1、2020-2021 学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共计一、选择题（本题共计 10 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1下列说法正确的是（ ） A形如 ax2+bx+c0 的方程叫做一元二次方程 B （x+1） （x1）0 是一元二次方程 C方程 x22x1 的常数项为 0 D在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为 0 2根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 x2+x 1 0.0619 0.04 0.0179 0.0044 0.026
2、9 判断方程 x2+x10 一个解的取值范围是（ ） A0.59x0.60 B0.60 x0.61 C0.61x0.62 D0.62x0.63 3数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A国旗上升的过程 B球场上滚动的足球 C工作中的风力发电机叶片 D传输带运输的东西 4下列语句中不正确的有（ ） 长度相等的弧是等弧； 垂直于弦的直径平分弦； 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧； 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5二次函数 y2x24x1 的顶点式是（ ） Ay（2x1）22 By2（
3、x1）23 Cy2（x+1）23 Dy2（x+1）2+3 6二次函数 y2x2的图象如何移动，就得到 y2x2+4x+1 的图象（ ） A向左移动 1 个单位，向上移动 3 个单位 B向左移动 1 个单位，向下移动 3 个单位 C向右移动 1 个单位，向上移动 3 个单位 D向右移动 1 个单位，向下移动 3 个单位 7半径为 2 的O 中，两条弦 AB2，AC2，BAC 的度数为（ ） A45或 60 B105 C15 D15或 105 8如图，点 A、B、C 在O 上，ACB52，则ABO 的度数是（ ） A52 B26 C38 D104 9如图，在O 中，直径 CD 垂直弦 AB 于点
4、E，连接 OB、CB，已知O 的半径为 2，AB，则 BCD 的大小为（ ） A30 B45 C60 D15 10yax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列判断正确的有（ ） abc0，ba+c，4a+2b+c0，2c3b，a+bm（am+b）且 m1 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 5 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 11若 y（m+2）x+mx+1 是关于自变量 x 的二次函数，则 m 12 已知关于x的二次函数ymx22x+1， 当x时， y的值随x的增大而减小， 则m的取值范围为 13如图，四边形 ABCD
5、 是面积为 25 的正方形，E 是 DC 上一点，DE1，将ADE 绕着点 A 顺时针旋转 到与ABF 重合，则 EF 的长为 14如图，在O 中，点 A、B、C 在O 上，且ACB100，则 15AB 是O 的直径，AB4，OC 是O 的半径，OCAB，点 D 在 AC 上，AD2CD，点 P 是半径 OC 上的一个动点，则 AP+PD 的最小值为 三、解答题（本题共计三、解答题（本题共计 8 小题，共计小题，共计 75 分）分） 16 （8 分）用适当的方法解方程 （1）2x2+3x3； （2）18x+16x228x 17 （9 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2+1
6、0 （1）当方程有一个根为1 时，求 k 的值及另一个根； （2）当方程有两个不相等的实数根时，求 k 的取值范围； （3）若方程有两个实数根 x1，x2且满足 x12+x225，求 k 得值 18 （9 分）在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格 点上，请解答下列问题： （1）作出ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的A1B1C1，并写出点 C1的坐标； （2）作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2，并写出点 C2的坐标；A2B2C2可看作A1B1C1以点 （ ， ）为旋转中心，旋转 得到的 （3）已知ABC 关于直线 l 对称的A3
7、B3C3的顶点 A3的坐标为（4，2） ，请直接写出直线 l 的函数 解析式 19 （9 分）豫东北机场待建在即，国道 515 围机场绕道而行如图是公路转弯处的一段圆弧，点 O 是这 段圆弧的圆心直径 CDAB 于点 FBE 平分ABC 交 CD 于点 E，AB3km，DF450m （1）求圆的半径； （2）请判断 A、B、E 三点是否在以点 D 为圆心 DE 为半径的圆上？并说明理由 20 （9 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）与一次函数 yx+k（k0）的图象如图所示，根据图象解答下列 问题： （1）写出方程 ax2+bx+c0 的两个根； （2）写出不等式 ax2+bx+cxk0
8、 的解集； （3）写出二次函数值 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围； （4）若方程 ax2+bx+cm 有两个不等的实数根，求 m 的取值范围； 21 （10 分） “双节”8 天长假，瓦岗乡村记忆馆游客急剧增加，为发展农村经济，促进当地农产品销量， 某超市销售的 “火龙岗小杂粮” 原价每件 100 元， 连续两次降价后每件 81 元， 若每次下降的百分率相同 （1）求每次下降的百分率； （2）某超市发现进货价每件 71 元的“火龙岗小杂粮”连续两次降价后，每天可售出 500 件，在进货价 不变的情况下，若每件涨价 1 元，日销售量将减少 20 件现该超市要保证每天盈利 600
9、0 元，且要尽快 减少库存，那么每件“火龙岗小杂粮”售价多少元？ （3）在（2）的条件下，若超市想在双节期间获得最大利润，每件“火龙岗小杂粮”售价多少元？ 22 （10 分）下面是数学王老师布置的一到课后思考题已知：如图 1，在ABC 中，BAC90，AB AC，点 D 为线段 BC 上一动点（不与端点 B、C 重合） ，以 AD 为边作正方形 ADEF，连接 CF请判 断 CF、BC 和 CD 的数量关系 小明思考了一会儿了，认为可以先证明ABDACF（SAS） ，从而可得出 CF、BC 和 CD 的数量关系 为 （请把正确答案填在横线上） （2）类比探究 如图 2，当点 D 在线段 BC
10、延长线上时，其他条件不变，请判断 CF、BC 和 CD 三条线段之间的关系， 并说明理由 （3）解决问题 如图 3， 当 D 在线段 BC 反向延长线上时， 且点 A、 F 分别在直线 BC 的两侧， 正方形 ADEF 边长为 2， 对角线 AE、DF 相交于点 O，并连接 OC，并求 OC 的长 23 （11 分）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx22x+c 与两坐标轴分别交于 A，B，C 三点，且 OCOB，点 G 是抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式 （2）若点 M 为第四象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，四边形 OCMB 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式，
11、并求出 S 的最大值 （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是 x 轴上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、A、G 为顶 点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 P 的坐标 2020-2021 学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共计一、选择题（本题共计 10 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1下列说法正确的是（ ） A形如 ax2+bx+c0 的方程叫做一元二次方程 B （x+1） （x1）0 是一元二次方程 C方程 x22x1 的常数项为
12、0 D在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为 0 【分析】根据一元二次方程的定义及相关概念逐一判断可得 【解答】解：A形如 ax2+bx+c0（a、b、c 均为常数且 a0）的方程叫做一元二次方程，此选项错误； B （x+1） （x1）0，即 x210 是一元二次方程，此选项正确； C方程 x22x1，即 x22x10 的常数项为1，此选项错误； D在一元二次方程中，二次项系数不能为 0，此选项错误； 故选：B 2根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 x2+x 1 0.0619 0.04 0.0179 0.0044 0.0269 判断方
13、程 x2+x10 一个解的取值范围是（ ） A0.59x0.60 B0.60 x0.61 C0.61x0.62 D0.62x0.63 【分析】由于 x0.61 时，x2+x10.0179；x0.62 时，x2+x10.0044，则在 0.61 和 0.62 之间有 一个值能使 x2+x1 的值为 0，于是可判断方程 x2+x10 一个解 x 的范围为 0.61x0.62 【解答】解：x0.61 时，x2+x10.0179；x0.62 时，x2+x10.0044， 方程 x2+x10 一个解 x 的范围为 0.61x0.62 故选：C 3数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A国旗
14、上升的过程 B球场上滚动的足球 C工作中的风力发电机叶片 D传输带运输的东西 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案 【解答】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、球场上滚动的足球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意 故选：C 4下列语句中不正确的有（ ） 长度相等的弧是等弧； 垂直于弦的直径平分弦； 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧； 弦所对的两条弧的中点
15、连线垂直平分弦且过圆心 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据垂径定理和圆的对称性质对各个语句分别判断即可 【解答】解：能够完全重合的弧是等弧， 不正确； 垂直于弦的直径平分弦， 正确； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴， 不正确； 平分弦（不是直径）的直径也必平分弦所对的两条弧， 不正确 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心， 正确； 不正确的个数有 3 个， 故选：C 5二次函数 y2x24x1 的顶点式是（ ） Ay（2x1）22 By2（x1）23 Cy2（x+1）23 Dy2（x+1）2+3 【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可 【解答】解
16、：y2x24x1 2（x1）23， 故选：B 6二次函数 y2x2的图象如何移动，就得到 y2x2+4x+1 的图象（ ） A向左移动 1 个单位，向上移动 3 个单位 B向左移动 1 个单位，向下移动 3 个单位 C向右移动 1 个单位，向上移动 3 个单位 D向右移动 1 个单位，向下移动 3 个单位 【分析】利用二次函数的图象的性质 【解答】解：二次函数 y2x2的顶点坐标为（0，0） ，y2x2+4x+1 的顶点坐标为（1，3） ， 向右移动 1 个单位，向上移动 3 个单位 故选：C 7半径为 2 的O 中，两条弦 AB2，AC2，BAC 的度数为（ ） A45或 60 B105 C
17、15 D15或 105 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，再解直角三角形求出 OF 和 OG 的长，求出FAO 和GAO 的度数，最后求出答案即可 【解答】解：分为两种情况：如图，弦 AB 和弦 AC 在直径 AE 的同旁时， 过 O 作 OGAB 于 G，OFAC 于 F， OG 和 OF 都过圆心 O，OGAB，OFAC，AB2，AC2， AGAB，AFAC1AO，AGOAFO90， FOA30，OGAG， FAO60，GAO45， BACFAOGAO604515； 当弦 AC 和弦 AB 在直径 AE 的两旁时， 此时BACGAO+FAO60+45105； 所以BAC 的度数是 15
18、或 105， 故选：D 8如图，点 A、B、C 在O 上，ACB52，则ABO 的度数是（ ） A52 B26 C38 D104 【分析】 根据圆周角定理得出AOB2ACB， 求出AOB， 根据等腰三角形的性质得出ABOOAB， 再求出ABO 即可 【解答】解：ACB52， 由圆周角定理得：AOB2ACB104， OAOB， ABOOAB（180AOB）38， 故选：C 9如图，在O 中，直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，连接 OB、CB，已知O 的半径为 2，AB，则 BCD 的大小为（ ） A30 B45 C60 D15 【分析】首先在直角三角形 OEB 中利用锐角三角函数求得EOB 的
19、度数，然后利用同弧所对的圆心角 和圆周角之间的关系求得BCD 的度数即可 【解答】解：直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，AB2， EBAB， O 的半径为 2， sinEOB， EOB60， BCD30 故选：A 10yax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列判断正确的有（ ） abc0，ba+c，4a+2b+c0，2c3b，a+bm（am+b）且 m1 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中各个小题是否正确，本题得以解决 【解答】解：由图象可得， a0，b0，c0， abc0，故错误； 当 x1 时，yab+c0， 则 a+cb，故错误
20、； 当 x2 时，y4a+2b+c0，故正确； 当 x1 时，yab+c0， 1， a， ， c 即 2c3b，故正确； 当 x1 时，函数取得最大值， a+b+cam2+bm+c（m1） ， a+bam2+bm， 即 a+bm（am+b） ，故正确； 故选：B 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 5 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 11若 y（m+2）x+mx+1 是关于自变量 x 的二次函数，则 m 2 【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可 【解答】解：根据二次函数的定义，得： m222， 解得 m2 或 m2， 又m+20， m2， 当
21、 m2 时，这个函数是二次函数 故答案是：2 12已知关于 x 的二次函数 ymx22x+1，当 x时，y 的值随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围为 0 m5 【分析】根据对称轴的左侧的增减性，可得 m0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案 【解答】解：由当 x时，y 的值随 x 的增大而减小可知，抛物线开口向上，m0， 且对称轴， 解得 m5， 故答案为：0m5 13如图，四边形 ABCD 是面积为 25 的正方形，E 是 DC 上一点，DE1，将ADE 绕着点 A 顺时针旋转 到与ABF 重合，则 EF 的长为 2 【分析】由旋转的性质可得 DEBF1，DABF90，可证点
22、F，点 B，点 C 共线，由勾股定 理可求解 【解答】解：正方形 ABCD 的面积为 25， ABBCCDAD5， DE1， CE4， 将ADE 绕着点 A 顺时针旋转到与ABF 重合， DEBF1，DABF90， ABF+ABC180， 点 F，点 B，点 C 共线， CF5+16， EF2， 故答案为：2 14如图，在O 中，点 A、B、C 在O 上，且ACB100，则 160 【分析】在优弧上取一点 E，连接 AE、BE，根据圆内接四边形的性质得出ACB+AEB180， 求出AEB80，根据圆周角定理得出AEBAOB，即可求出结论 【解答】解：如图，在优弧上取一点 E，连接 AE、BE，
23、 A、C、B、E 四点共圆， ACB+AEB180， ACB100， AEB80， 由圆周角定理得：AEBAOB， 2AEB160， 故答案为：160 15AB 是O 的直径，AB4，OC 是O 的半径，OCAB，点 D 在 AC 上，AD2CD，点 P 是半径 OC 上的一个动点，则 AP+PD 的最小值为 【分析】 先找出 P 点的位置， 求出CAB45， 求出 AEDE， 根据勾股定理求出 AE 和 DE， 求出 BE， 再根据勾股定理求出 BD，即可得出答案 【解答】解：OCAB，AOBO， A 和 B 关于 OC 对称， 连接 BD，BD 交 OC 于 P，连接 DP，AP，则此时
24、AP+PD 的值最小， 此时 AP+PDBP+DPBD， AB 是O 的直径， ACB90， OAOB，OCAB， ACBC， CABCBA45， 过 D 作 DEAB 于 E ADECAB45， AEDE， AB 是O 的直径，AB4， AOCO2， 由勾股定理得：AC2， AD2CD， ADAC， AE2+DE2AD2，AEDE， AEDE， BEABAE4， 在 RtDEB 中，由勾股定理得：BD， 即 AP+PD 的最小值为， 故答案为： 三、解答题（本题共计三、解答题（本题共计 8 小题，共计小题，共计 75 分）分） 16 （8 分）用适当的方法解方程 （1）2x2+3x3； （2
25、）18x+16x228x 【分析】 （1）化为一般式，计算，代入求根公式即可； （2）利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）2x2+3x3， 2x2+3x30， a2，b3，c3，3242（3）330， x， x1，x2； （2）18x+16x228x， 16x210， （4x+1） （4x1）0， 4x+10 或 4x10， x1，x2 17 （9 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2+10 （1）当方程有一个根为1 时，求 k 的值及另一个根； （2）当方程有两个不相等的实数根时，求 k 的取值范围； （3）若方程有两个实数根 x1，x2且满足 x12+x225，求
26、 k 得值 【分析】 （1）把 x1 代入方程得到关于 k 的方程，解方程求得 k 的值，从而得到原方程为：x2+3x+2 0，根据根与系数的关系即可求得另一个根 （2）根据判别式的意义得到（2k+1）24（k2+1） ，然后解不等式即可得到 k 的取值范围； （3） 根据根与系数的关系得 x1+x22k1， x1x2k2+1， 利用完全平方公式， 由 x21+x225 得到 （x1+x2） 22x1x2（2k1）22（k2+1）5，整理得 k2+2k30，然后解方程后通过 k 的范围确定 k 的值 【解答】解： （1）把 x1 代入一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2+10 得： （1）
27、2（2k+1）+k2+10， 整理得：k22k+10， 解得：k1， 即原方程为：x2+3x+20， x1x22， x11， x22， 即 k 的值为 1，另一个根为2； （2）根据题意得：（2k+1）24（k2+1）4k30， 解得：， 即 k 的取值范围为 （3）根据题意得 x1+x22k1，x1x2k2+1， x21+x225， （x1+x2）22x1x2（2k1）22（k2+1）5， 整理得 k2+2k30，解得 k13，k21， 方程有两个实数根时，k， k1 18 （9 分）在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格 点上，请解答下列问
28、题： （1）作出ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的A1B1C1，并写出点 C1的坐标； （2） 作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2， 并写出点 C2的坐标； A2B2C2可看作A1B1C1以点 （ 2 ， 0 ）为旋转中心，旋转 180 得到的 （3）已知ABC 关于直线 l 对称的A3B3C3的顶点 A3的坐标为（4，2） ，请直接写出直线 l 的函数 解析式 【分析】 （1）根据平移的性质即可作出ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的A1B1C1； （2）根据轴对称的性质即可作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2；再根据旋转的性质即可得结论； （3）根据轴对称的性质
29、，根据点 A3的坐标为（4，2） ，即可求出直线 l 的函数解析式 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作，点 C1的坐标（1，2） ； （2）如图，A2B2C2为所作，C2（3，2） ； A2B2C2可看作A1B1C1以点（2，0）为旋转中心，旋转 180得到的 故答案为：2，0，180； （3）因为 A 的坐标为（2，4） ，A3的坐标为（4，2） ， 所以直线 l 的函数解析式为 yx 19 （9 分）豫东北机场待建在即，国道 515 围机场绕道而行如图是公路转弯处的一段圆弧，点 O 是这 段圆弧的圆心直径 CDAB 于点 FBE 平分ABC 交 CD 于点 E，AB3km，DF4
30、50m （1）求圆的半径； （2）请判断 A、B、E 三点是否在以点 D 为圆心 DE 为半径的圆上？并说明理由 【分析】 （1） 连接 OA， 设圆 O 的半径为 rm， 则 OF （r450） m， 由垂径定理得 AFBFAB1500， 在 RtAOF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）利用等弧所对的圆周角相等得BCDABD，再证出DBEDEB，从而证明 ADBDDE， 即可得出结论 【解答】解： （1）连接 OA，如图所示： 设圆 O 的半径为 rm，则 OF（r450）m， 直径 CDAB， AFBFAB1500， 在 RtAOF 中，由勾股定理得：15002+（r450）2
31、r2， 解得：r2725， 即圆的半径为 2725m； （2）A、B、E 三点在以点 D 为圆心 DE 为半径的圆上，理由如下： 直径 CDAB， ， BCDABD，ADBD， 又BE 平分ABC， CBEABE， DBEABD+ABE，DEBBCD+CBE， DBEDEB， BDDE ADBDDE， A、B、E 三点在以点 D 为圆心 DE 为半径的圆上 20 （9 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）与一次函数 yx+k（k0）的图象如图所示，根据图象解答下列 问题： （1）写出方程 ax2+bx+c0 的两个根； （2）写出不等式 ax2+bx+cxk0 的解集； （3）写出二次函数
32、值 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围； （4）若方程 ax2+bx+cm 有两个不等的实数根，求 m 的取值范围； 【分析】观察函数图象即可求解 【解答】解： （1）从图象看，方程 ax2+bx+c0 的两个根为 x3 或1； （2）从图象看，3x0.5 时，ax2+bx+cx+k，即 ax2+bx+cxk0； （3）从图象看 x2 时，y 随 x 的增大而减小； （4）设 ym，当 m2 时，ym 与 yax2+bx+c 有两个交点， 故 m2 21 （10 分） “双节”8 天长假，瓦岗乡村记忆馆游客急剧增加，为发展农村经济，促进当地农产品销量， 某超市销售的 “火龙岗小杂
33、粮” 原价每件 100 元， 连续两次降价后每件 81 元， 若每次下降的百分率相同 （1）求每次下降的百分率； （2）某超市发现进货价每件 71 元的“火龙岗小杂粮”连续两次降价后，每天可售出 500 件，在进货价 不变的情况下，若每件涨价 1 元，日销售量将减少 20 件现该超市要保证每天盈利 6000 元，且要尽快 减少库存，那么每件“火龙岗小杂粮”售价多少元？ （3）在（2）的条件下，若超市想在双节期间获得最大利润，每件“火龙岗小杂粮”售价多少元？ 【分析】 （1）设每次下降的百分率为 a，根据题意，得：100（1a）281，即可求解； （2）设每件应涨价 x 元，由题意得： （817
34、1+x） （50020 x）6000，进而求解； （3）由题意得：y8（8171+x） （50020 x） ，即 y160 x2+2400 x+40000160（x7.5）2+6125， 即可求解 【解答】解： （1）设每次下降的百分率为 a，根据题意，得：100（1a）281， 解得：a1.9（舍）或 a0.110%， 答：每次下降的百分率为 10%； （2）设每件应涨价 x 元，由题意得： （8171+x） （50020 x）6000， 整理，得 x215x+500， 解得：x15，x210， 要尽快减少库存， 舍去 x10，故 x5， 该商场要保证每天盈利 6000 元，且要尽快减少库存
35、，那么每件应涨价 5 元，售价 86 元 答：每件“火龙岗小杂粮”售价 86 元； （3）设每件应涨价 x 元，双节期间获得利润为 y 元， 由题意得：y8（8171+x） （50020 x） ，即 y160 x2+2400 x+40000160（x7.5）2+6125， 答：那么每件应涨价 7.5 元，即售价 88.5 元该商场双节期间盈利最多 6125 元 22 （10 分）下面是数学王老师布置的一到课后思考题已知：如图 1，在ABC 中，BAC90，AB AC，点 D 为线段 BC 上一动点（不与端点 B、C 重合） ，以 AD 为边作正方形 ADEF，连接 CF请判 断CF、BC和CD
36、的数量关 系 小明思考了一会儿了，认为可以先证明ABDACF（SAS） ，从而可得出 CF、BC 和 CD 的数量关系 为 CF+CDBC （请把正确答案填在横线上） （2）类比探究 如图 2，当点 D 在线段 BC 延长线上时，其他条件不变，请判断 CF、BC 和 CD 三条线段之间的关系， 并说明理由 （3）解决问题 如图 3， 当 D 在线段 BC 反向延长线上时， 且点 A、 F 分别在直线 BC 的两侧， 正方形 ADEF 边长为 2， 对角线 AE、DF 相交于点 O，并连接 OC，并求 OC 的长 【分析】 （1）ABC 是等腰直角三角形，利用 SAS 即可证明BADCAF，从而
37、证得 CFBD，据此 即可证得； （2）同（1）相同，利用 SAS 即可证得BADCAF，从而证得 BDCF，即可得到 CFCDBC； （3）首先证明BADCAF，FCD 是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得 DF 的长，则 OC 即可求得 【解答】解： （1）BAC90，ABC45， ACBABC45， ABAC， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，DAF90， BAD90DAC，CAF90DAC， BADCAF， 则在BAD 和CAF 中， ， BADCAF（SAS） ， BDCF， BD+CDBC， CF+CDBC； 故答案为：CF+CDBC； （2）四边形 ADEF 为正方
38、形， ADAF，DAF90 BAC90， BAC+DACDAF+DAC， 即BADCAF， 在ABD 和ACF 中， ABDACF（SAS） ， BDCF， CFBC+CD； （3）BAC90，ABC45， ACBABC45， ABAC， 四边形 ADEF 是正方形， ADAF，DAF90， BAD90BAF，CAF90BAF， BADCAF， 在BAD 和CAF 中， ， BADCAF（SAS） ， ACFABD， ABC45， ABD135， ACFABD135， FCD90， FCD 是直角三角形 正方形 ADEF 的边长为 2且对角线 AE、DF 相交于点 O DFAD4，O 为 DF
39、 中点 OCDF2 23 （11 分）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx22x+c 与两坐标轴分别交于 A，B，C 三点，且 OCOB，点 G 是抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式 （2）若点 M 为第四象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，四边形 OCMB 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值 （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是 x 轴上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、A、G 为顶 点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 P 的坐标 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）由 S 四边形SMBC+SOCB（m2+3m）+
40、，即可求解； （3）分 AG 是边、AG 是对角线两种情况，利用平移的性质和中线定理即可求解 【解答】解： （1）抛物线 yx22x+c 与 y 轴交于点 C， 点 C 的坐标为（0，c） ， （c0） ， OCOB，且点 B 在 x 的正半轴上， 点 B 的坐标为（c，0） 抛物线 yx22x+c 经过点 B， （c）22（c）+c0 解得：c10（舍去） ，c23 抛物线解析式为 yx22x3； （2）连接 BC，过点 M 作 MD 平行于 y 轴，交 BC 于点 D， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， 把点 B（3，0）和点 C （0，3）的坐标代入解析式得：，解得， 直线 BC
41、的解析式为 yx3 抛物线解析式为 yx22x3， M（m，m22m3） ，点 D（m，m3） ， MDm3（m22m3）m2+3m， SSMBC+SOCB（m2+3m）+， ， （3）有两个位置满足条件，此时 P 为（1+，4）或（1，4） 设点 P（m，m22m3） ，点 N（1，n） ， 由抛物线的表达式知，点 G（1，4） ， 而点 A、C 的坐标分别为（1，0） 、 （2，3） ， 当 AG 是边时， 点 A 向右平移 2 个单位向下平移 4 个单位得到点 G，同样，点 P（Q）向右平移 2 个单位向下平移 4 个 单位得到点 Q（P） ， 故 m22m340 或 m22m3+40， 解得 m2或 1（舍去 1） ， 故点 P 的坐标为（1+2，4）或（12，4） ； 当 AG 是对角线时， 由中点公式得：（04）（m22m3+0） ，解得 m1（舍去） ； 综上，点 P 的坐标为（1+2，4）或（12，4）
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