1、 南京市南京市 2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12 月六校联合调研试题月六校联合调研试题 高三数学高三数学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1记全集 UR，集合 Ax| x216，集合 Bx| lnx0，则（CUA）B（ ） A 4，） B （1，4 C 1，4） D （1，4） 2设 i 为虚数单位，aR，“a1”是“复数 za 2 2 1 1i是纯虚数”的（ ）条件 A充分不必要条件 B必要不充分
2、条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3已知圆 C 的圆心在直线 yx 上，且与 y 轴相切于点(0，5)，则圆 C 的标准方程是（ ） A(x5)2(y5)225 B(x5)2(y5)225 C(x5)2(y5)25 D(x5)2(y5)25 4标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准 对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行 “E”的边长都是下方一行“E”边长的1010 倍，若视力 4.1 的视标边长为 a，则视力 4.8 的视标边长为（ ） Aa 8 . 0 10 Ba 7 . 0 10 Ca 8 .
3、0 10 Da 7 . 0 10 5已知双曲线C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右顶点为A，直线y 3 2 （xa）与C的一条渐 近线在第一象限相交于点P，若PA与x轴垂直，则C的离心率为（ ） A 2 B 3 C2 D3 6已知函数 yf (x)的图象如右图所示，则此函数可能是（ ） Af (x) sin6x 2 x2x Bf (x) sin6x 2x2 x Cf (x) cos6x 2 x2x Df (x) cos6x 2x2 x 7 “总把新桃换旧符” （王安石） 、 “灯前小草写桃符” （陆游） ，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们 用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人
4、们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美 好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼 这三类礼品中任意免费领取一件，若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类 相同的概率是（ ） A 5 9 B 4 9 C 7 16 D 9 16 O y x （第 6 题图） 8在三棱锥 PABC 中，底面 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，且 AB2，PAPC 5， PB 与底面 ABC 所成的角的余弦值为2 2 3 ，则三棱锥 PABC 的外接球的体积为（ ） A9 2 B89 89 6 C9 D27
5、 2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题分在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列说法正确的是( ) A若 XB（n，1 3） ，且 EX2，则 n6 B设有一个回归方程 y35x，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位 C线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（
6、1，2） （0） ，则 P（1）0.5 10 若函数f(x)sin2x的图象向右平移 6个单位得到的图象对应的函数为g(x)， 则下列说法中正确的是 （ ） Ag(x)图象关于 x5 12对称 B当 x0， 2时，g(x)的值域为 3 2 ， 3 2 Cg(x)在区间5 12， 11 12 上单调递减 D当 x0，时，方程 g(x)0 有 3 个根 11如图，直角梯形 ABCD， ABCD，ABBC，BCCD1 2，AB1，E 为 AB 中点，以 DE 为折痕把 ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PC 3 2 则（ ） A平面 PED平面 EBCD BPCED C二面角 PDCB
7、 的大小为 4 DPC 与平面 PED 所成角的正切值为 2 2 网 12已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，以线段 AB 为直径 的圆交 y 轴于 M、N 两点，设线段 AB 的中点为 P，则（ ） A OA OB3p 2 4 B若|AF|BF|4p2，则直线 AB 的斜率为 3 C若抛物线上存在一点 E（2，t）到焦点 F 的距离等于 3，则抛物线的方程为 y28x D若点 F 到抛物线准线的距离为 2，则 sinPMN 的最小值为1 2 P A E D C B （第 11 题图） 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，
8、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13在 Rt ABC 中，C90 ，AC4，D 为 AB 边上的中点，则 CD AC等于 14 （x2y） （xy）8的展开式中 x2y7的系数为 用数字填写答案） 15已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上递减，若不等式 f(axlnx1)f(axlnx1)2f(1) 对 x1，e2恒成立，则实数 a 的取值范围为 16已知函数 f(x)3cos（2x 3 ） ，当 x0，9时，把函数 F(x)f(x)1 的所有零点依次记为 x1，x2， x3，xn，且 x1x2x3xn，记数列xn
9、的前 n 项和为 Sn，则 2Sn（x1xn） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分）在AC AB b21 2ab，atanC2csinA，S 3 4 (a2b2c2)这三个条件中任选 一个 ，补充在下面的问题中，并解决该问题 锐角ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，ABC 的面积为 S，已知_， （1）求角 C 的大小； （2）求 sinAsinB 的取值范围 18 （本小题满分 12 分）已知数列an，bn的前 n 项和分别
10、为 Sn，Tn，且 an0，6Snan23an （1）求数列an的通项公式； （2）记 bn 1 Sn，若 kTn 恒成立，求 k 的最小值 19（本小题满分 12 分） 如图， 点 C 是以 AB 为直径的圆上的动点 （异于 A， B） ， 己知 AB2， AC 2， AE 7，四边形 BEDC 为矩形，平面 ABC平面 BEDC设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l （1）证明：lBC； （2）求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 20 （本小题满分 12 分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且 具有污染性，所以需要无害化、减量化
11、处理某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取 20 个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi） （i1，2，20） ，其中 xi和 yi分别表示第 i 个县城的 人口 （单位： 万人） 和该县年垃圾产生总量 （单位： 吨） ， 并计算得 20 1 80 i i x ， 20 1 4000 i i y ， 20 2 1 80 i i xx ， 20 2 1 8000 i i yy ， 20 1 700 ii i xxyy （1）请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程； （3）某科研机构研发了两款垃圾处理机
12、器，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表： 1 年 2 年 3 年 4 年 合计 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率根据以往经验估计，该机构选 择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？ 参考公式：相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi） （i1，2，n） ，其回归直线 ybxa的斜率和截距的 最小二乘估计分别为： 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 21 （本
13、小题满分 12 分）已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21（ab0）的一条准线方程为 x 3 2 2 ，点（3 2， 1 2）在 椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P（0，2）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求AOB 面积（O 为原点）的最大值 22 （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)tetx(t0)，g(x)lnx， （1）若 f(x)在 x0 处的切线与 g(x)在 x1 处的切线平行，求实数 t 的值； （2）设函数 (x)f(x)g(x)， 当 t1 时，求证：(x)在定义域内有唯一极小值点 x0，且 (x0)(2，5 2)； 若 (x)恰有两个零点，
14、求实数 t 的取值范围 款式 台数 使用年限 2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12 月六校联合调研试题月六校联合调研试题 高三数学答案高三数学答案 一、单选题：18：CABDCDBA 二、多选题：9、ABD 10、AC 11、ACD 12、AD 三、填空题：13、8；14、48；15、1 e， 4 e2；16、 442 3 四、解答题： 17、解答:(1)选条件AC AB bccosAb21 2ab 所以 cb b2c2a2 2bc b21 2ab，即 b 2c2a22b2ab，所 以 b2a2c2ab，所以 cosCb 2a2c2 2ab 1 23 分 因为 C(0，)，4 分
15、 所以 C 35 分 选条件atanC2csinA，有正弦定理得，sinA sinC cosC2sinCsinA，因为 A，B(0，)，所以 sinA，sinC0， 因此 cosC1 2，3 分 C(0，)，4 分 所以 C 35 分 所以选条件S ABC 3 4 (a2b2c2) 3 4 2abcosC，S ABC1 2absinC， 3abcosCabsinC，C(0，)，sinC 0，cosC0，tanC 3，3 分 C(0，)，4 分 C 35 分 （2）sinAsinBsinAsin(2 3 A)3 2sinA 3 2 cosA 3sin(A 3)，7 分 A(0， 2)， 2 3
16、A(0， 2)，所以 A( 6， 2)，A 6( 3， 2 3 )，8 分 所以 sinAsinB(3 2， 35 分 18、解析（1）当 n1 时， 2 111 63aaa ，解得 a131 分 当 n2 时，由 2 63 nnn Saa ，得 2 111 63 nnn Saa ，两式相减并化简得 11 30 nnnn aaaa ， 由于 0 n a ，所以 1 30 nn aa ，即 1 3(2) nn aan ，4 分 故 n a 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以 3 n an 6 分 （2）Sn3n（n1） 2 bn1 Sn 2 3n（n1） 2 3（ 1 n 1 n1）8
17、分 故 Tnb1b2bn2 3（ 1 1 1 2） 2 3（ 1 2 1 3） 2 3（ 1 n 1 n1） 2 3（1 1 n1），由于Tn是单调 递增数列，2 3（1 1 n1） 2 310 分 ，所以 k 2 3故 k 的最小值为 2 312 分 19、解（1）因为四边形BEDC为矩形，DE/BC，DE平面DAB，BC平面DAB，所以BC/平面 EAD，2 分 又平面EAD平面ABC=l，又 BC平面CAB，所以得/ l BC4 分 （2）四边形 BEDC 为矩形，所以 DCBC,又平面 ABC平面 BEDC，平面 ABC平面 BEDC=BC，DC 平面 BEDC，所以CD平面ABC所以
18、CDAC，又 AB 为直径，所以 ACBC6 分 以C为坐标原点，以CA，CB，CD所在直线分别为x轴， y 轴，z轴建立空间直角坐标系 则 (0,0,0)C ， ( 2,0,0)A ， (0,0, 3)D ， (0,2, 3)E ，所以 (2,0, 3)AD ， (0,2,0)DE ， 平面ABC的法向量 1 (0,0, 3)n ，8 分 设平面ADE的法向量 2 ( , , )nx y z ， 2 2 0 0 nAD nDE 所以 230 20 xz y ， 即 2 ( 3,0, 2)n ，10 分 所以 12 12 12 610 cos, 535 n n n n nn 12 分 20、
19、（1）由题意知相关系数 20 1 2020 22 11 7007 0.875 880 8000 ii i ii ii xxyy r xxyy ，3 分 因为 y 与x的相关系数接近1，所以 y 与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合. （2）由题意可得， 20 1 20 2 1 700 8.75 80 ii i i i xxyy b xx ，5 分 400080 8.752008.75 4165 2020 aybx ，所以 8.75165yx .7 分 （3）以频率估计概率，甲款垃圾处理机器的使用年限为X（单位：年）的分布列为： X 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.3
20、 0.2 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.22.6E X .9 分 乙款垃圾处理机器使用年限为Y（单位：年）的分布列为： Y 1 2 3 4 P 0.3 0.4 0.2 0.1 1 0.32 0.43 0.24 0.12.1E Y .11 分 因为 E XE Y ，所以该机构购买一台甲款垃圾处理机器使用更长久. 12 分 21. （1）由 222 2 22 2 1 3 abb e aa 得 3 3 b a ， 由椭圆C经过点 3 1 () 2 2 ， 得 22 91 1 44ab ，2 分 联立，解得 1b ， 3a ，椭圆C的方程是 2 2 1 3 x y ；4 分 （2）由题意
21、可知直线AB一定存在斜率，设其方程为 2ykx ， 联立 2 2 2 1 3 ykx x y 消去 y 得： 22 (1 3)1290kxkx ， 则 22 14436(1 3)0kk ，得 2 1k ， 设 11 ()A xy， 、 22 ()B xy， ，则 12 2 12 1 3 k xx k ， 12 2 9 1 3 xx k ，6 分 1212 1 2 2 AOBPOBPOA SSSxxxx ， 2 222 121212 222 2 123636(1) ()()4() 1 31 3(1 3) kk xxxxx x kkk ，8 分 设 2 1kt ( 0t )，则 2 12 2 36
22、36363 () 16 (34)416 924 2 924 t xx t t t t t ，10 分 当且仅当 16 9t t ，即 4 3 t 时等号成立，此时 2 7 1 3 k 可取， 此时 AOB面积取得最大值 3 2 .12 分 注：不检验，扣一分 22、解答:（1）f(x)t2etx，g(x)1 x，t 21， （t0）t12 分 （2）(x)exlnx(x0)，(x)ex1 x，(x)e x1 x20，所以 (x)在定义域上是增函数，( 1 2)e 1 2 20，(1)e10，所以 (x)在区间(1 2，1)上有唯一零点 x0当 x(0，x0)时，(x)0，即 (x)是减函 数；
23、当 x(x0)时，(x)0，即 (x)是增函数，所以 x0是 (x)的唯一极小值点4 分 e x01 x0，x0lnx0，x0( 1 2，1)(x0)x0 1 x0在( 1 2，1)是减函数，所以 (x0)(2， 5 2)6 分 因为 tetx0，lnx0(0 x1)所以 (x)tetxlnx 的零点在(1，)上 由题意得，x(x)(tx)etxxlnx 在(1，)上两个零点，设 h(x)xlnx，h(x)1lnx0，所以 h(x)在(1， )上是增函数，h(x)h(etx)，当且仅当 xetx，即lnx x t0 有两个解8 分 设 p(x)lnx x t(x1)，令 p(x)1lnx x2
24、 0，xe，当 x(1，e)，p(x)0，p(x)是增函数，当 x(e)， p(x)0，p(x)是减函数，所以当 xe 时，p(x)的最大值为 e 1t， ()当 te 1 时，p(x)0 恒成立，方程lnx x t0 无解，舍去；9 分 ()当 te 1 时，p(x)0 恒成立，当且仅当 p(e)0，方程lnx x t0 有唯一解 e，舍去；10 分 ()当 0te 1 时，设 p(e)e 1t0，p(1)t0，所以 p(x)在(1，e)有唯一零点，由()已证 lnxx e， lnx x 2ln(x 1 2) x 2x 1 2 ex 2 e x，p( 2 ete) 2)0，所以 p(x)在(e)有唯一零点 综上所述，当 0te 1 时，(x)恰有两个零点12 分
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