1、 一、选择题一、选择题 12 （20192019长沙）长沙）如图，ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD+ 5 5 BD 的最小值是 【 】 A2 5B4 5C5 3D10 【答案答案】B 二、填空题二、填空题 16 （2019黄冈黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC2，BD8，AB8.点M为AB的中点.若CMD120 ，则 CD的最大值是. 【答案】【答案】14 【解析】【解析】 将 CAM 沿 CM 翻折到 CAM， 将 DBM 沿 DM 翻折至 DBM， 则 AMBM， AMCAMC， DMBDMB，CMD120 ，A
2、MC+DMBAMC+DMB60 ， AMB180 -（AMC+DMB+AMC+DMB）60 ， AMB是等边三角形， 又又AC2，BD8，AB8.点 M 为 AB 的中点， ABAMBMAM 1 2 AB4， CAAC2， DBDB8， 又 CDCA+AB+DB2+4+814. 三、解答题三、解答题 24 （2019 山东威海，山东威海，24，12 分）分）如图，在正方形 ABCD 中，AB10cm，E 为对角线 BD 上一动点，连接 AE， CE，过 E 点作 EFAE，交直线 BC 于点 FE 点从 B 点出发，沿着 BD 方向以每秒 2cm 的速度运动，当点 E 与 点 D 重合时，运动
3、停止，设BEF 的面积为 ycm2，E 点的运动时间为 x 秒 （1）求证：CEEF； （2）求 y 与 x 之间关系的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）求BEF 面积的最大值 【解题过程】【解题过程】 （1）证明：过 E 作 MNAB，交 AD 于 M，交 BC 于 N， 四边形 ABCD 是正方形，ADBC，ABAD， MNAD，MNBC， AMEFNE90 NFEFEN， AEEF，AEFAEMFEN90 ， AEMNFE， DBC45 ，BNE90 ， BNENAM. AEMEFN（AAS）. AEEF. 四边形 ABCD 是正方形， ADCD，ADECDE， DEDE
4、， ADECDE（SAS） ， AECEEF. （2）在 RtBCD 中，由勾股定理得：BD10， 0 x5. 由题意，得 BE2x， BNENx. 由（1）知：AEMEFN， MEFN， ABMN10，MEFN10 x， 如图（1） ，当 0 x 5 2 2 时， BFFNBN10 2x2x102 x. y 1 2 BFEN 1 (102 2 ) 2 2 xx2x25 2x（0 x 5 2 2 ） ； 如图（2） ，当 5 2 2 x5 2时， 22 10102 2 2 2 2 BFBNFN 2x（102x）2 2x10， y 1 2 BFEN 1 (2 210) 2 2 xx2x25 2x
5、（ 5 2 2 x5 2）. 2 2 5 2 25 2 (0); 2 5 2 25 2 (5 2). 2 xxx y xxx （1） （2） （3）y2x25x2（x 5 2 4 ）2 25 4 ， 20， 当 x 5 2 4 时，y 有最大值是；即BEF 面积的最大值是； 当 5 2 2 x5 2时， y2x25 2x 2 5 2 2() 4 x 25 4 ， 此时 20，开口向上，对称轴为直线 x 5 2 4 ， 对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大， 当 x5 2时，y最大值50. 当 x5 2时，BEF 面积的最大值是 50. 【知识点】四边形综合运用，二次函数的解析式，二次函数的最值
6、问题，三角形全等的判定【知识点】四边形综合运用，二次函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形全等的判定. 25 （2019 山东省威海市，题号山东省威海市，题号 25，分值，分值 12） （1）方法选择 如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，连接AC，BD.ABBCAC. 求证：BDADCD. 小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD，连接AM. 小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD 请你选择一种方法证明. （2）类比探究 【探究1】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD.BC是O的直径，ABAC.试用等式表示线 段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的
7、结论. 【探究2】 如图， 四边形ABCD是O的内接四边形， 连接AC， BD.若BC是O的直径， ABC30 ， 则线段AD， BD，CD之间的等量关系式是. （3）拓展猜想 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD.若BC是O0的直径，BC：AC：ABa：b：c，则线段AD， BD，CD之间的等量关系式是. 【思路分析】【思路分析】 （1）选小颖的截长法，如图，在 DB 上截取 DMAD，连接 AM，由旋转全等得 BMCD，BDMDBM ADCD （2）【探究 1】数量关系为：BD2ADCD 如图，在 DB 上截取 ADAN，连接 AN，可得AND 为等腰直角三角形，ND2AD
8、，由旋转全等得 BN CD，BDNDBN2ADCD 【探究 2】数量关系为：BD2AD3CD 如图，在 DB 上截取 2ADPD，连接 AP，可得APD 为 30 的直角三角形， 由旋转相似得 BP3CD，BDPDBP2AD3CD （3）拓展猜想数量关系为：BD a b AD c b CD 如图，过 A 作 AQAD 交 BD 于 Q，连接 AQ，由旋转相似得= BQABc CDACb ，= DQBCa ADACb ， 图 O C A B D 图 B O C A D 图 B O C A D 图 B O C A D BQ c b CD，BQ a b AD，BDPDBP a b AD c b CD
9、 【解题过程】【解题过程】 （1）选小颖的截长法，如图，在 DB 上截取 DMAD，连接 AM，可得AMD 为等边三角形，可证BAM CAD（SAS）得 BMCD，BDMDBMADCD （2）【探究 1】数量关系为：BD2ADCD 如图，在 DB 上截取 ADAN，连接 AN，可得AND 为等腰直角三角形，ND2AD，BANCAD， 可证BANCAD（SAS）得 BNCD，BDNDBN2ADCD 【探究 2】数量关系为：BD2AD3CD 如图，在 DB 上截取 2ADPD，连接 AP，可得APD 为 30 的直角三角形， =tan30 = 3 APAB ADAC ， BAPCAD， 可证BAP
10、CAD 得 BP3CD， BDPDBP2AD3 CD 答案图 M O C B A D 答案图 N B O C A D （3）拓展猜想数量关系为：BD a b AD c b CD 如图，过 A 作 AQAD 交 BD 于 Q，连接 AQ，可得BAQCAD，ABQACD，ADQACB， BACQADBAPCAD，ADQACB = BQABc CDACb ，= DQBCa ADACb ， BQ c b CD，BQ a b AD，BDPDBP a b AD c b CD 26 （2019益阳）益阳）如图，在半面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB=4，BC=6.若不改变矩形 ABCD 的
11、形 状和大小，当形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半上随之上下移动. (1)当OAD=30时，求点 C 的坐标； (2)设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为 2 21 时，求 OA 的长； (3)当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cosOAD 的值. 第第 26 题图题图 第第 26 题备用图题备用图 【解题过程】 （【解题过程】 （1）如图）如图 1，过点，过点 C 作作 CEy 轴，垂足为轴，垂足为 E. 答案图 P B O C A D a c b 答
12、案图 Q B O C A D 第第 26 题答图题答图 1 矩形矩形 ABCD 中，中，CDAD， CDE+ADO=90， 又又OAD+ADO=90， CDE=OAD=30. 在在 RtCED 中，中，CE= 2 1 CD=2， DE=3224 2222 CECD; 在在 RtOAD 中，中，OAD=30， OD= 2 1 AD=3. 点点 C 的坐标为的坐标为(2，323). (2)M 为为 AD 的中点，的中点， DM=3，6 DCM S. 又又 2 21 OMCD S四边形， 2 9 ODM S， 9 OAD S. 设设 OA=x，OD=y， 则则 9 2 1 36 22 xy yx ，
13、 xyyx2 22 ， 即即0)( 2 yx， x=y. 将将 x=y 代入代入36 22 yx得得18 2 x， 解得解得23x(23不合题意，舍去不合题意，舍去)， OA 的长为的长为23. （3）OC 的最大值为的最大值为 8.理由如下：理由如下： 如图如图 2， 第第 26 题答图题答图 2 M 为为 AD 的中点，的中点， OM=3，5 22 DMCDCM. OCOM+CM=8, 当当 O、M、C 三点在同一直线时，三点在同一直线时，OC 有最大值有最大值 8. 连接连接 OC，则此时，则此时 OC 与与 AD 的交点为的交点为 M，过点，过点 O 作作 ONAD，垂足为，垂足为 N
14、. CDM=ONM=90，CMD=OMN， CMDOMN， OM CM MN DM ON CD ， 即即 3 534 MNON ， 解得解得 5 9 MN， 5 12 ON， 5 6 MNAMAN. 在在 RtOAN 中，中， 5 56 22 ANONOA， 5 5 cos OA AN OAD. 26 （2019衡阳衡阳）如图，在等边ABC 中，AB6cm，动点 P 从点 A 出发以 cm/s 的速度沿 AB 匀速运动动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 延长线方向匀速运动当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动设运 动时间为 t（s）过点 P 作 PEAC 于 E，连接
15、 PQ 交 AC 边于 D以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE （1）当 t 为何值时，BPQ 为直角三角形； （2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由； （3）求 DE 的长； （4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将BPM 沿直线 PM 翻折，得BPM，连接 AB，当 t 为何值时，AB的 值最小？并求出最小值 解：（1）ABC 为等边三角形，B60 ，BPPQ，2BPBQ 即 2（6t）6t，解得 t2当 t 为 2 时，BPQ 为直角三角形； （2）存在作射线 BF，PEAC，AE0.5t四边形 CQFE 是平
16、行四边形，FQEC60.5t，BF 平分ABC，FBQBQF90 BQ2FQ，BQ6t，6t2（60.5t），解得 t3 （3）过点 P 作 PGCQ 交 AC 于点 G，则APG 是等边三角形BPPQ，EG 1 2 AGPGCQ， PGDQCD，PDGQDC，PGPACGt，PGDQCDGD 1 2 GCDE 1 2 AC3 （4）连接 AM，ABC 为等边三角形，点 M 是 BC 的中点，BM3由勾股定理，得 AM33 由折叠， 得 BM3当 A 、B、M 在同一直线上时，AB的值最小，此时 AB333. 过点 B作 BHAP 于点 H，则 cos30 AH AB ,即 3 2 2 3 3
17、3 t ，解得 t933 t 为 933时，AB的值最小，最小值为 333 M F D E Q A B C P M F D E Q A B C P G M F D E Q A B C P 1.（2019重庆 A 卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线 yx22x3 与 x 轴交与点 A，B（点 A 在点 B 的左 侧）交 y 轴于点 C，点 D 为抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于点 E （1）连结 BD，点 M 是线段 BD 上一动点（点 M 不与端点 B，D 重合） ，过点 M 作 MNBD 交抛物线于点 N（点 N 在对称轴的右侧） ，过点 N 作 NHx 轴，垂足为 H，交 BD 于点
18、F，点 P 是线段 OC 上一动点， 当 MN 取得最大值时，求 HFFP 1 3 PC 的最小值； （2）在（1）中，当 MN 取得最大值，HFFP 1 3 PC 取得小值时，把点 P 向上平移个 2 2 单位得到点 Q， 连结 AQ，把AOQ 绕点 O 顺时针旋转一定的角度（00)经过点 A（-1,0） ，点 M(m,0)是 x 轴正半轴上的动点， y 图图4 x y N5 N4 N3 N2 N1 B C A D O Q D （1）当 b=2 时，求抛物线的顶点坐标； （2）点 D(b,yD)在抛物线上，当 AM=AD,m=5 时，求 b 的值； （3）点 Q( 1 b, 2 yQ)在抛物
19、线上，当 22AMQM 的最小值为 33 2 4 时，求 b 的值. 解：(1)抛物线 y=x2-bx+c 经过点 A（-1,0） ， 1+b+c=0，c=-1-b 当 b=2 时，c=-3, 抛物线的解析式为 y=x2-2x-3， 顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c=-1-b， 点 D(b,yD)在抛物线上， yD=-b-1， b0, b0 2 b ，-b-15,所以 m 541 2 + ; 当 NHHP4,即(m2+6m5)(m5)4, 解得,m1 541 2 + ,m2 541 2 - , 因为 m0,所以 m 541 2 - . 综上所述,要使点 A,M,N,Q 为顶点的四边
20、形是平行四边形,点 N 的横坐标为:4 或 541 2 + 或 541 2 - . 第 26 题答图 7.（2019淄博）淄博）如图，顶点为 M 的抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(3，0)，B(1，0)两点，与 y 轴交于点 C (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)问在 y 轴上是否存在点 P，使得PAM 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 (3)若在第一象限的抛物线下方有一动点 D，满足 DAOA，过 D 作 DGx 轴于点 G，设ADG 的内心为 I，试 求 CI 的最小值 解解：(1)将 A、B 两点坐标代入抛物线表达式,得 9330 30
21、ab ab ,解得 1 2 a b . yx22x3. (2)假设存在点 P，使PAM 是直角三角形. 当点 M 为直角顶点，过 M 作 CDy 轴，过 A 作 ADx 轴，交 CD 于 D，CD 交 y 轴于 C，AMP90 ， CMPAMD90，CMPMAD，又DMPCM，CPMDMA, CM AD PC MD ， 1 4 2 PC ，PC 1 2 ，P1(0, 7 2 ); 当点 A 为直角顶点，过 A 作 CDx 轴，过 M 作 MDy 轴交 AD 于 D，过 P 作 PCy 轴交 CD 于 C，同上CPA DAM， PC AD AC MD ， 3 4 2 AC ，AC 3 2 ，P2
22、(0, 3 2 ); 当点 P 为直角顶点，过 M 作 CMy 轴于 C，CPMOAP， PC AO CM PO ， 3 PC 1 4- PC ，PC1 或 3，P3(0,3)，P4(0,1). xO y 备用图 图 G D C B A C BA M M I Ox y 综上所述，使PAM 是直角三角形的点 P 的是 P1(0, 7 2 )，P2(0, 3 2 )，P3(0,3)，P4(0,1). (3)（方法 1）由(1)得 DAOA3，设 D(x,y)，ADG 的内切圆半径为 r，则ADG 的内心 I 为(xr,r), DGy,AG3x 由两点距离公式可得 2 222 339DAxy 由等面
23、积法得由等面积法得 r 33+ 22 yxDG AGDA = 2 yx 22 2 3CIxrr 由得 22 2 9 122 5 333 551 21054 CIxy ， 2 CI在 333 5=51 2105 xy，最小，此时CI也最小， min 9 122 5 3 =10- 2 42 CI （方法 2）简解：如图，由内心易知：DIA135 ，DAIOAI，DAIOAI（SAS） ，DIAOIA 135 ，则 I 在圆周角OIA135 T 的圆周上运动，且半径 R 3 2 2 ，圆心，圆心 T 为为( 3 2 , 3 2 )，CI 3 10 2 在CIA 中，CICTIT 3 10- 2 2
24、，当 C、I、T 三点一线时， min 3 =10- 2 2 CI . 8.(2019枣庄枣庄)已知抛物线 yax2+ 3 2 x+4 的对称轴是直线 x3，与 x 轴相交于 A、B 两点(点 B 在点 A 的右侧)， 与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标； (2)如图 1，若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点(不与 B、C 重合)，是否存在点 P，使四边形 PBOC 的 面积最大？若存在，求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由. (2)答图3 (2)答图2 (2)答图1 P C OAx M y C D P OxA M
25、 y A CD P M Ox y A B D T I G x y C O 1 2 3 4 1 2 3 4 12341234 (3)如图 2，若点 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN3 时，求点 M 的坐标. 解：解：(1)抛物线 yax2+ 3 2 x+4 的对称轴为:x 3 3 2 224 b aaa 3,a 1 4 ,抛物线的解析式为:y 1 4 x2+ 3 2 x+4,令 y0,得 1 4 x2+ 3 2 x+40,解之,得,x12,x28,点 B 在点 A 的右侧,A(2,0),B(8,0); (2)连接 BC,在抛物线 y 1 4
26、x2+ 3 2 x+4 中,令 x0,得 y4,C(0,4),OC4,OB8,SOBC16,B(8,0),C(0,4), 设 lBC：ykx+b，得 08k+b，4b，k 1 2 ,b4,lBC：y 1 2 x+4,过点 P 作 PDy 轴交 BC 于点 D,过点 C 作CE垂直PD于点E,过点B作BFPD于点F,则SPBCSPCD+SPBD 1 2 PDCE+ 1 2 PDBF 1 2 PD(CE+BF) 1 2 PD(xBxC) 1 2 PD84PD,点 P 在抛物线上,设点 P(x, 1 4 x2+ 3 2 x+4),PDy 轴,点 D 在直线 BC 上, D(x, 1 2 x+4),点
27、 P 在 B,C 间的抛物线上运动,PDyPyD 1 4 x2+ 3 2 x+4( 1 2 x+4) 1 4 x2+2x,SPBC 4PD4( 1 4 x2+2x)x2+8x(x4)2+16， 当 x4 时， SPBC取最大值 16， 此时 S 四边形 OBPCSOBC+ SPBC32; 第 25 题答图 (3)MNy 轴,设 M,N 的横坐标为 m,点 M 在抛物线上,设点 M(m,n),其中 n 1 4 m2+ 3 2 m+4,点 N 在直线 BC 上,N(m, 1 2 m+4),点 M 是抛物线上任意一点,点 M 和点 N 的上下位置关系不确定,MN| 1 4 m2+ 3 2 m+4 (
28、 1 2 m+4)| 1 4 x2+2x|,MN3,| 1 4 x2+2x|3,即 1 4 x2+2x3 或 1 4 x2+2x3,解这两个方程,得 m12, m26, m34+2 7, m442 7,n16, n24, n371, n471,M1(2,6), M2(6,4), M3(4+2 7,7 1), M4(42 7,71). 9.(2019 聊城聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A(2,0),点 B(4,0),与 y 轴交于点 C(0,8),连接 BC,又已知位于 y 轴右侧且垂直于 x 轴的动直线 l,沿 x 轴正方向从 O 运动到 B(不
29、含 O 点和 B 点),且分 别交抛物线,线段 BC 以及 x 轴于点 P,D,E. (1)求抛物线的表达式; (2)连接 AC,AP,当直线 l 运动时,求使得PEA 和AOC 相似的点 P 的坐标; (3)作 PFBC,垂足为 F,当直线 l 运动时,求 RtPFD 面积的最大值. 第 25 题图 解：解：(1)由已知,将 C(0,8)代入 yax2+bx+c,c8,将点 A(2,0)和 B(4,0)代人 yax2+bx+8,得 4280 16480 ab ab ,解 得 1 2 a b ,抛物线的表达式为 yx2+2x+8; (2)A(2,0),C(0,8),OA2,OC8,lx 轴,P
30、EAAOC90,PAECAO,只有当PAE ACO 时,PEAAOC.此时 AEPE COAO ,AE4PE.设点 P 的纵坐标为 k,则 PEk,AE4k,OE4k2,P 点的 坐标为(4k2,k),将 P(4k2,k)代入 yx2+2x+8,得(4k2)2+2(4k2)+8k,解得 k10(舍去),k2 23 16 ,当 k 23 16 时,4k2 15 4 ,P 点的坐标为( 15 4 , 23 16 ). (3)在 RtPFD 中,PFDCOB90,ly 轴,PDFOCB,RtPFDRtBOC, 2 PFD = SPD SBC BOC , SPFD 2 PD S BC BOC,由 B(
31、4,0)知 OB4,又OC8,BC 22 OBOC4 5,又 SBOC 1 2 OB OC16, SPFD 2 1 5 PD,当 PD 最大时,SPFD最大.由 B(4,0),C(0,8)可解得 BC 所在直线的表达式为 y2x+8,设 P(m, m2+2m+8),则D(m,2m+8),PD(m2)2+4,当m2时,PD取得最大值4,当PD4时,SPFD 16 5 ,为最大值. 10.（2019济宁）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB8，AD10，E 是 CD 边上一点，连接 AE，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点
32、 G （1）求线段 CE 的长； （2）如图 2，M，N 分别是线段 AG,DG 上的动点（与端点不重合） ，且DMNDAM，设 AMx，DNy 写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出 y 的最小值； 是否存在这样的点 M，使DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由 解解： （1）由折叠可得 AFAD10,EFED, 矩形 ABCD 中，B90 ，AB2BF2AF2, 2222 1086,BFAFAB CFBCBFADBF1064 设 CEx，则 EFDECDCEABCE8x， EF2CE2CF2(8x)2x242x3，CE3 （2）矩形 ABCD 中，ADBC，
33、DAGAGF, DAGFAG, DAGAGF, FAGAGF,AFFG10， BGBFFG61016 矩形 ABCD 中B90 ， AB2BG2AG2, 2222 8168 5AGABBG ADFG，ADFG, 四边形 AFGE 是平行四边形， 又ADAF， 平行四边形 AFGE 是菱形， DGDA10， DAGDGA, DMGDMNNAGDAMADM, DMNDAM， NMGADM 在ADM 和MNG 中，ADMNMG, DAGDGA, ADMGMN ADAM MGNG ， 10 108 5 x yx ， 2 14 5 10 105 yxx， 1 10 0，当 4 5 5 4 5 1 2 1
34、0 x 时，y 有最小值为 2 14 5 410 105 2 1 4 10 y 关于 x 的函数解析式是： 2 14 5 10 105 yxx，当 x=4 5时，y 有最小值为 2 在DMN 和DMG 中，DMNDGM，MDGMDG,DMN 和DMG 是相似三角形 当DMG 是等腰三角形时，DMN 也是等腰三角形 M 不与 A 重合，DMDG,DMG 是等腰三角形只有 GMGD 或 DMGM 两种情况： （1）如图 3，当DMG 中 GMGD10 时，DMN 也是等腰三角形，即 xAGMG8 5 10 ; （2）如图 4，当DMG 中 DMGM 时，DMN 也是等腰三角形，MDGDGM，DAG
35、MDG MDG,ADGDMG， ADAG MGDG , 108 5 108 5x ，x11 5 2 综上：当 x 的值为 2 或11 5 2 时，DMN 是等腰三角形 11.（2019滨州）滨州）如图，抛物线 yx2+x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90，所得直线与 x 轴交于点 D （1）求直线 AD 的函数解析式； （2）如图，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点 P 的坐标和最大距离； 当点 P 到直线 AD 的距离为时，求 sinPAD 的值 解： （1）当 x0 时，y4
36、，则点 A 的坐标为（0，4） ，1 分 当 y0 时，0 x2+x+4，解得 x14，x28， 则点 B 的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（8，0） ， OAOB4，OBAOAB45 将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90得到直线 AD， BAD90，OAD45，ODA45，OAOD， 点 D 的坐标为（4，0） 2 分 设直线 AD 的函数解析式为 ykx+b， ，得， 即直线 AD 的函数解析式为 yx+44 分 （2）作 PNx 轴交直线 AD 于点 N，如右图所示， 设点 P 的坐标为（t，t2+t+4） ，则点 N 的坐标为（t，t+4） ， PN（t2+t+4）（t+4）
37、t2+t，6 分 PNx 轴，PNy 轴，OADPNH45 作 PHAD 于点 H，则PHN90， PH（t2+t）t（t6）2+， 当 t6 时，PH 取得最大值，此时点 P 的坐标为（6，） ，8 分 即当点 P 到直线 AD 的距离最大时，点 P 的坐标是（6，） ，最大距离是9 分 当点 P 到直线 AD 的距离为时，如右图所示， 则t， 解得 t12，t210，10 分 则 P1的坐标为（2，） ，P2的坐标为（10，） 当 P1的坐标为（2，） ，则 P1A， sinP1AD；12 分 当 P2的坐标为（10，） ，则 P2A， sinP2AD； 由上可得，sinPAD 的值是或1
38、4 分 二、填空题二、填空题 16.（2019南充）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及 原点上滑动，点E为AB的中点，24AB ，5BC 给出下列结论：点A从点O出发，到点B运动至点O为 止，点E经过的路径长为12；OAB的面积最大值为 144；当OD最大时，点D的坐标为 25 26 ( 26 ， 125 26 ) 26 其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】【答案】 【解析】【解析】点E为AB的中点，24AB ， 1 12 2 OEAB， AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12 为半径的一段圆弧， 90AOB，点E经过的路径长为 90 1
39、2 6 180 ，故错误； 当OAB的面积最大时，因为24AB ，所以OAB为等腰直角三角形，即OAOB， E为AB的中点，OEAB， 1 12 2 OEAB， 1 24 12144 2 AOB S，故正确； 如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DFy轴于点F， 5ADBC， 1 12 2 AEAB， 2222 51213DEADAE，131225ODDEOE， 设DFx， 2222 25OFODDFx， 四边形ABCD是矩形，90DAB，DFAAOB ，DAFABO ， DFAAOB DFDA OAAB ， 5 24 x OA ， 24 5 x OA ， E为AB的中点，90AO
40、B，AEOE，AOEOAE ， DFOBOA， ODOF ABOA ， 22 2525 24 24 5 x x ，解得 25 26 26 x ， 25 26 26 x 舍去， 125 26 26 OF ， 25 26 125 26 (,) 2626 D故正确 故答案为： 【知识点】【知识点】直角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定和性质 三、解答题三、解答题 17. （2019 镇江）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上(B在C的左侧） ，顶点A、D在x轴上方，对角 线BD的长是 2 10 3 ，点( 2,0)E 为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动当点(0,6)F到EP所在直线的距
41、 离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于( ) A10 3 B10 C16 3 D3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】如图 1 中，当点P是AB的中点时，作FGPE于G，连接EF ( 2,0)E ，(0,6)F， 2OE，6OF ， 22 242 10EF， 90FGE， FG EF， 当点G与E重合时，FG的值最大 如图 2 中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J设2BCa PAPB，BEECa， / /PEAC，BJJH， 四边形ABCD是菱形， ACBD， 10 3 BHDH， 10 6 BJ ， PEBD， 90BJEEOFPEF ， EBJFEO ， BJEEOF， BEBJ EFEO ， 10 6 22 10 a ， 5 3 a， 10 2 3 BCa， 故选：A 【知识点】【知识点】菱形的性质；平面直角坐标系；相似三角形的判定和性质；垂线段最短
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