1、一、选择题一、选择题 9 （2019福建）如图，PA、PB 是O 切线，A、B 为切点，点 C 在O 上， 且ACB55，则APB 等 于（ ） A55 B70 C110 D125 【答案】B 【解析】 连接 OA、 OB， PA、 PB 是O 切线， A、 B 为切点， OAPA， OBPB， OAPOBP90， ACB55，AOB2ACB110，APB360 110909070 【知识点】圆周角定理；切线的性质；四边形内角和； 11. （2019泸州）如图，等腰ABC 的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 ABAC5， BC6，则 DE 的长是（ ） A310 1
2、0 B310 5 C35 5 D65 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】连接 OA、OE、OB，OB 交 DE 于 H，如图， 等腰ABC 的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F， OA 平分BAC，OEBC，ODAB，BEBD， ABAC，AOBC，点 A、O、E 共线，即 AEBC，BECE3， 在 RtABE 中，AE= 52 32=4， BDBE3，AD2， 设O 的半径为 r，则 ODOEr，AO4r， 在 RtAOD 中，r2+22（4r）2，解得 r= 3 2， 在 RtBOE 中，OB=32+ (3 2) 2 = 35 2 ， OP C B A OP
3、C B A (第 9 题) BEBD，OEOD，OB 垂直平分 DE，DHEH，OBDE， 1 2HEOB= 1 2OEBE，HE= = 33 2 36 2 = 35 5 ，DE2EH= 65 5 故选：D 5 （2019苏州苏州）如图，AB 为O 的切线切点为 A，连接 AO，BO，BO 与O 交于点 C，延长 BO 与O 交 于点 D，连接 AD 若ABO =36，则ADC 的度数为（ ） A54 B36 C32 D27 （第 5 题） 【答案】D 【解析】【解析】 本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质 AB 为O 的切线，OAB=90 ，ABO=3
4、6 ，AOB=90 -ABO=54 ，OA=OD，ADC= OAD，AOB=ADC+OAD，ADC=AOB=27 ，故选 D 1. （2019无锡）无锡）如图，PA 是O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交O 于点 B，若P=40，则B 的度数 为 （ ） A.20 B.25 C.40 D.50 【答案】B 【解析】【解析】PA 是O 的切线，切点为 A，OAAP，OAP=90 ，APB=40 ，AOP=50 ， OA=OB，B=OAB=AOP=25 故选 B 2.（2019自贡）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（8，0） 、 （0，8） ，点 C、F 分别是直线 x=-5 和 x 轴上
5、的动 点，CF=10，点 D 是线段 CF 的中点，连接 AD 交 y 轴于点 E，当ABE 的面积取得最小值时，tanBAD 的值 x y x y O -6 O O O BC A A B B A P E F 是（ ） A. 8 17 B. 7 17 C.4 9 D.5 9 【答案】B. 【解析】A（8，0） ，B（0，8） ，AOB=90 0， AOB 是等腰直角三角形， AB=82，OBA=45 0， 取 D（-5，0） ，当 C、F 分别在直线 x=-5 和 x 轴上运动时， 线段 DH 是 RtCFD 斜边上中线， DH=1 2CF=10， 故 D 在以 H 为圆心,半径为 5 的圆上
6、运动， 当 AD 与圆 H 相切时，ABE 的面积最小. 在 RtADH 中，AH=OH+OA=13, AD=AH2 2= 12. AOE=ADH=90 0，EAO=HAD， AOEADH， E = ，即 E 8 = 5 12， OE=10 3 ， BE=OB-OE=14 3 . SABE=1 2BEOA= 1 2ABEG， EG=EOA = 14 3 8 82 = 72 3 . 在 RtBGE 中，EBG=450， BG=EG=72 3 ， AG=AB-BG=172 3 . 在 RtAEG 中， tanBAD= = 7 17. 故选 B. 3. (2019台州台州)如图,等边三角形 ABC
7、的边长为 8,以 BC 上一点 O 为圆心的圆分别与边 AB,AC 相切,则O 的半 径为( ) A.2 3 B.3 C.4 D.43 【答案】【答案】A 【解析】【解析】O 与 AB,AC 相切,ODAB,OEAC,又ODOE,DAOEAO,又ABAC,BOCO, DAO30,BO4,ODOAtanDAO3OA,又在 RtAOB 中, 22 4 3AOABOB,OD 2 3,故选 A. 4. 4.（2019重庆重庆 B 卷）卷）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，A 为切点，若C40 则 B 的度数为（ ） A.60 B.50 C.40 D.30 【答案】【答案】 【解析】【解析】
8、圆的切线垂直于经过切点的半径，因为 AC 是O 的切线，A 为切点，所以BAC90 ，根据三角形内 角和定理，若C40 则B 的度数为 50 . 故选 5. （2019 重庆 A 卷） 如图， AB 是O 的直径， AC 是O 的切线， A 为切点， BC 与O 交于点 D， 连结 OD 若 C50，则AOD 的度数为 （ ） A40 B50 C80 D100 【答案答案】C 【解析】【解析】AC 是O 的切线，ACABC50，B90C40OBOD，B ODB40AODBODB80故选 C 二、填空题二、填空题 1.（2019岳阳）岳阳）如图，AB 为O 的直径，点 P 为 AB 延长线上的一
9、点，过点 P 作O 的切线 PE，切点为 M， 过 A、B 两点分别作 PE 的垂线 AC、BD，垂足分别为 C、D，连接 AM，则下列结论正确的是_ （写出所有 正确结论的序号） AM 平分CAB；AM2=ACAB； 若 AB=4，APE=30，则BM的长为 3 ； 若 AC=3，BD=1，则有 CM=DM=3 【答案】【答案】 【解析】【解析】连接 OM，BM O D C B A PE 是O 的切线， OMPE ACPE， ACOM CAMAMO OAOM， AMOMAO CAM=MAO AM 平分CAB选项正确； AB 为直径， AMB=90=ACM CAM=MAO， AMCABM AC
10、AM AMAB AM2=ACAB选项正确； P=30， MOP=60 AB=4， 半径 r=2 6022 1803 BM l 选项错误； BDOMAC，OA=OB， CM=MD CAMAMC=90，AMCBMD=90， CAMBMD ACM=BDM=90， ACMMDB ACCM DMBD CMDM=31=3 CM=DM=3选项正确； 综上所述，结论正确的有 2. （2019无锡）无锡）如图，在ABC 中，ACBCAB=51213，O 在ABC 内自由移动，若O 的半径为 1，且圆心 O 在ABC 内所能到达的区域的面积为10 3 ，则ABC 的周长为_. 【答案】25 【解析】【解析】如图，
11、圆心 O 在ABC 内所能到达的区域是O1O2O3，O1O2O3三边向外扩大 1 得到ACB，它 的三边之比也是 51213， O1O2O3的面积= 10 3 ， O1O2= 5 3 ， O2O3=4， O1O3= 13 3 ， 连接 AO1 与 CO2， 并延长相交于 I，过 I 作 IDAC 于 D，交 O1O2于 E，过 I 作 IGBC 于 G 交 O3O2于 F，则 I 是 RtABC 与 RtO1O2O3的公共内心，四边形 IEO2F 四边形 IDCG 都是正方形，IE=IF= 1223 122313 OOO O OOO OOO = 2 3 ， ED=1，ID=IE+ED= 5 3
12、 ，设ACB 的三边分别为 5m、12m、13m，则有 ID= ACBC ACBCAB =2m= 5 3 ，解得 m= 5 6 ，ABC 的周长=30m=25. 4. （2019眉山）眉山）如图，在 RtAOB 中，OA=OB=4 2，O 的半径为 2，点 P 是 AB 边上的动点， 过点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点） ，则线段 PQ 长的最小值为 【答案】【答案】2 3 【解析】连接【解析】连接 OQ，如图所示，如图所示， PQ 是是O 的切线，的切线，OQPQ，根据勾股定理知：，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，当，当 POAB 时，线段时，线段 PQ 最短，最短，
13、在在 RtAOB 中，中，OA=OB=4 2，AB=2OA=8，SAOB= 1 2 OAOB= 1 2 AB OP，即，即 OP= OA OB AB =4， PQ= 22 OPOQ= 22 42=2 3故答案为：故答案为： 2 3. 5. (2019宁波宁波)如图,RtABC 中,C90,AC12 ,点 D 在边 BC 上,CD5,BD13.点 P 是线段 AD 上一动点, 当半径为 6 的P 与ABC 的一边相切时,AP 的长为_. 【答案答案】 13 2 或3 13 【解析】【解析】半径为 6 的P 与ABC 的一边相切,可能与 AC,BC,AB 相切,故分类讨论: 当P 与 AC 相切时
14、,点 P 到 AC 的距离为 6,但点 P 在线段 AD 上运动,距离最大在点 D 处取到,为 5,故这种情况 不存在; 当P 与 AC 相切时,点 P 到 BC 的距离为 6,如图 PE6,PEAC,PE 为ACD 的中位线,点 P 为 AD 中点, AP 113 = 22 AD ; 当 P 与 AB 相切时,点 P 到 AB 的距离为 6,即 PF6,PFAB,过点 D 作 DGAB 于点 G,APFADG ABC, PFAC APAB ,其中,PF6,AC12,AB 22 ACBC 6 13,AP3 13; 综上所述,AP 的长为 13 2 或3 13. 6. 7. 8. 9. 10.
15、三、解答题三、解答题 23 （2019衡阳衡阳）如图，点 A、B、C 在半径为 8 的O 上，过点 B 作 BDAC，交 OA 延长线于点 D，连接 BC， 且BCAOAC30 （1）求证：BD 是O 的切线； （2）求图中阴影部分的面积 解：（1）证明：连接 OB 交 AC 于 E，由BCA30 ，AOB60 在AOE 中，OAC30 ，OEA90 ，所以 OBAC BDAC，OBBD 又 B 在圆上，BD 为O 的切线； （2）由半径为 8，所以 OA=OB=8 在AOC 中，OACOCA30 ，COA120 ，AC83 由BCAOAC30 ，OABC，而 BDAC，四边形 ABCD 是平
16、行四边形.BD83 OBD 的面积为 1 2 8 83323，扇形 OAB 的面积为 1 6 82 32 3 ， 阴影部分的面积为 323 32 3 24 （2019淮安）淮安）如图，AB 是O 的直径，AC 与O 交于点 F，弦 AD 平分BAC，DEAC，垂足为 E. (1)试判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由； (2)若O 的半径为 2，BAC=60，求线段 EF 的长. D A O C B E D A O C B 第 24 题图 【解题过程】 （【解题过程】 （1）直线 DE 与O 相切.理由如下： 第 24 题答图 1 如图所示，连接 OD，则 OA=OD， ODA=BAD
17、. 弦 AD 平分BAC， FAD=BAD. FAD=ODA， ODAF. 又DEAC， DEOD， 直线 DE 与O 相切. （2）连接 BD， AB 是O 的直径， ADB=90. 第 24 题答图 1 AD 平分BAC，BAC=60， FAD=BAD=30，B=60， DFE=B=60. O 的半径为 2， AB=4， 32 2 3 430cos ABAD， 3 2 1 3230sin ABDE， 1 3 3 60tan DE EF. 22 （2019常德，常德，22 题，题，7 分）分）如图 6，O 与ABC 的 AC 边相切于点 C，与 AB、BC 边分别交于点 D、E， DEOA，
18、CE 是O 的直径 （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 BD4，CE6，求 AC 的长 【解题过程】【解题过程】证明： （1）连接 OD，DEOA，AOCOED，AODODE，ODOE，OED ODE，AOCAOD，又OAOA，ODOC，AOCAOD（SAS） ，ADOACOCE 是O 的直径，AC 为O 的切线，OCAC， OCA90，ADO90，ODAB， OD 为O 的半径，AB 是O 的切线 （2）CE6，ODOC3，BDO90， 222 BOBDOD，BD4，OB 22 435， BC8，BDO OCA90，BB，BDOBCA， BDOD BCAC ， 43 8AC ，AC6
19、 21 （2019武汉）已知 AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，DC 与O 相切于点 E，分别交 AM、BN 于 D、C 两点 （1） 如图 1，求证：AB24AD BC （2） 如图 2，连接 OE 并延长交 AM 于点 F，连接 CF若ADE2OFC，AD1，求图中阴影部分的面积 图6 O E D C B A O E D C B A 图 1 图 2 【解题过程】【解题过程】 证明： （证明： （1）如图）如图 1，连接，连接 OD，OC，OE AD，BC，CD 是是O 的切线，的切线， OAAD，OBBC，OECD，ADED，BCEC，ODE 1 2 ADC，OCE 1
20、 2 BCD AD/BC，ODEOCE 1 2 （ADCBCD）90 ， ODEDOE90 ，DOEOCE 又又OEDCEO90 ， ODECOE OEEC EDOE ，OE2ED EC 4OE24AD BC，AB24AD BC （2）解：如图 2，由（1）知ADEBOE， ADE2OFC，BOE2COF， COFOFC，COF 等腰三角形。等腰三角形。 OECD，CD 垂直平分垂直平分 OF AODDOEOFD30 ，BOE120 3 tan30 AD rOA，BCOB tan60 3 S阴影阴影2SOBCS扇形OBE33 图图 1 图图 2 26 （2019陇南）陇南）如图，在ABC 中，
21、ABAC，BAC120，点 D 在 BC 边上，D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E （1）求证：AC 是D 的切线； （2）若 CE2，求D 的半径 O D E N M C B A F E A B C M N D O O D E N M C B A F E A B C M N D O （1 1）证明：连接）证明：连接ADAD， ABABACAC，BACBAC120120， B BC C3030， ADADBDBD， BADBADB B3030， ADCADC6060， DACDAC180180606030309090， ACAC是是D D的切线；的切线； （2 2）解：连接）
22、解：连接AEAE， ADADDEDE，ADEADE6060， ADEADE是等边三角形，是等边三角形， AEAEDEDE，AEDAED6060， EACEACAEDAEDC C3030， EACEACC C， AEAECECE2 2， D D的半径的半径ADAD2 2 24(2019泰州泰州,24 题题,10 分分) 如图,四边形 ABCD 内接于O,AC 为O 的直径,D 为弧 AC 的中点,过点 D 作 DE AC,交 BC 的延长线于点 E. (1)判断 DE 与O 的位置关系,并说明理由; (2)若O 的半径为 5,AB8,求 CE 的长. 第 24 题图 【解题过程】【解题过程】(1
23、)DE 为O 的切线,理由如下:连接 OD,AC 为O 的直径,D 为弧 AC 的中点,弧 AD弧 CD,所 以 ADDC,因为 AOOC,所以 ODAC,AODCOD90,又DEAC,EDOAOD90, 所以 ODDE,DE 为O 的切线; 第 24 题答图 (2)DEAC,EDCACD,ACDABD,所以EDCABD,又DCEBAD,DCE BAD, CEDC ADAB ,半径为 5,AC10, D 为弧 AC 的中点,ADCD5 2,CE 25 4 1. （2019金华）金华）如图，在YOABC 中，以 O 为圆心，OA 为半径的圆与 BC 相切于点 B，与 OC 相交于点 D. （1）
24、求BD的度数； （2）如图，点 E 在O 上，连结 CE 与O 交于点 F.若 EF=AB，求OCE 的度数. 解： 1）连结 OB BC 是O 的切线， OBBC， 四边形 OABC 是平行四边形 OABC，OBOA AOB 是等腰直角三角形 ABO45 OCAB， BOCABO45 BD的的度数为 45 ； F D C O AB E （2）连结 OE，过点 O 作 OHEC 于点 H，设 EHt， OHEC， EF2HE2t， 四边形 OABC 是平行四边形 ABCOEF2t， AOB 是等腰直角三角形 O 的半径 OA2t 在 RtEHO 中，OH 22 OEEH 22 2ttt 在 R
25、tOCH 中，OC2OH，OCE30 2. （2019湖州）已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1分别交 x 轴和 y 轴于点 A(3，0)、B(0，3) （1）如图 1，已知P 经过点 O，且与直线 l1相切于点 B，求P 的直径长； （2）如图 2，已知直线 l2：y3x3 分别交 x 轴和 y 轴于点 C 和点 D，点 Q 是直线 l2上的一个动点，以 Q 为圆心，22为半径画圆 当点 Q 与点 C 重合时，求证：直线 l1与Q 相切； 设Q 与直线 l1相交于点 M，N，连结 QM，QN问：是否存在这样的点 Q，使得QMN 是等腰 直角三角形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在
26、，请说明理由 解：解： （1）如答图 1，连接 PO、PB P 与直线 l1相切于点 B， ABBP H F D C O AB E 图 1 图 2 第 23 题图 l1 y x P O B A D C l2 A B O x y l1 A(3，0)、B(0，3)， OAOB3 又AOB90， OBAOAB45 PBO45 PBPO， OPB90 在 RtPOB 中，由 sinPBO PO OB ，得 POOBsinPBO3sin45 3 2 2 P 的直径为 32 （2）如答图 2，过点 C 作 CEAB 于点 E易知 C(1，0)，从而 AC314 在 RtACE 中，由 sinCAE CE
27、AC ，得 CEACsinCAE4sin4522 Q 的半径为 22，且点 Q 与点 C 重合， Q 与直线 l1相切 假设存在符合条件的等腰直角三角形，令直线 l1、l2相交于点 F 易求直线 AB 的解析式为 yx3 分两种情况讨论如下： 若点 Q 在线段 CF 上，如答图 3，由MNQNAG45，得AGN90，从而点 Q、N 两点的横坐标相等，不妨令 Q(m，3m3)，则 N(m，m3)，于是由 NQ22， 得(m3)(3m3)22，解得 m32，故 Q(32，632) 若点 Q 在线段 CF 的延长线上， 如答图 4， 由可知(3m3)(m3)22， 解得 m32， 故 Q(32，63
28、2) 综上，存在符合条件的点 Q 有两个：Q1(32，632)，Q2(32，632) 3. （2019天津）已知 PA,PB 分别与O 相切于点 A,B，APB=80 ，C 为O 上一点， (1)如图，求ACB 的大小； (2)如图，AE 为O 的直径，AE 与 BC 相交于点 D，若 AB=AD，求EAC 的大小. 解： （1）如图，连接 OA,OB PA,PB 分别是切线 OAPA,OBPB, 即PAO=PBO=90 APB=80 在四边形 OAPB 中，AOB=360 -90 -90 -80 =100 第 23 题答图 4 G F Q N M D C l2 A B O x y l1 G
29、F Q N M D C l2 A B O x y l1 第 23 题答图 3 ACB= 2 1 AOB=50 . （2）如图，连接 CE, AE 为直径， ACE=90 ， 由（1）知，ACB=50 ， BCE=ACE-ACB=40 ， BAE=BCE=40 ， 在ABD 中，AB=AD, ADB=ABD=70 ACD 中，ADB 是外角， EAC=ADB-ACB=70 -50 =20 24 （2019娄底）娄底）如图（12） ，点 D 在以 AB 为直径的O 上，AD 平分BAC，DCAC，过点 B 作O 的切 线交 AD 的延长线于点 E （1）求证：直线 CD 是O 的切线 （2）求证：
30、CD BEAD DE 【解题过程】【解题过程】 证明： （1）如图，连结 OD， 在O 中，有 OAOD， OADODA， 又AD 平分BAC， OADCAD， ODACAD， 又DCAC ADC+ADO90 ODC90，即 ODCD； 直线 CD 是O 的切线 （2）如图，连结 BD， AB 为O 的直径， ADBBDE90 又DCAC ACD BDE BE 为O 的切线，DCAC，AD 平分BAC， EADC ACDBDE CDDE ADBE CD BEAD DE 4. （2019攀枝花）攀枝花） 如图 1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心 O（保留作图痕迹，不写做法） 如图 2，设 A
31、B 是该残缺圆O 的直径，C 是圆上一点，CAB 的角平分线 AD 交O 于点 D，过点 D 作 O 的切线交 AC 的延长线于点 E （1）求证：AEDE； （2）若 DE3，AC2，求残缺圆的半圆面积 解：图 1 问题解答如下:如图， 点即为所求 图 2 问题解答如下： （1）证明：连接 OD 交 BC 于 H AB 是该残缺圆O 的直径， ACB90 DE 为O 的切线 ODDE AD 平分CAB CADDAB ODOA, DABODACAD ODAE AEDE 图1图2 E D BA O C O （2）AB 是O 的直径, ACB90 ODAE, ODBC BC2CH 四边形 CEDH
32、 为矩形 DE3， CHED3,BC6, AC2， AB210, AO10, S半圆 1 2 AO25 5. （2019凉山）凉山） 如图，点 D 是以 AB 为直径的O 上一点，过点 B 作O 的切线，交 AD 的延长线于点 C，E 是 BC 的中点，连 接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F. （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 OB=BF，EF=4，求 AD 的长. 解：解： （1）证明：连接 OD.O 的切线，BCOB，OBC=90.AB 为O 直径，ADB=90， ADB+CDB =180，CDB =90.E 是 BC 的中点，ED=EB= 2 1 BC，EDB=EBD
33、.OD=OB， ODB=OBD，ODF=OBC=90,DFOD，DF 是O 的切线； （2）由（1）知ODB=90，OD=OB=BF，sinF= 2 1 OF OD ,F=30，DOB+F =90， H E D BA O C DOB=60，ODB 是等边三角形，OBD=60，tanOBD= BD AD =3，AD=3BD.BCAF， BF BE sinF= 2 1 ,EF=4，BE=2，BF= 22 BEEF =23=OB=DB，AD=3BD=6. 6.（2019乐山）乐山）已知关于x的一元二次方程04)4( 2 kxkx. （1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的
34、两个实数根为 1 x、 2 x，满足 4 311 21 xx ，求k的值； （3）若RtABC的斜边为 5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 1 x、 2 x，求RtABC的内切圆半径. 解：解： （1）证明： 0)4(16816)4( 222 kkkkk， 无论k为任何实数时，此方程总有两 个实数根. （2）由题意得：4 21 kxx，kxx4 21 ， 4 311 21 xx ， 4 3 21 21 xx xx ，即 4 3 4 4 k k ， 解得： 2k； （3）解方程得：4 1 x，kx 2 ， 根据题意得： 222 54 k，即3k， 设直角三角形ABC的内切圆半 径为r，如图，
35、由切线长定理可得：5)4()3(rr，直角三角形ABC的内切圆半径r= 1 2 543 ； 第 23 题答图 4 3 5 r r r 24 （2019乐山）乐山）如图，直线l与O相离，lOA于点A，与O相交于点P，5OA.C是直线l上一点， 连结CP并延长交O于另一点B，且ACAB. （1）求证：AB是O的切线； （2）若O的半径为3，求线段BP的长. 第 24 题图 解：解： 证明：(1)如图，连结OB，则OBOP ，CPAOPBOBP， ACAB，ABCACB，而lOA，即90OAC， 90CPAACB，即90OBPABP，90ABO， ABOB ，故AB是O的切线； (2)由(1)知：9
36、0ABO，而5OA，3OPOB，由勾股定理，得：4AB， 过O作PBOD 于D， 则DBPD ， 在ODP和CAP中 ，CPAOPD， 90CAPODP，ODPCAP， CP OP PA PD ， 又4 ABAC，2OPOAAP， 52 22 APACPC，5 5 3 CP PAOP PD，5 5 6 2PDBP. 7. （2019达州）如图，O 是ABC 的外接圆， BAC 的平分线交O 于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 作 直线 DFBC. （1）判断直线 DF 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AB=6，AE= 5 312 ，CE= 5 74 ，求 BD 的长. 解：解：(
37、1)DF 与O相切. l B P O AC l DB P O AC 理由：证明：连接 OD， AD 平分BAC， BAD=CAD， BDCD， ODBC， DFBC， ODDF，所以 DF 为O 的切线 （2）EAC=DBE，C=ADB AECBED DE BE EC AE 5 312 AE 5 74 EC 5 74 5 312 DE BE 7 213 BDE=ADB DBE=BAD ABDBED DE BE BD AB BD 6 7 213 3 212 BD 8. (2019枣庄枣庄)如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O，点 D 为O 上一点，且 CDDB， 连接 DO
38、 并延长交 CB 的延长线于点 E. (1)判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由； (2)若 BE2，DE4，求圆的半径及 AC 的长. 解：解：(1)连接 CO点 D 在圆上,ODOB,CDCB,COCO,CODCOB(SSS),ABC90,D ABC90,ODDC,直线 CD 与O 相切; (2)设ODOBx,DE4,OE4x,在RtOBE中,BE2+BO2OE2,即22+x2(4x)2,解之,得,x1.5,OD OB1.5,AB2OB3,CB,CD 是圆的切线,设 CBCDy,在 RtCDE 中,CD2+DE2CE2,即 y2+42(y+2)2, 解之,得,y3,BC3,在 Rt
39、ABC 中,AC 22 ABBC5. 9.(2019聊城聊城)如图,ABC 内接于O,AB 为直径,作 ODAB 于点 D,延长 BC,OD 交于点 F,过点 C 作O 的切 线 CE,交 OF 于点 E. (1)求证：ECED； (2)如果 OA4,EF3,求弦 AC 的长. 解：解：(1)连接 OC,CE 与O 相切,OC 是O 的半径,OCCE,OCA+ACE90,OAOC,A OCA,ACE+A90,ODAB,ODA+A90,ODACDE,CDE+A90, CDEACE,ECED; 第 24 题答图 (2)AB 为直径,ACB90,在 RtDCF 中,DCE+ECF90,DCECDE,
40、CDE+ECF90, CDE+F90,ECFF,ECEF,EF3,ECDE3,在 RtOCE 中,OC4,CE3,OE 22 OCEC5,ODOEDE2,在RtOAD中,AD 22 OAOD2 5,在RtAOD和RtACB中, AA,RtAODRtACB, AOAD ACAB ,AC16 5 5 . 10. 一、选择题一、选择题 5. （ 2019广州）平面内，O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作O 的切线条数为（ ） A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 【答案】C 【解析】解：O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 2，dr，点 P 与O 的位置关系是：
41、P 在O 外， 过圆外一点可以作圆的 2 条切线，故选：C 【知识点】切线的性质 12. （2019 荆门） 如图， ABC 内心为 I， 连接 AI 并延长交ABC 的外接圆于 D， 则线段 DI 与 DB 的关系是 （ ） ADIDB BDIDB CDIDB D不确定 【答案】【答案】A 【解析】【解析】连接 BI，如图， ABC 内心为 I， 12，56， 31， 32， 42+63+5， 即4DBI， DIDB 故选：A 【知识点】【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心 二、填空题二、填空题 14(2019海南海南) 如图,O 与正五边形 ABCDE 的边 AB,DE 分
42、别相切于点 B,D,则劣弧BD所对的圆心角BOD 的大小为_度. 第 14 题图 【答案】【答案】144 【解析】【解析】O 与正五边形 ABCDE 的边 AB,DE 分别相切于点 B,D,OBAB,ODDE,正五边形每个内角为 108,OC+OBC+ODC1083902144. 【知识点】【知识点】正多边形,切线的性质 14. （2019菏泽）如图，直线 y= 3 4x3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是 x 轴上一动点，以点 P 为圆心， 以 1 个单位长度为半径作P，当P 与直线 AB 相切时，点 P 的坐标是 【答案】【答案】 （ 7 3，0）或 P（ 17 3 ，0
43、） 【解析】【解析】直线 y= 3 4x3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B， 令 x0，得 y3，令 y0，得 x4， A（4，0） ，B（03） ， OA4，OB3， AB5， 设P 与直线 AB 相切于 D， 连接 PD， 则 PDAB，PD1， ADPAOB90，PADBAO， APDABO， = ， 1 3 = 5 ， AP= 5 3， OP= 7 3或 OP= 17 3 ， P（ 7 3，0）或 P（ 17 3 ，0） ， 故答案为： （ 7 3，0）或 P（ 17 3 ，0） 【知识点】【知识点】一次函数的图象；切线的判定与性质; 相似三角形的判定和性质 15. （2019
44、 宿迁）直角三角形的两条直角边分别是 5 和 12，则它的内切圆半径为 【答案】2 【解析】直角三角形的斜边= 52+ 122=13，所以它的内切圆半径= 5+1213 2 =2 故答案为 2 【知识点】三角形的内切圆与内心 16.（2019连云港） 如图， 在矩形ABCD中， 4AB ， 3AD ，以点C为圆心作 C与直线BD相切，点P是C 上一个动点，连接AP交BD于点T，则 AP AT 的最大值是 【答案】3 【解析】解：如图， 过点P作 / /PEBD交AB的延长线于E， AEPABD ， APEATB ， APAE ATAB ， 4AB ， 4AEABBEBE ， 1 4 APBE
45、AT ， BE 最大时， AP AT 最大， 四边形ABCD是矩形， 3BCAD ， 4CDAB ， 过点C作CH BD 于H，交PE于M，并延长交AB于G， BD是 C的切线， 90GME， 在Rt BCD 中， 22 5BDBCCD ， 90BHCBCD ，CBHDBC ， BHCBCD ， BHCHBC BCDCBD ， 3 345 BHCH ， 9 5 BH ， 12 5 CH ， 90BHGBAD ，GBHDBA ， BHGBAD ， HGBGBH ADBDAB ， 9 5 354 HGBG ， 27 20 HG ， 9 4 BG ， 在Rt GME 中， 33 sin 55 GME
46、GAEPEGEG ， 而 9 4 BEGEBGGE ， GE 最大时，BE最大， GM 最大时，BE最大， 27 20 GMHGHMHM ， 即：HM最大时，BE最大， 延长MC交 C于 P ，此时，HM最大 24 2 5 HPCH ， 123 4 GPHPHG ， 过点 P 作 / /P FBD 交AB的延长线于F， BE 最大时，点E落在点F处， 即：BE最大 BF ， 在RtGP F 中， 123 41 4 3 sinsin4 5 GPGP FG FABD ， 8BFFGBG ， AP AT 最大值为 8 13 4 ， 故答案为 3 【知识点】矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性
47、质 三、解答题三、解答题 25. （2019 扬州）如图，AB是 O的弦，过点O作OCOA ，OC交AB于P，CP BC （1）求证：BC是 O的切线； （2）已知 25BAO，点Q是AmB上的一点 求 AQB 的度数； 若 18OA ，求AmB的长 【思路分析】 （1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到 OABOBA ， CPBPBC ，等量代换得到 APOCBP ，根据三角形的内角和得到 90CBO，于是得到结论； （2）根据等腰三角形和直角三角形的性质得到 25ABO ， 65APO，根据三角形外角的性质得到 40POBAPOABO ，根据圆周角定理即可得到结论； 根据弧长公式即可得到结论 【解题过程】解： （1）证明：连接OB， O
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