1、专题专题 16 16 三角形内外角平分线的交角三角形内外角平分线的交角 一、填空题一、填空题 1如图在 ABC中，BO，CO 分别平分ABC，ACB，交于 O，CE 为外角ACD 的平分线，交 BO的 延长线于点 E，记1BAC，2BEC，则以下结论122 ，3 2BOC ， 901BOC，902BOC，正确的是_ （把所有正确的结论的序号写在横线上） 【答案】 【分析】 依据角平分线的性质以及三角形外角性质， 即可得到122， BOC90 1 2 1， BOC90 2， 再分析判断 【详解】 CE为外角ACD 的平分线，BE平分ABC， DCE 1 2 ACD，DBE 1 2 ABC， 又D
2、CE 是 BCE的外角， 2DCEDBE 1 2 （ACDABC） 1 2 1， 故正确； BO，CO分别平分ABC，ACB， OBC 1 2 ABC，OCB 1 2 ACB， BOC180（OBCOCB） 180 1 2 （ABCACB） 180 1 2 （1801） 90 1 2 1， 故、错误； OC平分ACB，CE平分ACD， ACO 1 2 ACB，ACE 1 2 ACD， OCE 1 2 （ACBACD） 1 2 180 90 ， BOC是 COE 的外角， BOCOCE290 2，故正确； 故答案为： 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
3、角的和的性质，以及角平分 线的定义 2如图，在ABC中，A70，如果ABC与ACB的平分线交于点D，那么BDC_ 度 【答案】125 【分析】 先利用三角形内角和定理求出ABCACB的度数，进而可求DBCDCB的度数，最后再利用三 角形内角和定理即可求出答案 【详解】 70A ， 180110ABCACBA BD平分ABC，CD 平分 ACB ， 1 ()55 2 DBCDCBABCACB， 180()125BDCDBCDCB 故答案为：125 【点睛】 本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关 键 3 （2018育才单元考） 如图，在 AB
4、C 中，ABC和ACD的角平分线交于点 1 A ，得 1 A ， 1 A BC 和 A CD 1 的角平分线交于点A 2，得 A 2 ， 1n ABC 和 n ACD 1 的角平分线交于点 n A ，得 n A （1）若80A ，则 1 A_， 2 A_， 3 A_ （2）若Am ，则 2015 A_ 【答案】40 20 10 2015 2 m 【分析】 （1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证A1= 1 2 A，进而可求A1，同理易证A2= 1 2 A1， A3= 1 2 A2，进而可求A2和A3； （2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证A1= 1 2 A，进而可求A1，同理易
5、证A2= 1 2 A1， A3= 1 2 A2，以此类推可知A2015即可求得 【详解】 解： （1）A=ACDABC，A1=A1CDA1BC ABC和ACD的角平分线交于点 1 A ， 80A A1CD= 1 2 ACD，A1BC= 1 2 ABC A1=A1CDA1BC = 1 2 ACD 1 2 ABC = 1 2 （ACDABC） = 1 2 A =40 同理可证：A2= 1 2 A1=20 ，A3= 1 2 A2=10 故答案为：40 ；20 ；10 （2）A=ACDABC，A1=A1CDA1BC ABC和ACD的角平分线交于点 1 A ， Am A1CD= 1 2 ACD，A1BC
6、= 1 2 ABC A1=A1CDA1BC = 1 2 ACD 1 2 ABC = 1 2 （ACDABC） = 1 2 A = 2 m 同理可证：A2= 1 2 A1= 2 2 m ， A3= 1 2 A2= 3 2 m A2015= 2015 2 m 故答案为： 2015 2 m 【点睛】 本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出A1= 1 2 A，并依此找出规律 4如图，在 ABC 中，A=60 ，BD、CD 分别平分ABC、ACB，M、N、Q分别在 DB、DC、BC的 延长线上，BE、CE 分别平分MBC、BCN，BF、CF分别平分EBC、ECQ，则F=_ 【答案】1
7、5 【分析】 先由 BD、CD分别平分ABC、ACB 得到DBC= 1 2 ABC，DCB= 1 2 ACB，在 ABC中根据三角 形内角和定理得DBC+DCB= 1 2 （ABC+ACB）= 1 2 （180 -A）=60 ，则根据平角定理得到 MBC+NCB=300 ；再由 BE、CE 分别平分MBC、BCN得5+6= 1 2 MBC，1= 1 2 NCB， 两式相加得到5+6+1= 1 2 （NCB+NCB）=150 ，在 BCE 中，根据三角形内角和定理可计算出 E=30 ；再由 BF、CF分别平分EBC、ECQ得到5=6，2=3+4，根据三角形外角性质得到 3+4=5+F，2+3+4
8、=5+6+E，利用等量代换得到2=5+F，22=25+E，再进 行等量代换可得到F= 1 2 E 【详解】 解：BD、CD分别平分ABC、ACB，A=60 ， DBC= 1 2 ABC，DCB= 1 2 ACB， DBC+DCB= 1 2 （ABC+ACB）= 1 2 （180 -A）= 1 2 （180 -60 ）=60 ， MBC+NCB=360 -60 =300 ， BE、CE 分别平分MBC、BCN， 5+6= 1 2 MBC，1= 1 2 NCB， 5+6+1= 1 2 （NCB+NCB）=150 ， E=180 -（5+6+1）=180 -150 =30 ， BF、CF分别平分EB
9、C、ECQ， 5=6，2=3+4， 3+4=5+F，2+3+4=5+6+E， 即2=5+F，22=25+E， 2F=E， F= 1 2 E= 1 2 30 =15 故答案为：15 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 180 也考查了三角形外角性质 二、解答题二、解答题 5 （1） 如图 1 所示，BD，CD 分别是 ABC的内角ABC，ACB的平分线，试说明：D=90 + 1 2 A （2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由： 如图 2所示，BD，CD分别是 ABC两个外角EBC和FCB的平分线，试探究A与D之间的等量 关系； 如图 3所示，BD，CD
10、分别是 ABC一个内角ABC和一个外角ACE 的平分线，试探究A与D之 间的等量关系 【答案】 （1）证明见解析； （2）A=180 2D，理由见解析；A=2D，理由见解析 【分析】 （1）首先利用角平分线性质得出DBC= 1 2 ABC，DCB= 1 2 ACB，再利用三角形内角和定理得出 A+ABC+ACB=180 以及DBC+DCB+D=180 ，据此进一步加以变形求证即可； （2）首先理由角平分线性质得出EBC=2DBC，FCB=2DCB，然后再利用三角形内角和性质进一 步整理得出A2(DBC+DCB)=-180 ，据此进一步加以分析证明即可；利用三角形外角性质可知 DCE=DBC+D
11、，然后再利用角平分线性质得出 2DBC=ABC，2DCE=ACE，最后再结合 A+ABC=ACE进一步证明即可. 【详解】 （1）BD，CD分别是ABC，ACB的平分线， DBC= 1 2 ABC，DCB= 1 2 ACB， A+ABC+ACB=180 ， ABC+ACB=180 A， 又DBC+DCB+D=180 ， D=180(DBC+DCB) =180 1 2 (ABC+ACB) =180 1 2 (180 A) =180 90 + 1 2 A =90 + 1 2 A， 即：D=90 + 1 2 A； （2）A=180 2D，理由如下： BD，CD分别是EBC和FCB的平分线， EBC=
12、2DBC，FCB=2DCB， A+ABC+ACB=180 ， ABC=180 (A+ACB)=180 2DBC， ACB=180 (A+ABC)=180 2DCB， A+180 2DBC+180 2DCB=180 ， A2(DBC+DCB)=180 ， 又DBC+DCB+D=180 ， DBC+DCB=180 D， A2(DBC+DCB)=A2(180 D)=180 ， 即：A360 +2D=180 ， 2D=180 A， 即：A=180 2D； A=2D，理由如下： DCE是 ABC 的一个外角， DCE=DBC+D， BD，CD分别是ABC和ACE的平分线， 2DBC=ABC，2DCE=A
13、CE， A+ABC=ACE， A+2DBC=2DCE， A+2DBC=2DBC+2D， A=2D. 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解 题关键. 6在 ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的 n 倍（n 为大于 1的正整数） ，则称 ABC为 n 倍角三角形例如，在 ABC 中，A80 ，B75 ，C25 ，可知B3C，所以 ABC 为 3倍 角三角形 （1）在 ABC 中，A80 ，B60 ，则 ABC为 倍角三角形； （2）若锐角三角形 MNP是 3倍角三角形，且最小内角为 ，请直接写出 的取值范围为 （3）如图
14、，直线 MN与直线 PQ 垂直相交于点 O，点 A 在射线 OP 上运动（点 A 不与点 O重合） ，点 B在 射线 OM 上运动（点 B不与点 O重合） 延长 BA至 G，已知BAO、OAG的角平分线与BOQ的角平 分线所在的直线分别相交于 E、F，若 AEF为 4 倍角三角形，求ABO的度数 【答案】 （1）2； （2）22.5 30 ； （3）45 或 36 【分析】 （1）由A80 ，B60 ，可求C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案， （2） DEF是 3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的 3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情 况进行解答， （3）首先证明EAF90 ，
15、分两种情形分别求出即可 【详解】 解： （1）A80 ，B60 ， C180 AB40 ， A2C， ABC为 2 倍角三角形， 故答案为：2； （2）最小内角为 ， 3倍角为 3， 由题意可得： 390 ，且 180 490 ， 最小内角的取值范围是 22.5 30 故答案为 22.5 30 （3）AE 平分BAO，AF平分AOG， EABEAO，OAFFAG， EAFEAO+OAF 1 2 （BAO+OAG）90 ， EAF是 4倍角三角形， E 1 4 90 或 1 5 90 ， AE平分BAO，OE平分BOQ， E 1 2 ABO， ABO2E， ABO45 或 36 【点睛】 本题考
16、查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义 n倍角三角形 的意义和分类讨论是解题的基础和关键 7在 ABC 中，已知A （1）如图 1，ABC、ACB的平分线相交于点 D求BDC 的大小（用含 的代数式表示） ； （2）如图 2，若ABC的平分线与ACE 的平分线交于点 F，求BFC 的大小（用含 的代数式表示） ； （3）在（2）的条件下，将 FBC以直线 BC为对称轴翻折得到 GBC，GBC的平分线与GCB 的平分 线交于点 M（如图 3） ，求BMC的度数（用含 的代数式表示） 【答案】 （1）BDC90 + 2 ； （2）BFC 2 ； （3）BMC90
17、 + 4 【分析】 （1）由三角形内角和可求ABC+ACB180 ，由角平分线的性质可求DBC+BCD 1 2 （ABC+ACB）90 2 ，由三角形的内角和定理可求解； （2）由角平分线的性质可得FBC 1 2 ABC，FCE 1 2 ACE，由三角形的外角性质可求解； （3）由折叠的性质可得GBFC 2 ，方法同（1）可求BMC90 + 2 G ，即可求解. 【详解】 解： （1）A， ABC+ACB180 ， BD平分ABC，CD 平分ACB， DBC 1 2 ABC，BCD 1 2 ACB， DBC+BCD 1 2 （ABC+ACB）90 2 ， BDC180 （DBC+BCD）90
18、+ 2 ； （2）ABC的平分线与ACE 的平分线交于点 F， FBC 1 2 ABC，FCE 1 2 ACE， ACEA+ABC，FCEBFC+FBC， BFC 1 2 A 2 ； （3）GBC 的平分线与GCB 的平分线交于点 M， 方法同（1）可得BMC90 + 2 G ， 将 FBC 以直线 BC 为对称轴翻折得到 GBC， GBFC 2 ， BMC90 + 4 . 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折 叠的性质. 8如图，在平面直角坐标系中，AOB是直角三角形，90AOB，斜边 AB 与 y 轴交于点 C （1）若AA
19、OC ，求证：BBOC ； （2）如图（2） ，延长 AB，交 x 轴于点 E，过点 O作ODAB，且DOBEOBOAEOEA， 求A度数； （3）如图（3） ，OF平分AOM，BCO的平分线交 FO 的延长线于点 P，当ABO绕 O 点旋转时，斜 边 AB与 y轴正半轴始终相交于点 C，在（2）的条件下，试问P的度数是否发生改变？若不变，请求其度 数；若改变，请说明理由 【答案】 （1）详见解析； （2）30A ； （3）P的度数不变，30P 【分析】 （1）易证B 与BOC分别是A与AOC的余角，等角的余角相等，就可以证出； （2）易证DOBEOBOEA90 ，且DOBEOBOEA就可以得
20、到； （3）P180（PCOFOM90 ）根据角平分线的定义，就可以求出 【详解】 （1）AOB是直角三角形， 9090ABAOCBOC ， AAOC ， BBOC （2）9090AABODOBABO ， ADOB ，即DOBEOBOAEOEA 90DOBEOBOEA， 30DOB， 30A ； （3）P的度数不变，30P 180AOCAACO ， 180OCBACO BCOAAOC 90AOMAOCBCOAAOC ， OF 平分AOM，CP 平分BCO ， 111 9045 222 FOMAOMAOCAOC， 1111 2222 PCOBCOAAOCAAOC 1 1809045 2 PPCO
21、FOMA 由（2）知30A ， 30P 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义和直角三角形的性质，关键是根据三角形的内角和和角平分线的定义解答 9如图 1， ABC 的外角平分线交于点 F （1）若A40 ，则F的度数为 ； （2）如图 2，过点 F作直线 MNBC，交 AB，AC延长线于点 M，N，若设MFB，NFC，则A 与 +的数量关系是 ； （3）在（2）的条件下，将直线 MN绕点 F转动 如图 3，当直线 MN与线段 BC 没有交点时，试探索A 与 ， 之间的数量关系，并说明理由； 当直线 MN与线段 BC有交点时，试问中A与 ，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明 理由；若不
22、成立，请给出三者之间的数量关系 【答案】 （1）70 （2） 1 90 2 A （3）见解析 不成立； 1 90 2 A或 1 90 2 A 【分析】 （1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到F的度数； （2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到BFC 的度数，再根据平行线的性质，即可得 到A与 + 的数量关系； （3） 根据 （2） 中的结论BFC90 1 2 A， 以及平角的定义， 即可得到A与 ， 之间的数量关系； 分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论BFC90 1 2 A，以及平角的定义，即可得到A 与 ， 之间的数量关系 【详解】 解： （1）如图 1，A
23、40 ， ABC+ACB140 ， DBC+ECB360 140 220 ， 又ABC的外角平分线交于点 F， FBC+FCB 1 2 （DBC+ECB） 1 2 220 110 ， BCF中，F180 110 70 ， 故答案为：70 ； （2）如图 2，ABC+ACB180 A， DBC+ECB360 （180 A）180 +A， 又ABC的外角平分线交于点 F， FBC+FCB 1 2 （DBC+ECB） 1 2 （180 +A）90 + 1 2 A ， BCF中，BFC180 （90 + 1 2 A ）90 1 2 A， 又MFB，NFC，MNBC， FBC，FCB， BCF中，FBC
24、+FCB+BFC180 ， +90 1 2 A180 ， 即 + 1 2 A90 ， 故答案为：+ 1 2 A90 ； （3）+ 1 2 A90 ，理由如下： 如图 3，由（2）可得，BFC90 1 2 A， MFB+NFC+BFC180 ， +90 1 2 A180 ， 即 + 1 2 A90 ， 当直线 MN与线段 BC有交点时，中A与 ，之间的数量关系不成立 分两种情况： 如图 4，当 M在线段 AB上，N在 AC 延长线上时， 由（2）可得，BFC90 1 2 A， BFCMFB+NFC180 ， 90 1 2 A+180 ， 即 1 2 A90 ； 如图 5，当 M在 AB 的延长线
25、上，N在线段 AC 上时， 由（2）可得，BFC90 1 2 A， BFCNFC+MFB180 ， 90 1 2 A+180 ， 即 1 2 A90 ； 综上所述，A与 ，之间的数量关系为 1 2 A90 或 1 2 A90 【点睛】 此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图 10如图，在 ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点 P （1）如果A80 ，求BPC 的度数； （2）如图，作 ABC外角MBC、NCB的平分线交于点 Q，试探索Q、A 之间的数量关系 （3）如图，延长线段 BP、QC 交于点 E， BQE中，存在一个内角等于另一个内角的 3倍，请直接写出
26、A 的度数 【答案】 （1）130 ； （2） 1 90 2 QA； （3）60 或 120 或 45 或 135 【分析】 （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出ABC+ACB，进而求出BPC即可解决问 题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出MBC与BCN，再根据角平分线的性质可求得CBQ+BCQ， 最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在 BQE 中，由于Q90 1 2 A，求出E 1 2 A，EBQ90 ，所以如果 BQE中，存在 一个内角等于另一个内角的3倍， 那么分四种情况进行讨论： EBQ3E90 ； EBQ3Q90 ； Q3E；E3Q；分别列出方程，求解即
27、可 【详解】 （1）解：A80 ABC+ACB100 ， 点 P 是ABC和ACB的平分线的交点， P180 1 2 （ABC+ACB）180 1 2 100 130 ， （2）外角MBC，NCB 的角平分线交于点 Q， QBC+QCB 1 2 （MBC+NCB） 1 2 （360 ABCACB） 1 2 （180 +A） 90 + 1 2 A Q180 （90 + 1 2 A）90 1 2 A； （3）延长 BC至 F， CQ为 ABC 的外角NCB 的角平分线， CE是 ABC 的外角ACF的平分线， ACF2ECF， BE平分ABC， ABC2EBC， ECFEBC+E， 2ECF2EB
28、C+2E， 即ACFABC+2E， 又ACFABC+A， A2E，即E 1 2 A； EBQEBC+CBQ 1 2 ABC+ 1 2 MBC 1 2 （ABC+A+ACB）90 如果 BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的 3倍，那么分四种情况： EBQ3E90 ，则E30 ，A2E60 ； EBQ3Q90 ，则Q30 ，E60 ，A2E120 ； Q3E，则E22.5 ，解得A45 ； E3Q，则E67.5 ，解得A135 综上所述，A的度数是 60 或 120 或 45 或 135 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的 内
29、角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键 11如图，在 ABD中，ABD 的平分线与ACD的外角平分线交于点 E，A=80 ，求E 的度数 【答案】40 【分析】 由题意：设ABE=EBC=x，ACE=ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可 【详解】 由题意：设ABE=EBC=x，ACE=ECD=y， 则有 2 =2 = yxA y xE ， -2 可得A=2E， E= 1 2 A=40 【点睛】 本题考查三角形的外角的性质， 角平分线的定义等知识， 解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题 12如图，ACDE，BD 平分ABC 交 AC 于 F，ABC=70 ，E=5
30、0 ，求D，A 的度数 【答案】95 ,60DA 【分析】 根据 BD 平分ABC，ABC=70 得出 1 35 2 ABFDBCABC ,再根据/ /,50ACCEE得 出50ACB,从而计算,DA 【详解】 根据 BD 平分ABC 交 AC 于 F，ABC=70 1 35 2 ABFDBCABC 又/ /,50ACCEE 50ACB 180705060A 180355095BFC 95DBFC 综上所述：95 ,60DA 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键 13如图 1，ABCD，P为 AB、CD之间一点 （1）若 AP平分CAB，CP 平分A
31、CD求证：APCP； （2） 如图 （2） ， 若BAP 2 5 BAC， DCP 2 5 ACD， 且 AE 平分BAP， CF 平分DCP， 猜想E+F 的结果并且证明你的结论； （3）在（1）的条件下，当BAQ 1 3 BAP，DCQ 1 3 DCP，H 为 AB 上一动点，连 HQ并延长至 K， 使QKAQAK，再过点 Q 作CQH的平分线交直线 AK 于 M，问当点 H在射线 AB上移动时，QMK 的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）E+F108 ，证明见解析； （3）不变，是定值，值为 15 【分析】 （1）依据平行线的性质，以及角
32、平分线的定义，即可得到P180 90 90 ，进而得到 APCP； （2）过 E 作 EGAB，过 F作 FHCD，依据平行线的性质即可得到AECBAEDCE，AFC BAFDCF，再根据BAP 2 5 BAC，DCP 2 5 ACD，AE平分BAP，CF平分DCP，即可得 到EF108 ； （3） 过 Q 作 QEAB， 依据平行线的性质可得AQCAQECQEBAQDCQ， 依据BAQ 1 3 BAP， DCQ 1 3 DCP， 即可得出AQC30 ， 再根据MMQHK 进行计算， 即可得出QMK 的大小不变，是定值 15 【详解】 解： （1）ABCD， BACACD180 ， 又AP平分
33、CAB，CP平分ACD， CAP 1 2 CAB，ACP 1 2 ACD， CAPACP 1 2 （BACACD） 1 2 180 90 ， ACP中，P180 90 90 ， 即 APCP； （2）EF108 证明：如图 2，过 E作 EGAB，过 F 作 FHCD， ABCD， EGABFHCD，BACDCA180 ， BAEAEG，DCECEG，BAFAFH，DCFCFH， AECBAEDCE，AFCBAFDCF， BAP 2 5 BAC，DCP 2 5 ACD，AE平分BAP，CF 平分DCP， BAE 1 5 BAC，DCF 1 5 DCA， AEC 1 5 BAC 2 5 ACD，
34、AFC 2 5 BAC 1 5 DCA， AECAFC 1 5 BAC 2 5 ACD 2 5 BAC 1 5 DCA 3 5 ACD 3 5 BAC 3 5 （BACDCA） 3 5 180 108 ； （3）如图，过 Q作 QEAB， ABCD， QECD， BAQAQE，DCQCQE， AQCAQECQEBAQDCQ， 由（1）可得BAPDCP180 90 90 ， 又BAQ 1 3 BAP，DCQ 1 3 DCP， AQCBAQDCQ 1 3 BAP 1 3 DCP 1 3 （BAPDCP） 30 ， AQH是 AQK 的外角，QAQK， K 1 2 AQH， QM 是CQH的平分线，
35、 MQH 1 2 CQH， MQH是 MQK的外角， MMQHK 1 2 CQH 1 2 AQH 1 2 （CQHAQH） 1 2 AQC 1 2 30 15 ， 即QMK 的大小不变，是定值 15 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意：两直线平 行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等解决问题的关键是过拐点作平行线 14 （1）在锐角ABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P， 110BPC， 求A的度数 （2）如图，AF和CE分别平分BAD和BCD，当点D在直线AC上时，100APC，则B _ （3）在（2）的基础
36、上，当点D在直线AC外时，如下图：130ADC，100APC，求B的度 数 【答案】 （1）70； （2）20； （3）70 【分析】 （1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可； （2）根据100APC以及AF和CE分别平 分BAD和BCD，算出BAD和BCD,从而算出B 【详解】 如图AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P 90BDACEA 又 110BPC 110EPDBPC 在四边形AEPD中，内角和为360 =360 -110 -90 -90 =70A （2） AF和CE分别平分BAD和BCD ,BAPFACBCEACE 又 100APC +18010080FA
37、CACE 160BACBCA =180 -160 =20B邪鞍 （3）如图：连接 AC 130ADC，100APC 18013050 ,18010080DACDCAPACPCA 2+ 3=30 又AF和CE分别平分 BAD和BCD 1+ 4= 2+ 3=30 110BACBCA =180 -110 =70B邪鞍 【点睛】 三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解决本题的关键 15图 1，线段 AB、CD相交于点 O，连接 AD、CB，我们把形如图 1 的图形称之为“8 字形”如图 2，在图 1 的条件下，DAB 和BCD 的平分线 AP和 CP 相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M
38、、N试解答 下列问题： （1）在图 1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ； （2）仔细观察，在图 2 中“8 字形”的个数： 个； （3）图 2 中，当D50度，B40度时，求P的度数 （4）图 2 中D和B为任意角时，其他条件不变，试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系 （直 接写出结果，不必证明） 【答案】 （1）A+DC+B； （2）6； （3）P45 ； （4）2PD+B 【分析】 （1）根据三角形内角和定理即可得出A+DC+B； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8 字形”共有 6 个； （3）先根据“8 字形”中的角的规律，可得DAP+DP+DCP，PC
39、B+BPAB+P，再根 据角平分线的定义，得出DAPPAB，DCPPCB，将+，可得 2PD+B，进而求出P 的度数； （4）同（3） ，根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出 2PD+B 【详解】 解： （1）A+D+AODC+B+BOC180 ，AODBOC， A+DC+B， 故答案为：A+DC+B； （2）线段 AB、CD相交于点 O，形成“8字形”； 线段 AN、CM相交于点 O，形成“8字形”； 线段 AB、CP 相交于点 N，形成“8 字形”； 线段 AB、CM相交于点 O，形成“8字形”； 线段 AP、CD相交于点 M，形成“8字形”； 线段 AN、CD相交于点 O
40、，形成“8字形”； 故“8字形”共有 6个， 故答案为：6； （3）DAP+DP+DCP， PCB+BPAB+P， DAB和BCD的平分线 AP和 CP相交于点 P， DAPPAB，DCPPCB， +得： DAP+D+PCB+BP+DCP+PAB+P， 即 2PD+B， 又D50 度，B40 度， 2P50 +40 ， P45 ； （4）关系：2PD+B D+1P+3 B+4P+2 +得： D+1+4+BP+3+2+P， DAB和DCB 的平分线 AP和 CP相交于点 P， 12，34 2PD+B 【点睛】 此题也是属于规律的题型，但也涉及到已经学过的知识，读懂题目是关键，融合已学知识，进行运
41、用. 16ABC中，50A （1）如图，若点P是ABC与ACB平分线的交点，求P的度数； （2）如图，若点P是CBD与BCE平分线的交点，求P的度数； （3）如图，若点P是ABC与ACF平分线的交点，求P的度数； （4）若A .请直接写出图，中P的度数，(用含的代数式表示) 【答案】（1） 115 ；（2） 65 ；（3） 25 ；（4） 分别为： 11 180(180)90 22 P； 1 90 2 P； 11 22 PA 【分析】 （1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出PBC+PCB= 1 2 （ABC+ACB）=65 ，根据三角形 的内角和定理得出P 的度数； （2）由三角形内角和
42、定理和邻补角关系得出CBD+BCE=360 -130 =230 ，由角平分线得出 PBC+PCB= 1 2 （CBD+BCE）=115 ，再由三角形内角和定理即可求出结果； （3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出P= 1 2 A，即可得出结果； （4）由（1） （2） （3） ，容易得出结果 【详解】 解:（1）50A ， 18050130ABCACB， 点P是ABC与ACB平分线的交点， 1 2 PBCABC ， 1 2 PCBACB， 11 ()13065 22 PBCPCBABCACB ， 180()115PPBCPCB ； （2）18050130ABCACB ， 36013023
43、0CBDBCE ， 点P是CBD与BCE平分线的交点， 1 ()115 2 PBCPCBCBDBCE， 18011565P ； （3）点P是ABC与ACF平分线的交点， 1 2 PBCABC， 1 2 PCFACF， PCFPPBC ，ACFAABC ， 2()PPBCAABC ， 1 25 2 PA； （4）若A ，在（1）中， 11 180(180)90 22 P； 在（2）中，同理得： 1 90 2 P； 在（3）中，同理得： 11 22 PA 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练 掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量
44、关系是解决问题的关键 17 （1）如图 1 所示，在ABC中，ABC和ACB的平分线将于点 O，则有 1 90 2 BOCA，请 说明理由 （2） 如图 2所示， 在ABC中， 内角的平分线ABC和外角ACD的平分线交于点 O， 请直接写出BOC 与BAC之间的关系，不必说明理由 （3）如图 3所示，AP，BP 分别平分CAD，CBD，则有 1 () 2 PCD，请说明理由 （4）如图 4所示，AP，BP 分别平分CAM，CBD，请直接写出P与C，D之间的关系，不必 说明理由 【答案】(1)理由见解析；(2) BAC=2BOC；(3) 理由见解析；(4) 11 +90 22 PDC 【分析】
45、(1)根据 OB 是ABC的角平分线， OC 是ACB的角平分线， 利用三角形的内角和等于 180 即可得出结果； (2)根据 OB 是ABC的角平分线，OC 是ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果； (3)根据 AP 是DAC的角平分线，BP 是DBC 的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式 D+DAP=P+DBP，P+PAC=PBC+C，分析等式即可得出结果； (4) AP 是MAC 的角平分线，BP 是DBC 的角平分线，设DBP=PBC=x，MAP=PAC=y，利用三 角形外角性质和内角和性质即可得出结果 【详解】 解：(1)OB是ABC 的角平分线，OC是ACB的角平
46、分线 ABO=OBC，ACO=OCB A+ABC+ACB=180 OCB+OBC= 1 180290 2 AA BOC= 11 =1809090 22 AA (2)OB是ABC 的角平分线，OC是ACD的角平分线 ABO=OBC，ACO=OCD BAC +ABC=ACD，OBC+BOC =OCD 2OBC+2BOC =2OCD ABC+2BOC =ACD BAC=2BOC (3)AP 是DAC 的角平分线，BP 是DBC的角平分线 DAP=PAC，DBP=PBC D+DAP=P+DBP，P+PAC=PBC+C D-P=P-C 1 () 2 PCD (4)AP 是MAC的角平分线，BP 是DBC
47、的角平分线 MAP=PAC，DBP=PBC 设DBP=PBC=x，MAP=PAC=y AGB=C+2x BEP=AEG=180 -（C+2x）-y P=180 -BEP-DBP=C+x+y D+AEG=MAP D+180 -（C+2x）-y=y x+y= 11 90 22 DC 11 90 22 PDCC 11 +90 22 PDC 【点睛】 本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键 18如图 1，点 A、B 分别在射线 OM、ON上运动（不与点 O 重合） ，AC、BC分别是BAO和ABO的 角平分线，BC延长线交 OM 于点 G （1）若MON60 ，则ACG ；若MON90 ，则AC
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