1、北京市西城区北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷学年度第一学期期末试卷 九年级数学九年级数学 2021.1 考 生 须 知 1本试卷共 6 页，共三道大题，25 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。 2在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。 3试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4在答题上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 24 分分，每小题每小题 3 分）分） 第第 18 题均有四个选项，符合题意的选项题均有四个选项，符合题意的
2、选项只有只有 一个一个 1在抛物线 2 45yxx上的一个点的坐标为（ ） A0, 4 B2,0 C1,0 D1,0 2在半径为6cm的圆中，60 的圆心角所对弧的弧长是（ ） Acm B2cm C3cm D6cm 3将抛物线 2 yx向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A 2 35yx B 2 35yx C 2 53yx D 2 53yx 42020 年是紫禁城建成 600 年暨故宫博物院成立 95 周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮 品。图 1 所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和 小
3、型张的边饰。如果标记出图 1 中大门的门框并画出相关的几何图形（图 2） ，我们发现设计师巧妙地使用 了数学元素（忽略误差） ，图 2 中的四边形ABCD与四边形 ABCD是位似图形，点O是位似中心，点A 是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（ ） 图 1 图 2 A四边形ABCD与四边形 ABCD的相似比为 1:1 B四边形ABCD与四边形 ABCD的相似比为 1:2 C四边形ABCD与四边形 ABCD的相似比为 3:1 D四边形ABCD与四边形 ABCD的相似比为 4:1 5如图，AB是O的直径，CD是弦，若32CDB，则ABC等于（ ） A68 B64 C58 D32 6若抛物线 2
4、axybxc（0a）经过1,0A，3,0B两点，则抛物线的对称轴为（ ） A1x B2x C3x D4x 7近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业。中国民用航空局的现有 统计数据显示，从 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约 2.44 万人增加到约 6.72 万人若设 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率 为x，则可列出关于x的方程为（ ） A2.44 16.72x B2.44 1 26.72x C 2 2.4416.72x D 2 2.44 16.72x 8现有函数 2 4
5、, 2, xxa y xx xa 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当xm时，yn，那 么实数a的取值范围是（ ） A54 a B14 a C41 a D45 a 二二、填空题填空题（本题共（本题共 24 分分，每小题每小题 3 分）分） 9若正六边形的边长为 2，则它的半径为_ 10若抛物线 2 yax（0a）经过1,3A，则该抛物线的解析式为_ 11如图，在RtABC中，90C，6AC，9AB，则sinB_ 12若抛物线 2 yaxbxc（0a）的示意图如图所示，则a_0，ba_0，ca_0（填“” ， “”或“” ） 13 如图，AB为O的直径，10AB，CD是弦，ABCD于点E，
6、 若6CD， 则EB_ 14 如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点， 若2OA，60APB， 则PB_ 15放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小 制作制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这 些点转动，O为固定点，ODDACB，DCABBE，在点A，E处分别装上画笔 画图画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔 便画出了将图形M放大后的图形N 原理原理： 连接OA，OE，可证得以下结论： ODA和OCE为等腰三角形，则 1 180 2 DOAODA， 1 180_ 2 COE；
7、四边形ABCD为平行四边形（理由是_） ； DOACOE，于是可得O，A，E三点在一条直线上； 当 3 5 DC CB 时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的_倍得到的 16如图，在平面直角坐标系xOy中，4,3P，O经过点P点A，点B在y轴上，PAPB，延长 PA，PB分别交O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为 （1）O的半径为_； （2）tan_ 三三、解答题解答题（本题共（本题共 52 分分，第第 17、18、2022 题每小题题每小题 5 分，第分，第 19 题题 6 分，第分，第 2325 题题 每小题每小题 7 分）分） 17计算： 2 2sin60tan
8、45cos 30 18已知关于x的方程 2 240 xxk （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若1k，求该方程的根 19借助网格画图并说理： 如图所示的网格是正方形网格，ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，ADBC于 点D，4BD，2CD，3AD以BC为直径作O，射线DA交O于点E，连接BE，CE （1）补全图形； （2）填空：BEC_ ，理由是_； （3）判断点A与O的位置关系并说明理由； （4）BAC_BEC（填“” ， “”或“” ） 20二次函数 2 yaxbxc（0a）的图象经过3,0点，当1x时，函数的最小值为4 （1）求该二次函数的解析式
9、并画出它的图象； （2）直线xm与抛物线 2 yaxbxc（0a）和直线3yx的交点分别为点C，点D，点C位 于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围 21如图，AB为O的直径，AC为弦，点D在O外，BCDA，OD交O于点E （1）求证：CD是O的切线； （2）若4CD，2.7AC， 9 cos 20 BCD，求DE的长 22如图，正方形ABCD的边长为 4，点E在AB边上，1BE，F为BC的中点将正方形截去一个角 后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合） ，作矩形PMDN，其 中M，N两点分别在CD，AD边上设CMx，矩形PMDN的面积为S （1）D
10、M_（用含x的式子表示） ，x的取值范围是_； （2）求S与x的函数关系式； （3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积 23已知抛物线 2 1 2 yxx （1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标； （2）已知该抛物线经过 1 34,Any， 2 21,Bny两点 若5 n，判断 1 y与 2 y的大小关系并说明理由； 若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且 12 yy，直接写出n的取值范围 24 在RtABC中，90ACB，30ABC，3BC将ABC绕着点B顺时针旋转 （0120）得到ABC，点A，点C旋转后的对应点分别为点A，点C （1）如图 1，当点C
11、恰好为线段AA的中点时，_ ， AA_ ； （2）线段AA与线段CC有交点时，记交点为点D 在图 2 中补全图形，猜想线段AD与A D的数量关系并加以证明； 连接BD，请直接写出BD的长的取值范围 图 1 图 2 25 对于平面内的图形 1 G和图形 2 G， 记平面内一点P到图形 1 G上各点的最短距离为 1 d， 点P到图形 2 G上 各点的最短距离为 2 d，若 12 dd，就称点P是图形 1 G和图形 2 G的一个“等距点” 在平面直角坐标系xOy中，已知点6,0A， 0,2 3B （1）在3,0R，2,0S， 1, 3T三点中，点A和点B的等距点是_； （2）已知直线2 y 若点A和
12、直线2 y的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为_； 若直线ya上存在点A直线2 y的等距点，求实数a的取值范围； （3）记直线AB为直线 1 l，直线 2 l： 3 3 yx，以原点O为圆心作半径为r的O若O上有m个直 线 1 l和直线 2 l的等距点， 以及n个直线 1 l和y轴的等距点 （0m，0n） ， 求mn时， 求r的取值范围 北京市西城区北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷学年度第一学期期末试卷 九年级数学答案及评分参考九年级数学答案及评分参考 一一、选择题选择题（本题共（本题共 24 分分，每小题每小题 3 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
13、D B B D C B C A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分分，每小题每小题 3 分）分） 92 10 2 3yx 11 2 3 12， 131 142 3 15OCE；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 8 5 16 （1）5； （2） 4 3 三三、解答题解答题（本题共（本题共 52 分分，第第 17、18、2022 题每小题题每小题 5 分，第分，第 19 题题 6 分，第分，第 2325 题每小题题每小题 7 分）分） 17解： 2 2 2sin60tan45cos 3 33 21 22 0 3 31 4 1 3 4 18解： （1） 2 24 14204 kk
14、方程有两个不相等的实数根，0 解得5k （2）当1k时，原方程化为 2 230 xx 解得 1 3 x， 2 1x 19解： （1）补全图形见图 （2）90，直径所对的圆周角是直角 （3）点A在O外，理由如下：连接OA 4BD，2CD， 6BCBDCD，3 2 BC r ADBC，90ODA 在RtAOD中，3AD，1ODBD OB， 22 OAODAD 22 1310 103，OAr 点A在O外 （4）BAC BEC 20解： （1）当1x时，二次函数 2 yaxbxc（0a）的最小值为4， 二次函数的图象的顶点为1, 4 二次函数的解析式可设为 2 14ya x（0a） 二次函数的图象经过
15、3,0点， 2 3 140a 解得1a 该二次函数的解析式为 2 14yx 画图象见图 （2）0m或3m 21 （1）证明：如图，连接OC AB为O的直径，AC为弦， 90ACB，1290 OAOC，2 A 2 BCD 190 BCD 90OCD CDOC OC为O的半径，CD是O的切线 （2）解：BCDA， 9 cos 20 BCD， 9 coscos 20 ABCD 在RtABC中，90ACB，2.7AC， 9 cos 20 A， 9 2.76 cos20 AC AB A 3 2 AB OCOE 在RtOCD中，90OCD，3OC，4CD， 2222 345ODOCCD 5 32 DEOD
16、 OE 22解：如图 （1）4x，01x （2）可得22DNPMx SDM DN422xx 2 268 xx， 其中01x （3）此抛物线开口向下，对称轴为 3 2 x， 当 3 2 x时，y随x的增大而增大 x的取值范围为01x， 当1x时，矩形PMDN的面积最大，此时点P与点E重合，此时最大面积为 12 23解： （1）1x，0,0 （2） 34215 AB xxnnn， 13413331 A xnnn， 12112221 B xnnn 当5 n时，10 A x，10 n x，0 An xx A，B两点都在抛物线的对称轴1x的左侧，且 AB xx 抛物线 2 1 2 yxx开口向下， 在抛
17、物线的对称轴1x的左侧，y随x增大而增大 12 yy 1 1 5 n 24解： （1）60，2 （2）补全图形见图 ADA D 证明如下： 如图，过点A作 AC的平行线，交CC于点E，记1 将RtABC绕点B顺时针旋转得到Rt ABC， 90 ACBACB， ACAC， BCBC 21 3190 ACB，290 A C DACB / AE AC， 90 AEDA C D 41801809090 AED 34 AEAC AEAC 在ADE和 ADC中， , , , ADEADC AEDACD AEAC ADEADC ADAD 证法不唯一 13BD 25解： （1）0,2S （2）4,0或8,0 如图， 设直线ya上的点Q为点A和直线2 y的等距点， 连接QA， 过点Q作直线2 y的垂线， 垂足为点C 点Q为点A和直线2 y的等距点， QAQC 22 QAQC 点Q在直线ya上， 可设点Q的坐标为,Q x a 2 2 2 62 xaa 整理得 2 123240 xxa 由题意得关于x的方程 2 123240 xxa有实数根 2 124 13241610 aa 解得1a （3）如图 直线 1 l和直线 2 l的等距点的直线 3 l： 3 3 3 yx上 直线 1 l和y轴的等距点在直线 4 l：32 3 yx或 5 l： 3 2 3 3 yx上 由题意得3r或3r
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