1、 专题 04 几何图形初步 知识清单知识清单 1几何图形的分类 在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果. 2立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图： 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体 图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来 （2）从不同方向看： 主（正）视图-从正面看 几何体的三视图 左视图-从左（右）边看 俯视图-从上面看 3.直线，射线与线段的区别与联系 4. 基本性质 （1）直线的性质:两点确定一条直线； （2）线段的性质:两点之间，线段最短 5.画一条线段等于已知线段 （1）度量法
2、：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线 AC 上截取 AB=a，如下图： 6线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有 AB+BC=AC，或 AC=a+b；AD=AB-BD. （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如下图，有： 1 2 AMMBAB 7角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的 两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. （
3、2）角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写 英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： （3）角度制及角度的换算 1 周角=360 ，1 平角=180 ，1=60，1=60，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. （4）角的分类 D BA C B Ab a b a MBA （5）画一个角等于已知角 （i）借助三角尺能画出 15 的倍数的角，在 0180 之间共能画出 11 个角. （ii）借助量角器能画出给定度数的角. （iii）用尺规作图法. 8角的比较与运算 （1）角的比较方法: 度量法；叠合法. （2）角的平分线
4、： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为 OC 是AOB 的平分线，所以1=2= 1 2 AOB，或AOB=21=22. 9角的互余互补关系 （1）若1+2=90 ，则1 与2 互为余角.其中1 是2 的余角，2 是1 的余角. （2）若1+2=180 ，则1 与2 互为补角.其中1 是2 的补角，2 是1 的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 10方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. （1） 方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在
5、应用中一要确定其始边是正北 还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东 45 通常叫做东北方向，北偏西 45 通常叫做西北方向，南偏东 45 通常叫做东南方向，南偏 西 45 通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 090 =90 90 180 =180 =360 链接中考链接中考 考点一、考点一、几何体的展开图几何体的展开图 例例 1（2020 年长春）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有 4 条棱进行解答即可
6、 由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有 4 条棱， 故选：A 【名师点睛】此题主要考查了几何体展开图，熟练掌握几何体的侧面展开图是解题的关键，解题时牢记几 何体展开图的各种情形 考点一、线段的性质考点一、线段的性质 例例 1（2020 吉林一模）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游 人更好的观赏风光，如图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道 理是 A .两点之间，线段最短 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.垂线段最短 D.两点确定一条直线 【答案】A 【解析】这里主要体现了长度问题，所以蕴含的数学道理
7、是两点之间，线段最短，选择 A 【名师点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短 考点考点二二、直线的性质、直线的性质 例例 2（2020 黔南州模拟）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根 木桩，然后拉一条直 的参照线，其运用到的数学原理是 A两点之间，线段最短 B两点确定一条直线 C垂线段最短 D过一点有且只有一条直线和已知直线平行 【答案】B 【解析】建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉 一条直的参照线，这种做法运 用到的数学原理是：两点确定一条直线故选：B 【名师点睛】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质联系实际生活是解题
8、关键 考点考点三三、线段有关的计算、线段有关的计算 例例 3（2020 凉山州）点是线段B 的中点，点 D 是线段 AC 的三等分点.若线段 AB=12cm，则线段 BD 的 长为（ ） A. 10cm B. 8cm C. 10cm 或 8cm D. 2cm 或 4cm 【答案】C 【解析】是线段B 的中点，AB=12cm， AC=BC= 1 2 AB= 1 2 12=6（cm） ， 点 D 是线段 AC 的三等分点. 当 AD= 2 3 AC 时，如图， BD=BC+CD/=BC+ 1 3 AC=6+4=10（cm）. 所以线段 BD 的长为 10cm 或 8cm. 【名师点睛】此题主要考查
9、了两点间的距离，线段的中点定义，分类讨论思想的运用是解题的关键 考点考点四四、度分秒度分秒的计算的计算 例例 4（2020 通辽）如图，点 O 在直线 AB 上，AOC=531728，则BOC 的度数是_. 【答案】1264232. 【解析】点 O 在直线 AB 上，且 AOC=531728， BOC=180AOC=180531728=1264232. 故答案为：1264232. 【名师点睛】此题主要考查了度分秒的转化，正确掌握度分秒之间的关系是解题的关键 考点考点五五、方位角、方位角 例例 5 （2020 昆明） 如图， 点 C 位于点 A 正北方向， 点 B 位于 A 北偏东 50方向，
10、则ABC 的度数为_ 【答案】95 . 【解析】如图所示：由题意可得，1=5=50 ， 则ABC=180 35 50 =95 . 故答案为 95 . 【名师点睛】此题主要考查了方位角，得出1 的度数是解题关键 考点考点六六、角平分线角平分线 例例（2020 滨州模拟）如图，OB 是AOC 的角平分线，OD 是COE 的角平分线，如果AOB= 40， COE=60，则BOD 的度数为 ( ) A . 50 B. 60 C.65 D.70 【答案】D 【解析】OB 是AOC 的平分线，OD 是COE 的平分线 COD=DOE=30 ，COB=BOA= 40 BOD=COD+COB=30 +40=7
11、0. 【名师点睛】此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分根据角平分线 定义得出所求角与已知角的关系转化求解 考点考点七七、余角与补角余角与补角 例例 7（2020 通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是（ ） A . B. C. D. 【答案】A 【解析】与互余，故本选项正确； B. =，故本选项错误； C. =，故本选项错误； D. 与互补，故本选项错误. 故选：A. 【名师点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键. 达标检测达标检测 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. (
12、2020 安徽模拟)如图，下列不正确的几何语句是（ ） （A）射线 OA 与射线 AB 是同一条射线 （B）射线 OA 与射线 OB 是同一条射线 （C）直线 AB 与直线 BA 是同一条直线 （D）线段 AB 与线段 BA 是同一条线段 【答案】A 【解析】射线 OA 与射线 AB 不是同一条射线，因为端点不同. 2.如图，从 A 地到 B 地最短的路线是（ ） （A）ACGEB （B）ACEB （C）ADGEB （D）AFEB 【答案】D 【解析】因为两点之间线段最短，从 A 地到 B 地，最短路线是 AFEB，故选 D 3. (2020 武汉月考)如图，已知 A、B 两点之间的距离是 1
13、0 cm，C 是线段 AB 上 的任意一点，则 AC 中点与 BC 中点间的距离是（ ） （A）3 cm. （B）4 cm. （C）5 cm. （D）不能计算. 【答案】C 【解析】 AC+BC=AB， AC的中点与BC的中点间的距离=AB=5（cm） ，故选C 4.若一个60 的角绕顶点旋转15 ，则重叠部分的角的大小是（ ） （A）30 （B）40 （C）50 （D）60 【答案】C 【解析】如图所示，AOB=60，BOD=15，AOD=AOBBOD=6015=45，故选 C 5.（2020十堰）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点若AOC=130，则BOD= （ ） 2 1
14、 （A）30 （B）40 （C）50 （D）60 【答案】C 【解析】AOC=130， BOD=AOC-AOB=40， BOD=COD-BOC=50， 故选：C 6.如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分DOB若COB=35，则AOD 等于（ ） （A）35 （B）70 （C）110 （D）145 【答案】C 【解析】射线 OC 平分DOBBOD=2BOC，COB=35，DOB=70， AOD=18070=110，故选 C 7. （2020 自贡）如果一个角的度数比它补角的 2 倍多 30，那么这个角的度数是（ ） （A）50 （B）70 （C）130 （D）160 【答案】C 【解
15、析】设这个角是 x根据题意，得， x=2(180-x)+30, 解得：x=130, 即这个角的度数是 130 故选 C 8.（2020 辽宁一模）如图，B 是线段 AD 的中点，C 是 BD 上一点，则下列结论中错误的是（ ） （A）BCABCD. （B） BC 1 2 （AD+CD）. （C）BC 1 2 ADCD. （D）BCACBD. 【答案】B 【解析】A . B是线段AD的中点， AB=BD= 1 2 AD.A.BC=BDCD=ABCD，故本选项正确； C .BC=BD CD= 1 2 ADCD，故本选项正确，D.BC=ACAB=ACBD，故本选项正确只有B选项是错误的 9.如图，观
16、察图形，下列说法正确的个数是（ ） 直线BA和直线AB是同一条直线；射线AC和射线AD是同一条射线；AB+BDAD；三条直线两两相 交时，一定有三个交点 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】C 【解析】直线BA和直线AB是同一条直线，正确；射线AC和射线AD是同一条射线，都是以A为端点，同 一方向的射线，正确；由“两点之间线段最短”知，AB+BDAD，故此说法正确；三条直线两两相交时， 一定有三个交点，错误，也可能只有一个交点所以共有3个正确的，故选C 10.（2020河北）如图1，已知ABC，用尺规作它的角平分线，如图2，步骤如下， 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线
17、BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP射线BP即为所求 下列正确的是（ ） （A）b均无限制 （B）a0，b 1 2 DE的长 （C）a有最小限制，b无限制 （D）a0，b 1 2 DE的长 A B C D 【答案】B 【解析】以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为圆心画弧时，b必须大于 1 2 DE， 否则没有交点 故选：B. 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 11.（2020 大庆）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若AOD=108，则COB=
18、 【答案】72 【解析】COD=90，AOB=90，AOD=108， AOC=AOD -COD =108-90=18， COB=AOB -AOC =90-18=72， 故答案为：72 12.已知线段 AB=10 cm，BC=5 cm，A、B、C 三点在同一条直线上，则 AC= . 【答案】5 cm或15 cm 【解析】（1）当点C在线段AB上时，如图，有AC=ABBC， 又 AB=10 cm，BC=5 cm， AC=105=5（cm） ； （2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，有AC=AB+BC， 又 AB=10 cm，BC=5 cm， AC=10+5=15（cm） 故线段AC=5 cm或
19、15 cm 13.如图，OM平分AOB，ON平分COD.若MON=50 ，BOC=10 ，则AOD= _. 【答案】90 【解析】 OM 平分AOB，ON 平分COD， AOM=BOM，CON=DON. MON=50 ，BOC=10 ， MONBOC =40 ，即BOM+CON=40 . AOD=MON+AOM+DON=MON+BOM+CON50 +40 90 . 14.（2020广州）已知A=100 ，则A的补角等于_ . 【答案】80 【解析】A=100 ， A的补角=180-100=80. 故答案为：80. 15.一条直线上立有10根距离相等的标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，
20、当他走到第6杆时用了6.5 s，则当他走到第10杆时所用时间是_. 【答案】11.7 s 【解析】从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔， 因而每个间隔行进6.5 5=1.3（s） 而从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔， 所以行进9个间隔共用1.3 9=11.7（s） 16.（1）15305=_； （2）7 200=_=_； （3）0.75=_=_； （4） 30.26=_. 【答案】 （1）55 805；（2）120，2；（3）45，2 700；（4）30，15，36 【解析】（1）55 805；（2）120，2；（3）45，2 700；（4）30，15，36 17. (2020 济南月考)
21、平面内三条直线两两相交，最多有 a 个交点，最少有 b 个交点，则 a+b=_. 【答案】 4 【解析】 平面内三条直线两两相交，最多有 3 个交点，最少有 1 个交点， a+b=4 18.如图，点 O 是直线 AD 上一点，射线 OC、OE 分别是AOB、BOD 的平分线，若AOC=28 ，则 COD=_，BOE=_ 【答案】152 62 【解析】 AOC+COD=180，AOC=28， COD=152. OC 是AOB 的 平分线，AOC=28， AOB=2AOC=228=56， BOD=180AOB=18056=124. OE 是BOD 的平分线， BOE=BOD=124=62 19.（
22、2020 大连模拟）在数轴上，点 A（表示整数 a）在原点的左侧，点 B（表示整数 b）在原点的右侧若 |ab|=2022，且 AO=2BO，则 a+b 的值为 【答案】67 【解析】 如图， a0b |ab|=2022， 且 AO=2BO， ba=2022， a=2b， 由， 解得 b=674， a+b=2b+b=b=674故答案是：674 20.平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线若平面内的不同 n 个点最多可确定 15 条直线，则 n 的值为 【答案】6 【解析】平面内不同的两点确定 1 条直线，； 平面内不同的三点最多确定 3 条直线，即=3； 平面内不同的四点确定
23、 6 条直线，即=6， 平面内不同的 n 点确定（n2）条直线， 平面内的不同 n 个点最多可确定 15 条直线时，=15，解得 n=5（舍去）或 n=6 故答案为：6 三、解答题（共三、解答题（共 60 分）分） 21 （8 分）(2020 枣庄期中)尺规作图（不写作法，仅保留作图痕迹，在原图上不给分） ： 如图，已知线段 a、b（ab） ，求作线段 AB，使 AB=ba 【答案】如图所示见解析 【解析】如图所示：AB = b a 2 1 2 1 22.（8 分）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分AOD，FOC=90 ，1=40 ，求2 和3 的度数. 【答案】2=65 【解析
24、】FOC=90 ，1=40 ，AB 为直线， 3+FOC+1=180 ， 3=180 90 40 =50 3+AOD=180， AOD=180 3=130 . OE 平分AOD， 2=AOD=65 23.（8 分）(2020 沈阳期末)如图，在直线上任取 1 个点，2 个点，3 个点，4 个点， （1）填写下表： （2）在直线上取 n 个点，可以得到几条线段，几条射 线？ 【答案】（1）表格见解析； （2）可以得到条线段，2n 条射线. 【解析】（1）表格如下： 2 1 2 ) 1( nn 点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数 1 2 3 4 点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数 1
25、0 2 （2）可以得到条线段，2n 条射线. 24. （10 分）(2020 荆州期末)小明将一个底面为正方形，高为 n 的无盖纸盒展开如图（a）所示 （1）请你计算图（a）所示的无盖纸盒的表面展开图的面积 S1； （2）将阴影部分剪拼成一个长方形，如图（b）所示，请你计算该长方形的面积 S2 （3）比较（1） （2）的结果，你得出什么结论？ 【答案】（1）无盖纸盒的表面展开图的面积 S1=9-4n2； （2）长方形的面积 S2=（3+2n） （3-2n） ； （3）9-4n2= （3+2n） （3-2n） 【解析】（1）无盖纸盒的表面展开图的面积 S1=32-4n2=9-4n2； （2）长方
26、形的长为：3+2n，宽为：3-2n， 长方形的面积 S2=（3+2n） （3-2n） ； （3）由题可得，9-4n2=（3+2n） （3-2n） 25.（12 分）已知线段 AB=10cm，试探讨下列问题： （1）是否存在一点 C，使它到 A，B 两点的距离之和等于 8cm？ （2）是否存在一点 C，使它到 A，B 两点的距离之和等于 10cm？若存在，它的位置唯一吗？ （3）当点 C 到 A，B 两点的距离之和等于 20cm 时，点 C 一定在直线 AB 外吗？举例说明 【答案】（1）不存在； （2）存在，位置不唯一； （3）不一定，举例说明见解析 【解析】（1）不存在 （2）存在，位置不唯
27、一 （3）不一定，也可在直线 AB 上，如图所示，线段 AB=10cm，AC =5cm. 2 ) 1( nn 2 1 4 3 3 6 4 6 8 26.（14 分） （2020 成都一模） 如图所示，OM 平分BOC，ON 平分AOC， （1）若AOB=90 ，AOC=30 ，求MON 的度数； （2）若（1）中改成AOB=60 ，其他条件不变，求MON 的度数； （3）若（1）中改成AOC=60 ，其他条件不变，求MON 的度数； （4）从上面结果中看出有什么规律？ 【答案】 （1）MON=45； （2）MON=30； （3）MON=45； （4）从上面结果中看出MON 的大 小是AOB 的一半，与AOC 无关 【解析】 （1）AOB=90，AOC=30， BOC=120， MOC=60， AOC=30， CON=15， MON=MOCNOC=6015=45； （2）AOB=60，AOC=30， BOC=90， MOC=45， AOC=30， CON=15， MON=MOCNOC=4515=30； （3）AOB=90，AOC=60， BOC=150， MOC=75， AOC=60， CON=30， MON=MOCNOC=7530=45； （4）从上面结果中看出MON 的大小是AOB 的一半，与AOC 无关
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