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    2020-2021学年浙江省温州市南浦实验中学九年级上期末数学试卷(含答案解析)

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    2020-2021学年浙江省温州市南浦实验中学九年级上期末数学试卷(含答案解析)

    1、2020-2021 学年浙江省温州市南浦实验中学九年级(上)期末数学试卷学年浙江省温州市南浦实验中学九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题有一、选择题(本题有 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选均每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选均 不给分)不给分) 1若,则的值等于( ) A B C D 2O 的半径为 4cm,若点 P 到圆心的距离为 3cm,点 P 在( ) A圆内 B圆上 C圆外 D无法确定 3二次函数 yx21 的图象与 y 轴的交点坐标是( ) A (0,1) B (1,0) C (1,0) D

    2、(0,1) 4若一个圆内接正多边形的内角是 108,则这个多边形是( ) A正五边形 B正六边形 C正八边形 D正十边形 5一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球,其中有 9 个黄球每次摸球前先将盒子里的 球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定 在 30%,那么估计盒子中小球的个数 n 为( ) A20 B24 C28 D30 6 已知二次函数的图象 (0 x4) 如图, 关于该函数在所给自变量的取值范围内, 下列说法正确的是 ( ) A有最大值 2,有最小值2.5 B有最大值 2,有最小值 1.5 C有最大值 1.5,有最小

    3、值2.5 D有最大值 2,无最小值 7如图,D 是等边ABC 外接圆上的点,且DAC20,则ACD 的度数为( ) A20 B30 C40 D45 8如图,有一块直角三角形余料 ABC,BAC90,D 是 AC 的中点,现从中切出一条矩形纸条 DEFG, 其中 E,F 在 BC 上,点 G 在 AB 上,若 BF4.5cm,CE2cm,则纸条 GD 的长为( ) A3 cm B2cm Ccm Dcm 9已知 A(m,2020) ,B(m+n,2020)是抛物线 y(xh)2+2036 上两点,则正数 n( ) A2 B4 C8 D16 10如图,点 A,B,C 均在坐标轴上,AOBOCO1,过

    4、 A,O,C 作D,E 是D 上任意一点,连 结 CE,BE,则 CE2+BE2的最大值是( ) A4 B5 C6 D4+ 二、填空题(本题有二、填空题(本题有 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 11(5分) 某校九年1班共有45位学生, 其中男生有25人, 现从中任选一位学生, 选中女生的概率是 12 (5 分)已知扇形的圆心角为 120,弧长为 6,则它的半径为 13 (5 分)如图,点 B,E 分别在线段 AC,DF 上,若 ADBECF,AB3,BC2,DE4.5,则 DF 的长为 14 (5 分)已知 y 是 x 的二次函数,y 与 x 的部分对应值如下

    5、表: x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 该二次函数图象向左平移 个单位,图象经过原点 15(5 分) 如图, ABC 内接于O, ADBC 于点 D, ADBD 若O 的半径 OB2, 则 AC 的长为 16 (5 分)两幢大楼的部分截面及相关数据如图,小明在甲楼 A 处透过窗户 E 发现乙楼 F 处出现火灾,此 时 A,E,F 在同一直线上跑到一楼时,消防员正在进行喷水灭火,水流路线呈抛物线,在 1.2m 高的 D 处喷出,水流正好经过 E,F若点 B 和点 E、点 C 和 F 的离地高度分别相同,现消防员将水流抛物 线向上平移 0.4m,再向左后退了 m,恰好把水喷到 F 处进行灭火

    6、 三、解答题(本题有三、解答题(本题有 8 小题,共小题,共 80 分,解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)分,解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 17 (8 分)如图,在 66 的正方形网格中,网线的交点称为格点,点 A,B,C 都是格点已知每个小正 方形的边长为 1 (1)画出ABC 的外接圆O,并直接写出O 的半径是多少 (2)连结 AC,在网络中画出一个格点 P,使得PAC 是直角三角形,且点 P 在O 上 18 (8 分)已知点(0,3)在二次函数 yax2+bx+c 的图象上,且当 x1 时,函数 y 有最小值 2 (1)求这个二次函数的表达式 (2)如果两个

    7、不同的点 C(m,6) ,D(n,6)也在这个函数的图象上,求 m+n 的值 19 (8 分)如图,ABC 中,ABAC,以 AB 为直径作O,交 BC 于点 D,交 AC 于点 E (1)求证: (2)若BAC50,求的度数 20 (10 分)如图,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使顶点 C 恰好落在 AB 边的 C1处,点 D 落在点 D1处,C1D1 交线段 AE 于点 G (1)求证:BC1FAGC1; (2)若 C1是 AB 的中点,AB6,BC9,求 AG 的长 21 (10 分)如图直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线 yx2+6x+3 交 y 轴于点 A,过 A 作 ABx

    8、轴, 交抛物线于点 B,连结 OB点 P 为抛物线上 AB 上方的一个点,连结 PA,作 PQAB 垂足为 H,交 OB 于点 Q (1)求 AB 的长; (2)当APQB 时,求点 P 的坐标; (3)当APH 面积是四边形 AOQH 面积的 2 倍时,求点 P 的坐标 22 (10 分)如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,G 是上一点,AG,DC 的延长线交于点 F (1)求证:FGCAGD (2)当 DG 平分AGC,ADG45,AF,求弦 DC 的长 23 (12 分)自 2019 年 3 月开始,我国生猪、猪肉价格持续上涨,某大型菜场在销售过程中发现,从 2019 年

    9、10 月 1 日起到 11 月 9 日的 40 天内,猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图 1 的一条折线表示:猪 肉的进价与上市时间的关系用图 2 的一段抛物线 ya(x30)2+100 表示 (1)a ; (2)求图 1 表示的售价 p 与时间 x 的函数关系式; (3)问从 10 月 1 日起到 11 月 9 日的 40 天内第几天每千克猪肉利润最低,最低利润为多少? 24 (14 分)如图 RtABC 中,ABC90,P 是斜边 AC 上一个动点,以 BP 为直径作O 交 BC 于点 D,与 AC 的另一个交点 E,连接 DE (1)当时, 若130,求C 的度数; 求证 ABAP;

    10、(2)当 AB15,BC20 时 是否存在点 P,使得BDE 是等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的 CP 的长; 以 D 为端点过 P 作射线 DH,作点 O 关于 DE 的对称点 Q 恰好落在CPH 内,则 CP 的取值范围 为 (直接写出结果) 2020-2021 学年浙江省温州市南浦实验中学九年级(上)期末数学试卷学年浙江省温州市南浦实验中学九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题有一、选择题(本题有 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选均每小题只有一个选项是正确的,不选、多

    11、选、错选均 不给分)不给分) 1若,则的值等于( ) A B C D 【分析】根据比例的性质即可得到结论 【解答】解:, 设 b3k,a2k, , 故选:B 2O 的半径为 4cm,若点 P 到圆心的距离为 3cm,点 P 在( ) A圆内 B圆上 C圆外 D无法确定 【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断 【解答】解:点 P 到圆心的距离为 3cm, 而O 的半径为 4cm, 点 P 到圆心的距离小于圆的半径, 点 P 在圆内 故选:A 3二次函数 yx21 的图象与 y 轴的交点坐标是( ) A (0,1) B (1,0) C (1,0) D (0,1) 【分析】令 x0,求出 y 的值

    12、,即可解决问题; 【解答】解:对于二次函数 yx21,令 x0,得到 y1, 所以二次函数与 y 轴的交点坐标为(0,1) , 故选:D 4若一个圆内接正多边形的内角是 108,则这个多边形是( ) A正五边形 B正六边形 C正八边形 D正十边形 【分析】通过内角求出外角,利用多边形外角和 360 度,用 360除以外角度数即可求出这个正多边形 的边数 【解答】解:正多边形的每个内角都相等,且为 108, 其一个外角度数为 18010872, 则这个正多边形的边数为 360725, 故选:A 5一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球,其中有 9 个黄球每次摸球前先将盒子里的 球

    13、摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定 在 30%,那么估计盒子中小球的个数 n 为( ) A20 B24 C28 D30 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为 30%,然后根据概率公式计算 n 的值 【解答】解:根据题意得30%,解得 n30, 所以这个不透明的盒子里大约有 30 个除颜色外其他完全相同的小球 故选:D 6 已知二次函数的图象 (0 x4) 如图, 关于该函数在所给自变量的取值范围内, 下列说法正确的是 ( ) A有最大值 2,有最小值2.5 B有最大值 2,有最小值 1.5 C有最大值 1.5,有最小值2.5 D

    14、有最大值 2,无最小值 【分析】根据二次函数的图象,可知函数 y 的最大值和最小值 【解答】解:观察图象可得,在 0 x4 时,图象有最高点和最低点, 函数有最大值 2 和最小值2.5, 故选:A 7如图,D 是等边ABC 外接圆上的点,且DAC20,则ACD 的度数为( ) A20 B30 C40 D45 【分析】根据圆内接四边形的性质得到D180B120,根据三角形内角和定理计算即可 【解答】解:ABC 是等边三角形, B60, 四边形 ABCD 是圆内接四边形, D180B120, ACD180DACD40, 故选:C 8如图,有一块直角三角形余料 ABC,BAC90,D 是 AC 的中

    15、点,现从中切出一条矩形纸条 DEFG, 其中 E,F 在 BC 上,点 G 在 AB 上,若 BF4.5cm,CE2cm,则纸条 GD 的长为( ) A3 cm B2cm Ccm Dcm 【分析】根据题意推知AGDABC,由该相似三角形的对应边成比例求得 GD 的长度即可 【解答】解:依题意得:AGDABC, ,即, 解得 GD(cm) 故选:C 9已知 A(m,2020) ,B(m+n,2020)是抛物线 y(xh)2+2036 上两点,则正数 n( ) A2 B4 C8 D16 【分析】 由 A (m, 2020) , B (m+n, 2020) 是抛物线 y (xh) 2+2036 上两

    16、点, 可得 A (h4, 2020) , B(h+4,2020) ,即可得到 mh4,m+nh+4,进而即可求得 n8 【解答】解:A(m,2020) ,B(m+n,2020)是抛物线 y(xh)2+2036 上两点, 2020(xh)2+2036, 解得 x1h4,x2h+4, A(h4,2020) ,B(h+4,2020) , mh4,m+nh+4, n8, 故选:C 10如图,点 A,B,C 均在坐标轴上,AOBOCO1,过 A,O,C 作D,E 是D 上任意一点,连 结 CE,BE,则 CE2+BE2的最大值是( ) A4 B5 C6 D4+ 【分析】连接 AC,DE,如图,利用圆周角

    17、定理可判定点 D 在 AC 上,易得 A(0,1) ,B(1,0) ,C (1,0) ,AC,D(,) ,设 E(m,n) ,利用两点间的距离公式得到则 EB2+EC22(m2+n2) +2,由于 m2+n2表示 E 点到原点的距离,则当 OE 为直径时,E 点到原点的距离最大,由于 OD 为平分 AOC,则 mn,利用点 E 在圆上得到(m)2+(n)2()2,则可计算出 mn1,从 而得到 EB2+EC2的最大值 【解答】解:连接 AC,DE,如图, AOC90, AC 为D 的直径, 点 D 在 AC 上, AOBOCO1, A(0,1) ,B(1,0) ,C(1,0) ,AC,D(,)

    18、 , 设 E(m,n) , EB2+EC2(m1)2+n2+(m+1)2+n2 2(m2+n2)+2, 而 m2+n2表示 E 点到原点的距离, 当 OE 为直径时,E 点到原点的距离最大, OD 为平分AOC, mn, DEAC, (m)2+(n)2()2, 即 m2+n2m+n mn1, 此时 EB2+EC22(m2+n2)+22(1+1)+26, 即 CE2+BE2的最大值是 6 故选:C 二、填空题(本题有二、填空题(本题有 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 11(5 分) 某校九年 1 班共有 45 位学生, 其中男生有 25 人, 现从中任选一位学生,

    19、 选中女生的概率是 【分析】先求出女生的人数,再用女生人数除以总人数即可得出答案 【解答】解:共有 45 位学生,其中男生有 25 人, 女生有 20 人, 选中女生的概率是; 故答案为: 12 (5 分)已知扇形的圆心角为 120,弧长为 6,则它的半径为 9 【分析】根据弧长的公式 l,计算即可 【解答】解:设扇形的半径为 R, 由题意得,6, 解得,R9, 故答案为:9 13 (5 分)如图,点 B,E 分别在线段 AC,DF 上,若 ADBECF,AB3,BC2,DE4.5,则 DF 的长为 7.5 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可 【解答】解:ADBECF, ,

    20、即, 解得,EF3, DFDE+EF7.5, 故答案为:7.5 14 (5 分)已知 y 是 x 的二次函数,y 与 x 的部分对应值如下表: x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 该二次函数图象向左平移 3 个单位,图象经过原点 【分析】利用表格中的对称性得:抛物线与 x 轴另一个交点为(3,0) ,可得结论 【解答】解:由表格得:二次函数的对称轴是直线 x1 抛物线与 x 轴另一个交点为(1,0) , 抛物线与 x 轴另一个交点为(3,0) , 该二次函数图象向左平移 3 个单位,图象经过原点;或该二次函数图象向右平移 1 个单位,图象经过 原点 故答案为 3 15 (5 分)如图,AB

    21、C 内接于O,ADBC 于点 D,ADBD若O 的半径 OB2,则 AC 的长为 2 【分析】连接 OA、OC,根据等腰直角三角形的性质得到ABC45,根据圆周角定理求出AOC, 根据勾股定理计算即可 【解答】解:连接 OA、OC, ADBC,ADBD, ABC45, 由圆周角定理得,AOC2ABC90, ACOA2, 故答案为:2 16 (5 分)两幢大楼的部分截面及相关数据如图,小明在甲楼 A 处透过窗户 E 发现乙楼 F 处出现火灾,此 时 A,E,F 在同一直线上跑到一楼时,消防员正在进行喷水灭火,水流路线呈抛物线,在 1.2m 高的 D 处喷出,水流正好经过 E,F若点 B 和点 E

    22、、点 C 和 F 的离地高度分别相同,现消防员将水流抛物 线向上平移 0.4m,再向左后退了 10 m,恰好把水喷到 F 处进行灭火 【分析】由图形得出点 A(0,21.2) 、D(0,1.2) 、E(20,9.2) 、点 F 的纵坐标为 6.2,先利用待定系数 法求得直线 AE 解析式, 据此求得点 F 的坐标, 再根据点 D、 E、 F 的坐标求得抛物线的解析式为 y x2+x+(x15) 2+ ,若设向左移动的距离为 p,则移动后抛物线的解析式为 y(x+p 15)2+,将点 F 坐标代入求得 p 的值即可 【解答】解:由图形可知,点 A(0,21.2) 、D(0,1.2) 、E(20,

    23、9.2) 、点 F 的纵坐标为 6.2 设 AE 所在直线解析式为 ymx+n, 则, 解得:, 直线 AE 解析式为 y0.6x+21.2, 当 y6.2 时,0.6x+21.26.2, 解得:x25, 点 F 坐标为(25,6.2) , 设抛物线的解析式为 yax2+bx+c, 将点 D(0,1.2) 、E(20,9.2) 、F(25,6.2)代入,得: , 解得:, 抛物线的解析式为 yx2+x+(x15)2+, 设消防员向左移动的距离为 p(p0) , 则移动后抛物线的解析式为 y(x+p15)2+, 根据题意知,平移后抛物线过点 F(25,6.2) ,代入得: (25+p15)2+6

    24、.2, 解得:p10(舍)或 p10, 即消防员将水流抛物线向上平移 0.4m,再向左后退了(10)m,恰好把水喷到 F 处进行灭火, 故答案为:10 三、解答题(本题有三、解答题(本题有 8 小题,共小题,共 80 分,解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)分,解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 17 (8 分)如图,在 66 的正方形网格中,网线的交点称为格点,点 A,B,C 都是格点已知每个小正 方形的边长为 1 (1)画出ABC 的外接圆O,并直接写出O 的半径是多少 (2)连结 AC,在网络中画出一个格点 P,使得PAC 是直角三角形,且点 P 在O 上 【分析】

    25、 (1)直接利用网格结合勾股定理得出答案; (2)字节利用圆周角定理得出 P 点位置 【解答】解: (1)如图所示:O 即为所求,O 的半径是:; (2)如图所示:直角三角形 PAC 即为所求 18 (8 分)已知点(0,3)在二次函数 yax2+bx+c 的图象上,且当 x1 时,函数 y有最小值 2 (1)求这个二次函数的表达式 (2)如果两个不同的点 C(m,6) ,D(n,6)也在这个函数的图象上,求 m+n 的值 【分析】 (1)由题意可得(1,2)是抛物线的顶点,且过(0,3) ,可利用顶点式求出关系式; (2)根据点 C(m,6) ,D(n,6)坐标特点可知这两个点关于对称轴对称

    26、,可求出 m+n 的值 【解答】解: (1)二次函数 yax2+bx+c 当 x1 时,函数 y 有最小值 2, 点(1,2)为抛物线的顶点, 于是可设抛物线的关系式为 ya(x1)2+2,把(0,3)代入得, a+23, a1, 抛物线的关系式为 y(x1)2+2, 即 yx22x+3; (2)点 C(m,6) ,D(n,6)都在抛物线上, 因此点 C、D 关于直线 x1 对称, 1, m+n2 19 (8 分)如图,ABC 中,ABAC,以 AB 为直径作O,交 BC 于点 D,交 AC 于点 E (1)求证: (2)若BAC50,求的度数 【分析】 (1)连接 AD,先由圆周角定理得AD

    27、B90,则 ADBC,再由等腰三角形的性质得BAD CAD,即可得出结论; (2)连接 OE,先由等腰三角形的性质得OEABAC50,再由三角形内角和定理求出AOE 80,即可得出结论 【解答】 (1)证明:连接 AD,如图 1 所示: AB 是O 的直径, ADB90, ADBC, ABAC, BADCAD, (2)解:连接 OE,如图 2 所示: AB 是O 的直径, OA 是半径, OAOE, OEABAC50, AOE180505080, 的度数为 80 20 (10 分)如图,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使顶点 C 恰好落在 AB 边的 C1处,点 D 落在点 D1处,C1D1

    28、 交线段 AE 于点 G (1)求证:BC1FAGC1; (2)若 C1是 AB 的中点,AB6,BC9,求 AG 的长 【分析】 (1)根据题意和图形可以找出BC1FAGC1的条件,从而可以解答本题; (2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得 AG 的长 【解答】证明: (1)由题意可知ABGC1F90, BFC1+BC1F90,AC1G+BC1F90, BFC1AC1G, BC1FAGC1 (2)C1是 AB 的中点,AB6, AC1BC13 B90, BF2+32(9BF)2, BF4, 由(1)得AGC1BC1F, , , 解得,AG 21 (10 分)如图直角坐标系中,O 为坐标原

    29、点,抛物线 yx2+6x+3 交 y 轴于点 A,过 A 作 ABx 轴, 交抛物线于点 B,连结 OB点 P 为抛物线上 AB 上方的一个点,连结 PA,作 PQAB 垂足为 H,交 OB 于点 Q (1)求 AB 的长; (2)当APQB 时,求点 P 的坐标; (3)当APH 面积是四边形 AOQH 面积的 2 倍时,求点 P 的坐标 【分析】 (1)对于 yx2+6x+3,令 x0,则 y3,故点 A(0,3) ,令 yx2+6x+33,解得 x0 或 6,故点 B(6,3) ,即可求解; (2)证明ABOHPA,则,即可求解; (3)当APH 的面积是四边形 AOQH 的面积的 2

    30、倍时,则 2(AO+HQ)PH,即可求解 【解答】解: (1)对于 yx2+6x+3,令 x0,则 y3,故点 A(0,3) , 令 yx2+6x+33,解得 x0 或 6,故点 B(6,3) , 故 AB6; (2)设 P(m,m2+6m+3) , PB,AHPOAB90, ABOHPA,故, , 解得 m4 P(4,11) ; (3)当APH 的面积是四边形 AOQH 的面积的 2 倍时, 则 2(AO+HQ)PH, 2(3+)m2+6m, 解得:m14,m23, P(4,11)或 P(3,12) 22 (10 分)如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,G 是上一点,AG,DC

    31、 的延长线交于点 F (1)求证:FGCAGD (2)当 DG 平分AGC,ADG45,AF,求弦 DC 的长 【分析】 (1)如图 1,利用垂径定理得到,根据等腰三角形的性质得ADCACD,根据圆周 角定理的推论得到AGDACDADC,再利用圆内接四边形的性质得到FGCADC,从而得 到结论; (2)连接 BG,AC,如图 2,根据垂径定理得到 DECE,先证明AEF 是等腰直角三角形,可得 AE 的长,最后利用勾股定理可得 DE 的长,从而得 CD 的长 【解答】 (1)证明:如图 1,连接 AC, AB 是O 的直径,弦 CDAB, , ADAC, ADCACD, ADCG 在O 上,

    32、CGFADC, AGDACD, FGCAGD; (2)解:如图 2,连接 BG,AC, AB 是O 的直径,弦 CDAB, DECE, DG 平分AGC, AGDCGD, FGCAGD, AGDCGDFGC, AGD+CGD+FGC180, CGFAGD60, ADCACD60, ADC 是等边三角形, ABCD, CAEDAE30, ADG45, CDGCAG604515, EAF30+1545, RtAEF 中,AEEF, AF, AEEF, RtADE 中,DAE30, DE1, DC2DE2 23 (12 分)自 2019 年 3 月开始,我国生猪、猪肉价格持续上涨,某大型菜场在销售过

    33、程中发现,从 2019 年 10 月 1 日起到 11 月 9 日的 40 天内,猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图 1 的一条折线表示:猪 肉的进价与上市时间的关系用图 2 的一段抛物线 ya(x30)2+100 表示 (1)a ; (2)求图 1 表示的售价 p 与时间 x 的函数关系式; (3)问从 10 月 1 日起到 11 月 9 日的 40 天内第几天每千克猪肉利润最低,最低利润为多少? 【分析】 (1)把(10,60)代入 ya(x30)2+100 可得结论 (2)分两种情形,分别利用待定系数法解决问题即可 (3)分两种情形,分别求解即可 【解答】解: (1)把(10,60)代

    34、入 ya(x30)2+100,得到 a, 故答案为 (2)当 0 x30 时,设 Pkx+b, 把(0,60) , (10,80)代入得到, 解得, P2x+60 当 30 x40 时,设 Pkx+b, 把(30,120) , (40,100)代入得到, 解得, P2x+180 综上所述,P (3)设利润为 w 当 0 x30 时,w2x+60(x2+6x+10)x24x+50(x20)2+10, 当 x20 时,w 有最小值,最小值为 10(元/千克) 当 30 x40 时, w2x+180(x2+6x+10)x28x+170(x40)2+10, 当 x40 时,最小利润 w10(元/千克)

    35、 , 综上所述,当 20 天或 40 天,最小利润为 10 元/千克 24 (14 分)如图 RtABC 中,ABC90,P 是斜边 AC 上一个动点,以 BP 为直径作O 交 BC 于点 D,与 AC 的另一个交点 E,连接 DE (1)当时, 若130,求C 的度数; 求证 ABAP; (2)当 AB15,BC20 时 是否存在点 P,使得BDE 是等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的 CP 的长; 以 D 为端点过 P 作射线 DH, 作点 O 关于 DE 的对称点 Q 恰好落在CPH 内, 则 CP 的取值范围为 7 CP12.5 (直接写出结果) 【分析】(1) 连接 BE, 由圆

    36、周角定理得出BEC90, 求出50,100, 则CBE50, 即可得出结果; 由, 得出CBPEBP, 易证CABE, 由APBCBP+C, ABPEBP+ABE, 得出APBABP,即可得出结论; (2)由勾股定理得 AC25,由面积公式得出ABBCACBE,求出 BE12,连 接 DP,则 PDAB,得出DCPBCA,求出 CPCD, BDE 是等腰三角形,分三种情况讨论,当 BDBE 时,BDBE12,CDBCBD8,CPCD 10;当 BDED 时,可知点 D 是 RtCBE 斜边的中线,得出 CDBC10,CPCD;当 DEBE 时,作 EHBC,则 H 是 BD 中点,EHAB,求

    37、出 AE9,CEACAE16, CH20BH,由 EHAB,得出,求出 BH,BD2BH,CDBCBD,则 CPCD7; 当点 Q 落在CPH 的边 PH 上时,CP 最小,连接 OD、OQ、OE、QE、BE,证明四边形 ODQE 是菱 形,求出 PCACPEAE7; 当点 Q 落在CPH 的边 PC 上时,CP 最大, 连接 OD、 OQ、OE、 QD, 同理得四边形 ODQE 是菱形,连接 DF,求出 PCAC12.5,即可得出答案 【解答】 (1)解:连接 BE,如图 1 所示: BP 是直径, BEC90, 130, 50, , 100, CBE50, C40; 证明:, CBPEBP

    38、, ABE+A90,C+A90, CABE,APBCBP+C,ABPEBP+ABE, APBABP, APAB; (2)解:由 AB15,BC20, 由勾股定理得:AC25, ABBCACBE, 即152025BE BE12, 连接 DP,如图 11 所示: BP 是直径, PDB90, ABC90, PDAB, DCPBCA, , CPCD, BDE 是等腰三角形,分三种情况: 当 BDBE 时,BDBE12, CDBCBD20128, CPCD810; 当 BDED 时,可知点 D 是 RtCBE 斜边的中线, CDBC10, CPCD10; 当 DEBE 时,作 EHBC,则 H 是 B

    39、D 中点,EHAB,如图 12 所示: AE9, CEACAE25916,CHBCBH20BH, EHAB, , 即, 解得:BH, BD2BH, CDBCBD20, CPCD7; 综上所述,BDE 是等腰三角形,符合条件的 CP 的长为 10 或或 7; 当点 Q 落在CPH 的边 PH 上时,CP 最小,如图 2 所示: 连接 OD、OQ、OE、QE、BE, 由对称的性质得:DE 垂直平分 OQ, ODQD,OEQE, ODOE, ODOEQDQE, 四边形 ODQE 是菱形, PQOE, PB 为直径, PDB90, PDBC, ABC90, ABBC, PDAB, DEAB, OBOP, OE 为ABP 中位线, PEAE9, PCACPEAE25997; 当点 Q 落在CPH 的边 PC 上时,CP 最大,如图 3 所示: 连接 OD、OQ、OE、QD, 同理得:四边形 ODQE 是菱形, ODQE, 连接 DF, DBA90, DF 是直径, D、O、F 三点共线, DFAQ, OFBA, OBOF, OFBOBFA, PAPB, OBF+CBPA+C90, CBPC, PBPCPA, PCAC12.5, 7CP12.5, 故答案为:7CP12.5


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