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    广东省高州市2021届高三第一次模拟考试数学试题(含答案)

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    广东省高州市2021届高三第一次模拟考试数学试题(含答案)

    1、高州市高州市 20202021 届高三第一次模拟考试数学届高三第一次模拟考试数学试卷试卷 本卷命题范围:高考范围。 第卷(选择题) 一、单项选择题:本题共 8 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 Mx|2x2-5x-30,N-2,1,2,4,则 MN A-2,1,2 B1,2 C1,4 D1,2,4 2设复数 z1-(1-i)3,则|z| A1 B2 C5 D13 3如图所示的ABC 中,点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点,点 E 是线段 AB 的中点,则DE A 11 36 BABC B 11 63 BABC C 51 63 BABC D 51

    2、63 BABC 4设集合 Mx|x2,Px|x6,那么“xM 或 xP”是“xMP”的 A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5函数 | | 2 esin x x f x x 的部分图象大致为 A B C D 6已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,直线 yk(x2)与抛物线 C 交于点 A(1,2) ,B,则|FB| A3 B4 C5 D6 7已知正六边形 A1A2A3A4A5A6的边长为 1,在这 6 个顶点中任意取 2 个不同的顶点 Ai,Aj(1ij6)得 到线段 AiAj,则|AiAj|1,2的概率为 A 1 6 B 1 3 C 2 5 D

    3、 3 5 8如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧面展开图中,B,C 是线段 AD 的三等分点,且3 3AD 若该三 棱柱的外接球 O 的表面积为 12,则 AA1 A2 B2 C5 D2 2 二、多项选择题:本题共 4 小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求。 9 九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等问 各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同, 且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位) 关于这 个问题,下列说法正确的是 A甲得

    4、钱是戊得钱的 2 倍 B乙得钱比丁得钱多 1 2 钱 C甲、丙得钱的和是乙得钱的 2 倍 D丁、戊得钱的和比甲得钱多 1 3 钱 10如图是函数 f(x)Asin(x) (A0,0,|)的部分图象,则下列说法正确的是 A2 B ,0 6 是函数,f(x)的一个对称中心 C 2 3 D函数 f(x)在区间 4 , 5 上是减函数 11若 0 xy1,则下列结论正确的是 A 111 loglog2 2 xyxy xy Bexex-y Cxnyn,nN* Dlogxylogyx 12已知函数 f(x)x2sinx,则下列说法正确的是 Af(x)有且只有一个极值点 B设 g(x)f(x) f(-x)

    5、,则 g(x)与 f(x)的单调性相同 Cf(x)有且只有两个零点 Df(x)在 0, 2 上单调递增 第卷(非选择题) 三、填空题:本大题共 4 小题 13当 a 为常数时, 6 2 1 ax x 展开式中常数项为 15,则 a_ 14在ABC 中,若2 sinsin ab c BA ,则ABC 是_三角形 15已知圆 M:x2y2-12x-14y600,圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x6 上,则圆 N 的标准方程为_ 16若 xex5, 5e ln1y y ,则 xy_ 四、解答题:本题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 从条件2b-

    6、a2ccosA, ctanC-acosBbcosA, 4 cos 5 cBab中任选一个, 补充在下面的问题中, 并给出解答 在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a1,3b ,_,求ABC 的面积 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答给分 182020 年 10 月 1 日既是中华人民共和国第 71 个国庆日,又是农历中秋节,双节同庆,很多人通过短视 频 APP 或微信、微博表达了对祖国的祝福某调查机构为了解通过短视频 APP 或微信、微博表达对祖国祝 福的人们是否存在年龄差异,通过不同途径调查了数千个通过短视频 APP 或微信、微博表达对祖国祝福的 人,并从

    7、参与者中随机选出 200 人,经统计这 200 人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有 160 人将这 160 人按年龄分组:第 1 组15,25) ,第 2 组25,35) ,第 3 组35,45) ,第 4 组45,55) ,第 5 组55,65, 得到的频率分布直方图如图所示: (1)求 a 的值并估计这 160 人的平均年龄; (2)把年龄在第 1,2,3 组的居民称为青少年组,年龄在第 4,5 组的居民称为中老年组,选出的 200 人 中通过短视频 APP 表达对祖国祝福的中老年人有 26 人,问是否有 99的把握认为是否通过微信或微博表 达对祖国的祝福与年龄有关? 附: P(K2k0

    8、) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd 19已知数列an的前 n 项和为 Sn(nN*) (1)若an为等差数列,a1-1, 6 5 11 9 a a ,求 Sn和 an的表达式; (2)若数列Sn满足 12 2 111 35 222 n n SSSn,求 an 20 如图, 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中, AA1底面 ABCD, ADAB, ADBC, 且 1 1 2 A B A DB C, 1 2AADC

    9、(1)求证:平面 BDD1B1平面 CDD1C1; (2)求二面角 CBD1C1所成角的余弦值 21已知点 P(-2,-1)为椭圆 C: 22 22 1 xy ab (ab0)上一点,且椭圆 C 的一个焦点与抛物线 2 4 3yx 的焦点重合,过点 P 作直线 PA,PB,与椭圆 C 分别交于点 A,B (1)求椭圆 C 的标准方程与离心率; (2)若直线 PA,PB 的斜率之和为 0,证明:直线 AB 的斜率为定值 22设函数 ex ax f x ,a0,aR (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 a1 且 m(0,ln2)时,函数 1 lnx mx x F x f x (x0) ,证明

    10、:F(x)存在极小值点 x0, 且 mlnx00 参考答案参考答案 1B 2 1 |2530|3 2 Mxxxxx ,所以 MN1,2,故选 B 2D z1-(1-i)2(1-i)12i(1-i)122i32i,所以 22 |3213z ,故选 D 3B 依题意, 1111111 3233263 DEDAAEACBABCBABABABC ,故选 B 4C 5B 由题知, | | 2 esin x x fxf x x 在(-,0)(0,)上恒成立,所以函数 | | 2 esin x x f x x 是奇函数,其图象关于原点中心对称,排除 C;因为 0 2 f ,f()0,排除 A,D,故选 B

    11、6 C 由点 A (1, 2) 在抛物线 C 上得 p2, 设 2 , 4 t Bt , 由直线过定点 (-2, 0) 得 2 2 12 2 4 t k t , 解得 t4(舍去 2) ,B(4,4) ,所以| 45 2 p FB 故选 C 7C 由已知得, |1, 3,2 ij A A (1ij6) ,|1,2|3 ijij AAAA(1ij6) ,在这 6 个顶点中 任意取 2 个不同的顶点 Ai,Aj(1ij6) ,得到以下 15 条线段:A1A2,A1A3,A1A4,A1A5,A1A6,A2A3, A2A4,A2A5,A2A6,A3A4,A3A5,A3A6,A4A5,A4A6,A5A6

    12、,其中满足|3 ij AA (1ij6)的有以下 6 条线段:A1A3,A1A5,A2A4,A2A6,A3A5,A4A6,根据古典概型的计算公式得,|AiAj|1,2的概率为 62 155 ,故选 C 8D 由展开图可知,直三棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长为3的等边三角形,其外接圆的半径满足 3 22 sin60 r ,所以 r1由 4R212 得3R 由球的性质可知,球心 O 到底面 ABC 的距离为 22 2dRr,结合球和直三棱柱的对称性可知, 1 22 2AAd,故选 D 9AC 依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a-2d,a-d,a,ad,a2d,则由题意可知,a-2d

    13、 a-daada2d,即 a-6d,又 a-2da-daada2d5a5,所以 a1,所以 14 212 63 ad , 17 1 66 ad , 15 1 66 ad , 12 212 63 ad , 所以甲得 4 3 钱,乙得 7 6 钱,丙得 1 钱,丁得 5 6 钱,戊得 2 3 钱,所以甲得钱是戊得钱的 2 倍,故 A 正确;乙得钱比丁得 钱多 751 663 钱,故 B 错误;甲、丙得钱的和是乙得钱的 4 1 3 2 7 6 倍,故 C 正确;丁、戊得钱的和比甲得 钱多 5241 6336 钱,故 D 错误综上,故选 AC 10ACD 由题知,A2,函数 f(x)的最小正周期 11

    14、5 2 1212 T ,所以 2 2 T ,故 A 正确; 因为 111111 2sin 22sin2 12126 f ,所以11 2 62 k,kZ,解得 4 2 3 k,k Z , 又 | , 所 以 2 3 , 故C正 确 ; 函 数 2 2 s i n2 3 fxx , 因 为 2 2sin 22sin30 6633 f , 所以 ,0 6 不是函数 f (x) 的一个对称中心, 故 B 错误; 令 23 2 22 232 mxm,mZ,得 5 1212 mxmx ,mZ,当 m-1 时, 137 1212 x , 因为 4137 , 51212 ,所以函数 f(x)在区间 4 , 5

    15、 上是减函数,故 D 正确故选 ACD 11ABC 因为 0 xy1,所以 0 xy1, 11 1 yx ,所以 111 12 22 xyxyxy ,所以 1121 logloglog2loglog2 2 x yx yx yx yx y xy xyxy ,故 A 正确;因为 0 xy1,所以 x0 x-y, 所以 exex-y,故 B 正确;因为 0 xy1,所以 0 xnyn1,nN*,故 C 正确;因为 0 xy1,所 以 0logxylogxx1,logyxlogyy1,所以 logxy1logyx,故 D 错误故选 ABC 12ACD 由题知,f(x)2xcosx,f(x)2-sinx

    16、0,所以 f(x)2xcosx 在 R 上单调递增,当 x0 时,f(x)10;当 1 2 x 时, 1 1cos0 2 fx ,所以存在 0 1 ,0 2 x ,使得 f(x0)0, 所以函数 f(x)x2sinx 在(-,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,所以 f(x)有且只有一 个极值点, 故 A 正确; 因为 f (-x) x2-sinx, 所以 g (x) f (x) f (-x) x4-sin2x, 所以 g (x) 4x3-2sinxcosx 4x3-sin2x 所以 g(0)0,故 g(x)的一个极值点为 0,所以 g(x)与 f(x)的单调性不相同,故 B 错 误;因

    17、为 f(x)有且只有一个极值点 x0, 0 1 ,0 2 x ,且 f(0)0,所以 f(x)在(-,x0)和(x0, )上各有一个零点,所以 f(x)有且只有两个零点,故 C 正确;因为 yx2与 ysinx 在 0, 2 上都是 单调递增,所以 f(x)x2sinx 在 0, 2 上单调递增,D 正确故选 ACD 13 1 6 2 1 ax x 的第 r1 项为 6 212 3 66 r r rrrr CxaxC a x ,令-123r0,得 r4,所以 44 6 15C a , 解得 a 1 14等腰直角 若2 sinsin ab c BA ,则 sinsin 2sin sinsin A

    18、B C BA ,由 sinsin 2 sinsin AB BA ,当且仅当 sinAsinB 时取等号,即 AB又 2sinC2,则 22sinC2,即 sinC1, 2 C ,ABC 为等腰直角三角形 15 (x-6)2(y-1)21 圆 M 的标准方程为(x-6)2(y-7)225,所以圆心 M(6,7) ,半径为 5由 圆心 N 在直线 x6 上,可设 N(6,y0) 因为 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,所以 0y07,于是圆 N 的 半径为 y0,从而 7-y05y0,解得 y01因此,圆 N 的标准方程为(x-6)2(y-1)21 16 5e 由 5e ln1y y 得 ln

    19、e 5e5e ln1lnln5lne5 eeee y yyyy y yy 由 xex5 得 x0, 故函数 f (x) xex(x0)为单调递增函数,lne ee x yy x ,又e555e e x y xxxy 17解:选择,因为 2b-a2ccosA, 所以由余弦定理得 222222 22 2 bcabca bac bcb , 所以 a2b2-c2ab, 所以由余弦定理得 222 1 cos 222 abcab C abab , 所以 3 sin 2 C , 所以ABC 的面积为 1133 sin13 2224 abC 选择,因为 ctanC-acosBbcosA, 所以由正弦定理得 s

    20、inCtanC-sinAcosBsinBcosA, 所以 sinCtanCsinAcosBsinBcosAsin(AB)sinC 又 0C,所以 sinC0, 所以 tanC1,所以 4 C ,所以 2 sin 2 C , 所以ABC 的面积为 1126 sin13 2224 abC 选择,因为 4 cos 5 cBab, 所以由正弦定理得 4 sincossinsin 5 CBAB, 即 5sinCcosB-5sin(BC)5sinCcosB-(5sinBcosC5cosBsinC)4sinB, 所以 sinB(45cosC)0 又 0B,所以 sinB0, 所以 4 cos 5 C ,所以

    21、 3 sin 5 C , 所以ABC 的面积为 1133 3 sin13 22510 abC 18解: (1)由 10 (0.010.015a0.030.01)1 得 a0.035 这 160 人的平均年龄为 20 10 0.0130 10 0.01540 10 0.03550 10 0.0360 10 0.0141.5 (2)前 3 组人数为 10 (0.0100.0150.035) 16096, 由题意得 2 2 列联表: 通过短视频 APP 表达祝福 通过微信或微博表达祝福 合计 青少年 14 96 110 中老年 26 64 90 合计 40 160 200 2 2 20014 642

    22、6 96 8.0816.635 40 160 110 90 K , 所以有 99的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关 19解: (1)设等差数列an的通项为 an-1(n-1)d(d 为等差数列的公差) , 则 6 5 1511 149 ad ad ,解得2d , 所以 an1-2n, 2 1 12 2 n nn Sn (2)当 n2 时, 12 2 111 35 222 n n SSSn, 121 21 111 32 222 n n SSSn , 由-得, 1 3 2 n n S ,Sn3 2n, 当 n1 时, 1 1 8 2 S ,S116, 所以 32 ,2, 16,

    23、1. n n n S n 当 n1 时,a1S116;当 n2 时,a2S2-S112-16-4; 当 n3 时,anSn-Sn-13 2n-1, 所以 1 16,1, 4,2, 3 2,3. n n n an n 20 (1)证明:因为 ADAB, 1 1 2 ABADBC, 所以 BC2,2BD , 因为2DC ,所以 BD2DC2BC2, 所以BDC90 ,即 BDCD 因为 AA1底面 ABCD, 所以 DD1底面 ABCD,所以 BDDD1 因为 DD1CDD,所以 BD平面 CDD1C1, 又 BD平面 BDD1B1,所以平面 BDD1B1平面 CDD1C1 (2)解:如图,分别以

    24、 DB,DC,DD1为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 D(0,0,0) , 2,0,0B, 0,2,0C, 1 0,0,2D, 1 0,2,2C 所以 1 2,0, 2BD , 11 0, 2,0DC , 1 0, 2,2DC , 设平面 CBD1的法向量为, ,mx y z, 则 1 1 220, 220, BD mxz DC myz 令 x1,得1,1,1m 设平面 C1BD1的法向量为, ,na b c, 则 1 11 220, 20, BD nac DCnb 令 a1,得1,0,1n , 所以 26 cos, 3| |32 m n m n mn , 由图知二面角

    25、 C-BD1-C1为锐角, 所以二面角 C-BD1-C1所成角的余弦值为 6 3 21 (1)解:由题设,得 22 41 1 ab ,且 22 3ab, 由解得 a26,b23, 所以椭圆 C 的标准方程为 22 1 63 xy , 椭圆 C 的离心率为 22 2 2 2 cab e aa (2)证明:设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PB 的斜率为-k, 记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 设直线 PA 的方程为 y1k(x2) , 与椭圆 C 的方程联立,并消去 y 得(12k2)x2(8k2-4k)x8k2-8k-40, 则-2,x1是该方程的两根, 则 2 1 2 884 2

    26、12 kk x k ,即 2 1 2 442 12 kk x k 设直线 PB 的方程为 y1-k(x2) , 同理得 2 2 2 442 12 kk x k 因为 y11k(x12) ,y21-k(x22) , 所以 2 1212 12 121212 2 8 224 12 1 8 12 AB k k xk xk xxyy k k k xxxxxx k , 因此直线 AB 的斜率为定值 22 (1)解:因为 1 ee xx axaax fx , 若 a0, 当:x(1,)时,f(x)0,所以 f(x)在(1,)上为减函数; 当 x(-,1)时,f(x)0,所以 f(x)在(-,1)上为增函数

    27、若 a0, 当 x(1,)时,f(x)0,所以 f(x)在(1,)上为增函数; 当 x(-,1)时,f(x)0,所以 f(x)在(-,1)上为减函数 (2)证明:因为 a1,所以 1 eln x F xmx x ,x(0,) , 则 22 11121 elneeln xxx Fxmxmx xxxxx , 因为 ex0,所以 F(x)与 2 21 lnmx xx 同号 设 2 21 lnt xmx xx ,x(0,) ,则 2 3 22 xx tx x , 所以对任意 x(0,) ,都有 t(x)0,所以 t(x)在(0,)上单调递增 因为 m(0,ln2) ,t(1)m10, 11 ln0 22 tm , 所以存在 0 1 ,1 2 x ,使得 t(x0)0 当 0 1 , 2 xx 时,F(x)0,F(x)单调递减; 当 x(x0,1)时,F(x)0,F(x)单调递增; 所以若 m(0,ln2) ,存在 0 1 ,1 2 x ,使得 x0是 F(x)的极小值点 由 t(x0)0 得: 0 2 00 21 ln0mx xx , 即 0 0 22 000 1212 ln0 x mx xxx 故 mlnx00


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