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    吃透中考数学29个几何模型模型13:正方形与45角的基本图

    • 资源ID:171135       资源大小:1.24MB        全文页数:51页
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    吃透中考数学29个几何模型模型13:正方形与45角的基本图

    1、专题专题 13 13 正方形与正方形与 4545角的基本图角的基本图 一、单选题一、单选题 1 如图, 已知正方形 ABCD的边长为 12, BE=EC, 将正方形边 CD沿 DE 折叠到 DF, 延长 EF交 AB于 G, 连接 DG,现在有如下 4 个结论:AG+EC=GE;GDE45;BGE的周长是一个定值;连 结 FC,BFC的面积等于 1 2 BF FC在以上 4个结论中,正确的是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】D 【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得 AD=DF, A=GFD=90 , 于是根据“HL”判定Rt ADGRt FDG, 再由GEGFEFAG CE, 从而

    2、判断, 由对折可得:,CDEFDE 由Rt ADGRt FDG, 可得:,ADGFDG 从而可判断, 设,AGa CEb 则 12,12,BGa BEb GFa EFb 利用三角形的周长公式可判断, 如图, 连接CF, 证明BCF 是直角三角形,从而可判断,从而可得本题的结论 【详解】 解:由正方形ABCD与折叠可知, DF=DC=DA,DFE=C=90 , ,ECEF DFG=A=90 , ,DGDG Rt ADGRt FDG HL, ,AGGF ,AGECGFFEGE 故正确; 由对折可得:,CDEFDE Rt ADGRt FDG, ,ADGFDG 1 45 2 ADGCDEGDFEDFA

    3、DC , 45GDE, 故正确; 设,AGa CEb 则12,12,BGa BEb GFa EFb 121224, BGE CBGBEGEabab 所以:BGE的周长是一个定值, 故正确, 如图,连接CF, 由对折可得:,EFEC ,EFCECF ,BECE BEEF, ,EBFEFB 1 18090 2 BFCEFBEFC , 1 . 2 BFC SBF FC 故正确 综上:都正确 故选.D 【点睛】 本题考查的是正方形的性质,三角形全等的判定与性质,轴对称的性质,直角三角形的判定,掌握以上知 识是解题的关键 2如图,正方形ABCO和正方形DEFO的顶点 ,A E 在同一直线l上,且 2,3

    4、EFAB,给出下列 结论:45COD,5AE ,17CFBDCOF,的面积3S COF ,其中正确的个 数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 【分析】 根据正方形的性质和平角的定义可求COD; 根据正方形的性质可求 OE,再根据线段的和差关系可求 AE的长; 作 DHAB于 H,作 FGCO 交 CO的延长线于 G,根据含 45 的直角三角形的性质可求 FG,根据勾股 定理可求 CF,BD,即可求解; 根据三角形面积公式即可求解 【详解】 解:AOC=90 ,DOE=45 , COD=180 -AOC-DOE=45 , 故正确; EF= 2, OE=2 AO=AB=3

    5、, AE=AO+OE=2+3=5, 故正确; 作 DHAB于 H,作 FGCO 交 CO的延长线于 G, 则 FG=1, CF= 22 FGCG 1 1617, BH=3-1=2, DH=3+1=4, BD= 1642 5 ,故错误; COF的面积 S COF= 1 2 3 1= 3 2 , 故错误; 故选:B 【点睛】 本题考查了正方形的性质, 含 45 的直角三角形的性质, 三角形面积, 勾股定理, 平角的定义, 综合性较强, 有一定的难度,正确作出辅助线是解题的关键 3如图,在正方形有ABCD中,E是AB上的动点, (不与A、B重合) ,连结DE,点A关于DE的对 称点为F,连结EF并延

    6、长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接 BH,那么些的值为( ) A1 B 2 C3 D2 【答案】B 【分析】 作辅助线,构建全等三角形,证明 DAEENH,得 AE=HN,AD=EN,再说明 BNH是等腰直角三角 形,可得结论 【详解】 如图,在线段 AD上截取 AM,使 AM=AE, , AD=AB, DM=BE, 点 A关于直线 DE的对称点为 F, ADEFDE, DA=DF=DC,DFE=A=90 ,1=2, DFG=90 , 在 Rt DFG 和 Rt DCG中, DFDC DGDG , Rt DFGRt DCG(HL) , 3=4, ADC=90

    7、, 1+2+3+4=90 , 22+23=90 , 2+3=45 , 即EDG=45 , EHDE, DEH=90 , DEH 是等腰直角三角形, AED+BEH=AED+1=90 ,DE=EH, 1=BEH, 在 DME 和 EBH中, 1 DMBE BEH DEEH , DMEEBH(SAS) , EM=BH, Rt AEM 中,A=90 ,AM=AE, 2EMAE , 2BHAE ,即2 BH AE . 故选:B. 【点睛】 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定定理和性质定理,等知识,解决本题的关键是作出辅助线, 利用正方形的性质得到相等的边和相等的角,证明三角形全等 4如图,在正方

    8、形ABCD内作45EAF ,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A 作AHEF,垂足为点H,将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABG,若4,6BEDF,则以下 结论: ADFAHF ,AH EF, 2 2 3 AE AF , 24 CEF S,正确的个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【分析】 利用正方形的性质与旋转的性质证明,GAEFAE再证明,AFHAFD判断, 利用全等三角形的性 质与勾股定理先求解正方形的边长,再分别求解,EF AH,判断,再利用勾股定理计算,AE AF,判断 ,通过计算 CEF S,判断 【详解】 解:由旋转的性质可知:AF=

    9、AG,DAF=BAG 四边形 ABCD为正方形, BAD=90 又EAF=45 , BAE+DAF=45 BAG+BAE=45 GAE=FAE 在 GAE 和 FAE中 AGAF GAEFAE AEAE , ,GAEFAE ,GAFE ,GAFD ,AFEAFD 90 ,AHFADFAFAF ,AFHAFD 故正确, ,AHAD ,GAEFAE ,GEFE 4,6,BEDFGBDF 10,GEEF 设正方形的边长为x,则4,6,CExCFx 由勾股定理得: 22 2 4610 ,xx 解得: 12 12,2xx (舍去) 12,AHADBC ,AHEF 故错误, ,AFHAFD 6,4,FHF

    10、DEHEB 22 22 16 1441602 2 , 180336 144 AEAHEH AF AHFH 故正确, 48,66,CExCFx 11 8 624. 22 CEF SCE CF 故正确 综上:正确, 故选 C 【点睛】 本题考查的是旋转的性质,正方形的性质,三角形的全等的判定与性质,勾股定理的应用,掌握以上知识 是解题的关键 二、解答题二、解答题 5已知:四边形ABCD为正方形,AMN是等腰Rt,90AMN (1)如图:当Rt AMN绕点A旋转时,若边AM、AN分别与BC、CD相交于点E、F,连接EF, 试证明:EFDFBE (2)如图,当Rt AMN绕点A旋转时,若边AM、AN分

    11、别与BC、CD的延长线相交于点E、F,连 接EF 试写出此时三线段EF、DF、BE的数量关系并加以证明 若6CE ,2DF ,求:正方形ABCD的边长以及AEF中AE边上的高 【答案】 (1)证明见解析; (2)EFBEDF,证明见解析;2 5 【分析】 (1)延长 CB 到 G,使 BG=DF,连接 AG,根据正方形性质得出 AD=AB,D=ABG,根据全等三角形 的判定推出即可; (2)EF=BE-DF,理由是:在 BC上取 BG=DF,连接 AG,证 ABGADF, FAEEAG 即可; 过 F作 FHAE于 H, 设正方形 ABCD的边长是 x, 则 BC=CD=x, EF=GE=BC

    12、-BG+CE=x+4, 在 Rt FCE 中,由勾股定理得出方程(x+4)2=(x+2)2+62,求出 x 后再求出 FH 即可 【详解】 (1)证明:如图 1,延长 CB 到 G,使 BG=DF,连接 AG, 四边形 ABCD是正方形, D=ABC=DAB=ABG=90 ,AD=AB, 在 ADF和 ABG中, ADAB DABG DFBG , ADFABG(SAS) , AG=AF,DAF=BAG, EAF=45 , EAG=EAB+BAG=EAB+DAF=45 , EAF=EAG, AE=AE, EAFEAG, EF=EG=EB+BG=EB+DF (2)三线段EF、DF、BE的数量关系是

    13、:EFBEDF,理由如下: 如图 2,在BC上取一点G,使BGDF 连接AG,同(1)可证ABGADF, AG=AF,DAF=BAG, AMN是等腰直角三角形, 45MNAN, 45FADDAE, 45DAEBAG, 90DAB, 904545GAEFAE, 在FAE和GAE中, AFAG FAEGAF AEAE FAEGAE SAS, EFEGBEBG, BGDF, EFBEDF 如图 2,过 F作 FHAE于 H, 设正方形 ABCD的边长是 x,则 BC=CD=x, CE=6,DF=BG=2, EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4, 在 Rt FCE中,由勾股定理

    14、得:EF2=FC2+CE2, (x+4)2=(x+2)2+62, 解得:x=6, AG=AF= 22 622 10 , FAM=45 ,FH= 2 2 AF= 2 2 10 2 =2 5, , 即 AEF中 AE 边上的高为2 5 【点睛】 本题考查旋转综合题、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题的关键是学会添 加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题 6 如图,ABADBCDC, 90CDABEBAD, 点E、F分别在边BC、CD上, 45EAF,过点A作GABFAD ,且点G在CB的延长线上 (1)GAB与FAD全等吗?为什么

    15、? (2)若2DF ,3BE ,求EF的长 【答案】 (1) GABFAD,理由见解析; (2)EF=5 【分析】 (1)由题意可得ABG=D=90 ,进一步即可根据 ASA 证得 GABFAD; (2)由(1)的结论可得 AG=AF,GB=DF,易得BAE+DAF=45 ,进而可推出GAE=EAF,然后利 用 SAS 即可证明 GAEFAE,可得 GE=EF,进一步即可求出结果 【详解】 解: (1)90DABE ,点G在CB的延长线上, ABG=D=90 , 在 GAB和 FAD 中, GABFAD ,AB=AD,ABG=D, GABFAD(ASA) ; (2)GABFAD, AG=AF,

    16、GB=DF, 90BAD,45EAF, BAE+DAF=45 , BAE+GAB=45 ,即GAE=45 , GAE=EAF, 在 GAE和 FAE 中, AG=AF,GAE=EAF,AE=AE, GAEFAE(SAS) , GE=EF, GE=GB+BE=DF+BE=2+3=5, EF=5 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质,属于常考题型,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关 键 7如图,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BC于点E,EFAD 于点F,DGAE于点G,DG 与EF交于点O (1)求证:四边形ABEF是正方形; (2)若ADAE,求证:ABAG; (3)在(2)

    17、的条件下,已知1AB ,求OD的长 【答案】 (1)见解析; (2)见解析; (3)2 2 【分析】 (1)首先证明ABEF是矩形,然后找到一组邻边相等即可证明四边形ABEF是正方形; (2)主要证明AGDAFE,从而得出AGAF,由(1)知,四边形ABEF是正方形,ABAF, 等量代换即可证明ABAG; (3)已知1AB ,可知 2AE ,又因为AGDAFE,求出 AD的长度,DF=AD-AF,根据等式关系 求出 DF 的长,最后证明ODF为等腰直角三角形,OD= 2DF 即可求解 【详解】 (1)在矩形ABCD中,90BAFB , EFAD, 90AFE, 90BAFBAFE , 四边形A

    18、BEF是矩形, 又AE 平分BAF, 45BAE, 45AEB, AEB为等腰直角三角形, BE=AB, 四边形ABEF是正方形(邻边相等的矩形为正方形) ; (2)DGAE, 90AGDAFE, 又DAGEAF ,AD=AE, AGDAFE (AAS) , AG AF, 由(1)知,四边形ABEF是正方形, AB AF, AB AG; (3)在正方形ABEF中,45AEF,1ABAF, 2AE , 由(2)知:AGDAFE, AD=AE= 2, 45ADGAEF, DF=AD-AF= 2-1, 又EFAD,45ADG, ODF为等腰直角三角形, OD= 2DF=2-2 【点睛】 本题主要考查

    19、了矩形与正方形的判定与性质、证明三角形全等等知识点,熟练掌握特殊四边形的判定与性 质是解题的关键 8正方形 ABCD的边长为 6,E,F分别是 AB,BC边上的点,且EDF45 ,将 DAE 绕点 D逆时针旋 转 90 ,得到 DCM (1)求证:EFCF+AE; (2)当 AE2时,求 EF的长 【答案】 (1)见解析; (2)5,详见解析 【分析】 (1)由旋转可得 DEDM,EDM为直角,可得出EDF+MDF90 ,由EDF45 ,得到MDF为 45 ,可得出EDFMDF,再由 DFDF,利用 SAS 可得出三角形 DEF与三角形 MDF全等,由全等三 角形的对应边相等可得出 EFCF+

    20、AE; (2)由(1)的全等得到 AECM2,正方形的边长为 6,用 ABAE求出 EB 的长,再由 BC+CM求出 BM的长,设 EFMFx,可得出 BFBMFMBMEF8x,在直角三角形 BEF中,利用勾股定理 列出关于 x 的方程,求出方程的解得到 x 的值,即为 EF的长 【详解】 (1)证明: DAE 逆时针旋转 90 得到 DCM, FCMFCD+DCM180 ,AECM, F、C、M三点共线, DEDM,EDM90 , EDF+FDM90 , EDF45 , FDMEDF45 , 在 DEF和 DMF中, DEDM EDFMDF DFDF , DEFDMF(SAS) , EFMF

    21、, EFCF+AE; (2)解:设 EFMFx, AECM2,且 BC6, BMBC+CM6+28, BFBMMFBMEF8x, EBABAE624, 在 Rt EBF中,由勾股定理得 222 EBBFEF , 即 2 22 48xx, 解得:x5, 则 EF5 【点睛】 本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理,关键是根据半角旋转得到三角形的全 等,然后利用勾股定理求得线段的长 9已知 A(m,n) ,且满足|m2|+(n2)2=0,过 A 作 ABy轴,垂足为 B (1)求 A点坐标 (2) 如图 1, 分别以 AB,AO为边作等边 ABC和 AOD, 试判定线段 AC和

    22、 DC的数量关系和位置关系, 并说明理由 (3)如图 2,过 A作 AEx轴,垂足为 E,点 F、G分别为线段 OE、AE 上的两个动点(不与端点重合) , 满足FBG=45 ,设 OF=a,AG=b,FG=c,试探究 2 c ab ab 的值是否为定值?如果是求此定值;如果 不是,请说明理由 【答案】 (1)A(2,2);(2)AC=CD,ACCD.证明见解析;(3)0. 【分析】 (1)根据非负数的性质可得 m、n 的值; (2)连接 OC,由 AB=BO知BAO=BOA=45 ,由 ABC, OAD 为等边三角形知 BAC=OAD=AOD=60 、OA=OD,继而由BAC-OAC=OAD

    23、-OAC得DAC=BAO=45 ,根 据 OB=CB=2、OBC=30 知BOC=75 ,AOC=BAO-BOA=30 ,DOC=AOC=30 ,证 OACODC得 AC=CD,再根据CAD=CDA=45 知ACD=90 ,从而得 ACCD; (3) 在 x轴负半轴取点 M, 使得 OM=AG=b, 连接 BG, 先证 BAGBOM得OBM=ABG、BM=BG, 结合FBG=45 知ABG+OBF=45 , 从而得OBM+OBF=45 ,MBF=GBF, 再证 MBFGBF 得 MF=FG,即 a+b=c,代入原式可得答案 【详解】 (1)由题得 m=2,n=2, A(2,2); (2)如图

    24、1,连结 OC, 由(1)得 AB=BO=2, ABO为等腰直角三角形, BAO=BOA=45 , ABC, OAD 为等边三角形, BAC=OAD=AOD=60 ,OA=OD BAC-OAC=OAD-OAC 即DAC=BAO=45 在 OBC中,OB=CB=2,OBC=30 , BOC=75 , AOC=BAO-BOA=30 , DOC=AOC=30 , 在 OAC 和 ODC中, OAOD AOCDOC OCOC , OACODC, AC=CD, CAD=CDA=45 , ACD=90 , ACCD; (3)如图,在 x轴负半轴取点 M,使得 OM=AG=b,连接 BG, 在 BAG和 B

    25、OM 中, BABO ABOM AGOM , BAGBOM OBM=ABG,BM=BG 又FBG=45 ABG+OBF=45 OBM+OBF=45 MBF=GBF 在 MBF和 GBF中, BMBG MBFABF BFBF , MBFGBF MF=FG a+b=c 代入原式=0 10已知,如图 1,正方形 ABCD 的边长为 6,点 E、F分别在边 AB、AD 的延长线上,且 BE=DF,连接 EF (1)求E的度数; (2)将 AEF绕点 A顺时针方向旋转,当旋转角 满足 0 45 时,设 EF 与射线 AB交于点 G,与 AC 交于点 H,如图所示,试判断线段 FH、HG、GE 的数量关系

    26、,并说明理由 (3)若将 AEF 绕点 A 旋转一周,连接 DF、BE,并延长 EB交直线 DF于点 P,连接 PC,则点 P 的运动 路径长为 ;线段 PC 的取值范围为 【答案】 (1)E=45 ; (2)FH2+GE2=HG2,理由见解析; (3)6 2,0PC62 【分析】 (1)先证明 AE=AF,由等腰直角三角形的性质可求解; (2)如图 2,作辅助线,构建全等三角形,先证明 AGHAGK,得 GH=GK,由 AFHAEK,得 AEK=AFH=45 ,FH=EK,利用勾股定理得:KG2=EG2+EK2,根据相等关系线段等量代换可得结论: FH2+GE2=HG2; (3)如图 3,先

    27、证明FPE=FAE=90 ,根据 90 的圆周角所对的弦是直径可得:点 P 的运动路径是:以 BD 为直径的圆,如图 4,可得 PC的取值范围 【详解】 (1)四边形 ABCD是正方形, AD=AB,DAB=90 , BE=DF, AD+DF=AB+BE,即 AF=AE, 又FAE=90 , E=F=45 ; (2)FH2+GE2=HG2,理由是: 如图 2,过 A作 AKAC,截取 AK=AH,连接 GK、EK, CAB=45 , CAB=KAB=45 , 在 AGH和 AGK 中, AGAG HAGKAG AHAK , AGHAGK(SAS) , GH=GK, 由旋转得:FAE=90 ,A

    28、F=AE, HAK=90 , FAH=KAE, 在 AFH和 AEK中, AFAE FAHKAE AHAK , AFHAEK(SAS) , AEK=AFH=45 ,FH=EK, AEH=45 , KEG=45 +45 =90 , Rt GKE中,KG2=EG2+EK2, 即:FH2+GE2=HG2; (3)解:如图 3, BAD=90 ,FAE=90 ,AF=AE, DAF=BAE, 在 DAF和 BAE中, ADAB DAFBAE AFAE , DAFBAE(SAS) , DFA=BEA, PNF=ANE, FPE=FAE=90 , 将 AEF 绕点 A 旋转一周,总存在直线 EB与直线 D

    29、F垂直, 点 P的运动路径是:以 BD 为直径的圆, 26 2BDAB , 点 P的运动路径长=d=6 2; 如图 4, 当 P 与 C重合时,PC 最小,PC=0, 当 P 与 A重合时,PC 最大为6 2, 线段 PC的取值范围是:0PC6 2 故答案为:6 2,0PC6 2 【点睛】 本题考查了正方形的性质,旋转变换的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理的应用,全等三角 形的判定和性质,圆周角定理,点的运动路径的概念,通过作辅助线构建全等三角形得出边相等和角相等, 因此本题辅助线的作法是关键;故在几何证明中,恰当的作辅助线可以把四边形的问题转化为三角形的问 题,使问题得以解决 11

    30、 (1)如图 1 所示,已知正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DFBE求 证:CFCE; (2)如图 2所示,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果45GCE,请利用 (1)中的结论证明:GEBEGD 【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】 (1)根据正方形的性质,可直接证明 CBECDF,从而得出 CE=CF; (2)延长 AD至 F,使 DF=BE,连接 CF,根据(1)知BCE=DCF,即可证明ECF=BCD=90 ,根 据GCE=45 ,得GCF=GCE=45 ,利用全等三角形的判定方法得出 ECGFCG,即 GE=GF,即可

    31、 得出答案 GE=DF+GD=BE+GD 【详解】 解: (1)证明:如图 1,在正方形 ABCD中, BC=CD,B=CDF,BE=DF, CBECDF, CE=CF; (2)证明:如图 2,延长 AD 至 F,使 DF=BE,连接 CF, 由(1)知 CBECDF, BCE=DCF BCE+ECD=DCF+ECD 即ECF=BCD=90 , 又GCE=45 ,GCF=GCE=45 , CE=CF,GCE=GCF,GC=GC, ECGFCG, GE=GF, GE=DF+GD=BE+GD 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质,利用全等三角形的判定方法正确证明三角形全等 是

    32、关键 12 (1)如图,在正方形 ABCD 中,FAG=45 ,请直接写出 DG,BF 与 FG 的数量关系,不需要证明 (2)如图,在 Rt ABC 中,BAC=90 ,AB=AC,E,F 分别是 BC 上两点,EAF=45 , 写出 BE,CF,EF 之间的数量关系,并证明 若将(2)中的 AEF 绕点 A 旋转至如图所示的位置,上述结论是否仍然成立? 若不成立,直接写出新 的结论 ,无需证明 (3)如图, AEF 中EAF=45 ,AGEF 于 G,且 GF=2,GE=3,则 AEF S= 【答案】 (1)FG=BF+DG; (2)EF2=BE2+FC2,理由见解析;仍然成立; (3)1

    33、5 【分析】 (1) 把 AGD绕点A逆时针旋转90 至 ABP, 可使AD与AB重合, 再证明 AFGAFP进而得到PF=FG, 即可得 FG=BF+DG; (2) 根据 AFC绕点A顺时针旋转90 得到 AGB, 根据旋转的性质, 可知 ACFABG得到BG=FC, AG=AF, C=ABG, FAC=GAB, 根据 Rt ABC中的 AB=AC得到GBE=90 , 所以 GB2+BE2=GE2, 证 AGEAFE,利用 EF=EG 得到 EF2=BE2+FC2; 将 ABE 绕点 A逆时针旋转使得 AB与 AD重合,点 E的对应点是 G,同上的方法证得 GC2+CF2=FG2, 再设法利

    34、用 SAS 证得 AFGAFE 即可求解; (3)将 AEG 沿 AE对折成 AEB,将 AFG 沿 AF对折成 AFD,延长 BE、DF相交于 C,构成正方形 ABCD,在 Rt EFC 中,利用勾股定理求得正方形的边长,即可求得 AG的长,从而求得答案 【详解】 (1)四边形 ABCD为正方形, AB=AD,ADC=ABC=90 , 把 AGD绕点 A逆时针旋转 90 至 ABP,使 AD与 AB重合, BAP=DAG,AP= AG, BAD=90 ,FAG=45 , BAF+DAG=45 , PAF=FAG=45 , ADC=ABC=90 , FBP=180 ,点 F、B、P 共线, 在

    35、 AFG 和 AFP 中, AGAP FAGFAP AFAF , AFGAFP(SAS) , PF=FG, 即:FG=BF+DG; (2)FC2+BE2=EF2,证明如下: AB=AC,BAC=90 , C=ABC=45 , 将 AFC 绕点 A顺时针旋转 90 得到 AGB, ACFABG, BG=FC,AG=AF,C=ABG=45 ,FAC=GAB, GBE=ABG +ABC =90 , GB2+BE2=GE2, 又EAF=45 , BAE+FAC=45 , GAB+BAE=45 , 即GAE=45 , 在 AGE 和 AFE 中, GAFA EAGEAF AEAE , AGEAFE(SA

    36、S) , GE=EF, FC2+BE2=EF2; 仍然成立,理由如下: 如图,将 ABE 绕点 A逆时针旋转使得 AB与 AD重合,点 E的对应点为点 G, ACGABE, CG=BE,AG=AE,ACG=ABE=45 ,BAE=CAG, GCB=ACB +ACG =90 ,即GCF=90 , GC2+CF2=FG2, BAE+EAC=BAC=90 , CAG+EAC=90 , 又EAF=45 , GAF=90 -EAF=45 , GAF=EAF=45 , 在 AFG 和 AFE 中, GAEA GAFEAF AFAF , AFGAFE(SAS) , GF=EF, FC2+BE2=EF2; (

    37、3)将 AEG 沿 AE对折成 AEB,将 AFG 沿 AF对折成 AFD,延长 BE、DF相交于 C, AEG AEB, AFG AFD, AB=AG=AD,BE=EG=3,DF=FG=2,EAG=EAB,FAG=FAD,B=D=90 , EAF=45 , EAB+FAD=EAG+FAG=EAF=45 , BAD=90 , 四边形 ABCD为正方形, 设 AG =x,则 AB=BC=CD=x, 在 Rt EFC 中,EF=3+2=5,EC=BC-BE= 3x,FC=CD-DF= 2x, 222 FCECEF, 故 22 2 2?35xx, 解得: 1 1x (舍去) , 2 6x , AG=

    38、6, AEF 11 5 615 22 SEFAG 故答案为:15 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质,折叠的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,三角形 的面积等知识,同时考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力,综合性较强,难度适中 13正方形 ABCD中,E为 BC上的一点,F 为 CD上的一点,BEDFEF,求EAF的度数 【答案】45 【分析】 延长 EB 使得 BG=DF,易证 ABGADF(SAS)可得 AF=AG,进而求证 AEGAEF可得 EAG=EAF,再求出EAG+EAF=90 即可解题 【详解】 解:如图,延长 EB到点 G,使得BGDF,连接 AG 在正

    39、方形 ABCD中,90DABC,ABAD, 90ABGADF 在ABG和ADF中, ABAD ABGADF BGDF , ABGADF SAS, DAFBAG,AFAG 又EFDFBEBGBEEG, 在 AEG和AEF中, AEAE GEFE AGAF , AEGAEF SSS, EAGEAF 90DAFEAFBAE, 90BAGEAFBAE, 90EAGEAF, 45EAF 【点睛】 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键 14如图,正方形 ABCD中,E、F 分别在边 BC、CD上,且EAF45 ,连接 EF,这种模型属于“半角模 型”中

    40、的一类,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的分析思路例如图中 ADF 与 ABG可以看作 绕点 A旋转 90 的关系这可以证明结论“EFBEDF”,请补充辅助线的作法,并写出证明过程 (1)延长 CB 到点 G,使 BG ,连接 AG; (2)证明:EFBEDF 【答案】 (1)DF; (2)见解析 【分析】 (1)由于 ADF与 ABG可以看作绕点 A旋转 90 的关系,根据旋转的性质知 BG=DF,从而得到辅助线 的做法; (2)先证明 ADFABG,得到 AG=AF,GAB=DAF,结合EAF45 ,易知GAE=45 ,再证明 AGEAFE 即可得到 EFGE=BE+GB=BEDF

    41、 【详解】 解: (1)根据旋转的性质知 BG=DF,从而得到辅助线的做法:延长 CB到点 G,使 BG=DF,连接 AG; (2)四边形 ABCD为正方形, AB=AD,ADF=ABE=ABG=90 , 在 ADF和 ABG中 ADAB ADFABG DFBG ADFABG(SAS) , AF=AG,DAF=GAB, EAF=45 , DAF+EAB=45 , GAB+EAB=45 , GAE=EAF =45 , 在 AGE和 AFE中 0 AGAF GAEFAE AEAE ADFABG(SAS) , GE=EF, EFGE=BE+GB=BEDF 【点睛】 本题属于四边形综合题,主要考查正方

    42、形的性质及全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利 用旋转方法提示构造全等三角形,属于中考常考题型 15已知在正方形 ABCD和正方形 CEFG 中,直线 BG,DE 交于点 H (1)如图 1,当 B,C,E共线时,求证:BHDE (2)如图 2,把正方形 CEFG 绕 C 点顺时针旋转 度(090) ,M,N分别为 BG,DE 的中点,探究 HM,HN,CM 之间的数量关系,并证明你的结论 (3)如图 3,PDG45 ,DHPG于 H,PH2,HG4直接写出 DH的长 【答案】 (1)见解析; (2)MH2+HN22CM2,理由见解析; (3)3+ 17 【分析】 (1) 根据正方

    43、形的性质得到 BCCD, CGCE, BCGDCE90 , 根据全等三角形的性质得到CBG CDE,根据余角的性质即可得到结论; (2)根据正方形的性质得到 BCCD,CGCE,BCDGCE90 ,由全等三角形的性质得到CBG CDE,BGDE,求得MHN90 ,得到 BMDN,根据全等三角形的性质得到 CMCN,BCM DCN,根据勾股定理即可得到结论; (3)根据折叠的性质得到 ADDHCD,ACDHP90 ,ADPHDP,GDHGDC, APPH2,CGHG4,根据正方形的性质得到B90 ,设 DHADABBCx,根据勾股定理列 方程即可得到结论 【详解】 解: (1)证明:在正方形 A

    44、BCD 和正方形 CEFG中,BCCD,CGCE,BCGDCE90 , BCGDCE(SAS) , CBGCDE, CDE+DEC90 , HBE+BEH90 , BHE90 , BHDE; (2)解:MH2+HN22CM2, 理由:在正方形 ABCD和正方形 CEFG 中,BCCD,CGCE,BCDGCE90 , BCGDCE, BCGDCE(SAS) , CBGCDE,BGDE, DPHCPM, DHPBCP90 , MHN90 , M,N分别为 BG,DE的中点, BM 1 2 BG,DN 1 2 DE, BMDN, BCCD, BCMDCN(SAS) , CMCN,BCMDCN, MC

    45、NBCP90 , MH2+HN2CM2+CN22CM2; (3)解:DHPG, DHPDHG90 , 把 PDH沿着 PD翻折得到 APD,把 GDH沿着 DG翻折得到 DGC, ADDHCD,ACDHP90 ,ADPHDP,GDHGDC,APPH2,CGHG 4, PDG45 , ADC90 , 延长 AP,CG交于 B, 则四边形 ABCD是正方形, B90 , 设 DHADABBCx, PBx2,BGx4, PG2PB2+BG2, 62(x2)2+(x4)2, 解得:x317(负值舍去) , DH317 【点睛】 本题考查了正方形的性质与判定,综合性较强,熟知正方形性质,根据题意构造正方

    46、形是解题关键对于 此类分步骤的综合题,每一步解题都为后续解题提供了解题条件或解题思路,要深刻领会并善于运用这一 点进行解题 16已知:如图,在正方形 ABCD 中,点 E、F分别在边 BC和 CD 上 (1)若 BEDF,求证:BAEDAF; 联结 AC交 EF于点 O,过点 F作 FMAE,交 AC的延长线于 M,联结 EM,求证:四边形 AEMF是菱 形 (2)联结 BD,交 AE、AF于点 P、Q若EAF45 ,AB1,设BPx,DQy,求y 关于x的函 数关系及定义城 【答案】 (1)见解析;见解析; (2) 12 2 x y x ( 2 0 2 x ) 【分析】 (1)证明 ABEADF(SAS) ,即可推出BAE=DAF 证明 FOMEOA(ASA) ,推出 AE=FM,由 FMAE,可得四边形 AEMF是平行四边形,再根据 AE=AF可得结论 (2)如图 2中,将 ADQ绕点 A顺时针旋转 90 得到 ABT,连接 PT证明 APQAPT(SAS) ,推 出 PQ=PT,由题意 BD= 2,推出 PQ=PT= 2xy,在 Rt TBP 中,根据 222 PTBTPB ,构建关 系式即可解决问题 【详解】 (1)证明:如图 1中, 四边形 ABCD是正方形, B=D=90 ,AB=AD, BE=DF,


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