1、特殊特殊三角形三角形（一）（一）讲义讲义 例题讲解一 1、下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【变式 1】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 ( ) 【变式 2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是 ，它有 条对称轴；最少 的是 ，它有 条对称轴 2、观察图形并判断照此规律从左到右第四个图形是（ ） A . B. C . D. 【变式】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B” ，再把它铺平，你可见到（ ） A B C D 3、如图，将矩形纸片 ABCD （图）按如下步骤操作： （1）以过点 A 的直线为折痕折叠纸片，使点 B 恰 好落在 AD
2、边上，折痕与 BC 边交于点 E （如图） ； （2）以过点 E 的直线为折痕折叠纸片，使点 A 落 在 BC 边上，折痕 EF 交 AD 边于点 F （如图） ； （3）将纸片收展平，那么AEF 的度数为（ ） A60 B67.5 C72 D75 【变式 1】如图，ABC 中，ABBC，ABC 沿 DE 折叠后，点 A 落在 BC 边上的 A 处，若点 D 为 AB 边的中点， A70，求BD A 的度数 【变式 2】将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示图形. 若CED56,则AED 的大小是_. 4、如图，点 P 在AOB 内，M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点，M
3、N 分别交 AO，BO 于点 E、F， 若 PEF 的周长等于 20cm，求 MN 的长 例题讲解二 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或 150 D60或 120 【变式 1】已知等腰三角形的周长为 13，一边长为 3，求其余各边 【变式 2】等腰三角形有一个外角是 100，这个等腰三角形的底角是 【答案】50或 80 2、 我们把过三角形的一个顶点， 且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为 该三角形的“等腰线段” 例如：如右图，RtABC，取 AB 边的中点 D，线段 CD 就是ABC 的等腰线段 （1）请分别画出下列三角
4、形的等腰线段； D C A B （2）例如，在EFG 中，G=2F，若EFG 有等腰线段，请直接写出F 的度数的取值范围 【变式】直角三角形纸片 ABC 中，ACB90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠， 使点 A 落在直角边 BC 上，记落点为 D，设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、F， 探究：如果折叠后的CDF 与BDE 均为等腰三角形，那么纸片中的B 的度数是多少？写出你的计算过程，并 画出符合条件的折叠后的图形 3、如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点，且 BEAC，延长 BE 交 AC 于 F. 求证：AFEF. 【变式】如图，已知 AD 是
5、ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AEEF 求证：ACBF 4、 如图， ACBC， ACB90， A 的平分线 AD 交 BC 于点 D， 过点 B 作 BEAD 于点 E.求证： BEAD. 【变式】如图 1，在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上 （1）求证：BE=CE； （2）如图 2，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BFAC，垂足为 F，BAC=45，原题设其它条件 不变求证：AEFBCF 5、如图，ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、 A 在直线 DC
6、的同侧，连接 AE 求证：AEBC 1 2 例题讲解三 1、如图， ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AE 平分BAC 交 CD 于 F，交 BC 于 E，试说明 CEF 是等腰三角形 2、如图，已知AOB=x（0 x180） ，OC 平分AOB，点 N 为 OB 上一个定点通过画图 可以知道：当AOB=45时，在射线 OC 上存在点 P，使ONP 成为等腰三角形，且符合条件的点 有三个，即 P1（顶点为 P2） ，P2（顶点为 0）P3（顶点为 N）. 试问：当AOB分别为锐角、直角、钝角时，在射线OC上使ONP成为等腰三角形的点P是否 仍然存在三个？请分别画出简图并加以说明 【变
7、式】如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角 形各角的度数 3、ABC 是等边三角形，D 是三角形外一动点，满足ADB=60 （1）如图，当 D 点在 AC 的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB； （2）如图，当 D 点不在 AC 的垂直平分线上时， （1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 【变式】求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形 已知：BD、CE 是ABC 的两条中线（如图） ，BD=CE 求证：AB=AC 4、已知命题“等腰三角形两腰上的高相等” （1）写出逆命题； （2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写
8、出“已知”， “求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明 5、课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题 实验与论证： 设旋转角A1A0B1=（A1A0A2），3、4、5、6所表示的角如图所示 （1）用含的式子表示：3=_，4=_，5=_； （2）图 1-图 4 中，连接 A0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线 A0H 垂直且被它 平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由； 归纳与猜想： 设正 n 边形 A0A1A2An-1与正 n 边形 A0B1B2Bn-1重合（其中，A1与 B1重合），现将正边形 A0B1B2 B
9、n-1绕顶点 A0逆时针旋转（0 180 n ）； （3）设n与上述“3、4、”的意义一样，请直接写出n的度数； （4）试猜想在正 n 边形的情形下，是否存在与直线 A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这 条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由 【变式】如图，已知：E 是AOB 的平分线上一点，ECOB，EDOA，C，D 是 垂足，连接 CD，与AOB 的平分线交于点 F 求证：OE 是 CD 的垂直平分线； 特殊三角形特殊三角形（一）参考答案（一）参考答案 例题讲解一 1、 （2016邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【思路
10、点拨】【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形， 否则就不是. 【答案】【答案】D； 【解析解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合. 【总结升华总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏. 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 ( ) 【答案】【答案】A； 提示：A 一条对称轴，B 四条对称轴，C 五条对称轴，D 三条对称轴. 【变式 2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是 ，它有 条对称轴；最少 的是 ，它有 条对称轴 【答案】【答案】直线、无数、角、
11、1 【高清课堂【高清课堂389298 轴对称轴对称 例例 2 2】 2、观察图形并判断照此规律从左到右第四个图形是（ ） A . B. C . D. 【思路点拨】【思路点拨】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项 【答案】【答案】D； 【总结升华总结升华】本题考查学生根据图形，归纳、发现并运用规律的能力注意结合图形解题的思想 举一反三：举一反三： 【变式】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B” ，再把它铺平，你可见到（ ） A B C D 【答案】【答案】C. 类型二、轴对称或轴对称图形的应用类型二、轴对称或轴对称图形的应用 3、如图，将矩形纸片 ABCD （图）按
12、如下步骤操作： （1）以过点 A 的直线为折痕折叠纸片，使点 B 恰 好落在 AD 边上，折痕与 BC 边交于点 E （如图） ； （2）以过点 E 的直线为折痕折叠纸片，使点 A 落 在 BC 边上，折痕 EF 交 AD 边于点 F （如图） ； （3）将纸片收展平，那么AEF 的度数为（ ） A60 B67.5 C72 D75 【答案】【答案】B； 【解析解析】AEF（18045）267.5. 【总结升华总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形，对应角相等. 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，ABC 中，ABBC，ABC 沿 DE 折叠后，点 A 落在 BC 边上的 A 处，若点 D
13、为 AB 边的中点， A70，求BD A 的度数 【答案】【答案】100； ABBC， AC70，B40 又ABC 沿 DE 折叠后，点 A 落在 BC 边上的 A 处，点 D 为 AB 边的中点， BDD A ，BD A B40， BD A 1804040100. 【变式 2】将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示图形. 若CED56,则AED 的大小是_. 【答案】【答案】62； 4、如图，点 P 在AOB 内，M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点，MN 分别交 AO，BO 于点 E、F， 若 PEF 的周长等于 20cm，求 MN 的长 【思路点拨】【思路点拨】根据轴
14、对称的性质可得 ME=PE，NF=PF，然后求出 MN= PEF 的周长 【答案与解析】【答案与解析】 解：M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点， ME=PE，NF=PF， MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF= PEF 的周长， PEF 的周长等于 20cm， MN=20cm 【总结升华总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对 称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等 例题讲解二 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或 150
15、 D60或 120 【答案】D； 【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而 题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答 (1)顶角为锐角如图，按题意顶角的度数为 60； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为 0不符合题意； (3)顶角为钝角如图，则顶角度数为 120，故此题应选 D 【总结升华】 此题主要考查了等腰三角形的性质， 熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键， 本题易出现的错误是忽视了顶角为 120这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知等腰三角形的周长为 1
16、3，一边长为 3，求其余各边 【答案】 解：(1)3 为腰长时，则另一腰长也为 3，底边长13337； (2)3 为底边长时，则两个腰长的和13310，则一腰长 这样得两组：3，3，7 5，5，3 而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：337，故不能组成三角形，应舍去 等腰三角形的周长为 13，一边长为 3，其余各边长为 5，5 【变式 2】等腰三角形有一个外角是 100，这个等腰三角形的底角是 【答案】50或 80 解：若 100的外角是此等腰三角形的顶角的邻角， 则此顶角为：180100=80， 则其底角为： （18080）2=50； 若 100的外角是此等腰三角形的底角的邻角，
17、则此底角为：180100=80； 故这个等腰三角形的底角为：50或 80 故答案为：50或 80 类型二、等腰三角形的操作题类型二、等腰三角形的操作题 2、 （2016顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰 三角形的线段称为该三角形的“等腰线段” 例如：如右图，RtABC，取 AB 边的中点 D，线段 CD 就是ABC 的等腰线段 （3）请分别画出下列三角形的等腰线段； （4）例如，在EFG 中，G=2F，若EFG 有等腰线段，请直接写出F 的度数的取值范围 【思路点拨】 （1）利用三角形的等腰线段的定义画图； （2）分类讨论等腰线段，从而求得F 的度数. 【答案与
18、解析】解： （1）三角形的等腰线段如图所示， 1 105 2 D C A B （2）设F=x，则G=2x， 如图 2，线段 EM 是等腰线段， EMG 是等腰三角形， EM=EG，ME=MF， F=MEF=x，EMG=G=2x， 2x90 ， x45 ； 如图 3，GN 为等腰线段， NF=NG，GN=GE， F=NGF=x，E=ENG， EGN=x，ENG=2x， E=2x， x+2x+2x=180 ， x=36 ， F 的度数的取值范围为 0 x45 【总结升华】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是
19、熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复 杂作图拆解成基本作图也考查了等腰三角形的性质 举一反三：举一反三： 【变式】直角三角形纸片 ABC 中，ACB90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠， 使点 A 落在直角边 BC 上，记落点为 D，设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、F， 探究：如果折叠后的CDF 与BDE 均为等腰三角形，那么纸片中的B 的度数是多少？写出你的计算过程，并 画出符合条件的折叠后的图形 【答案】【答案】 解：若CDF 是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形. 设B 为度 145，2A90 当 BDBE 时 3 ， 4590180， 30 . 经计算 ED
20、EB 不成立. 当 DEDB 时 31802 45901802180， xx 180 2 x x 180 2 x x x xx 45. 综上所述，B30或 45. 类型三、等腰三角形性质的综合应用类型三、等腰三角形性质的综合应用 3、如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点，且 BEAC，延长 BE 交 AC 于 F. 求证：AFEF. 【思路点拨】根据点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到点 H，得到ADCHDB，利用全等三角形的对应角 相等，对应边相等进行等量代换，得到AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明 AE=EF 【答案与解析】 证明：延长 AD
21、到 H 使 DHAD，连接 BH. AD 是 BC 边上的中线， BDCD 在ADC 和HDB 中， ， ADCHDB， 1H，BHAC BEAC， BEBH， 3H， 13 又23， 12， AFEF 【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转 移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明. 举一反三：举一反三： x BDD BDHCDA ADHD C 【变式】如图，已知 AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AEEF 求证：ACBF 【答案】【答案】 证明：延长 AD 至点 G，使 DGAD，连接 BG.
22、 4、 如图， ACBC， ACB90， A 的平分线 AD 交 BC 于点 D， 过点 B 作 BEAD 于点 E.求证： BEAD. 【答案与解析】 证明：如图，延长 BE、AC 交于点 F. 12，AEAE，AEBAEF90， AEBAEF（ASA）. . , , , (). AD BDCD ACDGBD ADDG ADCGDB CDBD ACDGBD SAS 为中线, 在和中, ,. , . , . . BGACGCAD AEEF CADAFE BFDAFE GBFD BFBGAC 又 1 2 A B C D E F G BEFEBF. 390F2，BCAC, BCFACD（ASA）
23、BFAD，BEAD. 【总结升华】 在几何解题的过程中， 当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换， 可保留原有图形的性质， 且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决 举一反三：举一反三： 【变式】如图 1，在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上 （1）求证：BE=CE； （2）如图 2，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BFAC，垂足为 F，BAC=45，原题设其它条件 不变求证：AEFBCF 【答案】【答案】 证明：（1）AB=AC，D 是 BC 的中点， BAE=EAC， 在ABE 和ACE 中， ， ABEACE（SAS）， BE=CE；
24、 （2）BAC=45，BFAF， ABF 为等腰直角三角形， AF=BF， AB=AC，点 D 是 BC 的中点， ADBC， EAF+C=90， BFAC， CBF+C=90， 1 2 RtRt 1 2 ABAC BAEEAC AEAE EAF=CBF， 在AEF 和BCF 中， AEFBCF（ASA） 5、如图，ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、 A 在直线 DC 的同侧，连接 AE 求证：AEBC 【思路点拨】 根据等边三角形性质推出 BC=AC， CD=CE， ABC=BCA=ECD=60， 求出BCD=ACE， 根据 SAS
25、 证ACEBCD，推出EAC=DBC=ACB，根据平行线的判定推出即可 【答案与解析】 证明：ABC 和DEC 是等边三角形， BC=AC，CD=CE，ABC=BCA=ECD=60， BCA-DCA=ECD-DCA， 即BCD=ACE， 在ACE 和BCD 中 ， ACEBCD（SAS）， EAC=B=60=ACB， AEBC 【思路点拨】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求 出ACEBCD，主要考查学生的推理能力. 90 EAFCBF AFBF AFEBFC ACBC ACEBCD CDCE 例题讲解三 1、如图， ABC 中，ACB=90，CDAB 于
26、D，AE 平分BAC 交 CD 于 F，交 BC 于 E，试说明 CEF 是等腰三角形 【思路点拨】首先根据条件ACB=90 ，CD 是 AB 边上的高，可证出B+BAC=90 ，CAD+ACD=90 ， 再根据同角的补角相等可得到ACD=B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到CFE=CEF，最后利 用等角对等边即可得出答案. 【答案与解析】解：ACB=90， B+BAC=90， CDAB， CAD+ACD=90， ACD=B， AE 是BAC 的平分线， CAE=EAB， EAB+B=CEF，CAE+ACD=CFE， CFE=CEF， CF=CE， CEF 是等腰三角形 【总结升华】 本题
27、主要考查了直角三角形的性质， 三角形外角的性质， 角平分线的定义以及等腰三角形的判定， 解题的关键是根据条件理清角之间的关系，得出CFE=CEF 2、如图，已知AOB=x（0 x180） ，OC 平分AOB，点 N 为 OB 上一个定点通过画图 可以知道：当AOB=45时，在射线 OC 上存在点 P，使ONP 成为等腰三角形，且符合条件的点 有三个，即 P1（顶点为 P2） ，P2（顶点为 0）P3（顶点为 N）. 试问：当AOB分别为锐角、直角、钝角时，在射线OC上使ONP成为等腰三角形的点P是否 仍然存在三个？请分别画出简图并加以说明 【思路点拨】当AOB为锐角时，当AOB=90，时，当A
28、OB为不等于120 的钝角时，根据等腰三角形的判定，分为三种情况：ON=DN，OE=ON，ON=NF， 画出即可；当AOB为120的钝角时，这样的点只有一个 【答案与解析】解：当AOB为锐角时，这样的点有三个：，如图1： 当AOB=90时，这样的点有三个，如图2： 当AOB为不等于120的钝角时，这样的点有三个，如图3： 当AOB为120的钝角时，这样的点只有一个，如图4： 在射线OC上找一点P，使ONP为等腰三角形， PON=60，此时ONP必为等边三角形， 这样的点只有一个； 综合上述：当AOB120时，这样的点都有三个；当AOB=120时，这样的点只有一个 【总结升华】本题考查了作图，等
29、腰三角形的判定的应用，主要考查了作图能力， 题目较好，但是一道比较容易出错的题目，注意要分类讨论 举一反三 【变式】如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角 形各角的度数 【答案】解：如图 1：直线把 75的角分成 25的角和 50的角， 则分成的两个三角形都是等腰三角形； 如图 2，直线把 120的角分成 80和 40的角， 则分成的两个三角形都是等腰三角形 3、 （2016 秋孟津县期中）ABC 是等边三角形，D 是三角形外一动点，满足ADB=60 （1）如图，当 D 点在 AC 的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB； （2）如图，当 D
30、 点不在 AC 的垂直平分线上时， （1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 【思路点拨】 （1）由 D 点在 AC 的垂直平分线上，可得 AD=CD，又由ADB=60 ，ABC 是等边三角形，可 得ABD 是含 30 角的直角三角形，继而证得结论； （2）首先在 DB 上截取 DE=AD，可证得ADE 是等边三角形，又由ABC 是等边三角形，易证得BAE CAD（SAS） ，继而证得结论 【答案与解析】 证明： （1）D 点在 AC 的垂直平分线上， AD=CD， DAC=DCA，ADB=CDB=60 ， DAC=30 ， ABC 是等边三角形， BAC=60 ， BAD=90 ， ABD=9
31、0 ADB=30 ， BD=2AD=AD+CD； （2）成立 理由：在 DB 上截取 DE=AD， ADB=60 ， ADE 是等边三角形， AE=AD，EAD=60 ， ABC 是等边三角形， AB=AC，BAC=60 ， BAE=CAD， 在BAE 和CAD 中， ， BAECAD（SAS） ， BE=CD， BD=DE+BE=AD+CD 【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质此 题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 举一反三 【变式】求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形 已知：BD、CE 是ABC 的两条中
32、线（如图） ，BD=CE 求证：AB=AC 【答案】 证明：如图，将 EC 沿 ED 平移得 DF，连接 ED、CF，根据平移的特征， DF=EC， 而 EC=BD， BD=DF DBF=DFB,DFB=ECB, DBF=DFB=ECB， 在ECB 与DBC 中， BDCE DBFECB BCCB ， ECBDBC（SAS） ， ABC=ACB， AB=AC 类型二、类型二、命题与逆命题，定理与逆定理命题与逆命题，定理与逆定理 4、已知命题“等腰三角形两腰上的高相等” （1）写出逆命题； （2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”， “求证”，再进行“证明”；如
33、果是假命题，请举反例说明 【思路点拨】（1）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题； （2）判断逆命题是真命题，画出图形判断即可 【答案与解析】解：（1）逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形 （2）真命题 已知：一个三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等， 求证：这个三角形ABC是等腰三角形 证明：BD、CE是ABC的高， CEAB，BDAD， A=A， BD=CE， RtADBRtAEC， AB=AC， 三角形ABC是等腰三角形 【总结升华】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题 的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么
34、这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题 类型三、线段垂直平分线定理的逆定理类型三、线段垂直平分线定理的逆定理 5、课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题 实验与论证： 设旋转角A1A0B1=（A1A0A2），3、4、5、6所表示的角如图所示 （1）用含的式子表示：3=_，4=_，5=_； （2）图 1-图 4 中，连接 A0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线 A0H 垂直且被它 平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由； 归纳与猜想： 设正 n 边形 A0A1A2An-1与正 n 边形 A0B1B2Bn-1
35、重合（其中，A1与 B1重合），现将正边形 A0B1B2 Bn-1绕顶点 A0逆时针旋转（0 180 n ）； （3）设n与上述“3、4、”的意义一样，请直接写出n的度数； （4）试猜想在正 n 边形的情形下，是否存在与直线 A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这 条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由 【思路点拨】（1）由正三角形的性质得+3=60，再由正方形的性质得4=45-（45-）= ，最后由正五边形的性质得5=108-36-36-=36-； （2）存在，如在图 1 中直线 A0H 垂直且平分的线段 A2B1，A0A1A2A0B1B2，推得 A2H=B
36、1H， 则点 H 在线段 A2B1的垂直平分线上；由 A0A2=A0B1，则点 A0 在线段 A2B1的垂直平分线上，从而得出 直线 A0H 垂直且平分的线段 A2B1 （3）当 n 为奇数时，n= 180 n -； 当 n 为偶数时，n= （4）多写几个总结规律： 当 n 为奇数时，直线 A0H 垂直平分 11 22 nn AB ， 当 n 为偶数时，直线 A0H 垂直平分 22 nn A B. 【答案与解析】解：（1）60-，36- （2）存在下面就所选图形的不同分别给出证明： 选图 1，图中有直线 A0H 垂直平分 A2B1，证明如下： 方法一： 证明：A0A1A2与A0B1B2是全等的
37、等边三角形 A0A2=A0B1 A0A2B1=A0B1A2 又A0A2H=A0B1H=60 HA2B1=HB1A2 A2H=B1H，点 H 在线段 A2B1的垂直平分线上 又A0A2=A0B1，点 A0 在线段 A2B1的垂直平分线上 直线 A0H 垂直平分 A2B1 方法二： 证明：A0A1A2与A0B1B2是全等的等边三角形 A0A2=A0B2 A0A2B1=A0B1A2 又A0A2H=A0B1H=60 HA2B1=HB1A2 A2H=B1H， 在A0A2H 与A0B1H 中 A0A2=A0B1， HA2=HB1，A0A2H=A0B1H A0A2HA0B1H A0A2H=B1A2H A0H
38、 是等腰三角形 A0A2B1的角平分线， 直线 A0H 垂直平分 A2B1选图如，图中有直线 A0H 垂直平分 A2B2，证明如下： A0B2=A0A2A0B2A2=A0A2B2 又A0B2B1=A0A2A3 HB2A2=HA2B2 HB2=HA2 点 H 在线段 A2B2的垂直平分线上 又A0B2=A0A2，点 A0在线段 A2B2的垂直平分线上 直线 A0H 垂直平分 A2B2 （3）当 n 为奇数时，n= 180 n -； 当 n 为偶数时，n= （4）存在 当 n 为奇数时，直线 A0H 垂直平分 11 22 nn AB ， 当 n 为偶数时，直线 A0H 垂直平分 22 nn A B
39、. 【总结升华】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平 分线上的点到线段的两个端点的距离相等 举一反三 【变式】如图，已知：E 是AOB 的平分线上一点，ECOB，EDOA，C，D 是 垂足，连接 CD，与AOB 的平分线交于点 F 求证：OE 是 CD 的垂直平分线； 【答案】 证明：E 是AOB 的平分线上一点，ECOB，EDOA，C，D 是垂足， DE=CE 在EDO 与ECO 中， ODEOCE DOECOE DEEF ， EDOECO. OD=OC DOE=COE, OF=OF, FDOFCO. OFD=OFC=90， OFCD,OD=OC, OE 是线段 CD 的
40、垂直平分线 同步练习一 一一. .选择题选择题 1如图，在ABC 中，若 ABAC，BCBD，ADDEEB，则A 等于( ) A30 B36 C45 D54 2. 等腰三角形两边、满足0，则此三角形的周长是（ ） A7 B5 C8 D7 或 5 3. 如图，ABC 中，ABAC，BECD，BDCF，则EDF （ ） A2A B902A C90A D 4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ） A顶角的一半 B底角的一半 C90减去顶角的一半 D90减去底角的一半 5 （2016 春乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为 1，A、B 是格点，以 A、B、C 为等腰三角 形顶点的所
41、有格点 C 的个数为（ ） A7 个 B8 个 C9 个 D10 个 6. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25，则该三角形的一个底角为（ ） A32.5 B57.5 C65或 57.5 D32.5或 57.5 二二. .填空题填空题 7已知一个等腰三角形的顶角为度,则其一腰上的高线与底边的夹角_度（用含的式子表示）. 8.（2016淮安一模）已知：如图，ABC 中，BO，CO 分别是ABC 和ACB 的平分线，过 O 点的直线分 别交 AB、AC 于点 D、E，且 DEBC若 AB=6cm，AC=8cm，则ADE 的周长为 ab2a b 2 2311ab 1 90 2 A xx 9.
42、 等腰三角形的周长为 22，其中一边的长是 8,则其余两边长分别为_. 10. 如图，在ABC 中，高 AD、BE 交于 H 点，若 BHAC，则ABC_ 11如图，钝角三角形纸片 ABC 中，BAC110，D 为 AC 边的中点现将纸片沿过点 D 的直线折叠，折痕与 BC 交于点 E，点 C 的落点记为 F若点 F 恰好在 BA 的延长线上，则ADF _ 12.如图，已知 AB=A1B，在 AA1的延长线上依次取 A2、A3、A4、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形， 使 A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，An1Cn1=An1An，若B=30，则An= 三三.
43、.解答题解答题 13. 已知，如图，在ABC 中，BE 是角平分线，ADBE 垂足为 D， 求证：BADDAEC 14已知，如图，ABC 中，D 是 BC 中点，DEDF, 试判断 BECF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论. cmcm 15.在中， 点是直线上一点 （不与重合） ， 以 AD 为一边在 AD 的右侧作， 使，连接 （1）如图 1，当点在线段上，如果，则_； （2）设， 如图 2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由； 当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论 16.数学课上，同学们探究下面命题的正确性： （1）顶角为 36的等腰三角形具
44、有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形， 为此，请你解答：如图，已知在ABC 中，AB=AC，A=36，射线 BD 平分ABC 交 AC 于点 D求证：DAB 与BCD 都是等腰三角形； （2）在证明了该命题后，有同学发现：下面两个等腰三角形如图 2 也具有这种特性请你在图 2 中分别画出一 条线段，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数 【答案与解析】【答案与解析】 一一. .选择题选择题 1. 【答案】C； F E DCB A ABCABACDBCBC、ADE ADAEDAEBAC，CE DBC90BACBCE BAC BCE DBC
45、 ， DBC ， 【解析】设A，则由题意ADE1802，EDB，BDCBCD90，因为ADE EDBBDC180，所以45. 2. 【答案】A； 【解析】2=0 且 2311=0，解得1，3，选 A；B 选项不满足两边之和大于第三边， 构不成三角形. 3. 【答案】D； 【解析】证BDECFD，FDCBED，所以EDF108EDBBED B. 4. 【答案】A； 【解析】解：ABC 中，AB=AC，BD 是高， ABC=C= 在 RtBDC 中，CBD=90-C=90-=. 故选 A 5. 【答案】B； 【解析】解：如图所示，分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径画弧，则圆弧经过的格点 C1、
46、C2、C3、C4、 C5、C7即为点 C 的位置， 作线段 AB 的垂直平分线，垂直平分线所经过的格点 C6、C8即为点 C 的位置 故以 A、B、C 为等腰三角形顶点的所有格点 C 的个数为 8 个 6. 【答案】D； 【解析】当高在三角形内部时底角是 57.5，当高在三角形外部时底角是 32.5 度，故选 D. 二二. .填空题填空题 7. 【答案】； xx 2 x 2 x x ababab A o 2 1 90 180 2 A 180 2 A 2 A 2 x 【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，一腰上的高线与底边的夹角都是. 8.【答案】14cm； 【解析】解：DEBCDOB=O
47、BC，又BO 是ABC 的角平分线， DBO=OBC，DBO=DOB，BD=OD，同理：OE=EC， ADE 的周长=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm 9. 【答案】7，7或 8，6； 【解析】边长为 8cm 的可能是底边，也可能是腰. 10.【答案】45； 【解析】ADCBDH，ADBD，所以ABC45. 11.【答案】40； 【解析】ADFD，FADAFD70，所以ADF40. 12.【答案】； 【解析】解：在ABA1中，B=30，AB=A1B， BA1A=75， A1A2=A1C，BA1A 是A1A2C 的外角， CA2A1=37.5； C1A3A2=18，75，C2A4A3=9.375， An=， 故答案为： 三三. .解答题解答题 13.【解析】 证明：延长 AD 交 BC 于 F, BE 平
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