P E G F x y z 即 4 PCE . 因为PE 平面ABCD,且CE 平面ABCD, 所以PECE. 又因为 2 EDC ,所以平行四边形BCDE是矩形. 所以在等腰直角三角形PEC中,2PECE. 因为PE 平面ABCD,且,AE BE 平面ABCD, 所以PEAE,且PEBE. 又因为AEBE, 以E为坐标原点,如图建立空间直角坐标系E xyz 则 (0,0,0)E , (0,1,0)B ,(0,0,)2P, ( 1,1,0)C , 1 12 (,) 2 22 F .

    14、 所以(0,1,0)EB , 1 12 (,) 2 22 EF ,(0,1,)2PB . 设平面BEF的法向量为 ( , , )x y zn ,则 0 0. EB EF ,n n 即 0 112 0. 222 y xyz , 令2x ,则1z ,所以( 2,0,1)n. 所以cos , | PB PB PB n n n 22 333 . 所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为 2 3 . 16(本小题满分 14 分) 解:()因为 /DEBF,DE 平面ADE,BF 平面ADE, 所以/BF平面ADE. 3 分 同理,得/BC平面ADE. 又因为BCBFB,BC 平面BCF,BF 平面BC

    15、F, 所以平面/BCF平面ADE. 6 分 ()由DE 平面ABCD,底面ABCD为正方形, 得,DA DCDE两两垂直,故分别以,DA DCDE为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标 系, 7 分 则(0,0,0)D,(0,0,2)E,(2,2,1)F,(2,0,0)A, 所以( 2,0,2)AE ,(0,2,1)AF . 8 分 设平面AEF的法向量( , , )x y zn, 由0AE n,0AF n,得 220, 20, xz yz 令1y ,得( 2,1, 2) n.11 分 平面DAE的法向量 (0,1,0)m . 设钝二面角DAEF的平面角为, 则 1 |cos| |cos,|

    16、 | | |3 m n m n mn , 所以 1 cos 3 ,即钝二面角DAEF的余弦值为 1 3 . 14 分 17.(本小题 14 分) ()证明:因为四边形ABCD中, /ADBC,CDBC , 1BC , 2AD ,E为AD中点, 所以BE AD . 故图中, 1 BEAE,BEDE . 又因为 1 AEDEEI, 1 AE,DE 平面 1 ADE, 所以BE 平面 1 ADE. 又因为BE 平面 1 AEB, 所以平面 1 AEB平面 1 ADE.6 分 z x y D CB A1 E ()解:由 1 90AED得 1 AEDE, 又 1 AEBE,BEDE, 因此,建立如图所示

    17、的空间直角坐标系Exyz 由 1 1AECDDE, 得 1(0,0,1) A,(1,0,0)B,(1,1,0)C, (0,1,0)D, 1 (1,0, 1)AB uuu r , 1 (0,1, 1)AD uuu r , 设平面 1 ABD的法向量为( , , )nx y z, 则 1 1 0 0 AB AD , , n n uuu r uuur 即 0 0 xz yz , , 令1z 得1,1xy, 所以(1,1,1)n是平面 1 ABD的一个法向量. 又 1 (1,1, 1)AC uuu r , 设直线 1 AC与平面 1 ABD所成角为, 所以 1 1 1 |11 sin|cos ,| 3

    18、 33| | uuu r uuu r uuu r n n n AC AC AC 14 分 18.(本小题 14 分) 解:()因为ABCD是正方形,所以ADCD 又因为ADDE,DE 平面CDEF, CD平面CDEF,CDDED=I, 所以AD平面CDEF4 分 ()由()知,AD平面CDEF, 所以平面ABCD 平面CDEF G M FE D C B A O H x y z 过点E作EOCD,垂足为O, 则OE 平面ABCD 在平面ABCD内,过O作OHCD, 则OE OH 如图建立空间直角坐标系-Oxyz, 因为4AD=,2DEEF=,且 3 EDC?,所以1DO=,3OE= 则(4, 1

    19、,0)A-,(4,3,0)B,(0,3,0)C,(0, 1,0)D-,(0,0, 3)E, 所以 ( 4,0,0)AD= - uuu r , ( 4,1, 3)AE = - uuu r , ( 4,4,0)BD= - uuu r 设平面ADE的一个法向量为 ( , , )x y z=n , 则 0, 0. AD AE ? ? n n uuu r uuu r 即 40, 430. x xyz - = - += 令3y,则0 x,1z,于是(0, 3,1)=-n 设直线BD与平面ADE所成角为q, 则 |4 36 sin|cos,| 424 2 | BD BD BD q = = n n n uuu

    20、 r uuu r uuu r 所以直线BD与平面ADE所成角的正弦值为 6 4 10 分 ()棱AB上存在点G,使得/MG平面ADE,此时3AG=理由如下: 因为/DC AB,DC平面ABFE,AB平面ABFE, 所以/DC平面ABFE 因为DC 平面DCFE,平面DCFEI平面ABFEEF=, 所以/DC EF 由()知,(0,2, 3)F, 53 (0,) 22 M 设 11 (4,0) ( 13)Gyy-,则 1 53 (4,) 22 MGy=- uuu r 由()知,平面ADE的一个法向量为(0, 3,1)=-n 若/MG平面ADE,则0MG?n uuu r ,即 1 53 3()0

    21、22 y -+=,解得 1 2y =,即(4,2,0)G 经验证,此时/MG平面ADE 所以棱AB上存在点G,使得/MG平面ADE,此时3AG=14 分 19(本小题满分 14 分) 解:()如图,连接.设,并连接. 由三棱柱,得.2 分 又因为是的中点, 所以.4 分 又因为平面,平面, 所以平面.6 分 ()因为底面, 所以,两两垂直,故分别以,为轴,轴,轴,如图建立空间直角坐 标系,7 分 则, 所以,8 分 设平面的法向量, 由,得 令,得.11 分 设直线与平面所成的角为, 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为.14 分 20.(本小题满分 14 分) 解 1;选择 因为平面, 所以

    22、,. .1 分 因为, 所以. 因为, 所以. 所以. .4 分 因为, 所以平面. .6 分 所以. 因为, 所以. .7 分 所以四边形是直角梯形. 解 2;选择 因为平面, 所以,. .1 分 因为, 所以. 因为, 所以. 所以.4 分 因为, 所以平面. 所以. .6 分 因为平面,平面,平面平面, 所以. 所以四边形是直角梯形. .7 分 过作的垂线交于点. 因为平面, 所以. .8 分 如图建立空间直角坐标系. .9 分 则. 因为为中点, 所以. 所以. .10 分 设平面的法向量为,则 即 .11 分 令则. 于是. .12 分 设直线与平面所成的角为, 所以. 所以直线与平

    23、面所成角的正弦值为. .14 分 21.(本小题共 14 分) 证明:()因为MABC,MA/PB, 所以PBBC, 因为ABPB,ABBCB, 所以PB 平面ABCD.5 分 ()因为PB 平面ABCD, AB 平面ABCD,AD 平面ABCD, 所以PBAB,PBAD. 因为四边形ABCD为正方形, 所以ABBC. 如图建立空间直角坐标系Bxyz, 则(0 0 2)P, ,,(2 0 1)M, ,,(0 2 0)C, ,,(2 2 0)D, ,, (0 22)PC , ,,(2 22)PD , ,,(2 01)PM , ,. 设平面PDM的法向量为()x y z, ,u, 则 0 0 PD

    24、 PM , , u u 即 2220 20 xyz xz , . 令2z ,则1x ,1y .于是(11 2),u. 平面PDM的法向量为(11 2),u. 设直线PC与平面PDM所成的角为, 所以 3 sincos 6 PC PC PC , u u u . 所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为 3 6 .14 分 22.(本小题 14 分) 解:()平面ABC 平面 11 BCC B ,平面ABC平面 11 BCC BBC 又AB BC , AB 平面 11 BCC B , (有前面的,才得分) 11 AB /AB, 11 AB 平面 11 BCC B , 1 BC 平面 11 BCC

    25、B , 11 AB 1 BC , 又 11 BCC B 是正方形, 11 BCBC 111 BCABC平面 (有前面的,才得分) ()由 1 ,AB BC BB 两两垂直,如图建立直角坐标系 z y x EA1 B1 C1 C A B (0,0,0)B , 1(2,2,0) C , (2,0,0)C , (0,1,1)E , 1(0,2,0) B , 1 (2,2,0)BC , 1 (2, 2,0)BC , ( 2,1,1)CE 设平面 1 BCE 的法向量为 ( , , )nx y z ,则有 1 0, 0, n BC n CE 即 220 20 xy xyz , , 令 1x ,得 (1,1,1)n 设直线 1 BC 与平面 1 BCE 所成角为,所以 46 sin|cos,| 32 23 n BC n BC BC n 23.(本小题满分 14 分) ()证明:在直三棱柱中,侧面为矩形 因为,是棱的中点, 所以和均为等腰直角三角形 所以 因此,即 因为, 所以平面BCD 因为平面BCD, 所以 ()解:因为平面,平面,平面, 所以, 又因为, 所以平面 因为平面,所以 以为原点建立空间直角坐标系,如图所示 不妨设, 则, 所以, 设平面的法向量, 由 得 令,则 设平面的法向量, 由 得 令,则 则有 因为二面角为锐角, 所以二面角的大小为


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