1、2020-2021 学年山东省烟台市莱州市九年级 （上） 期中数学试卷 （五四学制）学年山东省烟台市莱州市九年级 （上） 期中数学试卷 （五四学制） 一、 选择题 （本题共一、 选择题 （本题共 12 个小题， 每小题均给出标号为个小题， 每小题均给出标号为 A.B.C、 D 的四个备选答案， 其中只有一个是正确的，的四个备选答案， 其中只有一个是正确的， 请将正确答案的标号填在下表中）请将正确答案的标号填在下表中） 1点（1，2）在反比例函数 y的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A （2，1） B （，1） C （2，1） D （，2） 2如图，ABC 中，B90，BC2AB，则
2、 cosA（ ） A B C D 3如图，在ABC 中，ACB90，ABC26，BC5若用科学计算器求边 AC 的长，则下列按 键顺序正确的是（ ） A B C D 4若点 A（a1，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y（k0）的图象上，且 y1y2，则 a 的取值范围 是（ ） Aa1 B1a1 Ca1 Da1 或 a1 5把一条抛物线先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到抛物线 yx21，原抛物线的表达式 为（ ） Ay（x+1）23 By（x1）23 Cy（x+1）2+1 Dy（x1）2+1 6已知在同一直角坐标系中，二次函数 yax2+bx 和反比例函数 y的图象
3、如图所示，则一次函数 y xb 的图象可能是（ ） A B C D 7关于二次函数 yx2+2x8，下列说法正确的是（ ） A图象的对称轴在 y 轴的右侧 B图象与 y 轴的交点坐标为（0，8） C图象与 x 轴的交点坐标为（2，0）和（4，0） Dy 的最小值为9 8如图，在离铁塔 150 米的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 ，测倾仪高 AD 为 1.5 米，则铁塔的高 BC 为（ ） A （1.5+150tan）米 B （1.5+）米 C （1.5+150sin）米 D （1.5+）米 9已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3x212x+m 上的点，则（ ）
4、 Ay3y2y1 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy1y3y2 10如图，平行于 y 轴的直线分别交 y与 y的图象（部分）于点 A、B，点 C 是 y 轴上的动点， 则ABC 的面积为（ ） Ak1k2 B（k1k2） Ck2k1 D（k2k1） 11如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象，有下列 5 个结论：abc0；ba+c；2ab 0；4a+b24ac；3a+c0，其中正确的结论个数是（ ） A1 B2 C3 D4 12如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 B，点 A，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，且点 C 在反比例
5、函数 y（x0）图象上，则 k 的值为（ ） A12 B42 C42 D21 二、填空题二、填空题 13函数 y 的自变量 x 的取值范围是 14在ABC 中，若|sinA|+（cosB）20，则ABC 的形状是 15在平面直角坐标系中，点 A（2，1） ，B（3，2） ，C（6，m）分别在三个不同的象限若反比例函 数 y（k0）的图象经过其中两点，则 m 的值为 16一座抛物线形的拱桥如图所示，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞的拱形是抛物 线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 17矩形 ABCD 的边 AB 在
6、 x 轴上，点 C 在反比例函数 y的图象上，点 D 在反比例函数 y的图象 上，若 sinCAB，cosOCB，则 k 18如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+c（a0）的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A、B、C， 则 ac 的值是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题）个小题） 19计算：cos30+cos45+sin60cos60 20小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当当训练次数不 超过 15 次时，完成一次训练所需要的时间 y（单位：秒）与训练次数 x（单位：次）之间满足如图所示 的反比例函数关系完成第 3 次训练所需
7、时间为 400 秒 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x 的值为 6，8，10 时，对应的函数值分别为 y1，y2，y3，比较（y1y2）与（y2y3）的大小： y1y2 y2y3 21如图，在ABC 中，sinB，tanC，BC3求 AC 的长 22如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A（1，2） ，B（2，n）两点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式 （2）直线 AB 交 x 轴于点 C，点 P 是 x 轴上的点，若ACP 的面积是 4，求点 P 的坐标 23已知抛物线 yx22x15 （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）求图象与坐标轴的交点
8、坐标； （3）当 x 取何值时，函数值大于 0？ 24如图 1 是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 2 是其侧面结构示 意图量得托板长 AB120mm，支撑板长 CD80mm，底座长 DE90mm托板 AB 固定在支撑板顶端 点 C 处，且 CB40mm，托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动 （结果保留小数点后一位） （1）若DCB80，CDE60，求点 A 到直线 DE 的距离； （2）为了观看舒适，在 （1）的情况下， 把 AB 绕点 C 逆时针旋转 10后， 再将 CD 绕点 D 顺时针旋转， 使点 B 落在直线 DE 上即可，求
9、CD 旋转的角度 （参考数据：sin400.643，cos400.766，tan40 0.839，sin26.60.448，cos26.60.894，tan26.60.500，1.732） 25已知抛物线 yax22ax3+2a2（a0） （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在 x 轴上，求其解析式； （3）设点 P（m，y1） ，Q（3，y2）在抛物线上，若 y1y2，求 m 的取值范围 26如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，且 OA2OC 8OB点 P 是第三象限内抛物线上的一动点 （1）求此抛物线的表达式；
10、 （2）若 PCAB，求点 P 的坐标； （3）连接 AC，求PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 2020-2021 学年山东省烟台市莱州市九年级 （上） 期中数学试卷 （五四学制）学年山东省烟台市莱州市九年级 （上） 期中数学试卷 （五四学制） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （本题共一、 选择题 （本题共 12 个小题， 每小题均给出标号为个小题， 每小题均给出标号为 A.B.C、 D 的四个备选答案， 其中只有一个是正确的，的四个备选答案， 其中只有一个是正确的， 请将正确答案的标号填在下表中）请将正确答案的标号填在下表中） 1点（1，2）在反比例函数 y的图象
11、上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A （2，1） B （，1） C （2，1） D （，2） 【分析】将点（1，2）代入 y即可求出 k 的值，再根据 kxy 解答即可 【解答】解：点（1，2）在反比例函数 y的图象上， k122，四个选项中只有 A 符合 故选：A 2如图，ABC 中，B90，BC2AB，则 cosA（ ） A B C D 【分析】首先根据B90，BC2AB，可得 AC，然后根据余 弦的求法，求出 cosA 的值是多少即可 【解答】解：B90，BC2AB， AC， cosA 故选：D 3如图，在ABC 中，ACB90，ABC26，BC5若用科学计算器求边 AC 的长，则
12、下列按 键顺序正确的是（ ） A B C D 【分析】根据正切函数的定义，可得 tanB，根据计算器的应用，可得答案 【解答】解：由 tanB，得 ACBCtanB5tan26 故选：D 4若点 A（a1，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y（k0）的图象上，且 y1y2，则 a 的取值范围 是（ ） Aa1 B1a1 Ca1 Da1 或 a1 【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点（a1，y1） 、 （a+1，y2）在图象的同一支 上时，当点（a1，y1） 、 （a+1，y2）在图象的两支上时 【解答】解：k0， 在图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大， 当点（a1
13、，y1） 、 （a+1，y2）在图象的同一支上， y1y2， a1a+1， 此不等式无解； 当点（a1，y1） 、 （a+1，y2）在图象的两支上， y1y2， a10，a+10， 解得：1a1， 故选：B 5把一条抛物线先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到抛物线 yx21，原抛物线的表达式 为（ ） Ay（x+1）23 By（x1）23 Cy（x+1）2+1 Dy（x1）2+1 【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案 【解答】解：根据题意知，将抛物线 yx21 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到原抛物 线的表达式为 y（
14、x1）212，即 y（x1）23 故选：B 6已知在同一直角坐标系中，二次函数 yax2+bx 和反比例函数 y的图象如图所示，则一次函数 y xb 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出 a0、b0、c0，由此即可得出 0，b0，即可得出一次函数 yxb 的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得 出结论 【解答】解：二次函数开口向下， a0； 二次函数的对称轴在 y 轴右侧，左同右异， b 符号与 a 相异，b0； 反比例函数图象经过一三象限，c0， 0，b0， 一次函数 yxb 的图象经过二三四象限 故选：B 7关于二次函
15、数 yx2+2x8，下列说法正确的是（ ） A图象的对称轴在 y 轴的右侧 B图象与 y 轴的交点坐标为（0，8） C图象与 x 轴的交点坐标为（2，0）和（4，0） Dy 的最小值为9 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以 解答本题 【解答】解：二次函数 yx2+2x8（x+1）29（x+4） （x2） ， 该函数的对称轴是直线 x1，在 y 轴的左侧，故选项 A 错误； 当 x0 时，y8，即该函数与 y 轴交于点（0，8） ，故选项 B 错误； 当 y0 时，x2 或 x4，即图象与 x 轴的交点坐标为（2，0）和（4，0） ，故选项
16、 C 错误； 当 x1 时，该函数取得最小值 y9，故选项 D 正确； 故选：D 8如图，在离铁塔 150 米的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 ，测倾仪高 AD 为 1.5 米，则铁塔的高 BC 为（ ） A （1.5+150tan）米 B （1.5+）米 C （1.5+150sin）米 D （1.5+）米 【分析】过点 A 作 AEBC，E 为垂足，再由锐角三角函数的定义求出 BE 的长，由 BCCE+BE 即可得 出结论 【解答】解：过点 A 作 AEBC，E 为垂足，如图所示： 则四边形 ADCE 为矩形，AE150， CEAD1.5， 在ABE 中，tan， BE150tan， B
17、CCE+BE（1.5+150tan） （m） ， 故选：A 9已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3x212x+m 上的点，则（ ） Ay3y2y1 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy1y3y2 【分析】求出抛物线的对称轴为直线 x2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x2， a30， x2 时，函数值最大， 又3 到2 的距离比 1 到2 的距离小， y3y1y2 故选：B 10如图，平行于 y 轴的直线分别交 y与 y的图象（部分）于点 A、B，点 C 是 y 轴上的动点， 则ABC 的面积为（ ） Ak1k2 B（k
18、1k2） Ck2k1 D（k2k1） 【分析】AB 的长是两个函数当自变量为 x 时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面积公式进行计算 即可 【解答】解：由题意可知，AB，AB 边上的高为 x， SABC（） x（k1k2） ， 故选：B 11如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象，有下列 5 个结论：abc0；ba+c；2ab 0；4a+b24ac；3a+c0，其中正确的结论个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据二次函数 yax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线 与 x 轴交点的个数确定解答 【解答】解：开口向下，则 a0
19、， 与 y 轴交于正半轴，则 c0， 0， b0， 则 abc0，正确； x1 时，y0， ab+c0，错误； 抛物线与 x 轴的交点为（3，0） ， （1，0） ， 1， 则 b2a， ab+c0， 3a+c0，正确； b2a， 2a+b0，错误； 3a+c0，c3， a1， b2a2， 4a+b24+40，4ac4（1）312， 4a+b24ac，错误； 故选：B 12如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 B，点 A，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，且点 C 在反比例函数 y（x0）图象上，则 k 的值为（ ） A12 B42 C42 D
20、21 【分析】过点 C 作 CEx 轴于 E，证明AOBBEC，可得点 C 坐标，代入求解即可 【解答】解：一次函数 yx+4 中，当 x0 时，y0+44， A（0，4） ， OA4； 当 y0 时，0 x+4， x3， B（3，0） ， OB3； 过点 C 作 CEx 轴于 E， 四边形 ABCD 是正方形， ABC90，ABBC， CBE+ABO90，BAO+ABO90， CBEBAO 在AOB 和BEC 中， ， AOBBEC（AAS） ， BEAO4，CEOB3， OE3+47， C 点坐标为（7，3） ， 点 C 在反比例函数 y（x0）图象上， k7321 故选：D 二、填空题二
21、、填空题 13函数 y 的自变量 x 的取值范围是 x1 且 x2 【分析】根据分母不能为零且被开方数是非负数，可得答案 【解答】解：由题意，得 x240 且 x+10， 解得 x1 且 x2 故答案为：x1 且 x2 14在ABC 中，若|sinA|+（cosB）20，则ABC 的形状是 等腰三角形 【分析】直接利用非负数的性质、特殊角的三角函数值进而得出A30，B30，即可得出答 案 【解答】解：|sinA|+（cosB）20， sinA0，cosB0， sinA，cosB， A30，B30， ABC 的形状是等腰三角形 故答案为：等腰三角形 15在平面直角坐标系中，点 A（2，1） ，B
22、（3，2） ，C（6，m）分别在三个不同的象限若反比例函 数 y（k0）的图象经过其中两点，则 m 的值为 1 【分析】根据已知条件得到点 A（2，1）在第二象限，求得点 C（6，m）一定在第三象限，由于反 比例函数 y （k0） 的图象经过其中两点， 于是得到反比例函数 y （k0） 的图象经过 B （3，2） ， C（6，m） ，于是得到结论 【解答】解：点 A（2，1） ，B（3，2） ，C（6，m）分别在三个不同的象限，点 A（2，1）在第 二象限， 点 C（6，m）一定在第三象限， B（3，2）在第一象限，反比例函数 y（k0）的图象经过其中两点， 反比例函数 y（k0）的图象经过
23、B（3，2） ，C（6，m） ， 326m， m1， 故答案为：1 16一座抛物线形的拱桥如图所示，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞的拱形是抛物 线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 yx2 x 【分析】选取点 B 为坐标原点，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，设桥洞顶部即抛物线的顶点 为点 C，由图象及题意可得点 A、B、C 的坐标，设抛物线解析式为 yax（12）（x0） ，将 C（ 6，4）代入得，解得 a 的值，再代入 yax（12）（x0） ，然后将其化成顶点式即可 【解答】解：选取点 B 为坐
24、标原点，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，设桥洞顶部即抛物线的 顶点为点 C，如图： 由坐标系及题意可得： A（12，0） ，B（0，0） ，C（6，4） ， 设抛物线解析式为 yax（12）（x0） ，将 C（6，4）代入得： 4a（6+12） （60） ， 436a， a， y（x+12）x x2x 故答案为：yx2x 17矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 C 在反比例函数 y的图象上，点 D 在反比例函数 y的图象 上，若 sinCAB，cosOCB，则 k 20 【分析】根据题意设 BC4x，OC5x，则 OB3x，根据反比例函数系数 k 的几何意义求得 C 的坐标
25、， 解直角三角形求得 AB 的长，即可求得 OA 的长，从而求得 D 的坐标，代入解析式即可求得 k 的值 【解答】解：矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 C 在反比例函数 y的图象上， SBOC6， cosOCB， 设 BC4x，OC5x，则 OB3x， ，解得 x1， BC4，OB3， C（3，4） ， sinCAB， ， AC4， AB8， OAABOB835， D（5，4） ， 点点 D 在反比例函数 y的图象上， k5420， 故答案为20 18如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+c（a0）的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A、B、C， 则 ac 的值是 2
26、【分析】 设正方形的对角线 OA 长为 2m， 根据正方形的性质则可得出 B、 C 坐标， 代入二次函数 yax2+c 中，即可求出 a 和 c，从而求积 【解答】解：设正方形的对角线 OA 长为 2m， 则 B（m，m） ，C（m，m） ，A（0，2m） ； 把 A，C 的坐标代入解析式可得： c2m，am2+cm， 代入得：m2a+2mm，解得：a， 则 ac2m2 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题）个小题） 19计算：cos30+cos45+sin60cos60 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案 【解答】解：原式 20小明同学训练某种运算技能，每次训练完
27、成相同数量的题目，各次训练题目难度相当当训练次数不 超过 15 次时，完成一次训练所需要的时间 y（单位：秒）与训练次数 x（单位：次）之间满足如图所示 的反比例函数关系完成第 3 次训练所需时间为 400 秒 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x 的值为 6，8，10 时，对应的函数值分别为 y1，y2，y3，比较（y1y2）与（y2y3）的大小： y1y2 y2y3 【分析】 （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为：y，把（3，400）代入 y即可得到结论， （2）把 x6，8，10 分别代入 y得到求得 y1，y2，y3值，即可得到结论 【解答】解： （1）设 y 与
28、 x 之间的函数关系式为：y（k0，x0） ， 把（3，400）代入 y得，400， 解得：k1200， y 与 x 之间的函数关系式为 y（x0） ； （2）把 x6，8，10 分别代入 y得，y1200，y2150，y3120， y1y220015050，y2y315012030， 5030， y1y2y2y3， 故答案为： 21如图，在ABC 中，sinB，tanC，BC3求 AC 的长 【分析】过点 A 作 ADBC 于点 D，设 AD 为 x，先由锐角三角函数定义得 AB3AD3x，则 BD x，CDAD，再由题意得x3，解得：x1，则 AD1，CD，然后由勾 股定理即可得出答案 【
29、解答】解：过点 A 作 ADBC 于点 D，如图所示： 设 AD 为 x， 在 RtABD 中，sinB， AB3AD3x， BDx， 在 RtACD 中，tanC， CDAD， BD+CDBC， x3， 解得：x1， AD1，CD， 在 RtACD 中，由勾股定理得：AC 22如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A（1，2） ，B（2，n）两点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式 （2）直线 AB 交 x 轴于点 C，点 P 是 x 轴上的点，若ACP 的面积是 4，求点 P 的坐标 【分析】 （1）先根据点 A 坐标求出反比例函数解析式，再求出点 B 的坐标，
30、继而根据点 A、B 坐标可得 直线解析式； （2）先根据直线解析式求出点 C 的坐标，根据 SACPPCyA4 求出 PC 的长，即可得出答案 【解答】解： （1）反比例函数 y经过点 A（1，2） ， 2， m2， 反比例函数的表达式为 y， 把点 B 的坐标 （2，n）代入 y得，n，解得 n1， 点 B 的坐标为（2，1） ， 分别把点 A，点 B 的坐标代入 ykx+b 得， 解得， 一次函数的表达式为 yx+1； （2）把 y0 代入 yx+1，解得 x1， 点 C 的坐标为（1，0） ， ACP 的面积是 4，点 A 的纵坐标等于 2， PC24， 解得 CP4， 点 P 的坐标为
31、（5，0）或（3，0） 23已知抛物线 yx22x15 （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）求图象与坐标轴的交点坐标； （3）当 x 取何值时，函数值大于 0？ 【分析】 （1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标； （2）令 x0 求出相应的 y 值，再令 y0 求出相应的 x 的值，即可得到图象与坐标轴的交点坐标； （3）根据抛物线和二次函数的性质，可以得到当 x 取何值时，函数值大于 0 【解答】解： （1）yx22x15（x1）216， 该函数的顶点坐标为（1，16） ； （2）yx22x15（x5） （x+3） ， 当 x0 时，y15，当 y0 时，x5 或
32、x3， 该函数图象与 y 轴的交点坐标为（0，15） ，与 x 轴的交点坐标为（5，0） ， （3，0） ； （3）由（2）知该函数图象与 x 轴的交点坐标为（5，0） ， （3，0） ， 抛物线 yx22x15， 该抛物线开口向上， 当 x5 或 x3 时，函数值大于 0 24如图 1 是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 2 是其侧面结构示 意图量得托板长 AB120mm，支撑板长 CD80mm，底座长 DE90mm托板 AB 固定在支撑板顶端 点 C 处，且 CB40mm，托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动 （结果保留小数点后一位）
33、 （1）若DCB80，CDE60，求点 A 到直线 DE 的距离； （2）为了观看舒适，在 （1）的情况下， 把 AB 绕点 C 逆时针旋转 10后， 再将 CD 绕点 D 顺时针旋转， 使点 B 落在直线 DE 上即可，求 CD 旋转的角度 （参考数据：sin400.643，cos400.766，tan40 0.839，sin26.60.448，cos26.60.894，tan26.60.500，1.732） 【分析】 （1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出 CN、AF，即可求出点 A 到直线 DE 的距离； （2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角
34、，再利用直角三角形的边角关系求出相应 的角度即可 【解答】解： （1）如图 2，过 A 作 AMDE，交 ED 的延长线于点 M，过点 C 作 CFAM，垂足为 F， 过点 C 作 CNDE，垂足为 N， 由题意可知，AC80，CD80，DCB80，CDE60， 在 RtCDN 中，CNCDsinCDE8040mmFM， DCN906030， 又DCB80， BCN803050， AMDE，CNDE， AMCN， ABCN50， ACF905040， 在 RtAFC 中，AFACsin40800.64351.44mm， AMAF+FM51.44+40120.7mm， 答：点 A 到直线 DE
35、的距离约为 120.7mm； （2）旋转后，如图 3 所示，根据题意可知DCB80+1090， 在 RtBCD 中，CD80mm，BC40mm， tanD0.500， D26.6， 因此旋转的角度约为：6026.633.4， 答：CD 旋转的角度约为 33.4 25已知抛物线 yax22ax3+2a2（a0） （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在 x 轴上，求其解析式； （3）设点 P（m，y1） ，Q（3，y2）在抛物线上，若 y1y2，求 m 的取值范围 【分析】 （1）把解析式化成顶点式即可求得； （2）根据顶点式求得坐标，根据题意得到关于 a 的方程解方程求得 a 的
36、值，从而求得抛物线的解析式； （3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出 m 的取值 【解答】解： （1）抛物线 yax22ax3+2a2a（x1）2+2a2a3 抛物线的对称轴为直线 x1； （2）抛物线的顶点在 x 轴上， 2a2a30， 解得 a或 a1， 抛物线为 yx23x+或 yx2+2x1； （3）抛物线的对称轴为 x1， 则 Q（3，y2）关于 x1 对称点的坐标为（1，y2） ， 当 a0，1m3 时，y1y2；当 a0，m1 或 m3 时，y1y2 26如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，且 OA
37、2OC 8OB点 P 是第三象限内抛物线上的一动点 （1）求此抛物线的表达式； （2）若 PCAB，求点 P 的坐标； （3）连接 AC，求PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 【分析】 （1）抛物线 yax2+bx2，则 c2，故 OC2，而 OA2OC8OB，则 OA4，OB， 确定点 A、B、C 的坐标；即可求解； （2）抛物线的对称轴为 x，当 PCAB 时，点 P、C 的纵坐标相同，即可求解； （3）PAC 的面积 SSPHA+SPHCPHOA，即可求解 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx2，则 c2，故 OC2， 而 OA2OC8OB，则 OA4，OB， 故点 A、B、C 的坐标分别为（4，0） 、 （，0） 、 （0，2） ； 则 ya（x+4） （x）a（x2+x2）ax2+bx2，故 a1， 故抛物线的表达式为：yx2+x2； （2）抛物线的对称轴为 x， 当 PCAB 时，点 P、C 的纵坐标相同，根据函数的对称性得点 P（，2） ； （3）过点 P 作 PHy 轴交 AC 于点 H， 设 P（x，x2+2） ， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：yx2， 则PAC 的面积 SSPHA+SPHCPHOA4（x2x2x+2）2（x+2）2+8， 20， S 有最大值，当 x2 时，S 的最大值为 8，此时点 P（2，5）
浙公网安备33030202001339号