1、专题专题 29 29 平行线中和角平分线有关的图形平行线中和角平分线有关的图形 一、单选题一、单选题 1在钝角 ABC中，延长 BA 到 D，AE是DAC的平分线，AE/BC，则与B 相等的角有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【分析】 依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解 【详解】 解析：依据角平分线的性质和平行线的性质， 可知B =DAE=CAE=C 故选 C 【点睛】 此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质 2如图，点 A、C 为FBE 边上的两点，ADBE，AC 平分BAD，若FAD45 ，则ACE（ ） A45 B67.
2、5 C112.5 D135 【答案】C 【分析】 先根据平角的定义求出BAD，根据角平分线的性质求出DAC，再利用平行线的性质，得到ACB的度 数最后通过平角求出ACE 【详解】 解：FAD45 ， BAD180 -45 135 AC平分BAD， DAC 1 2 BAD67.5 ADBE， ACBDAC67.5 ACE180 -67.5 112.5 故选：C 【点睛】 本题考查平行的性质和角平分线的性质，解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数，能够从角平分线 和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形 3如图，已知 BM平分ABC，且 BM/AD，若ABC70 ，则A的度数是（ ） A30 B3
3、5 C40 D70 【答案】B 【分析】 先根据角平分线的性质，求出ABC 的度数，再由平行线的性质得到A的度数 【详解】 解：BM 平分ABC， MBA 1 2 ABC35 BMAD， AMBA35 故选：B 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键 二、解答题二、解答题 4如图所示，直线 ABCD，直线 EF分别交 AB、CD于 E、F两点，BEF、DFE 的平分线相交于点 K （1）求EKF的度数； （2）如图（2）所示，作BEK、DFK 的平分线相交于点 K1，问K1与K的度数是否存在某种特定的 等量关系？写出结论并证明 （3）在图（2）中作BEK1
4、、DFK1的平分线相交于点 K2，作BEK2、DFK2的平分线相交于点 K3，依 此类推，请直接写出K4的度数 【答案】 （1）EKF90 ； （2）K2K1，证明见解析； （3）K45.625 【分析】 （1） 过 K 作 KGAB， 交 EF于 G， 根据平行于同一条直线的两直线平行可得 ABKGCD， 从而得出BEK EKG，GKFKFD，BEK+FEK+EFK+DFK180 ，然后根据角平分线的定义即可求出 BEK+DFK90 ，从而得出结论； （2）根据角平分线的定义可得BEK1KEK1，KFK1DFK1，结合（1）的结论可得BEK1+DFK1 45 ，从而求出K1，即可得出结论；
5、（3）根据（2）中的规律即可得出结论 【详解】 （1）如图（1） ，过 K作 KGAB，交 EF于 G， ABCD， ABKGCD， BEKEKG，GKFKFD，BEK+FEK+EFK+DFK180 ， EK、FK 分别为BEF与EFD 的平分线， BEKFEK，EFKDFK， 2（BEK+DFK）180 ， BEK+DFK90 ， 则EKFEKG+GKF90 ； （2）K2K1，理由为： BEK、DFK的平分线相交于点 K1， BEK1KEK1，KFK1DFK1， BEK+FEK+EFK+DFK180 ，即 2（BEK+KFD）180 ， BEK+KFD90 ，即BEK1+DFK145 ，
6、同（1）得K1BEK1+DFK145 ， 则K2K1； （3）如图（3） ， 根据 （2） 中的规律和推导方法可得： K2 1 2 K122.5 ， K3 1 2 K211.25 ， K4 1 2 K35.625 【点睛】 此题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键 5如图，已知 AMBN，A64 点 P 是射线 AM 上一动点（与点 A 不重合） ，BC、BD 分别平分ABP 和PBN，分别交射线 AM 于点 C，D （1）ABN的度数是 ；AMBN，ACB ； （2）求CBD 的度数； （3）当点 P运动时，APB 与ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，
7、请写出它们之间的关 系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； （4）当点 P运动到使ACBABD时，ABC的度数是 【答案】 （1）116 , CBN； （2）58； （3）不变，: 2:1APBADB，理由见解析； （4）29 . 【分析】 （1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；由平行线的性质，两直线平行，内错 角相等可直接写出； （2）由角平分线的定义可以证明CBD 1 2 ABN，即可求出结果； （3）不变，APB：ADB2：1，证APBPBN，PBN2DBN，即可推出结论； （4）可先证明ABCDBN，由（1）ABN116 ，可推出CBD58 ，所以ABC+DBN5
8、8 ， 则可求出ABC 的度数 【详解】 解： （1）AM/BN，A64 ， ABN180 A116 ， 故答案为：116 ； AM/BN， ACBCBN， 故答案为：CBN； （2）AM/BN， ABN+A180 ， ABN180 64 116 ， ABP+PBN116 ， BC平分ABP，BD 平分PBN， ABP2CBP，PBN2DBP， 2CBP+2DBP116 ， CBDCBP+DBP58 ； （3）不变， APB：ADB2：1， AM/BN， APBPBN，ADBDBN， BD 平分PBN， PBN2DBN， APB：ADB2：1； （4）AM/BN， ACBCBN， 当ACBAB
9、D时， 则有CBNABD， ABC+CBDCBD+DBN ABCDBN， 由（1）ABN116 ， CBD58 ， ABC+DBN58 ， ABC29 ， 故答案为：29 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分 线的定义等 6如图 1，在平面直角坐标系中，( ,0), ( ,2)A aC b ，且满足 2 (2)20ab，过C作CBx轴于B （1）求ABC的面积 （2）若过B作/BDAC交y轴于D，且,AE DE分别平分,CABODB，如图 2，求AED的度数 （3）在y轴上存在点P使得ABC和ACP的面积相等，请直接写出P点坐标
10、 【答案】 （1）4； （2）45； （2）(0,3)P或(0, 1) 【分析】 （1）根据非负数的性质易得2a ，2b，然后根据三角形面积公式计算； （2） 过E作/EFAC， 根据平行线性质得/BDACEF， 且 1 31 2 CAB ， 1 42 2 ODB ， 所以 1 12() 2 AEDCABODB ；然后把90CABODB 代入计算即可； （3）分类讨论：设(0, )Pt，当P在y轴正半轴上时，过P作/MNx轴，/ /ANy轴，/ /BMy轴，利用 4 APCANPCMPMNAC SSSS 梯形 可得到关于t的方程，再解方程求出t； 当P在y轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t
11、【详解】 解： （1） 2 (2)20ab， 20a ，20b， 2a ，2b， CBAB ( 2,0)A ，(2,0)B， (2,2)C ， ABC的面积 1 2 44 2 ； （2）解： / /CBy轴， /BDAC， 5CAB ， 又590ODB ， 90CABODB， 过E作/EFAC，如图， /BDAC， / / /BDACEF， 31 ，42 AE，DE分别平分CAB，ODB，即： 1 3 2 CAB ， 1 4 2 ODB ， 1 12()45 2 AEDCABODB ； （3） (0, 1)P 或(0,3) 解：当P在y轴正半轴上时，如图， 设(0, )Pt， 过P作/MNx轴
12、，/ /ANy轴，/ /BMy轴， 4 APCANPCMPMNAC SSSS 梯形 ， 4(2) (2)4 2 tt tt ，解得3t ， 当P在y轴负半轴上时，如图 4 APCANPCMPMNAC SSSS 梯形 4(2) (2)4 2 tt tt ，解得1t ， 综上所述：(0,3)P或(0, 1) 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以 及三角形面积公式构造矩形求三角形面积是解题关键 7阅读下面材料： 彤彤遇到这样一个问题： 已知：如图甲，AB/CD，E为 AB，CD之间一点，连接 BE，DE，得到BED 求证：BEDB+D
13、彤彤是这样做的： 过点 E作 EF/AB， 则有BEFB AB/CD， EF/CD FEDD BEF+FEDB+D 即BEDB+D 请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙 已知： 直线 a/b， 点 A， B 在直线 a 上， 点 C， D在直线 b 上， 连接 AD， BC， BE平分ABC， DE平分ADC， 且 BE，DE 所在的直线交于点 E （1）如图 1，当点 B在点 A 的左侧时，若ABC60 ，ADC70 ，求BED的度数； （2）如图 2，当点 B在点 A 的右侧时，设ABC，ADC，直接写出BED的度数（用含有 ， 的式子表示） 【答案】 （1）65 ； （2） 11
14、 180 22 【分析】 （1）如图 1，过点 E作 EFAB，当点 B 在点 A 的左侧时，根据ABC=60 ，ADC=70 ，参考彤彤思考 问题的方法即可求BED的度数； （2）如图 2，过点 E作 EFAB，当点 B 在点 A 的右侧时，ABC=，ADC=，参考彤彤思考问题的方 法即可求出BED的度数 【详解】 （1）如图 1，过点 E作 EFAB， 有BEF=EBA ABCD， EFCD FED=EDC BEF+FED=EBA+EDC 即BED=EBA+EDC， BE 平分ABC，DE平分ADC， EBA= 1 2 ABC=30 ，EDC= 1 2 ADC=35 ， BED=EBA+E
15、DC=65 答：BED 的度数为 65 ； （2）如图 2，过点 E作 EFAB， 有BEF+EBA=180 BEF=180 EBA， ABCD， EFCD， FED=EDC BEF+FED=180 EBA+EDC 即BED=180 EBA+EDC， BE 平分ABC，DE平分ADC， EBA= 1 2 ABC= 1 2 ，EDC= 1 2 ADC= 1 2 ， BED=180 EBA+EDC=180 1 2 + 1 2 答：BED 的度数为 180 1 2 + 1 2 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质 8 如图， 已知/AM
16、BN，60A ， 点 P 是射线 AM上一动点 （与点 A不重合） ， BC， BD 分别平分 ABP 和PBN，分别交射线 AM于点 C，D （1）求CBD的度数 （2）当点 P 运动时，:APBADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化 规律； （3）当点 P 运动到某处时，ACBABD，求此时ABC的度数 【答案】 （1）60 ； （2）不变，APB：ADB=2：1； （3）30 【分析】 （1）根据角平分线的定义只要证明CBD= 1 2 ABN即可； （2）不变可以证明APB=PBN，ADB=DBN= 1 2 PBN （3）想办法证明ABC=CBP=DBP=D
17、BN 即可解决问题； 【详解】 解： （1）AMBN， ABN=180 -A=120 ， 又BC，BD分别平分ABP 和PBN， CBD=CBP+DBP= 1 2 （ABP+PBN）= 1 2 ABN=60 ， （2）不变理由如下： AMBN， APB=PBN，ADB=DBN， 又BD 平分PBN， ADB=DBN= 1 2 PBN= 1 2 APB， APB：ADB=2：1 （3）AMBN， ACB=CBN， 又ACB=ABD， CBN=ABD， ABC=ABD-CBD=CBN-CBD=DBN， ABC=CBP=DBP=DBN， ABC= 1 4 ABN=30 ， 【点睛】 本题考查平行线的
18、性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常 考题型 9如图，已知 ABCD，BE 平分ABC，交 CD于点 D，CDE=160 ，求 C 的度数 【答案】140 【分析】 先根据邻补角的定义求出CDB的度数， 再根据平行线的性质及角平分线的定义得出ADB及ABC的度 数，由平行线的性质可得出C的度数 【详解】 解：CDE=160 ， CDB=180 -CDE=180 -160 =20 ， ABCD， ABD=CDB=20 ， BE平分ABC， ABC=2ABD=2 20 =40 ， C=180 -ABC=180 -40 =140 【点睛】 本题考查的是平行线的
19、性质、角平分线的定义及邻补角的性质，熟知平行线的性质是解答此题的关键 10如图，已知：ADBC于 D，EGBC于 G，AD平分BAC，求证：1=E下面是部分推理过程， 请你填空或填写理由 证明：ADBC，EGBC (已知)， ADC=EGC=90 （ ） ， ADEG（ ） ， 2=_，( ) 3=_(两直线平行，同位角相等) 又AD平分BAC（ ） ， 2=3（ ） ， 1=E（ ） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；1；两直线平行，内错角相等；E；已知；角平分线 的定义；等量代换 【分析】 根据平行线的性质和判定以及角平分线的定义证明即可 【详解】 证明：ADBC，EGBC (已
20、知)， ADC=EGC=90 （垂直的定义） ， AD/EG（同位角相等，两直线平行） ， 2=1，(两直线平行，内错角相等) 3=E(两直线平行，同位角相等) 又AD平分BAC（已知） ， 2=3（角平分线的定义） ， 1=E（等量代换） 【点睛】 本题主要考查平行线的性质及判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质及判定是解题的关键 11已知直线/AB CD，直线 EF分别交 AB、CD于点 A、C，CM是ACD 的平分线，CM 交 AB于点 H， 过点 A作 AGAC交 CM于点 G （1）如图 1，点 G在 CH的延长线上时，若GAB =36 ，求MCD的度数； （2）如图 2，点 G在
21、CH上时，试说明：2MCD+GAB=90 【答案】 （1）63 ； （2）见解析 【分析】 （1）依据 AGAC，GAB=36 ，可得CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得 到MCD的度数； （2）结合（1）得 ACD+CAH=180 ，再依据角平分线的定义，即可得 2MCD+GAB=90 【详解】 （1）AGAC，GAB=36 ， CAH=90 -36 =54 ， ABCD， ACD+CAH=180 ， ACD=126 ， CM 是ACD的平分线， ACH=DCM=63 ； （2）ACH=DCM， ACD=2MCD， 由（1）得 ACD+CAH=180 ， AGAC， CA
22、G=90 ， 2MCD+90 +GAB=180 ， 2MCD+GAB=90 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，利用两直线平行，同旁内角互补是解决问 题的关键 12阅读理解：我们知道“三角形三个内角的和为 180”，在学习平行线的性质之后，可以对这一结论进行 推理论证 请阅读下面的推理过程： 如图，过点 A作 DE/BC B=EAB，C=DAC 又EAB+BAC+DAC=180 B+BAC+C=180 即：三角形三个内角的和为 180 阅读反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC、B、C“凑”在一起，得出角 之间的关系 方法运用：
23、 如图，已知 AB/DE，求B+BCD+D的度数 （提示：过点 C作 CF/AB） 深化拓展： 如图， 已知 AB/CD， 点 C在点 D的右侧， ADC=70 ， 点 B 在点 A 的左侧， ABC=60 ， BE平分ABC， DE 平分ADC，BE、DE所在的直线交于点 E，且点 E 在 AB 与 CD两条平行线之间，求BED的度数 【答案】方法运用：360 ；深度拓展：65 【分析】 方法运用：过 C作 CFAB，根据平行线的性质得到DFCD，BBCF，然后根据已知条件即可 得到结论； 深化拓展：过点 E 作 EFAB，然后根据两直线平行内错角相等，再利用角平分线的定义和等量代换即可求
24、BED 的度数 【详解】 方法运用：解：过点 C 作 CFAB B=BCF CFAB 且 ABDE CFDE D=DCF BCD+BCF+DCF=360 B+BCD+D=360 深化拓展：过点 E 作 EFAB BEF=ABE 又BE平分ABC，ABC=60 BEF=ABE= 1 2 ABC=30 EFAB，ABCD EFCD DEF=EDC 又DE 平分ADC，ADC=70 DEF=EDC= 1 2 ADC=35 BED=BEF+DEF=30 +35 =65 【点睛】 本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，能够作出平行线是解题的关键 13在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线 m，
25、n，l（即始终满足 mnl）和一副直角三角尺 ABC，DEF（BACEDF90 ，FED60 ，DFE30 ，ABCACB45 ）”为主题开展数学 活动 操作发现 （1） 如图 1， 展翅组把三角尺 ABC 的边 BC放在 l上， 三角尺 DEF 的顶点 F与顶点 B 重合， 边 EF经过 AB， 顶点 E恰好落在 m上，顶点 D 恰好落在 n 上，边 ED与 n 相交所成的一个角记为1，求1 的度数； （2）如图 2，受到展翅组的启发，高远组把直线 m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点 A、D分别 落在 m和 l上，顶点 C恰好落在 n上，边 AC与 l相交所成的一个角记为2，边 DF与
26、 m相交所成的一个角 记为3，请你说明2315 ； 结论应用 （3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点 N 是直线 n 上一点，CN 恰好平分ACB 时，2与3 之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由 【答案】 （1）75 ； （2）见解析； （3）233 【分析】 （1）利用三角板的度数，求出DBC 的度数，再利用平行线的性质得到BDN的度数，由此得到1的度 数； （2）过 B点作 BG直线 m，利用平行线的性质可得到3DBG和LABABG，再利用等量代换得到 3+LAB75 ，利用余角性质得到LAB90 -2，由此证明结论； （3）
27、结论：233利用（2）中结论，结合平行线的性质得到2 和3 的度数由此证明结论 【详解】 （1）直线 n直线 l， DBCBDN， 又DBCABCABD45 30 15 ， BDN15 ， 190 15 75 （2）如图所示，过 B点作 BG直线 m， BGm，lm， BGl（平行于同一直线的两直线互相平行） ， BGm， 3DBG， 又BGl， LABABG， 3+LABDBA30 +45 75 ， 又2和LAB互为余角， LAB90 2， 3+90 275 ， 2315 （3）结论：233 理由：在（2）的条件下，2315 ， 又CN 平分BCA， BCNCAN22.5 ， 又直线 n直线
28、 l， 222.5 ， 37.5 ， 233 【点睛】 考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关 系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键 14如图，ABCD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间， 100EOF （1）求BEODFO的值； （2）如图 2，直线MN交BEO、CFO的角平分线分别于点M、N，求EMNFNM的值； （3）如图 3，EG在AEO内，AEGn OEG ，FK在DFO内，DFKn OFK 直线MN 交FK、EG分别于点M、N，若50FMNENM，则n的值是_ 【答案】（1）260 ；（2）
29、40 ；（3） 5 3 【分析】 （1）如下图，过点O作OGAB，可得出ABOGCD，然后利用平行的性质进行角度转换可得出 答案； （2）如图，过点M作MKAB，过点N作NHCD，然后设BEMOEMx， CFNOFNy ，利用方程思想进行角度推导，可得出答案； （3）如下图，过点 O作 AB的平行线 OQ，同样利用方程思想进行推导转化，可得出 n的值 【详解】 （1）证明：过点O作OGAB ABCD ABOGCD 180BEOEOG，180DFOFOG 360BEOEOGDFOFOG 即360BEOEOFDFO 100EOF 260BEODFO （2）解：过点M作MKAB，过点N作NHCD，
30、EM平分BEO，FN平分CFO 设BEMOEMx，CFNOFNy 260BEODFO 21802260BEODFOxy 40 xy MKAB，NHCD，ABCD ABMKNHCD EMKBEMx，HNFCFNy ，KMNHNM ()EMNFNMEMKKMNHNMHNF xKMNHNMy 40 xy （3）如下图，过点 O作 AB的平行线 OQ 设NEO=x，则AEN=nx 设OFM=y，则MFD=ny ABCD，ABOQ ABOQCD EOQ=AEO=(n+1)x，QOF=180 (n+1)y EOF=100 EOQ+QOF=100 ，化简得：(n+1)(yx)=80 在 NPE中，ENP=1
31、80 xNPE 在四边形 POFM 中，PMF=360 y100 OPM PMFENP=50 PMFENP=50=360 y100 OPM(180 xNPE) NPE=OPM PMFENP 化简后得：150 +(yx)=180 yx=30 (n+1)(yx)=80 解得：n= 5 3 【点睛】 本题考查平行线的综合应用，解题关键是构造平行线，然后利用方程思想进行角度转化求解 15如图，已知AOB，作AOB的平分线 OC，将直角尺 DEMN如图所示摆放，使 EM 边与 OB 边重合， 顶点 D落在 OA边上，DN边与 OC交于点 P （1）猜想DOP 是 三角形； （2）补全下面证明过程： OC
32、平分AOB DNEM 【答案】等腰，DOP，BOP，DPO，BOP，DOP，DPO，OD，PD，见解析 【分析】 （1）三角形的种类有多种，从边和角的关系上看常见的有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、观察 此三角形即可大体猜想出三角形的类型； （2）根据角平分线的性质和平行线的性质，求得DOPDPO，即可判断三角形的形状 【详解】 解： （1）我们猜想 DOP是等腰三角形； （2）补全下面证明过程： OC平分AOB， DOPBOP， DNEM， DPOBOP， DOPDPO， ODPD 故答案为：等腰，DOP，BOP，DPO，BOP，DOP，DPO，OD，PD 【点睛】 本题考查了角平分线
33、的性质和平行线的性质及等腰三角形，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理，找 到相等的角 16在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形三角形可用符号“”表示 例：如图 1 中的三角形可记作“ABC”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为 等角三角形 （1）如图 1，ABC的角平分线交AC于 D，/DEBC交AB于E， 请在图 1 中依题意补全图形； 判断EBD是不是等角三角形；(直接写出结论即可) （2）如图 2，AF是GAC的角平分线，/ BCAF判断ABC是不是等角三角形，并说明理由 （3）如图 3，BM，CM 分别是ABC和ACB的角平分线，请过图中某一点，作一条图
34、中已有线段的平 行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由 【答案】 （1）见解析； EBD是等角三角形； （2） ABC是等角三角形，理由见解析； （3）见解析 【分析】 （1）根据题意画出图形即可； 根据角平分线定义可得ABDDBC，根据平行线的性质可得EDBDBC，进而可得EBD EDB，从而可得 EBD是等角三角形； （2）根据平行线的性质可得1B，2C，再根据角平分线的性质可得12，进而可得结论； （3）过点 M 作 GHBC，交 AB 于点 G，交 AC于点 H，利用平行线的性质和角平分线定义解答即可 【详解】 解： （1）补全图形如图
35、 4 所示 EBD是等角三角形 理由：BD 平分ABC， ABDDBC， DEBC， EDBDBC， EBDEDB， EBD是等角三角形； （2） ABC 是等角三角形 理由如下：如图 5，AFBC， 1B，2C， AF 是GAC的角平分线， 12， BC， ABC是等角三角形 （3）过点 M 作 GHBC，交 AB 于点 G，交 AC于点 H，如图 6，出现两个等角三角形分别是： GBM 和 HMC 下面说明 GBM是等角三角形 理由：GHBC， 12， BM 是ABC 角平分线， GBM2， 1GBM， 所以 GBM是等角三角形 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确
36、理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关 键 17如图，已知 ABCD，CE、BE 的交点为 E，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE 和DCE的 平分线， 交点为 E1， 第二次操作， 分别作ABE1和DCE1的平分线， 交点为 E2， 第三次操作， 分别作ABE2 和DCE2的平分线，交点为 E3，第 n 次操作，分别作ABEn1和DCEn1的平分线，交点为 En （1）如图，已知ABE=50 ，DCE=25 ，则BEC = ； （2）如图，若BEC=140 ，求BE1C的度数； （3）猜想：若BEC 度，则BEnC = 【答案】 （1）75； （2）70 ； （3） 2n 【分析】 （
37、1） 先过 E作 EFAB， 根据 ABCD， 得出 ABEFCD， 再根据平行线的性质， 得出B=1， C=2， 进而得到BEC=ABE+DCE=75 ； （2）先根据ABE和DCE 的平分线交点为 E1，运用（1）中的结论，得出BE1C=ABE1+DCE1= 1 2 ABE+ 1 2 DCE= 1 2 BEC； （3）根据ABE1和DCE1的平分线，交点为 E2，得出BE2C= 1 4 BEC；根据ABE2和DCE2的平分 线，交点为 E3，得出BE3C= 1 8 BEC；据此得到规律En= 1 2n BEC，最后求得BEnC 的度数 【详解】 解： （1）如图，过 E 作 EFAB， A
38、BCD， ABEFCD， B=1，C=2， BEC=1+2， BEC=ABE+DCE=75 ； 故答案为：75； （2）如图 2， ABE和DCE 的平分线交点为 E1， 由（1）可得， BE1C=ABE1+DCE1= 1 2 ABE+ 1 2 DCE= 1 2 BEC； BEC=140 ， BE1C=70 ； （3）如图 2， ABE1和DCE1的平分线交点为 E2， 由（1）可得， BE2C=ABE2+DCE2= 1 2 ABE1+ 1 2 DCE1= 1 2 CE1B= 1 4 BEC； ABE2和DCE2的平分线，交点为 E3， BE3C=ABE3+DCE3= 1 2 ABE2+ 1
39、2 DCE2= 1 2 CE2B= 1 8 BEC； 以此类推，En= 1 2n BEC， 当BEC= 度时，BEnC 等于 2n 故答案为： 2n 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用解决问题的关键是作 平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的 平分线 18完成下面的证明 如图：BAP与APD互补，BAECPF，求证：EF 对于本题小明是这样证明的，请你 将他的证明过程补充完整 证明：BAP与APD互补， （已知） /AB CD( ) BAP (两直线平行，内错角相等) BAECPF， （已知）
40、 BAPBAEAPCCPF， （等量代换） 即EAP (内错角相等，两直线平行) EF ( ) 19如图，/AB CD，点C在点D的右侧，ABC ，ADC的平分线交于点E（不与B，D点重合） ， 70ADC设BEDn （1）若点B在点A的左侧，求ABC的度数（用含n的代数式表示） （2）将（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断ABC的度数 是否改变若改变，请求出ABC的度数（用含n的代数式表示） ；若不变，请说明理由 【答案】同旁内角互补，两直线平行；APC；APF；/ /AEFP；两直线平行，内错角相等 【分析】 已知BAP 与APD互补，根据同旁内角互补
41、两直线平行，可得 ABCD，再根据平行线的判定与性质及 等式相等的性质即可得出答案 【详解】 证明：BAP与APD互补， （已知） /AB CD（同旁内角互补，两直线平行） BAPAPC（两直线平行，内错角相等） ， BAECPF， （已知） BAPBAEAPCCPF， 即EAPAPF， /AEFP（内错角相等，两直线平行） ， EF （两直线平行，内错角相等） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；APC；APF；/ /AEFP；两直线平行，内错角相等 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质和等式的性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质 20如图，ACDE，BD 平分ABC 交 AC 于
42、 F，ABC=70 ，E=50 ，求D，A 的度数 【答案】95 ,60DA 【分析】 根据 BD 平分ABC，ABC=70 得出 1 35 2 ABFDBCABC ,再根据/ /,50ACCEE得 出50ACB,从而计算,DA 【详解】 根据 BD 平分ABC 交 AC 于 F，ABC=70 1 35 2 ABFDBCABC 又/ /,50ACCEE 50ACB 180705060A 180355095BFC 95DBFC 综上所述：95 ,60DA 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键 21直线 ABCD，直线 EF分别交 AB、CD 于点 A、
43、C，CM 是ACD的平分线，CM 交 AB于点 N （1）如图，过点 A作 AC的垂线交 CM于点 M，若55MCD，求MAN的度数； （2）如图，点 G是 CD上的一点，连接 MA、MG，180MGDEAB，MC平分AMG AMG和EAB满足怎么样的数量关系时ECAM？ 若36AMG ，求ACD的度数 【答案】 （1）20 ； （2）当AMGEAB=180 时，ECAM；108 【分析】 （1）根据角平分线的定义求出ACD，然后根据平行线的性质可得EAB=ACD=110 ，然后根据垂直的 定义求出MAE=90 ，即可求出结论； （2）当AMGEAB=180 时，根据平行线的性质可推出AMGA
44、CD=180 ，然后根据角平分 线的定义可得出ACMAMC=90 ，利用三角形的内角和即可求出MAC=90 ，从而得出ECAM ； 设ACD=x，根据角平分线的定义可得GCM= 1 2 ACD= 1 2 x，GMC= 1 2 AMG=18 ，根据平行线 的性质可得EAB=ACD=x，从而得出MGD=180 x，然后根据三角形外角的性质列出方程即可求出 结论 【详解】 解： （1）CM 是ACD的平分线，55MCD ACD=2MCD=110 ABCD， EAB=ACD=110 MAAC MAE=90 MAN=EABMAE=20 （2）当AMGEAB=180 时，ECAM ABCD， EAB=AC
45、D AMGACD=180 CM 是ACD的平分线，MC平分AMG ACM= 1 2 ACD，AMC= 1 2 AMG ACMAMC= 1 2 ACD 1 2 AMG= 1 2 ACDAMG=90 MAC=180 （ACMAMC）=90 ECAM； 设ACD=x CM 是ACD的平分线，MC平分AMG ，36AMG GCM= 1 2 ACD= 1 2 x，GMC= 1 2 AMG=18 ABCD， EAB=ACD=x 180MGDEAB MGD=180 x MGD=GCMGMC 即 180 x= 1 2 x18 解得：x=108 即ACD=108 【点睛】 此题考查的是平行线的性质、垂直的定义、
46、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握平行线的性质、 垂直的定义、三角形内角和定理和三角形外角的性质是解决此题的关键 22已知 AB/CD，点 E是平行线之间一点 （测量发现） 连结 EA， EC， 分别做EAB与 ECD的角平分线交于点 F， 通过测量我们发现AEC=2AFC （探索新知）如图，若EAF= 1 4 EAB，ECF= 1 4 ECD，试探索AFC 与AEC之间的关系，请说明 理由 （合理猜想） 若EAF= 1 n EAB， ECF= 1 n ECD， 请猜想AFC 与AEC之间的关系， 不必说明理由 【答案】AFC= 3 4 AEC，理由见解析；AFC= 1n n AEC 【分析】 探索新知：过点 F作 FH/ /AB，先证BAE+DCE=AEC，再根据EAF= 1 4 EAB，ECF= 1 4 ECD 即可证明； 合理猜想： 过点 F作 FH/ /AB， 先证BAE+DCE=AEC， 再根据EAF= 1 n EAB， ECF= 1 n ECD， 即可证明. 【详解】 探索新知：过点 F作 FH/ /AB， AB/ /CD， FH/ /CD， AFH=FAB，CFH=FCD， BAC+DCA=180 ， EAC+ECA+AEC
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